Đang tải... (xem toàn văn)
hệ thống bài tập toán 9 hình học
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH • Định lí Pi-ta-go: BC = AB + AC • AB2 = BC.BH ; • AB AC = BC AH AC = BC CH • AH = BH CH 1 = + • 2 AH AB AC Bài Cho tam giác ABC vng A có AB = 3cm, BC = 5cm AH đường cao Tính BH, CH, AC AH ĐS: BH = 1,8 cm , CH = 3,2 cm , AC = cm , AH = 2,4 cm Bài Cho tam giác ABC vng A có AC = 10cm, AB = 8cm AH đường cao Tính BC, BH, CH, AH ĐS: Bài Cho tam giác ABC vuông A có BC = 12cm Tính chiều dài hai cạnh góc vng biết AB = AC 24 13 36 13 (cm) , AC = (cm) 13 13 Bài Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH Biết BH = 10cm, CH = 42 cm Tính BC, AH, AB AC ĐS: BC = 52 cm , AH = 105 cm , AB = 130 cm , AC = 546 cm ĐS: AB = Bài Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm góc A 600 a) Tính cạnh BC b) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính MN ĐS: Bài Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B 600 góc A 900 a) Tính đường chéo BD b) Tính khoảng cách BH DK từ B D đến AC c) Tính HK d) Vẽ BE ⊥ DC kéo dài Tính BE, CE DC ĐS: Bài Cho đoạn thẳng AB = 2a Từ trung điểm O AB vẽ tia Ox ⊥ AB Trên Ox, lấy điểm D a cho OD = Từ B kẽ BC vng góc với đường thẳng AD a) Tính AD, AC BC theo a b) Kéo dài DO đoạn OE = a Chứng minh bốn điểm A, B, C E nằm đường tròn ĐS: Bài Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Trên HB HC lấy điểm M, N cho ·AMC = ·ANB = 900 Chứng minh: AM = AN HD: ∆ABD # ∆ACE ⇒ AM = AC AD = AB.AE = AN Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB 20 = AH = 420 Tính chu vi AC 21 tam giác ABC ĐS: PABC = 2030 Đặt AB = 20k , AC = 21k ⇒ BC = 29k Từ AH.BC = AB.AC ⇒ k = 29 Trang Bài 10 Cho hình thang ABCD vng góc A D Hai đường chéo vng góc với O Biết AB = 13, OA = , tính diện tích hình thang ABCD ĐS: S = 126,75 Tính được: OB = 4, OD = 9, OC = 13,5 II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Định nghĩa: Cho tam giác vng có góc nhọn α cạnh đối cạnh kề cạnh đối cạnh kề sin a = ; cos a = ; tan a = ; cot a = cạnh huyền cạnh huyền cạnh kề cạnh đối Chú ý: • Cho góc nhọn α Ta có: < sin α < 1; < cos α < • Cho góc nhọn α, β Nếu sin a = sin b (hoặc cos α = cos β , tan a = tan b , cot a = cot b ) a = b Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc Tỉ số lượng giác góc đặc biệt: α 300 450 600 Tỉ số LG sina 2 2 cos α 2 tana 3 cota 3 Một số hệ thức lượng giác sin α tan α = ; cos α sin2 α + cos2 α = ; cot α = cos α ; sin α + tan2 α = tan a cot a = ; cos α ; + cot a = sin a Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết BH = 64cm CH = 81cm Tính cạnh góc tam giác ABC ĐS: Bài Cho tam giác ABC vng A Tìm tỉ số lượng giác góc B khi: a) BC = 5cm, AB = 3cm b) BC = 13 cm, AC = 12 cm c) AC= 4cm, AB=3cm ĐS: a) sin B = 0,8 ; cos B = 0,6 Bài Cho tam giác ABC vng A, có AB = 10cm AC = 15cm a) Tính góc B b) Phân giác góc B cắt AC I Tính AI c) Vẽ AH ⊥ BI H Tính AH ĐS: Bài Tính giá trị biểu thức sau: a) cos2 150 + cos2 250 + cos2 350 + cos2 450 + cos2 550 + cos2 650 + cos2 750 b) sin2 100 − sin 200 + sin2 300 − sin 40 − sin 50 − sin 70 + sin 80 Trang c) sin150 + sin 750 − cos150 − cos 750 + sin 30 d) sin 350 + sin 670 − cos230 − cos550 e) cos2 200 + cos2 400 + cos2 50 + cos2 70 f) sin 200 − tan 40 + cot 50 − cos 70 ĐS: a) 3,5 b) − c) 0,5 d) e) f) Bài Cho biết tỉ số lượng giác góc nhọn α, tính tỉ số lượng giác lại α: a) sin a = 0,8 b) cos α = 0,6 c) tan a = d) cot a = cos α = 0,6 sin a = 0,8 ĐS: a) b) Bài Cho góc nhọn α Biết cos α − sin α = Tính cota ĐS: cot a = Bài Cho tam giác ABC vng C Biết cos A = Tính tan B 13 ĐS: tan B = 12 Bài Rút gọn biểu thức sau: a) (1 − cos α )(1 + cos α ) b) + sin α + cos2 α c) sin α − sin α cos2 α d) sin α + cos4 α + 2sin α cos2 α e) tan α − sin a tan α f) cos2 α + tan α cos2 α ĐS: a) sin2 a b) c) sin3 a d) e) sin2 a f) Bài Chứng minh hệ thức sau: cos α + sin α (sin α + cos α )2 − (sin α − cos α )2 = a) b) =4 − sin α cos α sin α cos α ĐS: Bài 10.Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C a b c = = a) Chứng minh: sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sin A = sin B + sin C không? BH BH ,sin C = ĐS: a) Vẽ đường cao AH Chú ý: sin A = b) không AB BC III MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c b = a.sin B = a.cos C ; c = a.sin C = a.cos B b = c.tan B = c.cot C ; c = b.tan C = b.cot B Bài Giải tam giác vuông ABC, biết µ = 900 và: A a) a = 15cm; b = 10cm b) b = 12cm; c = 7cm ĐS: a) µ ≈ 42 , µ ≈ 480 , c ≈ 11,147cm b) µ ≈ 600 , µ ≈ 300 , a ≈ 14cm B C B C Bài Cho tam giác ABC có µ = 600 , µ = 500 , AC = 35cm Tính diện tích tam giác ABC B C ĐS: S ≈ 509cm Vẽ đường cao AH Tính AH, HB, HC Bài Cho tứ giác ABCD có µ = µ = 900 ,µ = 400 , AB = 4cm, AD = 3cm Tính diện tích tứ giác A D C ĐS: S = 17cm Vẽ BH ⊥ CD Tính DH, BH, CH Trang Bài Cho tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết AC = 4cm, BD = 5cm , ·AOB = 500 Tính diện tích tứ giác ABCD ĐS: S ≈ 8cm Vẽ AH ⊥ BD, CK ⊥ BD Chú ý: AH = OA.sin 500 , CK = OC sin 50 Bài Chứng minh rằng: a) Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh b) Diện tích hình bình hành tích hai cạnh kề nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh ĐS: a) Gọi α góc nhọn tạo hai đường thẳng AB, AC Vẽ đường cao CH CH = AC.sin a BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài Cho tam giác ABC có AB = 21m, AC = 28m, BC = 35m a) Chứng minh tam giác ABC vng b) Tính sin B,sin C ĐS: Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường phân giác AD Cho biết HB = 112, HC = 63 a) Tính độ dài AH b) Tính độ dài AD ĐS: a) AH = 84 b) AD = 60 Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 5, CH = a) Tính AB, AC, BC, BH b) Tính diện tích tam giác ABC 25 305 61 ĐS: a) AB = , AC = 61 , BH = b) S = 12 Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 16, BH = 25 a) Tính AB, AC, BC, CH b) Tính diện tích