Hệ phương trình đại số 199 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I. HỆ BẬC NHẤT 2 ẨN: 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =    + =   1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 x c b c b D c b b c x D a b a b a b a b − = = = − ; 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 y a c D a c a c a c y D a b a b a b a b − = = = − ( ( ) 0 D ≠ Bài mẫu: Giải biện luận hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a b x a b y a a b c a b y b  + + − =   − + + =   2 2 2 2 6 ; 2 ; 2 2 2 2 2 2 x y a b a b a a b a b a D ab D a b D b ab a a b a b b a b a b b + − − + = = = = + = = + − − + + − • Nếu 0 ab ≠ thì 0 D ≠ nên hệ có nghiệm 2 2 2 2 2 2 2 ; 6 6 a b b ab a x y ab ab + + − = = • Nếu 2 2 0 ; 0 ab a b = + > thì hệ vô nghiệm • Nếu 0 a b = = thì hệ có vô số nghiệm ( , ) ,x y x y ∀ ∈ » Bài tập: 3 1 1 2 5 3 x y x y  − =     + =   ; 6 2 4 1 2 5 4 9 1 2 x y x y  − = −  − −    − =  − −  ; ( ) ( ) 2 2 3 1 3 2 2 a x a y a x y y  + − =   + − =   ; ( ) ( ) 6 2 3 1 2 ax a y a x ay  − − =   − − =   II. HỆ BẬC NHẤT 3 ẨN: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d + + =    + + =   + + =   Nếu 0 D ≠ thì hệ có nghiệm duy nhất ; ; y x z D D D x y z D D D = = = trong đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ; ; ; x y z a b c d b c a d c a b d D a b c D d b c D a d c D a b d a b c d b c a d c a b d = = = = Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 200 Bài mầu: Giải hệ phương trình: 3 1 2 1 0 3 2 1 3 5 1 1 1 2( 3) 3 3 2 2 1 5 1 3 1 12 3 2 1 y x z y x z y x z  + + − =  − −   − + + = −  − −   − + − = −  − −  1 2 3 0 2 3 1 0 3 1 2 0 3 55 5 55 3 5 110 3 5 55 1 1 1 1 1 1 ; ; ; 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 5 3 1 12 3 1 5 12 1 5 3 12 x y z D D D D − − − = − = = − − = − = − = = − − = − − − − − − − − − Vậy hệ có nghiệm 1 1 1; 1 2 ; 1 3 2 1 y x z = − + = = − − ⇔ 2 ; 3 ; 1 x y z = = = Bài tập: 2 2 1 1 1 x y z y z x y z − − = −    + =   − + + = −   ; 1 2 2 3 2 0 x y z x y z x y z − + =    + + =   + + =   ; 2 4 3 4 2 11 3 2 4 11 x y z x y z x y z − − =    + − =   − + =   ; 3 2 5 2 3 1 2 3 11 x y z x y z x y z + + =    + + =   + + =   III. HỆ CHỨA MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , , y c ax ax by c b f x y d f x c ax d b  = − + =     ⇔   =    − =   Bài mẫu: Giải hệ phương trình: ( ) 3 3 1 3 x y x y x y + = −    − = −   (1) (1) ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 1; 2 1 3 0 2 ; 1 2 0 x y x y x y x y y x x y x xy y x y x x −  = = −  = =   + = −     ⇔ ⇔ = = −  = − −      − + + − =      = − =  + − =     Bài tập: 2 2 2 2 x y m x y x + =    − + =   ; 2 2 2 7 2 7 x y m x y n + =    + =   ; 4 4 5 97 x y x y + =    + =   ; 2 2 2 7 2 2 4 x y x y x − =    − = + +   Tìm a để hệ có nghiệm ( x ; y ) với xy nhỏ nhất 2 2 2 2 1 2 3 x y a x y a a + = −    + = + −   Hệ phương trình đại số 201 IV. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1: ( ) ( ) , 0 , 0 f x y g x y  =   =   với ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , f x y f y x g x y g y x  =   =   . Phương pháp: Đặt u x y v xy = +    =   với 2 4 u v ≥ Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 3 2 x y xy xy yx  + + =    + =  (1) Đặt u x y v xy = +    =   với 2 4 u v ≥ , khi đó: (1) ⇔ ( ) 2 2 2 2 3 2 x y xy xy x y  + + =    + =  ⇔ ( ) 2 2 3 2 2 u v v u v  − =    − =  ( ) 2 2 2 2 1 3 3 4 1 1 1 2 1 3 2 x y x y u v u v u xy x y v v v v v    + = ± = = − = +   = + =     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔       = = = = ∨ = =     − =      Bài tập: 11 1 x xy y x xy y + + =    − + =   ; 2 2 4 2 x xy y x xy y  + + =   + + =   ; 2 2 2 3 2 14 x xy y x y  + + = +    + =  ; 2 2 4 2 2 4 7 21 x xy y x x y y  + + =    + + =  ; 2 2 4 2 2 4 5 13 x y x x y y  + =    − + =  ; 2 2 20 5 1 1 4 x y y x x y  + =   + =   ; 2 2 26 5 24 y x y x x y  + =    − =  ; 2 2 2 2 2 2 1 3 x y x y x y x  + =    + + =  ; 2 2 4 4 y x x y y x y x x y y x  + + + =     + + + =   ; 2 2 3 1 1 1 x y x y xy xy x y  + + =   + − =   ; 2 4 0 x x y y x xy y  + + =    + − =  ; 2 2 2 2 2 2 2 2 3 x y xy x y x y xy x y  + + =    + − =  ; 11 6 6 11 x y xy xy x y + + =    + + =   ; 2 2 5 13 x y xy x y xy − + =    + + =   ; 2 2 6 2 6 0 x x y y x xy y  − + =    − − =  ; ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 x y x y xy x y xy xy  + + = +   − + = −   ; ( ) ( ) 2 2 18 1 1 72 x y x y xy x y  + + + =   + + =   ; ( ) 3 3 2 2 3 1 1 1 1 4 1 4 x x y y x y x y xy y    + + + =        + + + =  Tìm m để hệ có nghiệm: 2 2 x xy y m x y m + + =    + =   ; 2 2 1 3 8 x xy y m x y xy m + + = +    + = −   Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 202 V. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2: ( ) ( ) , 0 , 0 f x y g x y  =   =   với ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , f y x g x y g y x f x y  =   =   . Phương pháp: ( ) ( ) ( ) , 0 , , 0 f x y f x y g x y  =   − =   Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 x x y y y x  = +    = +  (1) ĐK: 0 0 x y ≥   ≥  ; (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 0 3 2 3 2 x y y x x y x xy y x y y y x y y x     − = − − + + + + =     ⇔     = + = +   ⇔ ( ) 2 2 3 2 3 2 2 3 0 3 0 3 2 x y x xy y x y x x y y x  =  + + + + =   ∨   + =   = +   ⇔ 0 1 3 x y x y = =    − = =   (Chú ý: 0 0 x y ≥   ≥  ) Bài tập: Tìm m để các hệ phương trình sau đều có nghiệm duy nhất: 2 2 1 1 x y mxy y x mxy  + = +    + = +  ; 2 2 2 2 2 2 m x y y m y x x  = +     = +   ; 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x mx x y y my  = − +    = − +  VI. HỆ ĐẲNG CẤP BẬC 2: 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a x b xy c y d a x b xy c y d  + + =    + + =  Phương pháp: Xét 0 y = ; xét 0 y ≠ , khi đó đặt x ty = và GPT bậc 2 ẩn t Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 3 5 4 38 5 9 3 15 x xy y x xy y  + − =    − − =  (1) Do 0 y = không là nghiệm của (1) nên đặt x ty = , khi đó (1) ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 5 4) 38 (3 5 4) 38 (3 5 4) 38 (5 9 3) 15 15(3 5 4) 38(5 9 3) 145 417 54 0 t t y t t y t t y t t y t t t t t t    + − = + − = + − =    ⇔ ⇔       − − = + − = − − − − =    