Đang tải... (xem toàn văn)
Số phức ôn thi đại học
Số phức 287 SỐ PHỨC I. TRƯỜNG SỐ PHỨC VÀ SỐ PHỨC 1. Trường số phức Trường số phức ( ) { } , ,a b a b= ∈ là tập hợp 2 × = mà trên đó xác lập các quan hệ bằng nhau và các phép toán tương ứng sau đây: i ) Phép cộng: ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) ii) Phép nhân: ( a , b ). ( c , d ) = ( ac − bd , ad + bc ) iii) Quan hệ bằng nhau: ( a , b ) = ( c , d ) ⇔ a = c và b = d iv ) Phép đồng nhất: ( a , 0) ≡ a ; (0, 1) ≡ i 2. Số phức Giả sử ( ) ,z a b = ∈ , với a , b ∈ R . Sử dụng phép cộng và phép nhân ta có: z = ( a , b ) = ( a , 0) + ( b , 0). (0, 1) = a + b i; i 2 = (0, 1). (0, 1) = ( − 1, 0) ≡ − 1 i z a b = + là dạng đại số của số phức, trong đó i gọi là đơn vị ảo. 3. Phần thực và phần ảo của số phức Giả sử i z a b = + ∈ , a , b ∈ R , khi đó a gọi là phần thực, b là phần ảo của z . Kí hiệu: Re( z ) = a ; Im( z ) = b . Tính chất: Nếu i z a b = + ; z 1 = a 1 + b 1 i ; z 2 = a 2 + b 2 i , a , b , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 ∈ R + ) z 1 = z 2 ⇔ a 1 = a 2 và b 1 = b 2 ⇔ Re( z 1 ) = Re( z 2 ) và Im( z 1 ) = Im( z 2 ) + ) Re( z 1 + z 2 ) = Re( z 1 ) + Re( z 2 ) ; Im( z 1 + z 2 ) = Im( z 1 ) + Im( z 2 ) + ) Re( λ z ) = λ Re( z ), ∀λ ∈ R ; Im( λ z ) = λ Im( z ), ∀λ∈ R . 4. Các phép toán về số phức Cho z 1 = a 1 + b 1 i ; z 2 = a 2 + b 2 i , với a 1 , b 1 , a 2 , b 2 ∈ R . Khi đó ta có: z 1 + z 2 = ( a 1 + b 1 i) + ( a 2 + b 2 i) = ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 )i z 1 − z 2 = ( a 1 + b 1 i) − ( a 2 + b 2 i) = ( a 1 − a 2 ) + ( b 1 − b 2 )i z 1 . z 2 = ( a 1 + b 1 i). ( a 2 + b 2 i) = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 )i ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i i i a b a b z a a b b a b a b z a b a b a b a b + − + − = = + + − + + , ∀ z 2 ≠ 0 ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − −− − Trần Phương 288 5. Số phức liên hợp Cho i z a b = + , với a , b ∈ R , khi đó i z a b = − gọi là số phức liên hợp với z . Tính chất: + ) ,z z z = ∀ ∈ ; z z z = ⇔ ∈ ; i z z z = − ⇔ ∈ + ) ( ) 2 Re z z z + = ; ( ) 2 Im i z z z − = ; ( ) ( ) 2 2 Re Im z z z z ⋅ = + + ) 1 2 ,z z ∀ ∈ : 1 2 1 2 z z z z + = + ; 1 2 1 2 z z z z ⋅ = ⋅ ; 1 1 2 2 z z z z = , ∀ z 2 ≠ 0 6. Môđun của số phức ĐN: Cho iz a b = + ∈ , với a , b ∈ R , khi đó môđun của z là 2 2 z a b = + Tính chất: + ) 2 ; ; 0 z z z z z z = ⋅ = ≥ ; 0 0 z z = ⇔ = + ) 1 2 ,z z ∀ ∈ : 1 2 1 2 z z z z ⋅ = ⋅ ; 1 1 2 2 z z z z = , ∀ z 2 ≠ 0 + ) 1 2 ,z z ∀ ∈ : 1 2 1 2 z z z z + ≤ + ; 1 2 1 2 z z z z − ≤ − 7. Dạng lượng giác của số phức Ta thấy tồn tại phép tương ứng 1 − 1 giữa các phần tử của và các điểm nằm trên mặt phẳng 2 nên có thể đồng nhất với 2 . Khi đó tất cả các số phức z = a + bi được tương ứng với điểm z = ( a , b ) trên mặt phẳng tọa độ Đềcác Oxy. Với z = a + bi ≠ 0 ( a , b ∈ ), kí hiệu 2 2 r z a b = = + Góc ϕ là góc định hướng tạo bởi Oz với chiều dương trục Ox được gọi là Argument của z . Nếu ϕ là một Argument của z , thì tập hợp tất cả các Arguments của z là Argz = {ϕ + k2 π , k ∈ } . Nếu ϕ là một Argument của z thoả mãn 0 2 ≤ ϕ < π , thì ϕ được gọi là Argument chính của z và được kí hiệu là argz, khi đó ta có: arg 2 ,Arg z z k k = + π ∈ . Vì a = r cos ϕ ; b = r sin ϕ , nên dạng lượng giác của z là z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) z O y x b a ϕ Số phức 289 Tính chất : z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ; z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) ; z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 z z r r cos i sin = ϕ + ϕ + ϕ +ϕ ; ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 2 z r cos isin z r = ϕ −ϕ + ϕ − ϕ ,z 2 ≠ 0 ( ) cos i sin n n z r n n = ϕ + ϕ ; 2 2 cos sin , 0, 1 n n z r k i k k n n n n n ϕ ϕ π π = + + + = − Hệ quả (Công thức Moivre ): ( ) cos sin cos sin n i n i n ϕ + ϕ = ϕ + ϕ , n ∀ ∈ 8. Hàm số mũ phức Định nghĩa: ∀ z = x + y i ∈ , ( x , y ∈ R ), thì ( ) ( ) e e cos isin z x f z y y = = + Tính chất: e z ≠ 0, ∀ z ∈ C ; 1 2 1 2 1 2 1 2 e e e ; e / e e z z z z z z z z + − = = , ∀ z 1 , z 2 ∈ C 9. Hàm lượng giác phức Từ định nghĩa hàm số mũ phức suy ra: Công thức Euler: i i e cos i sin ; e cos isin x x x x x x − = + = − , ∀ x ∈ R Hệ quả: ( ) ( ) ( ) i i i i 1 1 cos e e ; sin e e , * 2 2i x x x x x x x − − = + = − ∀ ∈» Do các vế phải của các đẳng thức (*) cũng xác định khi thay thế x ∈ bởi z ∈ , nên ta có các định nghĩa tương ứng của các hàm số phức sin, cosin, tang, cotang: ( ) i i 1 cos e e 2 z z z − = + ; ( ) i i 1 sin e e 2i z z z − = − i i i i sin e e 1 tan cos i e e z z z z z z z − − − = = ⋅ + ; i i i i cos e e cot i sin e e z z z z z z z − − + = = ⋅ − 10. Hàm Hypebolic phức ( ) 1 ch e e 2 z z z − = + ; ( ) 1 sh e e 2 z z z − = − sh e e th ch e e z z z z z z z − − − = = + ; ch e e coth sh e e z z z z z z z − − + = = − ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − −− − Trần Phương 290 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC 1. Dạng 1. Biểu diễn một số phức dưới dạng lượng giác Dạng lượng giác ( ) cos sin z r i = ϕ + ϕ , với 0 r > . Bài mẫu. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác ( ) ( ) 1 3 1 1 3 1 sin cos 1 2 2 i i i z i i i − − + = ϕ + ϕ + + 1. 2. 3. 4. ( )( ) 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin i i i i − ϕ − ϕ − ϕ − ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ 5. 