tam giác ABC ĐS: Bài Cho hình thang ABCD có µ = µ = 900 hai đường chéo vng góc với O A D a) Chứng minh hình thang có chiều cao trung bình nhân hai đáy b) Cho AB = 9, CD = 16 Tính diện tích hình thang ABCD c) Tính độ dài đoạn thẳng OA, OB, OC, OD ĐS: a) Vẽ AE // BD ⇒ AB = ED AE ⊥ AC b) S = 150 c) OA = 7,2; OB = 5,4; OC = 12,8; OD = 9,6 Bài Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 10, CD = 27, AC = 12, BD = 35 ĐS: S = 210 Vẽ BE // AC (E ∈ CD) ⇒ DE = BD + BE Bài Cho biết chu vi tam giác 120cm Độ dài cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17 a) Chứng minh tam giác tam giác vng b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến cạnh ĐS: a) Tính AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 51cm ⇒ ∆ABC vuông A b) r = 9cm Gọi O giao điểm ba đường phân giác S ABC = SOBC + SOCA + SOAB Bài Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Biết µ = 480 ; AH = 13cm Tinh chu vi ∆ABC A ĐS: BC ≈ 11,6cm; AB = AC ≈ 14,2cm Bài Cho ∆ ABC vuông A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD = DE = EC DE DB = a) Chứng minh b) Chứng minh ∆BDE đồng dạng ∆ CDB DB DC c) Tính tổng ·AFB + ·BCD ĐS: a) DB2 = 2a2 = DE.DC c) ·AEB + ·BCD = ·ADB = 450 Trang Bài 10 Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AD BC nhau, đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD = 5a, AC = 12a sin B + cos B a) Tính b) Tính diện tích hình thang ABCD sin B − cos B 17 ĐS: a) b) Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua điểm B Trên tia đối tia HA lấy điểm E cho HE = 2HA Gọi I hình chiếu D HE a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm b) Tính tan·IED, tan·HCE c) Chứng minh ·IED = ·HCE d) Chứng minh: DE ⊥ EC 20 16 cm , HC = cm b) tan·IED = tan·HCE = 3 ·DEC = ·IED + ·HEC = 900 d) Bài 12.Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h Chứng minh tam giác có cạnh a − h; b − c; h tam giác vuông ĐS: a) AB = cm , AC = ĐS: Chứng minh (b − c)2 + h2 = (a − h)2 Bài 13.Cho tam giác nhọn ABC, diện tích Vẽ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) S AEF + SBFD + SCDE = cos2 A + cos2 B + cos2 C ĐS: a) Chứng minh S AEF = cos2 A S ABC Bài 14.Cho ∆ ABC vng A có sin C = b) SDEF = sin A − cos2 B − cos2 C b) SDEF = S ABC − ( S AEF + SBFD + SCDE ) Tính tỉ số lượng giác góc B C cos B sin C = ; sin B = ; ; cos C = 2 2 Bài 15 Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL Chứng minh: a) ∆ANL #∆ABC b) AN BL.CM = AB.BC CA.cos A.cos B.cos C ĐS: Bài 16 Cho tam giác ABC vng A có µ = 150 , BC = 4cm C a) Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM Tính ·AMH , AH, AM, HM, HC ĐS: cos B = 6+ ĐS: a) ·AMH = 300 ; AH = cm ; AM = cm ; HM = cm ; HC = + (cm) CH b) cos150 = cos C = AC Bài 17 Cho tam giác ABC cân A, có µ = 360 , BC = 1cm Kẻ phân giác CD Gọi H hình A chiếu vng góc D AC a) Tính AD, DC b) Kẻ CK ⊥ BD Giải tam giác BKC b) Chứng minh rằng: cos150 = c) Chứng minh cos360 = 1+ ĐS: Bài 18 Cho tam giác ABC có AB = 1, µ = 1050 , µ = 600 Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE A B = Vẽ ED // AD (D thuộc AC) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt BC F Gọi H hình chiếu A cạnh BC a) Chứng minh tam giác ABE Tính AH b) Chứng minh ·EAD = ·EAF = 450 Trang c) Tính tỉ số lượng giác góc AED góc AEF d) Chứng minh ∆ AED = ∆ AEF Từ suy AD = AF 1 + = e) Chứng minh 2 AD AF ĐS: Bài 19 Giải tam giác ABC, biết: a) µ = 900 , BC = 10cm, µ = 750 b) ·BAC = 1200 , AB = AC = 6cm A B c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma = , đường cao AH = d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền ma = , góc nhọn 470 ĐS: Bài 20 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm Gọi E, F hình chiếu H cạnh AB AC a) Giải tam giác vng ABC b) Tính độ dài AH chứng minh: EF = AH c) Tính: EA.EB + AF.FC 27 3 ĐS: a) AC = 3 (cm) , µ = 600 , µ = 300 b) AH = (cm) c) B C CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN I SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN Đường trịn Đường trịn tâm O bán kính R (R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R Vị trí tương đối điểm đường tròn Cho đường tròn (O; R) điểm M • M nằm đường trịn (O; R) ⇔ OM = R • M nằm đường trịn (O; R) ⇔ OM < R • M nằm ngồi đường trịn (O; R) ⇔ OM > R Cách xác định đường tròn Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn • Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn • Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn Bài 11.Cho tứ giác ABCD có µ + µ = 900 Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BD, DC C D CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn HD: Chứng minh MNPQ hình chữ nhật Bài 12.Cho hình thoi ABCD có µ = 600 Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, A BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn HD: Chứng minh EFGH hình chữ nhật, ∆OBE tam giác Bài 13.Cho hình thoi ABCD Đường trung trực cạnh AB cắt BD E cắt AC F Chứng minh E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABD HD: Chứng minh E, F giao điểm đường trung trực tương ứng Bài 14.Cho đường trịn (O) đường kính AB Vẽ đường trịn (I) đường kính OA Bán kính OC đường trịn (O) cắt đường tròn (I) D Vẽ CH ⊥ AB Chứng minh tứ giác ACDH hình thang cân HD: Chứng minh ∆ADO = ∆CHO ⇒ OD = OH, AD = CH Chứng minh HD // AC Trang Bài 15.Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có µ = µ = 600 , CD = 2AD Chứng minh C D điểm A, B, C, D thuộc đường tròn HD: Chứng minh IA = IB = IC = ID , với I trung điểm CD Bài 16.Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn HD: Bài 17.Cho hai đường thẳng xy x′y′ vng góc O Một đoạn thẳng AB = 6cm chuyển động cho A nằm xy B x′y′ Hỏi trung điểm M AB chuyển động đường nào? HD: Bài 18.Cho tam giác ABC có đường cao BH CK a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường tròn Xác định tâm đường trịn b) So sánh KH BC HD: II DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN So sánh độ dài đường kính dây Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính Quan hệ vng góc đường kính dây • Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây • Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây • Trong đường trịn: – Hai dây cách tâm – Hai dây cách tâm • Trong hai dây đường tròn: – Dây lớn dây gần tâm – Dây gần tâm dây lớn Bài Cho đường tròn (O; R) ba dây AB, AC, AD Gọi M, N hình chiếu B đường thẳng AC, AD Chứng minh MN ≤ 2R HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M, N nằm đường trịn đường kính AB ⇒ MN ≤ AB Bài Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai dây AB CD vng góc với Chứng minh rằng: S ABCD ≤ R AB.CD Bài Cho đường trịn (O; R) dây AB khơng qua tâm Gọi M trung điểm AB Qua M vẽ dây CD không trùng với AB Chứng minh điểm M không trung điểm CD HD: Dùng phương pháp phản chứng Giả sử M trung điểm CD ⇒ vơ lý Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Giả sử R = 6,5cm, MA = 4cm Tính CD HD: S ABCD = c)* Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh: MH MK = Trang MC 2R HD: a) ACED hình thoi b) CD = 12cm MA.MC MB.MC , MK = c) MH = AC BC Bài Cho đường tròn (O; R) hai dây AB, CD vuông góc với I Giả sử IA = 2cm, IB = 4cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây HD: OH = OK = 1cm Bài Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N) a) Chứng minh CM = DN b) Giả sử ·AOB = 900 Tính OM theo R cho CM = MN = ND HD: a) Vẽ OH ⊥ CD ⇒ H trung điểm CD MN b) Đặt OH = x C minh ∆HOM vuông cân ⇒ HM = x Do CM = MN = ND ⇒ HC = 3x R ⇒ OM = Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường tròn đường kính AB) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật b) Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn 300 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE HD: a) Vẽ OH ⊥ CD Đường thẳng OH cắt EF K ⇒ OH = OK ⇒ CD = EF R R 15R 15R b) OH = ⇒ HK = Vì µ = 900 nên CF đường kính EF = S= E 4 Bài Cho đường tròn (O) dây CD Từ O kẻ tia vng góc với CD M, cắt (O) H Tính bán kính R (O) biết: CD = 16cm MH = 4cm HD: Bài Cho đường trịn (O; 12cm) có đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho góc NID 300 Tính MN HD: III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Cho đường tròn (O; R) đường thẳng ∆ Đặt d = d (O, ∆) VTTĐ đường thẳng đường tròn Số điểm chung Đường thẳng đường tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường trịn khơng giao Hệ thức d R dR Khi đường thẳng đường tròn tiếp xúc đường thẳng đgl tiếp tuyến đường trịn Điểm chung đường thẳng đường tròn đgl tiếp điểm Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn • Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm • Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Tính chất hai tiếp tuyến cắt Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì: • Điểm cách hai tiếp điểm • Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Trang • Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Đường tròn nội tiếp tam giác • Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đgl đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác đgl ngoại tiếp đường trịn • Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc tam giác Đường trịn bàng tiếp tam giác • Đường trịn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh đgl đường trịn bàng tiếp tam giác • Với tam giác, có ba đường trịn bàng tiếp • Tâm đường trịn bàng tiếp tam giác góc A giao điểm hai đường phân giác góc B C, giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác ngồi B (hoặc C) Bài Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E nằm đường tròn (gọi tâm O) b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) HD: a) D, E nằm đường tròn đường kính AH b) Chứng minh ·OEA = ·OAE = ·ECM = ·CEM ⇒ ·MEO = ·CEM + ·CEO = ·OEA + ·CEO = 900 Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC cho ·CAB = 300 Trên tia đối tia BA, lấy điểm M cho BM = R Chứng minh rằng: a) MC tiếp tuyến đường tròn (O) b) MC = 3R2 HD: a) Chứng minh ∆COM vuông C b) MC = OM − OC Bài Cho tam giác ABC vng A có AB = 8, AC = 15 Vẽ đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường trịn đường kính CD, cắt AC E a) Chứng minh HE tiếp tuyến đường trịn b) Tính độ dài HE HD: a) Gọi O F trung điểm CD AE Chứng minh DE // AB, HF ⊥ AE AB AC 120 = ⇒ ·HEO = 900 b) HE = AH = BC 17 Bài Từ điểm M đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên tia OB lấy điểm C cho BC = BO Chứng minh ·BMC = ·BMA HD: Chú ý ∆OMC cân M Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC Chứng minh ·BAC = 600 OA = R HD: Chú ý ∆ABO vuông B Bài Từ điểm A đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trịn Đường thẳng vng góc với OB O cắt AC N Đường thẳng vng góc với OC O cắt AB M a) Chứng minh tứ giác AMON hình thoi b) Điểm A phải cách điểm O khoảng MN tiếp tuyến (O) HD: a) Chứng minh ON // AB, OM // AC b) OA = R Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn vẽ từ A C cắt M Trên tia AM lấy điểm D cho AD = BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình bình hành b) Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy HD: a) Chứng minh AD // BC (cùng vng góc với OA) Trang b) Gọi E giao điểm OM AC ⇒ E trung điểm AC Bài Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC vuông A Chứng minh r = p − a , p nửa chu vi tam giác, a độ dài cạnh huyền HD: Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh tam giác ⇒ AEOF hình vng Bài Chứng minh diện tích tam giác ngoại tiếp đường trịn tính theo cơng thức: S = pr , p nửa chu vi tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp HD: Diện tích tam giác tổng diện tích ba tam giác nhỏ Bài 10 Cho đường tròn (O), dây cung CD Qua O vẽ OH ⊥ CD H, cắt tiếp tuyến C đường tròn (O) M Chứng minh MD tiếp tuyến (O) HD: Bài 11 