2 2 2(3 5 4) 38 1; 3 38 38 18 1; 3 3 3 145 t t y y x y y x t t t  + − =  = =  =   ⇔ ⇔ ⇔    = − = − = ∨ = − =      Hệ phương trình đại số 203 Bài tập: 2 2 2 2 2 3 9 2 2 2 x xy y x xy y  + + =    + + =  ; 2 2 2 2 6 2 56 5 49 x xy y x xy y  − − =    − − =  ; 2 2 5 2 5 2 2 x xy y y x x y xy  + − =   − − + =   ; 2 2 2 3 0 2 x xy y x x y y  + − =   + = −   ; 2 2 2 2 3 1 x y xy x y xy  + + =    − + =  ; ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 x x y y y x y x  + =     − =   ; 2 2 2 2 1 2 2 x y xy x xy  − − =    + =  ; Tìm m để hệ 2 2 2 2 4 3 2 2 3 8 2 4 5 4 4 12 105 x xy y x xy y m m m  − − =    + + = − + − +  có nghiệm. VII. HỆ BẬC 2 MỞ RỘNG ( ) ( ) , 0 , 0 f x y g x y  =   =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , 0 , 0 , , 0 0 f x y f x y f x y g x y ax by c px qy r   = =   ⇔ ⇔   α + β = + + + + =     Bài tập. 2 2 2 4 2 2 0 3 6 3 0 x xy x y x xy x y  + − − + =    + − + =  ; ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 6 1 3 2 2 3 x y x y x y x y  + + + − =   − + + + =   ; 2 2 2 3 4 6 4 4 12 3 xy x y x y x y + + = −    + + + =   ; 2 2 2 2 2 3 0 3 1 0 x xy y x xy y y  + + + =    + + + =  ; 2 2 2 2 2 8 6 0 4 1 0 x y x y x xy x  + + + + =    + + + =  ; 2 2 2 2 2 5 2 1 0 4 12 12 10 0 x xy y x y x xy y x y  + + + + + =    + + + + + =  ; 2 2 2 2 2 4 2 3 3 2 0 3 32 5 0 x xy y x y x y  + + + + − =    − + =  ; VIII. HỆ ĐỒNG BẬC Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 3 1 2 2 x y x y xy y  + =    + + =  (1) (1) ⇔ ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 1 0 2 2 x y x y x x x x y xy y x y y y y  + =  + =    ⇔         − − + =   + + = +                ⇔ { } ( ) 3 3 3 3 3 3 1 2. 3 3 1 1 ; ; , ; 1 3 3 2 2 1; 1; 2 x y x y x y  + =          ⇔ ∈              ∈ −     Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 204 Bài tập. 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y  + =    + = +  ; 2 2 8 8 10 10 1x y x y x y  + =    + = +  ; ( )( ) 3 3 2 2 2 9 2 3 3 x y x y xy x xy y  − = − +    − + =  ( ) 2 2 5 5 5 11 x y x y x y  + =    + = +  ; 3 2 3 2 3 4 3 4 x x y y y x  + =    + =  ; ( ) 3 3 9 6 x y xy x y  + =   + =   ; 3 2 3 2 3 20 3 7 x x y y y x  + =    + =  ; IX. SỬ DỤNG PHÉP CỘNG VÀ PHÉP THẾ Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x  + + = +   + = +   (TSĐH 2008) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 4 0; 4 6 6 2 9 2 9 4 17 1 1 6 6 1 6 6 6 6 2 4 2 2 x x x x x x x xy x xy x x y xy x x xy x x   = − = = − + + = +   + = +     ⇔ ⇔ ⇔     = + − = = + −     = + −     Bài tập. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 7 175 x y x y x y x y  − − =    + + =  ; 2 2 4 2 3 2 2 x xy y xy  + =    + = −  ; 3 3 3 2 2 1 2 2 x y y x x y y  + =   + =   ; ( ) 3 3 5 5 2 6 30 32 x y xy x y x y xy  + + + =    + + =  ; ( ) 3 3 6 18 27 x x y x y y  + =    + + =  ; 2 2 3 3 2 2 2 x y x y xy x y  + =    + + = +  ; 2 2 3 1 2 x y xy x x y  + − =    = +  ; 2 2 3 3 3 2 2 x y xy x y y x  + + =    + = +  ; 3 3 5 5 1 0 y x x y xy  − =    − + =  ; 2 4 3 2 2 2 0 2 2 1 x y xy x y xy  + − =    + − =  X. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Bài mẫu: Giải hệ phương trình: ( ) 3 3 2 2 3 1 1 1 1 4 1 4 x x y y x y xy x y y    + + + =        + + + =  (1) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 1 1 1 1 1 4 4 2 1 1 1 1 1 1 2 4 4 x x x x x y y y y y x y x x x x x x y y y y y y            + + + = + + + = + =                =        ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     =       + =    + + = + + + =                   Bài tập: 2 2 3 0 2 0 xy y x y x xy y  + + − =    + − =  ; ( ) ( ) 5 5 3 3 2 2 7 31 3 x y x y x xy y  + = +    + + =  ; 2 2 2 2 2 3 1 x x y x y  + − =    + =  ; Hệ phương trình đại số 205 1 3 1 3 1 2 1 2 x y x xy x x y y xy y −  − =  − −   + −  =  + −  ; ( ) 2 2 1 1 4 1 4 x y xy x y xy xy xy    + + =        +  + + =   ; 1 13 1 12 y x xy xy y x y x xy xy y x  + + + =     − − + =   ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y x x x y x y xy  + + =    − + =  ; ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 1 x y x y xy x  + =    + = −  ; ( ) 2 2 3 2 2 1 2 6 1 x y x xy  + =    + =  ; 3 2 2 2 3 3 1 x xy y x y  + =    + =  ; 3 3 3 3 3 2 2 3 x y xy x y x y  + =    + =  ; ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 18 1 208 x y xy xy x y x y x y  + + =    + + =  ; 2 2 10 3 5 x y x y x y x y x y + −  + =  − +   + =  ; ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 1 y x x y x y x y    + + + =           + = + +       ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 24 y x x y x y x y  + = +      + + =        ; ( ) 1 1 5 1 4 x y xy xy xy    + + =         + =   ; ( ) ( ) 2 2 2 1 1 6 1 1 18 x y xy x y xy    + + =           + + =       ; ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 1 1 9 1 1 27 x y xy x y xy    + + =           + + =       ; 2 2 2 2 4 1 1 4 x y x y xy y x x y x y  + + + =    + + + =    ; ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 15 85 y x x y y x y x x y y x    + + =          + + =       ; ( ) 2 2 2 3 1 1 1 1 6 y x x y x y xy  + =  + +      + + =       ; ( ) ( ) 2 2 2 2 6 2 0 1 1 8 xy x y x y x y xy  + − + + =      + + =        ; XI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 ẨN VỚI DẠNG TỔNG, TÍCH CƠ BẢN: ; u v a uv a v w b vw b w u c wu c + = =     + = =     + = =   Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 1 0 1 2 1 2 xy y yz z x y xz z x + + =   + + = −   + + =  (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 3 x y x y z x z x x  + + =  + + =   + + =  ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ; 1 1 1 0 1 2 1 3 1 2 1 x y z x y x z x y x = = = −    + + = ≠    + = +     + = +   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ; 1 0 2 1 3 0 1 3 1 2 1 1 1 2 1 x y z x x x y y x z z x = = = −   =   + = ≠   ⇔ = −    + = +    = −    + = +   Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 206 Bài tập: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 187 154 238 x y y z y z z x z x x y  + + =   + + =    + + =  ; 9 1 1 1 1 27 x y z x y z xy yz zx + + =    + + =    + + =  ; 1 4 9 x xy y y yz z z zx x + + =    + + =   + + =   ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 45 63 54 x y x y z y z x y z z x x y z  + + + =   + + + =    + + + =  ; ( ) ( ) ( ) 5 6 7 12 3 4 xy x y yz y z zx z x  = +   = +    = +  ; 2 2 2 x y xy y z yz z x zx + =    + =   + =   ; ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 xy z x z yz x y x zx y z y  + =  + =   + =  2 2 2 x y z y z x z x y  + =    + =    + =   ; 6 5 12 7 4 3 xy x y yz y z zx z x  =  +     = +    =  +  ; 24 5 24 7 4 xyz x y xyz y z xyz z x  =  +    =  +    =  +  ; 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 4 x y z y z x z x y  + =  +   + =  +   + =  +  ; 1 2 1 3 1 4 yz x y z zx y z x xy z x y  + =  +    + =  +    + = +   ; 2 2 2 4 2 0 2 2 0 2 1 0 x yz z x xy z zx y y  + + =   + + =    + + + =  ; 2 2 2 2 7 21 x y z x y z xz y + + =    + + =    =  ; 2 2 2 6 18 4 x y z x y z x y z + + =    + + =    + + =  ; 2 3 4 x y xy y z yz z x zx + + =   + + =   + + =  ; 2 2 2 2 2 2 x yz x y zx y z xy z  + =  + =   + =  ; xyz x y z yzt y z t ztx z t x txy t x y = + +   = + +   = + +   = + +  ; 2 3 2 3 2 3 0 0 0 a x ay z a b x by z b c x cy z c  + + + =   + + + =    + + + =  ; 2 2 2 2 2 2 a x ay z a b x by z b c x cy z c  + + =   + + =    + + =  ; XII. HỆ CHỨA CĂN THỨC Bài mẫu: Giải hệ phương trình: 30 35 x y y x x x y y  + =    + =  (1) (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) 3 30 3 35 xy x y x y xy x y  + =    + − + =  ⇔ 3 30 3 35 uv u uv =    − =   (với u x y v xy  = +   =   ) ⇔ 3 30 5 5 4 9 6 9 4 125 6 uv x y u x x v y y u xy  = + =  = = =         ⇔ ⇔ ⇔ ∨      = = = =     =      Hệ phương trình đại số 207 Bài tập: ( ) 3 3 1 y x x x y x  + + =    + = +  ; 1 1 1 1 1 x x y y xy y x  + + =     + + + − =   ; 2 2 x x y y xy x y  + =    + =  ; 2 2 1 2 x y x y x y  + =    + + − =  ; ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 2 3 6 x y x y xy x y  + = +    + =  ; 2 2 1 x x x y y x y x y  + + − + =    + = − +  ; 2 2 1 1 x y x y x y x y  + + − = + −    + =  ; 4 3 3 5 4 5 35 5 x y x y  + =    + =  ; 2 4 4 32 3 32 6 24 x x y x x y  + − − = −    + − + =  ; 3 3 4 4 1 1 x y x y  + =    + =  ; 5 2 10 y x y x x y  + =    + =  ; 1 3 x xy x y xy x y  + = +    + + =  ; 7 1 78 y x y x xy x xy y xy  + = +     + =   ; 2 2 3 3 y x y x x y xy  + =    − + =  ; 1 7 4 1 7 4 x y y x  + + − =    + + − =  ; 9 7 4 9 7 4 x y y x  + + − =    + + − =  ; 4 4 1 1 1 1 x y y x  + − =    + − =  ; 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 x y y x x x y y  − + − =    − − − =  ; 2 2 2 2 1 1 x y x y x y x y  + − − =    + + − =  ; 2 2 2 2 2 4 x y x y x y x y  + − − =    + + − =  ; 2 2 2 2 x y x y  + − =    − + =  ; 2 3 3 4 x y x y  + =    + + + =  ; 5 2 7 5 2 7 x y y x  + + − =    + + − =  ; 2 2 2 2 1 1 18 1 1 2 x y x x y y x y x x y y x y x y  + + + + + + + + + =    + + + + + + + − − =  ; 2 2 2 8 2 4 x y xy x y  + + =    + =  ; Tìm a để các hệ sau có nghiệm: 1 2 3 x y a x y a  + − + =    + =  ; 4 1 4 3 x y x y a  − + − =    + =  ; 2 2 2 3 5 5 3 x y a y x x a  + + =    + + = + + −  ; ( ) 2 2 1 1 1 1 x y a x y x y xy  + − − + − =    + = +  Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 208 XIII. HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH Bài 1. Giải hệ phương trình: a. 