6. Giải 1. Ta có: ( ) ( ) 1 3 2 cos sin ; 3 3 i i π π − = − + − 1 2 cos sin 4 4 i π π + = + suy ra: Sử dụng z 1 . z 2 = ( a 1 + b 1 i). ( a 2 + b 2 i) = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 )i ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 2 cos sin 12 12 i i i π π − + = − + − 2. Sử dụng ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i i i a b a b z a a b b a b a b z a b a b a b a b + − + − = = + + − + + , ∀ z 2 ≠ 0 suy ra ( ) ( ) 1 3 7 7 2 cos sin 1 12 12 i i i − π π = − + − + 3. Ta có 1 1 2 2 4 i i − = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 cos sin cos sin 4 4 4 4 4 4 i i π π π π = − = − + − 4. Biến đổi sin cos z i = ϕ + ϕ thành dạng lượng giác ( ) ( ) cos sin 2 2 z i π π = − ϕ + − ϕ 5. Xét 1 cos sin 1 cos sin i z i − ϕ − ϕ = = + ϕ + ϕ 2sin sin .cos 2 2 2 2 cos cos .sin 2 2 2 i i ϕ ϕ ϕ − ϕ ϕ ϕ + tg 2 i ϕ = − − Nếu tg 0 2 ϕ > , thì dạng lượng giác là ( ) ( ) tg cos .sin 2 2 2 z i ϕ π π = − + − − Nếu tg 0 2 ϕ < , thì dạng lượng giác là ( ) tg cos .sin 2 2 2 z i ϕ π π = − + . − Nếu tg 0 2 ϕ = , thì số phức z không có dạng lượng giác xác định. Số phức 291 6. Xét số phức ( ) ( ) 1 cos sin 1 cos sin z i i = − ϕ − ϕ + ϕ + ϕ 4sin cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 2 z i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = − + ( ) 2 2 2sin sin cos sin cos cos sin 2sin sin cos 2 2 2 2 2 2 i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = ϕ + − − = ϕ ϕ − ϕ − Nếu sin 0 ϕ > thì dạng lượng giác là ( ) ( ) 2sin cos .sin 2 2 z i π π = ϕ ϕ − + ϕ − − Nếu sin 0 ϕ < thì dạng lượng giác là ( ) ( ) 2sin cos .sin 2 2 z i π π = − ϕ ϕ + + ϕ + − Nếu sin 0 ϕ = , thì do 0 z = , nên không có dạng lượng giác xác định. 2. Dạng 2. Các bài tập về argument của số phức Bài mẫu. Tìm một argument của mỗi số phức sau: 1. 5 5 3 z i = − + 2. ( ) 1 sin cos ; 0 2 z i π = − ϕ + ϕ < ϕ < 3. ( ) ( ) 2 cos sin cos sin z i i = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ Giải 1. Số phức 5 5 3 z i = − + biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ O xy là điểm M ( ) 5; 5 3 − Gọi MOx = ϕ là một argument của z thì 5 3 tg 3 5 M M y x ϕ = = = − − ⇒ 2 3 π ϕ = 2. Xét số phức ( ) 1 sin cos , 0 2 z i π = − ϕ + ϕ < ϕ < ( ) ( ) 2 1 cos sin 2 sin 2sin cos 2 2 4 2 4 2 4 2 z i i ϕ ϕ ϕ π π π π π = − − ϕ + − ϕ = − + − − 2sin sin cos 2sin cos sin 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π π π π π = − − + − = − + + + Do 0 2 π < ϕ < nên 2sin 0 4 2 ϕ π − > ⇒ ( ) ( ) ( ) 2sin cos sin 4 2 4 2 4 2 z i ϕ ϕ ϕ π π π = − + + + là dạng lượng giác của số phức z . Vậy 4 2 ϕ π + là một argument của số phức z. 3. Xét số phức ( ) ( ) 2 cos sin cos sin z i i = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ( ) 2 2 cos sin 2sin cos cos sin i = ϕ − ϕ + ϕ ϕ + ϕ + ϕ ( ) ( ) cos 2 cos 2sin cos sin i = ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ 3 3 3 3 2 cos cos 2 sin cos 2 cos cos sin 2 2 2 2 2 2 2 i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + = + (1) ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − −− − Trần Phương 292 i Nếu cos 0 2 ϕ > thì z = 3 3 2 cos cos sin 2 2 2 i ϕ ϕ ϕ + là dạng lượng giác của số phức z . Vậy 3 2 ϕ là một argument của số phức z. i Nếu cos 0 2 ϕ < , thì từ (1) ta có 3 3 2cos cos sin 2 2 2 z i ϕ ϕ ϕ = − +π + +π là dạng lượng giác của số phức z . Vậy 3 2 ϕ + π là một argument của số phức z. i Nếu cos 0 0 2 z ϕ = ⇒ = ⇒ argument của số phức z không xác định. 3. Dạng 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ Bài 1. Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn: a. 3 5 z z + + = b. 1 2 z z i − + − = c. ( ) ( ) 2 z i z − + là số thực tùy ý d. ( ) ( ) 2 z i z − + là số ảo tùy ý e. 2 2 z i z z i − = − + f. ( ) 2 2 4 z z − = Giải Đặt z x iy z x iy = + ⇒ = − a. 3 5 2 3 5 1; 4 z z x x x + + = ⇔ + = ⇔ = = − (hai đường thẳng 1; 4 x x = = − ) b. ( ) ( ) 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1 2 2 z z i i y y y− + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − = ± ⇔ 1 2 2 2 y ± = . Vậy tập hợp là hai đường thẳng 1 2 2 2 y − = và 1 2 2 2 y + = c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 z z i z x iy x i y x x y y i x y xy ′ = − + = − − + − = − + − + − − − ( ) ( ) 1 2 1 0 2 2 0 1 2 z x y xy x y y x − ′ ∈ ⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = + d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 1 2 2 1 0 1 2 4 z z i z i x x y y x y ′ = − + ∈ ⇔ − + − = ⇔ − + − = ⇒ Tập hợp điểm là đường tròn tâm ( ) 1 1; 2 I bán kính 5 2 . e. 2 2 z i z z i − = − + ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 1 x i y i y x y y + − = + ⇔ + − = + ( ) ( ) 2 2 2 1 1 4 x y y y ⇔ = + − − = ⇒ Tập hợp điểm là đường parabol 2 4 x y = . f. ( ) 2 2 4 z z − = ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 x y ixy x y ixy − + − − − = ⇔ 4 4 ixy = ⇔ 1 xy = ⇒ Tập hợp điểm là hai đường hypebol 1 y x = và 1 y x = − Số phức 293 Bài 2. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao cho 2 2 z z − + có một argument bằng 3 π . Giải Giả sử z x yi = + . Sử dụng công thức 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z a a b b a b a b i z a b a b + − = + + + suy ra: ( ) ( ) 2 2 2 2 x yi z z x yi − + − = + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 x y y i x y x y + − = + − + − + . Để 2 2 z z − + có một argument 3 π ϕ = thì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 cos sin 3 3 2 2 x y y i r i x y x y + − π π − = + − + − + với 0 r > ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 cos 3 2 2 4 3 sin 3 2 2 x y r r x y y r r x y + − π = = − + ⇒ π = = − + ⇒ ( ) 2 2 0 1 4 3 4 y y x y > = + − 2 2 4 4 3 y x y⇒ + − = 2 2 2 2 4 3 3 x y ⇒ + − = (2) Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các điểm M là phần đường tròn tâm I 2 0; 3 bán kính 4 3 R = nằm phía trên trục thực (trục O x ). Bài 3 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z k z i = − , (k là số thực dương cho trước). Giải Giả sử ( ) ,z x yi