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tia Ax ⊥ AB By ⊥ AB phía nửa đường trịn Gọi I điểm nửa đường tròn Tiếp tuyến I cắt A x C By D Chứng minh AC + BD = CD HD: Bài 12 Cho đường tròn (O; 5cm) Từ điểm M (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho MA ⊥ MB M a) Tính MA MB b) Qua trung điểm I cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến cắt OA, OB C D Tính CD HD: Bài 13 Cho đường trịn (O) Từ điểm M ngồi (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho góc ·AMB = 600 Biết chu vi tam giác MAB 18cm, tính độ dài dây AB HD: AB = 6(cm ) IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Tính chất đường nối tâm • Đường nối tâm hai đường tròn trục đối xứng hình gồm hai đường trịn • Nếu hai đường tròn cắt thi hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm • Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Vị trí tương đối hai đường tròn Cho hai đường tròn (O; R) (O′; r) Đặt OO′ = d Số điểm VTTĐ hai đường tròn Hệ thức d với R r chung R−r < d < R +r Hai đường tròn cắt Hai đường tròn tiếp xúc nhau: d = R+r – Tiếp xúc d = R−r – Tiếp xúc Hai đường trịn khơng giao nhau: d > R+r – Ở d < R−r – (O) đựng (O′) Tiếp tuyến chung hai đường tròn Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn Tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm Tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm Bài Cho hai đường tròn (A; R1), (B; R2) (C; R3) đơi tiếp xúc ngồi Tính R 1, R2 R3 biết AB = 5cm, AC = 6cm BC =7cm HD: R1 = 2(cm ) , R2 = 3(cm) , R3 = 4(cm) Trang 10 HD: a) ·ACH = ·ACM = µ B a Bài Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn cạnh AB, BC, CA Gọi M, N, P giao điểm đường tròn (O) với ti OA, OB, OC Chứng minh điểm M, N, P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF, BDE CEF HD: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt Bài Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường tròn (O′) D Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D, cắt đường thẳng AB điểm thứ hai E Chứng minh rằng: ·CAD + ·CBD = 1800 a) b) Tứ giác BCED hình bình hành HD: a) Chứng minh ·BAC = ·BCD , ·BAD = ·BDC ⇒ ·CAD + ·CBD = ·BCD + ·BDC + ·CBD = 1800 b) Chứng minh MA.MB = MC ⇒ MB = 4a , AB = 3a MC.OC = CH.OM ⇒ CH = b) Chứng minh ·BCD = ·EDC (= ·BAC ) , ·ECD = ·BDC (= ·BAD ) ⇒ BC // DE, BD // CE Bài Trên cạnh góc ·xMy lấy điểm T, cạnh lấy hai điểm A, B cho MT = MA.MB Chứng minh MT tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác TAB · µ » HD: Chứng minh ∆MAT # ∆MTB ⇒ ATM = B = sd AT ⇒ MT tiếp tuyến Bài Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Vẽ dây BC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O′) Vẽ dây BD đường tròn (O′) tiếp xúc với đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) AB2 = AC AD b) BC = BD AC AD AB AC BC BC AB AC AC = = HD: a) ∆ABC # ∆ADB ⇒ đpcm.b) ⇒ = ÷ = AD AB BD BD AD AB AD Bài Cho đường tròn (O) điểm M bên ngồi đường trịn Tia Mx quay quanh M, cắt đường tròn A B Gọi I điểm thuộc tia mx cho MI = MA.MB Hỏi điểm I di động đường nào? HD: MT = MA.MB = MI ⇒ MI = MT ⇒ Điểm I di động đường tròn (M, MT) Bài Cho đường tròn (O) ba điểm A, B, C (O) Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến A · · M So sánh góc: · AMC , ABC , ACB HD: Bài Cho hai đường tròn (O, R) (O′, R′) (R > R′) tiếp xúc A Qua A kẽ hai cát · tuyến BD CE (B, C ∈ (O′); D, E ∈ (O)) Chứng minh: ABC = · ADE HD: Bài Cho đường trịn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc Gọi I điểm cung AC cho vẽ tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài M IC = CM a) Tính góc AOI b) Tính độ dài OM HD: Trang 20 V GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Định lí Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Định lí Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB AC lấy điểm I K cho ºAI = » Dây IK cắt cạnh AB, AC D E AK ·ADK = ·ACB a) Chứng minh b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện tứ giác DECB hình thang cân » º » HD: a) ·ADK = sd AK + sd BI = sd AB = µ b) µ = µ C C B 2 Bài Cho đường tròn (O) dây AB Vẽ đường kính CD vng góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N Các đường thẳng CN DN cắt đường thẳng AB E F Tiếp tuyến đường tròn (O) N cắt đường thẳng AB I Chứng minh rằng: AE + AF a) Các tam giác INE INF tam giác cân b) AI = » E HD: a) ·INE = sdCN = µ b) AI = AE − IE , AI = AF + IF ⇒ đpcm Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Các tia phân giác góc B góc C cắt I cắt đường tròn (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN tam giác cân b) Các tam giác EAI DAI tam giác cân c) Tứ giác AMIN hình thoi HD: a) » = » ,» = » ,» = » ⇒ ·AMN = ·ANM DA DC EA EB FB FC b) ·DAI = ·DIA ⇒ DA = DI c) Chứng minh NI // AM, MI // AN, AM = AN ⇒ đpcm Bài Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC Vẽ đường kính BD Hai đường thẳng CD MB cắt A Chứng minh M trung điểm AB » HD: µ = sd CD = ·MAC ⇒ MA = MC = MB A Bài Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC ADE (B nằm A C; D nằm A E) Cho biết µ = 500 , sd» = 400 Chứng minh CD ⊥ BE A BD » » » » » HD: µ = sdCE − sd BD ⇒ sdCE = 1400 Gọi H = CD ∩ BE ⇒ ·CHE = sdCE + sd BD = 900 A 2 Bài Cho điểm A, B, C D theo thứ tự đường tròn (O) cho số đo cung sau: » sd» = 400 , sdCD = 1200 Gọi I giao điểm AC BD M giao điểm DA AB CB kéo dài Tính góc CID AMB HD: Bài Cho đường tròn (O) Từ điểm M (O), ta vẽ cát tuyến MAC MBD cho ·CMD = 400 Gọi E giao điểm AD BC Biết góc ·AEB = 700 , tính số đo cung AB CD HD: Bài Cho đường tròn (O) điểm M (O) Vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC Trang 21 qua O (B nằm M C) Đường trịn đường kính MB cắt MA E Chứng minh: ¼ ¼ ¼ sd AnC = sd BmA + sd BkE với ¼ , ¼ AnC BmA ¼ BkE cung góc AMC HD: VI CUNG CHỨA GĨC Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB góc α ( 00 < a < 1800 ) cho trước quỹ tích điểm M thoả mãn ·AMB = a hai cung chứa