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 x y y y y z z z z x x x  + = + +   + = + +    + = + +  (1) b. 2 2 2 1 1 1 x y y z z x  = +  = +   = +  (2) a. Xét hàm ( ) 3 2 f u u u u = + + ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 2 1 0 , f u u u u u u ′ = + + = + + ≥ ∀ suy ra hàm ( ) f u đồng biến u ∀ ∈ » . Không mất tính tổng quát giả sử x y z ≥ ≥ ⇒ ( ) ( ) ( ) f x f y f z ≥ ≥ ⇔ 2 1 2 1 2 1 z x y z x y x y z + ≥ + ≥ + ⇔ ≥ ≥ ⇒ = = Khi đó hệ (1) ⇔ ( )( ) 2 3 2 1 1 2 1 1 1 0 x y z x y z x y z x y z x x x x x x = =  = =  = = =    ⇔ ⇔     = = = − + = + +   − + =    b. Do 2 2 2 , , 0 x y z ≥ nên 1 0; 1 0; 1 0 y z x + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ , , 1 x y z ≥ − . • Nếu 0 x ≥ thì 2 2 1 1 0 1 1 0 z x z y z y = + ≥ ⇒ > ⇒ = + > ⇒ > . Không mất tính tổng quát giả sử 0 x y z ≥ ≥ > ⇒ 2 2 2 0 x y z ≥ ≥ > ⇒ 1 1 1 y z x + ≥ + ≥ + y z x ⇔ ≥ ≥ suy ra x y z = = và 2 1 x x = + ⇒ 1 5 2 x y z + = = = • Nếu 1 0 x − ≤ ≤ thì 2 2 1 1 0 1 1 0 y x y z y z + = < ⇒ ≤ ⇒ + = < ⇒ ≤ . Không mất tính tổng quát giả sử 1 0 x y z − ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ 2 2 2 0 x y z ≥ ≥ > ⇒ 1 1 1 y z x + ≥ + ≥ + y z x ⇔ ≥ ≥ suy ra y z = thế vào hệ suy ra 1 5 2 x y z − = = = Kết luận: Hệ đã cho có 2 nghiệm 1 5 2 x y z + = = = ; 1 5 2 x y z − = = = Bài tập: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 x y y y y z z z z x x x  = + + −   = + + −    = + + −  ; 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 5 2 x y y y z z z x x  = + +   = + +    = + +  ; 3 2 3 2 3 2 6 12 8 0 6 12 8 0 6 12 8 0 x y y y z z z x x  − + − =   − + − =    − + − =  ; 3 2 3 2 3 2 9 27 27 0 9 27 27 0 9 27 27 0 x y y y z z z x x  − + − =   − + − =    − + − =  ; ; ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 3 ln 1 3 3 ln 1 3 3 ln 1 x x x x y y y y y z z z z z x  + − + − + =   + − + − + =    + − + − + =  ; ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 1 4 1 4 1 4 x x y y z z y z x + + +  =     =   =   [...]...   z y + 2− y  2y −1 y + 4 1− y    3z 4 + 2 = 5  2z x =  z z2 x=  x =   4 x6  z + 2−z  z + 1− z  2z − 1  213 Chương VI Phương trình và b t phương trình XVII GI I H i s – Tr n Phương B NG PHƯƠNG PHÁP HÌNH H C Bài 1 Tìm a  x +1 + y + 2 = a  h phương trình  có nghi m v  x + y = 3a  6a+6 N u a < 0 thì h vô nghi m Xét a ≥ 0: u , v ≥ 0 u = x + 1 ≥ 0    t  H ⇔ u + v = a v = y... 4 2 bx a + bxy + x 2 y = 1 e + ( a + 1) by = a ( a − 1) x 3 + y 2 = 1    212 H phương trình XVI GI I H B NG PHƯƠNG PHÁP is ÁNH GIÁ  x + x + y + 4 = 2 Bài 1 Gi i h phương trình  y + y + x +1 =1  T i u ki n x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ y + 4 ≥ 2 ; x + 1 ≥ 1 và h ⇔ x = y = 0 2  2 2  x y − 2x + y = 0 Bài 2 Gi i h phương trình  2 3 2 x − 4 x + 3 + y = 0  2x 2x  2  2  y = −1  y = 1 + x 2 ≤ 1 ⇒ −1 ≤... = 1 214 H phương trình XVIII GI I H is B NG PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC 2 2  x 1 − y + y 1 − x = 1 Bài 1 Gi i h phương trình  (1 − x ) (1 + y ) = 2  t x = cos α ; y = cos β ; α, β∈ [ 0; π] thì h i u ki n: −1 ≤ x; y ≤ 1 π π   sin ( α + β) = 1 x = 0  α + β = α = 2 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (1 − cos α ) (1 + cos β) = 2 sin α − cos α − sin α cos α − 1 = 0 β = 0 y =1    Bài 2 Gi i h phương trình: {2... 