x y= + ∈ ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 x yi x y z k k z i x y i x y + + = = ⇔ = − + − + − (1) Nếu 1 k = thì (1) ⇔ 1 2 y = và tập hợp điểm là đường thẳng 1 2 y = Nếu 1 k ≠ thì (1) ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 k k x y y k k + − + = − − ⇔ ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 k k x y k k + − = − − Tập hợp cần tìm là đường tròn có tâm I 2 2 0; 1 k k − và bán kính bằng 2 1 k k − x y 6 3 2 3 2 3 − ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − −− − Trần Phương 294 Bài 4 Trong mặt phẳng phức cho 4 điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức ( ) ( ) 4 3 3 ; 2 3 3 ; 1 3 ; 3 i i i i + + + + + + . CMR: A, B, C, D ∈ một đường tròn. Giải Từ giả thiết ta suy ra ( ) ( ) ( ) 4;3 3 ; 2; 3 3 ; 1;3 A B C= + = + = và ( ) 3; 1 D = Ta có ( ) 3; 3 CA = biểu diễn số phức 3 3 i + , ( ) 1; 3 CB = biểu diễn số phức 1 3 i + , ⇒ Số đo góc ( ) , CA CB là một argument của số phức 1 1 3 3 3 i z i + = + . Sử dụng 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b i a a b b a b a b i a b i a b a b + + − = + + + + ⇒ 1 2 3 3 6 12 12 2 3 i z i + = + = Vậy số đo góc ( ) , CA CB cũng là một argument của số phức 3 i + . Mặt khác ( ) 1; 2 3 DA = + biểu diễn số phức ( ) 1 2 3 i + + , ( ) 1; 2 3 DB = − + biểu diễn số phức ( ) 1 2 3 i − + + . ⇒ Số đo góc ( ) , DA DB là một argument của số phức ( ) ( ) 2 1 2 3 1 2 3 i z i − + + = + + = 3 2 i + Vậy số đo góc ( ) , DA DB cũng là một argument của số phức 3 i + . Vì các argument của một số phức sai khác nhau 2 ,k k π ∈ nên ACB ADB = . Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp. 4. Dạng 4. Phần thực, phần ảo của một số phức Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 1. ( ) ( ) 50 49 1 3 i i + + 2. ( ) ( ) 7 5 cos sin 1 3 3 3 i i i π π − + 3. 10 10 1 z z + , nếu 1 1 z z + = Giải 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 50 25 50 1 49 49 24 49 25 25 2 cos sin 2 cos sin 4 4 1 2 2 1 cos sin 3 3 49 49 2 2 cos sin 3 2 cos sin 6 6 6 6 i i i z i i i i π π π π + + + π π = = = = + π π π π + + + Số phức 295 Vậy ( ) 1 24 25 1 1 Re cos 3 2 2 z π = = , ( ) 1 24 25 3 1 Im sin 3 2 2 z π = = 2. ( ) ( ) ( ) 9 9 6 2 cos sin 1 3 cos sin 2 cos 2 sin 3 3 6 6 3 3 z i i i i i π π π π π π = + + = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 9 9 9 9 9 19 19 2 cos sin cos sin 2 cos sin 2 cos sin 6 6 3 3 6 6 6 6 i i i i π π π π π π π π = − + + = − + = + Vậy ( ) 9 2 8 3 Re 2 cos 6 2 z π = = , ( ) 9 2 8 1 Im 2 sin 6 2 z π = = 3. Xét số phức 10 3 10 1 z z z = + , với 1 1 z z + = Từ ( ) ( ) 2 1 3 cos sin 2 3 3 1 1 1 0 1 3 cos sin 2 3 3 i z i z z z z i z i + π π = = + + = ⇒ − + = ⇒ − π π = = − + − i Với ( ) 10 10 3 1 cos sin cos sin 3 3 3 3 cos sin 3 3 z i z i i π π π π = + ⇒ = + + π π + ( ) ( ) ( ) 10 10 cos sin cos sin 3 3 3 3 i i π π π π = + + − + − ( ) ( ) 10 10 10 10 cos sin cos sin 3 3 3 3 i i π π − π − π = + + + 10 2 cos 1 3 π = = − . i Tương tự với cos sin 3 3 z i −π −π = + ta cũng có 3 1 z = − Vậy ( ) 3 Re 1 z = − , ( ) 3 Im 0 z = Bài 2. Cho cos sin z i = ϕ + ϕ . Giả sử 1 n ≥ là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 1 1 2 cos ; 2 sin n n n n z n z i n z z + = ϕ − = ϕ . Giải ( ) cos sin cos sin n n z i n i n = ϕ + ϕ = ϕ + ϕ ; 1 1 cos sin cos sin n n i n n i n z = = ϕ − ϕ ϕ + ϕ ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − −− − Trần Phương 296 5. Dạng 5. Giải phương trình trên trường số phức Bài 1. Tìm các căn bậc hai của số phức 11 4 3 w i = − + ; ( ) 2 1 2 i − Giải 1. Giả sử z x yi = + là căn bậc hai của số phức 11 4 3 w i = − + Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 11 4 3 2 11 4 3 z w x yi i x y xyi i = ⇔ + = − + ⇔ − + = − + 2 2 2 2 2 2 2 3 11 11 1; 2 3 2 3 12 2 3 1; 2 3 11 x y y x y x y x xy y x y x x x − = − = − = − = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = − = − − = − Vậy số phức 11 4 3 w i = − + có hai căn bậc hai là 1 2 1 2 3 ; 1 2 3 z i z i = + = − − 2. Theo công thức Moivre ta có ( ) 2 cos sin cos 2 sin 2 i i ϕ + ϕ = ϕ + ϕ . suy ra cos sin i ϕ + ϕ và cos sin i − ϕ − ϕ là các căn bậc hai của cos 2 sin 2 i ϕ + ϕ . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 cos sin cos sin 2 4 4 4 4 i i i π π π π − = − = − + − . Từ đó suy ra ( ) 2 1 2 i − có hai căn bậc hai là: ( ) ( ) 1 cos sin 8 8 z i π π = − + − và ( ) ( ) 2 cos sin 8 8 z i π π = − − − − Bài 2. Giải các phương trình bậc hai ( ) ( ) 2 1 3 2 1 0 z i z i + − − + = Giải Ta có: ( ) ( ) 2 2 1 3 8 1 1 6 9 8 8 2 i i i i i i ∆ = − + + = − + + + = Giả sử ( ) 2 2 2 z x yi i = + = ⇔ 2 2 4 1 1; 1 0 1; 1 1 1 y x y x y x x y xy x = = = − = ⇔ ⇔ = − = − = = Do đó 1 i + và 1 i − − là các căn bậc hai của 2i ⇒ nghiệm 1 2 2 ; 1 z i z i = = − + Bài 3. Giải phương trình: 4 3 2 1 1 0 2 z z z z − + + + = (1) Giải Do 0 z = không là nghiệm của (1), nên ( ) 2 2 1 1 1 1 0 2 z z z z ⇔ − + + + = ( ) ( ) 2 5 1 1 0 2 z z z z ⇔ − − − + = ⇔ 2 2 5 0 2 2 5 0 2 u u u u − + = ⇔ − + = ; với 1 u z z = − [...]... z j 1≤ i ≤ j ≤ 4 ng th c x y ra ⇔ (z1 , z2, z3, z4) là m t hoán v c a (a, a, −a, −a) v i a∈» a, b, c ≥ 0 1 1 Bài 7 Cho Ch ng minh: T = 1 + 12 + 1 + 2 + 1 + 2 ≥ 2 3 a b c a + b + c = abc Gi i T gi thi t a + b + c = abc ⇒ 1 = a + b + c ⇔ 1 + 1 + 1 = 1 abc ab bc ca Coi các bi u th c ch a căn là mô un c a các s ph c, khi ó ta có 2 i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T= 1 + ≥ 3 + + + i = 9 + + + ≥... = z n + a1 z n −1 + + a n −1 z + a n ∈ » [ z ] a Ch ng minh r ng: z1 2 + z2 2 + + z n 2 ≥ 2 a2 b Ch ng minh r ng: N u t1, t2, , tn −1 là các nghi m ph c c a a th c P′(z) thì ta có b t ng th c sau luôn úng n−2 2 2 2 2 2 2 t1 + t 2 + + t n −1 ≤ z1 + z 2 + + z n n ( 300 )