góc α dựng đoạn AB Chú ý: • Hai cung chứa góc α nói hai cung trịn đối xứng qua AB • Hai điểm A, B coi thuộc quỹ tích • Đặc biệt: Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB Cách vẽ cung chứa góc α – Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB – Vẽ tia Ax tạo với AB góc α – Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O giao điểm Ay với d – Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax ¼ AmB vẽ cung chứa góc α Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thoả mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần: – Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H – Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T – Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây MN = R (điểm M cung » ) Hai AN dây AN BM cắt I Hỏi dây MN di động điểm I di động đường nào? HD: Chứng minh ∆MON ·MON = 600 ⇒ ·AIB = 1200 ⇒ I nằm cung chứa góc 1200 dựng đoạn AB Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB dây AC quay quanh A Trên nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa B ta vẽ hình vng ACDE Hỏi: a) Điểm D di động đường nào? b) Điểm E di động đường nào? ·ADB = ·ADC = 450 ⇒ D di động cung chứa góc 450 dựng đoạn AB (nằm HD: a) nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C) b) Vẽ Ax ⊥ AB DE cắt Ax F ⇒ ∆EAF = ∆CAB ⇒ AF = AB ⇒ AF cố định ·AEF = 900 ⇒ E nằm đường trịn đường kính AF Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E, tia đối tia CD lấy điểm F cho CE = CF Gọi M giao điểm hai đường thẳng DE BF Tìm quỹ tích điểm M E di động cạnh BC HD: Phần thuận: ∆CBF = ∆CDE ⇒ ·BMD = ·BME = 900 ⇒ M nằm đường tròn đường kính BD Mặt khác E → C M → C, E → B M → B ⇒ M thuộc cung nhỏ BC Phần đảo: DM cắt BC E, BM cắt DC F ∆CBF = ∆CDE ⇒ CE = CF Kết luận: Quỹ tích điểm M cung nhỏ BC đường trịn đường kính BD Bài Cho tam giác ABC vuông A Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác Qua A vẽ cát tuyến MAN (M thuộc nửa đường trịn đường kính AB, N thuộc nửa Trang 22 đường trịn đường kính AC) a) Tứ giác BMNC hình gì? b) Tìm quỹ tích trung điểm I MN cát tuyến MAN quay quanh A HD: a) BMNC hình thang vng b) Gọi K trung điểm BC Quỹ tích điểm I cung DAE đường trịn đường kính AK Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB Gọi M điểm cung AB Trên cung AM lấy điểm N Trên tia AM, AN BN lấy điểm C, D, E cho MC = MA, ND = NB, NE = NA Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn HD: ·ACB = ·ADB = ·AEB = 450 ⇒ C, D, E nằm cung chứa góc 450 dựng đoạn AB Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BF Từ điểm I nằm B F, vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB BC M N Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN cắt đường thẳng AI điểm thứ hai D Hai đường thẳng DN BF cắt E a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, E nằm đường tròn b) Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E nằm đường trịn Từ suy BE ⊥ CE HD: a) ·ABE = ·ADE ⇒ B, D thuộc cung chứa góc dựng đoạn AE ⇒ A, B, D, E ∈ (P) b) ·ACB = ·ADB ⇒ A, B, C, D ∈ (P′) (P) (P′) có điểm chung A, B, D ⇒ (P) ≡ (P′) ⇒ ·BEC = ·BAC = 900 Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm C di động (O) Gọi M giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Điểm M di động đường nào? HD: Bài Dựng tam giác ABC biết BC = 3cm, µ = 500 , AB = 3,5cm A HD: Bài tốn có hai nghiệm hình Bài Dựng tam giác ABC biết BC = 4cm, đường cao BD = 3cm đường cao CE = 3,5cm HD: VII TỨ GIÁC NỘI TIẾP Định nghĩa Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn đgl tứ giác nội tiếp đường tròn Định lí • Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 • Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp • Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn tứ giác nội tiếp đường trịn • Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn • Tứ giác ABCD có hai đỉnh C D cho ·ACB = ·ADB tứ giác ABCD nội tiếp Chú ý: Trong tứ giác học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn (O) µ = a (00 < a < 900 ) Gọi M A điểm tuỳ ý cung nhỏ AC Vẽ tia Bx ⊥ AM, cắt tia CM D a) Tính số đo góc ·AMD b) Chứng minh MD = MB Trang 23 a b) ∆MBD cân ⇒ MD = MB Bài Cho tam giác ABC khơng có góc tù Các đường cao AH đường trung tuyến AM không trùng Gọi N trung điểm AB Cho biết ·BAH = ·CAM a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp b) Tính số đo góc ·BAC HD: a) ·AHN = ·AMN ⇒ AMHN nội tiếp b) ·BAC = ·ANM = 900 HD: a) ·AMD = 900 − Bài Cho tam giác ABC vuông A Điểm E di động cạnh AB Qua B vẽ đường thẳng vng góc với tia CE D cắt tia CA H Chứng minh rằng: a) Tứ giác ADBC nội tiếp b) Góc ·ADH có số đo khơng đổi E di động cạnh AB c) Khi E di động cạnh AB BA.BE + CD.CE khơng đổi HD: a) ·BAC = ·BDC = 900 b) ·ADH = ·ACB c) Vẽ EK ⊥ BC ∆KBE # ∆ABC ⇒ BE.BA = BK.BC; ∆KCE # ∆DCB ⇒ CE.CD = CK.CB Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB dây AC Từ điểm D AC, vẽ DE ⊥ AB Hai đường thẳng DE BC cắt F Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCDE nội tiếp b) ·AFE = ·ACE HD: a) ·DCB + ·DEB = 1800 b) AECF nội tiếp ⇒ ·AFE = ·ACE Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB Lấy hai điểm C D nửa đường tròn cho » = » = » Các tiếp tuyến vẽ từ B C nửa đường tròn cắt I Hai tia AC AC CD DB BD cắt K Chứng minh rằng: a) Các tam giác KAB IBC tam giác b) Tứ giác KIBC nội tiếp HD: a) Chứng minh tam giác có hai góc 600 b) ·BKC = ·BIC = 60 Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB tia tiếp tuyến Bx nửa đường tròn Trên tia Bx lấy hai điểm C D (C nằm B D) Các tia AC BD cắt đường tròn E F Hai dây AE BF cắt M Hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng: a) Tứ giác FNEM nội tiếp b) Tứ giác CDFE nội tiếp HD: a) ·MEN = ·MFN = 90 b) µ + ·CEF = 1800 D Bài Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường tròn b) Đường thẳng DH cắt đường trịn (O) điểm thứ hai I Chứng minh năm điểm