2 2  x − ( 2a + 5) x + a + 5a + 6 ≥ 0  x 2 − 2x + 1 − a ≤ 0   2 2  x − ( 2a + 1) x + a + a ≤ 0   x 2 − 3x − 4 ≤ 0   3 2  x − 3x x ≥ a + 15a  215 Chương VI Phương trình và b t phương trình XX M T S H i s – Tr n Phương PHƯƠNG TRÌNH TRONG THI TUY N SINH I H C & CAO NG  x 2 + y + x 3 y + xy 2 + xy = − 5  4 Bài 1 (TS H 2008 – kh i A) Gi i h PT:  (1) 4 2 (1 + 2 x ) = − 5  x + y + xy  4 u... Phương trình và b t phương trình i s – Tr n Phương  x + y − xy = 3  Bài 6 (TS H 2006 – Kh i A) Gi i h PT   x +1 + y +1 = 4  Gi i i u ki n: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ 0 t t = xy ( t ≥ 0 ) thì t 2 = xy Ta có:   x + y − xy = 3    x + y = 3 + xy x + y = 3 + t ⇔ ⇔  2  x + 1 + y + 1 = 4 ( x + 1 + y + 1 ) = 16  x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = 16    Thay xy = t 2 , x + y = 3 + t vào phương trình. .. 2 + 2 xy − 7 y 2 = −1   ⇔ ⇔ ( x, y ) ∈ −3 ; 1 , 3 ; − 1  2 2 2 2 2 2 2 3 x + 10 xy − 5 y = −2 ( x + 3 y ) = 0   {( T )( )} ó suy ra h b t phương trình ã cho có nghi m K t lu n: H b t phương trình có nghi m ⇔ a < −1 2 x + x = y + x 2 + a  h phương trình có nghi m duy nh t:  x 2 + y 2 =1  Bài 2 Tìm a i u ki n c n: N u ( x, y ) là m t nghi m thì ( − x, y ) cũng là nghi m c a h nên h có nghi...H phương trình XIV H is PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT  x log y z + z log y x = 512   Bài m u: Gi i h phương trình:  y log z x + x log z y = 8  log y log z z x + y x = 2 2  S d ng công th c a log m b = b log m a ⇒ x log y z = 256 ; y log z x = 4 ; z log... 9  x  2 ( log x y + log y x ) = 5  2 + 2 = 8   x ; y   xy = 8   log 2 x + log 2  5 log 2 x = log 2 y 3 − log  ;  log y + log 2 x = 8 y =3  2 3 2 ; 209 Chương VI Phương trình và b t phương trình i s – Tr n Phương log x ( 3 x + 2 y ) = 2 log a x + log a y + log a 4 = 2 + log a 9 log 4 x − log x y = 7    6 ;  ;   log y ( 3 y + 2 x ) = 2  x + y = 5a  xy = 16     1 log x... − log y = 0 3 2 x + y + 3 x +3 y = 3  x2 − y2 = a 3 3    ; 2 ;   3 x +3 y 3 y + 1 log 2 x + y log 3 x − y = b  x 3 + y 2 − ay = 0 = 3 a −2 x   3  () 211 Chương VI Phương trình và b t phương trình XV H i s – Tr n Phương I U KI N C N VÀ  x 2 + 2 xy − 7 y 2 ≥ 1 − a (1)  1+ a h có nghi m:  3 x 2 + 10 xy − 5 y 2 ≤ −2 ( 2 )  Bài 1 Tìm a 2 Nhân hai v c a (1) v i (–2) r i c ng v i (2) ta... x − 2 y − 1) = 0  i u ki n: x ≥ 1, y ≥ 0 H phương trình ⇔  x 2 y − y x − 1 = 2x − 2 y  T (1) (2) i u ki n suy ra x + y > 0 nên (1) ⇔ x − 2 y − 1 = 0 ⇔ x = 2 y + 1 ( 3) Thay (3) vào (2) ta ư c ( y + 1) 2 y = 2 ( y + 1) ⇔ y = 2 (do y + 1 > 0 ) ⇒ x = 5 V y nghi m c a h là ( x; y ) = ( 5; 2 )  y2 + 2 3y =   x2 Bài 3 (TS H 2003 – Kh i B) Gi i h phương trình  2 3 x = x + 2  y2  Gi i 3 yx 2 =