A, I, F, H, E nằm đường trịn HD: a) BHCD hình bình hành ⇒ ·ACD = ·ABD = 900 O trung điểm AD b) ·AIH = ·AFH = ·AEH = 900 Bài Cho tam giác ABC Dựng tam giác tam giác BCD, ACE ABF Chứng minh rằng: a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác nói qua điểm b) Ba đường thẳng AD, BE, CF qua điểm c) Ba đoạn thẳng AD, BE, CF HD: a) Gọi O giao điểm thứ hai hai đường tròn (ABF) (ACE) ⇒ ·AOB = ·AOC = ·BOC = 1200 ⇒ BODC nội tiếp ⇒ đường tròn (BCD) qua O b) ·AOB + ·BOD = 1800 ⇒ A, O, D thẳng hàng Tương tự B, O, E thẳng hàng; C, O, F thẳng hàng ⇒ Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng qui Trang 24 c) ∆ABD = ∆FBC ⇒ AD = CF; ∆ACF = ∆AEB ⇒ CF = BE Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC BD cắt I Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI Tiếp tuyến đường tròn I cắt AD BC M N Chứng minh rằng: a) MN // CD b) Tứ giác ABNM nội tiếp ·BIN = ·BDC ⇒ MN // CD HD: a) b) ·BAM + ·BNM = 1800 Bài 10 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA = 2cm, OB = 6cm Trên tia Oy lấy hai điểm C D cho OC = 3cm, OD = 4cm Nối BD AC Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp HD: Bài 11 Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn (O) Từ điểm M tiếp tuyến A, vẽ cát tuyến MBC Gọi I trung điểm BC Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp HD: VIII ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP Định nghĩa a) Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác đgl đa giác nội tiếp đường tròn b) Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác đgl đường tròn nội tiếp đa giác đa giác đgl đa giác ngoại tiếp đường tròn Định lí Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường tròn nội tiếp Tâm hai đường tròn trùng đgl tâm đa giác Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc Chú ý: • Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh • Bán kính đường trịn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh • Cho n_ giác cạnh a Khi đó: – Chu vi đa giác: p = na (p nửa chu vi) (n − 2).180 – Mỗi góc đỉnh đa giác có số đo n 3600 n a R= 1800 1800 ⇒ a = R.sin 2sin n n a r= 1800 1800 ⇒ a = 2r.tan tan n n – Mỗi góc tâm đa giác có số đo – Bán kính đường trịn ngoại tiếp: – Bán kính đường trịn nội tiếp: – Liên hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp: R2 − r = – Diện tích đa giác đều: S= nar a2 Bài Một đường trịn có bán kính R = 3cm Tính diện tích hình vng nội tiếp đường trịn HD: a = R = 2(cm) ⇒ S = 18cm Trang 25 Bài Một đa giác nội tiếp đường tròn ( O;2cm ) Biết độ dài cạnh 3cm Tính diện tích đa giác a R= HD: 1800 ⇒ n = ⇒ S = 3(cm ) 2sin n Bài Cho lục giác ABCDEF, độ dài cạnh a Các đường thẳng AB CD cắt M, cắt đường thẳng EF theo thứ tự N P a) Chứng minh ∆MNP tam giác b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆MNP HD: a) ∆MNP có góc 600 ⇒ ∆MNP tam giác cạnh 3a b) R = a Bài Cho ngũ giác ABCDE cạnh a Hai đường chéo AC AD cắt BE M N a) Tính tỉ số bán kính đường trịn nội tiếp đường trịn ngoại tiếp ngũ giác b) Chứng minh tam giác AMN CMB tam giác cân c) Chứng minh AC.BM = a2 r a a = ÷: ÷ ≈ 0,8 HD: a) R 1800 ÷ 1800 ÷ tan ÷ 2sin ÷ b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác ⇒ » = » = » = » = » Dùng định lí AB BC CD DE EA góc đường trịn, chứng minh tam giác có hai góc AB BM = c) ∆ABM # ∆ACB ⇒ AC BC Bài Cho đường tròn (O; R) Từ điểm A đường tròn (O) vẽ cung AB, AC cho sd» = 300 , sd» = 900 (điểm A nằm cung BC nhỏ) Tính cạnh diện tích AB AC tam giác ABC HD: BC = R , AC = R , AB = R sin150 , S = R sin150 IX ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CUNG TRỊN Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường trịn) Độ dài C đường trịn bán kính R tính theo cơng thức: C = 2π R C = π d ( d = 2R ) Cơng thức tính độ dài cung trịn Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n tính theo cơng thức: π Rn l= 180 Bài Cho π = 3,14 Hãy điền vào bảng sau: Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S 94,2 28,26 HD: Bài Cho đường trịn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC ⊥ OA Biết độ dài Trang 26 đường tròn (O) 4π (cm) Tính: a) Bán kính đường trịn (O) b) Độ dài hai cung BC đường tròn HD: Bài Tam giác ABC có AB = AC = 3cm, µ = 1200 Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp ∆ABC A HD: Bài Một tam giác hình vng có chu vi 72cm Hỏi độ dài đường trịn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? HD: Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O′; R′) tiếp xúc với A Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B, cắt đường tròn (O′) C Chứng minh R′ = R độ dài cung AC nửa độ dài cung AB (chỉ xét cung nhỏ AC, AB) HD: Bài Cho đường trịn đường kính BC = R Trên đường tròn lấy điểm A cho AB = R Gọi P , P2 , P3 chu vi đường tròn có đường kính CA, AB, BC Chứng minh rằng: P P22 P32 = = HD: Bài Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn HD: Bài Cho nửa đường trịn (O; 10cm) có đường kính AB Vẽ hai nửa đường trịn đường kính OA OB nửa đường trịn (O; 10cm) Tính diện tích phần nằm ba đường tròn HD: Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC Lấy điểm A (O) cho AB < AC Vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC phía ngồi tam giác ABC Chứng minh diện tích tam giác ABC tổng hai diện tích hai hình trăng khuyết phía ngồi (O) HD: X DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN Cơng thức tính diện tích hình trịn Diện tích S hình trịn bán kính R tính theo cơng thức: S = π R2 Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n tính theo cơng thức: S= π R 2n 360 hay S= lR (l độ dài cung n hình quạt trịn) Bài Một hình vng hình trịn có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn HD: Gọi chu vi hình 4a ⇒ Shv = a2 , Sht = a2 ⇒ Sht > Shv π Bài Chứng minh diện tích hình trịn ngoại tiếp hình vng hai lần diện tích hình trịn nội tiếp hình vng π a2 π a2 ; Snội tiếp = Bài Tính diện tích hình vành khăn tạo thành bới đường trịn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp HD: Gọi độ dài cạnh hình vng a ⇒ Sngoại tiếp = Trang 27 tam giác cạnh 6cm a a Rngoaïi tiếp = = Rnội tiếp = = HD: , ⇒ S = 9π (cm2 ) 1800 1800 2sin tan 3 Bài Một tam giác cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Tính diện tích hình viên phân tạo thành cạnh tam giác cung nhỏ căng cạnh π a2 a2 − 12 Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH = 2cm Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A ta vẽ ba nửa đường trịn có đường kính BH, CH BC Tính diện tích miền giới hạn ba nửa đường trịn HD: Đặt HB = R, HC = 2r ⇒ AH = HB.HC = Rr ⇒ Rr = ⇒ S = π Rr = π (cm2 ) HD: S = BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By với nửa đường trịn Một góc vng quay quanh O, hai cạnh góc cắt Ax By C D Hai đường thẳng OD Ax cắt E Chứng minh rằng: a) AC.BD = R b) Tam giác CDE tam giác cân c) CD tiếp tuyến nửa đường tròn (O) HD: a) ∆AOC # ∆BDO ⇒ AC.BD = OA.OB = R b) ∆CDE có CO vừa đường cao, vừa trung tuyến c) Vẽ OF ⊥ CD ⇒ ∆FOD = ∆AOE ⇒ OF = OA = R ⇒ CD tiếp tuyến (O) Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, tia tiếp tuyến Ax Trên tia Ax lấy điểm M cho AM = R Vẽ tiếp tuyến MC (C tiếp điểm) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BC D a) Chứng minh BD // OM b) Xác định dạng tứ giác OBDM AODM c) Gọi E giao điểm AD với OM, F giao điểm MC với OD Chứng minh EF tiếp tuyến đường trịn (O) HD: a) ·AOM = µ ⇒ BD // OM b) OBDM hình bình hành, AODM hình chữ nhật B c) OE = R, FE ⊥ OE ⇒ EF tiếp tuyến (O) Bài Cho hai đường tròn (O) (O′) cắt A B Vẽ đường kính AOC AO′D Đường thẳng AC cắt đường tròn (O′) E Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F Chứng minh rằng: a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF HD: a) ·ABC = ·ABD = 900 b) ·CED = ·CFD = 90 c) Chứng minh FA tia phân giác (hoặc ngoài) góc F, EA tia phân giác (hoặc ngồi) góc E ∆BEF ⇒ A tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) tam giác BEF Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AT cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm A C) Gọi H hình chiếu T OA Chứng minh rằng: a) AT = AB AC b) AB AC = AH AO c) Tứ giác OHBC nội tiếp HD: a) ∆ATB # ∆ACT ⇒ AT = AB AC b) AB AC = AH AO = AT c) ∆AOC # ∆ABH ⇒ ·ACO = ·AHB ⇒ ·ACO + ·BHO = 1800 ⇒ OHBC nội tiếp Trang 28 Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Vẽ dây AD // BC Tiếp tuyến A B đường tròn cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh rằng: ·AIB = ·AOB a) b) Năm điểm E, A, I, O, B nằm đường tròn c) IO ⊥ IE HD: a) ·AIB = sd» = ·AOB b) ABOI, AOBE nội tiếp c) ·EIO = ·EAO = 900 ⇒ IO ⊥ AB IE Bài Cho hình vng ABCD Trên hai cạnh CB CD lấy hai điểm di động M N cho CM = CN Từ C vẽ đường thẳng vng góc với BN, cắt BN E AD F a) Chứng minh tứ giác FMCD hình chữ nhật b) Chứng minh nam điểm A, B, M, E, F nằm đường tròn Xác định tâm O đường tròn c) Đường trịn (O) cắt AC điểm thứ hai I Chứng minh tam giác IBF vuông cân d) Tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt đường thẳng FI K Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng HD: a) ∆FDC = ∆NCB ⇒ FD = CN = CM b) A, B, M, E, F nằm đường trịn đường kính BF O trung điểm BF c) º = º ⇒ IF = IB d) IBKC nội tiếp ⇒ ·BCK = ·BIK = 900 ⇒ ·BCK + ·BCD = 1800 IF IB Bài Cho đường tròn (O) Vẽ hai dây AC BD vng góc với I (điểm B nằm cung nhỏ AC) Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình thang cân b) Tổng diện tích hai hình quạt trịn AOB COD tổng diện tích hai hình quạt trịn AOD BOC (các hình quạt trịn ứng với cung nhỏ) HD: a) ·BDC = ·ABD ⇒ AB // CD π R2 ( ¶ π R2 ( ¶ » sđ AB + sđCD ) , Squạt AOD + Squạt BOC = sñ AD + sñ» ) BC 360 360 Bài Cho nửa đường trịn đường kính BC = 10cm dây BA = 8cm Vẽ phía ngồi tam giác ABC nửa đường trịn đường kính AB AC a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính tổng diện tích hai hình viên phân c) Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết 25 HD: a) S ABC = 24(cm ) b) Svp = π − 24(cm ) c) Stk = 24(cm2 ) Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Biết BC = 2cm, µ = 450 A a) Tính diện tích hình trịn (O) b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tam giác ABC lớn Tính diện tích lớn π −2 (cm ) HD: a) R = OB = ⇒ S = 2π (cm ) b) Svp = c) S ABC lớn ⇔ A điểm cung lớn BC Khi S ABC = + 1(cm ) b) Squaït AOB + Squaït COD = Bài 10 Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH HD: Bài 11 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M đường trịn cho góc ·MAB = 900 Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) Trang 29 b) Chứng minh MN = AH HB c) Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường trịn (O) E, tia MB cắt (B) F.Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng HD: Bài 12 Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC HD: Bài 13 Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh OA ⊥ BC tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD//OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE HD: Bài 14 Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE ⊥ AC CF ⊥ AB (E ∈ AC , F ∈ AB ), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O) HD: Bài 15 Cho đường trịn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự E F Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc DOE HD: Bài 16 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM.BN theo R HD: CHƯƠNG IV HÌNH TRỤ – HÌNH NĨN – HÌNH CẦU I HÌNH TRỤ Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABO′O vòng quanh cạnh OO′ cố định, ta hình trụ • Hai hình trịn (O) (O ′) nằm hai mặt phẳng song song đgl hai đáy hình trụ • Đường thẳng OO′ đgl trục hình trụ • Mỗi vị trí AB đgl đường sinh Các đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ Trang 30 Cắt hình trụ mặt phẳng • Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với đáy, phần mặt phẳng nằm hình trụ (mặt cắt – thiết diện) hình trịn hình trịn đáy • Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục OO′ mặt cắt hình chữ nhật Diện tích – Thể tích Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h Sxq = 2π Rh • Diện tích xung quanh: • Diện tích tồn phần: Stp = 2π Rh + 2π R • Thể tích: V = π R 2h đường cao Khi cắt hình trụ mặt phẳng qua trục mặt cắt hình chữ nhật có diện tích 50cm2 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ Bài 25.Một hình trụ có bán kính đáy ĐS: Sxq = 62,5π (cm ) , V = 62,5π (cm3 ) Bài 26.Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128π cm3 Tính diện tích xung quanh hình trụ ĐS: Sxq = 64π (cm2 ) Bài 27.Một hình trụ có bán kính đáy 3cm Biết diện tích tồn phần gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ ĐS: h = R = 3(cm) Bài 28.Một hình trụ có diện tích xung quanh 20π cm diện tích tồn phần 28π cm Tính thể tích hình trụ ĐS: V = 20π (cm3 ) II HÌNH NĨN – HÌNH NĨN CỤT Hình nón Khi quay tam giác vng vịng quanh cạnh OA cố định hình nón A • Điểm A đgl đỉnh hình nón • Hình trịn (O) đgl đáy hình nón • Mỗi vị trí AC đgl đường sinh hình nón • Đoạn AO đgl đường cao hình nón Diện tích – Thể tích hình nón O Cho hình nón có bán kính đáy R đường sinh l, chiều cao h • Diện tích xung quanh: Sxq = π Rl • Diện tích tồn phần: Stp = π Rl + π R Trang 31 C • Thể tích: V = π R 2h 3 Hình nón cụt S Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng nói mặt phẳng đáy đgl hình nón cụt O’ r A • Hai hình trịn (O) (O′) đgl hai đáy h • Đoạn OO′ đgl trục Độ dài OO′ chiều cao • Đoạn AC đgl đường sinh O R Diện tích – Thể tích hình nón cụt Cho hình nón cụt có bán kính đáy R r, chiều cao h, đường sinh l • Diện tích xung qaunh: Sxq = π ( R + r )l • Thể tích: V = π h( R + Rr + r ) l C Bài Cho tam giác ABC vuông C Biết BC = a, AC = b Quay tam giác vng vịng quanh cạnh AC BC, hình nón đỉnh A hình nón đỉnh B Hãy so sánh tỷ số thể tích hai hình nón tỷ số diện tích xung quanh hai hình nón V S ĐS: = V2 S2 Bài Một hình quạt trịn có bán kính 20cm góc tâm 1440 Người ta uốn hình quạt thành hình nón Tính số đo nửa góc đỉnh hình nón ĐS: sin a = 0,4 Bài Một hình nón có bán kính đáy 5cm diện tích xung quanh 65π cm2 Tính thể tích hình nón ĐS: V = 100π (cm3 ) Bài Một hình nón có đường sinh dài 15cm diện tích xung quanh 135π cm2 a) Tính chiều cao hình nón b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón ĐS: a) h = 12(cm) b) Stp = 216π (cm ) , V = 324π (cm3 ) Bài Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 14 cm cm , chiều cao 23 cm a) Tính dung tích xơ b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép) 9269 π (cm3 ) ≈ 9,7 lít ĐS: a) V = b) S = 621,5π (cm ) Bài Từ khúc gỗ hình trụ cao 15cm , người ta tiện thành hình nón tích lớn Biết phần gỗ bỏ tích 640π cm3 a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ b) Tính diện tích xung quanh hình nón ĐS: a) V = 960π (cm3 ) b) Sxq = 136π (cm ) III HÌNH CẦU Hình cầu Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quanh đường kính AB cố định hình cầu Trang 32 • Nửa đường trịn phép quay nói tạo thành mặt cầu • Điểm O đgl tâm, R bán kính hình cầu hay mặt cầu Cắt hình cầu mặt phẳng • Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn • Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn: – Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường trịn lớn) – Đường trịn có bán kính bé R mặt phẳng không qua tâm Diện tích – Thể tích Cho hình cầu bán kính R • Diện tích mặt cầu: • Thể tích hình cầu: V = π R3 S = 4π R Bài Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu (tính cm2 ) số đo thể tích (tính cm3 ) Tính bán kính hình cầu ĐS: R = 3(cm) Bài Một hình cầu có diện tích bề mặt 100π m Tính thể tích hình cầu 500π (m ) ĐS: V = Bài Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Ta quay nửa đường tròn nội tiếp, nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác vng ABH vịng quanh AH, hai mặt cầu hình nón Tính: a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình nón b) Tỉ số thể tích hai hình cầu nói c) Thể tích phần khơng gian giới hạn hình nón hình cẩu ngoại tiếp hình nón S V 1 a a 23 3π a3 ĐS: R = 2r; AH = a) = b) = c) V = ; OA = S2 V2 216 BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Bài Một hình cầu nội tiếp hình trụ Cho biết diện tích mặt cầu 60 cm Hãy tính: a) Diện tích tồn phần hình trụ b) Thể tích hình trụ 15 (cm3 ) π Bài Tam giác ABC vng A có BC = 2a µ = 300 Quay tam giác vuông vịng B quanh cạnh AB ta hình nón đỉnh B Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính AB ĐS: a) Stp = 90(cm ) b) V = 30 ĐS: Stp = 3π a2 = Sc Bài Người ta chia hình trịn (O;12 cm) thành hai hình quạt có số đo cung 1200 2400 Từ hai hình quạt người ta uốn lại thành hai hình nón a) Tính nửa góc đỉnh hình nón b) Tính thể tích hình nón c) Tính tỉ số diện tích tồn phần hai hình nón ĐS: a) Độ dài cung nhỏ 8π (cm) , độ dài cung lớn 16π (cm) Hình nón tạo hình quạt nhỏ có đường sinh 12 cm chu vi đáy 8π cm Trang 33 ⇒ R1 = 4(cm) ⇒ sin a = Hình nón tạo hình quạt lớn có đường sinh 12 cm , chu vi đáy 16π cm ⇒ R2 = 8(cm) ⇒ sin b = S1 64π 128 2π 256 5π = = b) V1 = (cm3 ) , V2 = (cm3 ) c) S2 160π 3 Trang 34 ... ⇒ A, B, D, E ∈ (P) b) ·ACB = ·ADB ⇒ A, B, C, D ∈ (P? ?) (P) (P? ?) có điểm chung A, B, D ⇒ (P) ≡ (P? ?) ⇒ ·BEC = ·BAC = 90 0 Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm C di động (O) Gọi M giao điểm... EC Bài 24.Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; R? ?) với R > R′ Qua điểm M (O; R), vẽ hai tiếp tuyến với (O; R? ?) Một tiếp tuyến cắt (O; R) A B (A nằm M B); tiếp tuyến cắt (O; R) C D (C nằm D M)... O N) a) Chứng minh hai đường trịn (I) (K) ln cắt b) Tiếp tuyến M đường tròn (I) tiếp tuyến N đường tròn (K) cắt C Chứng minh tứ giác OMCN hình vng c) Gọi giao điểm hai đường trịn (I), (K) A B