Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi tắt tứ giác nột tiếp) B A C O D 2) Định lí - Trong tứ giác nội tiếp, tỉng sè ®o hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 -NÕu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường tròn 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tø gi¸c néi tiÕp - Tø gi¸c cã tỉng sè hai góc đối diện 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc ®Ønh ®èi diƯn - Tø gi¸c cã bãn ®Ønh c¸ch điểm(mà ta xác định được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại góc II) Bài tập Bài tập Cho ABC vuông A Trên AC lấy diểm M vẽ đường tròn đường kính MC Kẻ BM cắt đường tròn D Đường thẳng DA cắt Đường tròn S Chứng minh r»ng: a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp   b) ABD ACD c) CA phân giác SCB Bài tập Gmail: diepngoc0307@gmail.com http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Vẽ EF vuông góc với AD Chứng minh: a) Tø gi¸c ABEF, tø gi¸c DCEF néi tiÕp b) CA phân giác BCF c) Gọi M trung điểm DE Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp Bài tập Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh : a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác gãc BFM c) BE DN = EN BD Bài tập Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD , AE cắt đường tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đường tròn c) AC song song với FG d) Các đường thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập Cho tam giác vuông ABC ( A 900 ; AB > AC) điểm M nằm đoạn AC (M không trùng với A C) Gọi N D giao điểm thứ hai BC MB với đương tròn đường kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đường tròn đường kính MC; T giao điểm MN AB Chứng minh: a Bốn điểm A, M, N B thuộc đường tròn b CM phân giác góc BCS Gmail: diepngoc0307@gmail.com http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định c TA TC TD TB Bài tập Cho đường tròn (O) điểm A nằm đường tròn Qua A dựng hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) cát tuyến cắt đường tròn P, Q Gọi L trung điểm cđa PQ a/ Chøng minh ®iĨm: O; L; M; A; N thuộc đường tròn b/ Chứng minh LA phân giác MLN c/ Gọi I giao điểm MN LA Chứng minh MA2 = AI.AL d/ Gọi K giao điểm ML víi (O) Chøng minh r»ng KN // AQ e/ Chøng minh KLN cân Bài tập Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH CD; AB//CD) nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến với đường tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD a/ Chứng minh: Tứ giác AEDI nội tiếp b/ Chứng minh AB//EI c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tương øng ë R vµ S Chøng minh: * I lµ trung ®iĨm cđa RS * 1   AB CD RS Bài tập 24 Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AOB COD vuông góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đường tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I giao điểm Fx vµ Ey a/ Chøng minh I; E; O; F cïng nằm đường tròn b/ Tứ giác CEIO hình gì? sao? c/ Khi E chuyển động AB I chuyển động đường nào? Bài tập 25 Cho nửa đường tròn đường kính BC bán kính R điểm A nửa đường tròn (A Gmail: diepngoc0307@gmail.com http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định khác B C) Từ A hạ AH vuông góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F a Tứ giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c HÃy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE cã diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt ®ã theo R Bµi tËp 26 Cho ®iĨm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự Một đường tròn (O) thay đổi qua hai điểm M, N Từ P kẻ tiếp tuyến PT, PT với đường tròn (O) a) Chứng minh: PT2 = PM.PN Từ suy (O) thay ®ỉi vÉn qua M, N T, T thuộc đường tròn cố định b) Gọi giao điểm TT với PO, PM I J K trung điểm MN Chứng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp c) Chøng minh rằng: Khi đường tròn (O) thay đổi qua M, N TT qua điểm cố định d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc TPT = 600 Bài tập 27 Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm M (MA C) Vẽ đường tròn đường kính MC Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đường tròn Nối BM kéo dài cắt đường tròn điểm thứ hai D Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh: a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp  b) Khi M chuyển động AC ADM có số đo không đổi c) AB//ST Bài tập 28 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Đường vuông góc với AB Gmail: diepngoc0307@gmail.com http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định kẻ qua B cắt (O) (O') điểm C, D Lấy M cung nhỏ BC đường tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng MB với đường tròn (O') N giao điểm hai đường thẳng CM, DN P a Tam giác AMN tam giác gì, sao? b Chứng minh ACPD nội tiếp ®­êng trßn c Gäi giao ®iĨm thø hai cđa AP với đường tròn (O') Q, chứng minh BQ // CP Bài tập 29 Cho ABC vuông A (AB < AC) H bÊt kú n»m gi÷a A C Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phân giác KCB Bài tập 30 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối Ac cắt MN E Chứng minh tứ gi¸c IECB néi tiÕp Chøng minh tam gi¸c AME đồng dạng với tam giác ACM Chứng minh AM2 = AE.AC Chøng minh AE AC – AI.IB = AI2 HÃy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài tập 31 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp Gmail: diepngoc0307@gmail.com 10 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định khác B) Nối AC cắt MN E Chøng minh: a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn cho cung AC nhỏ 900 góc COD = 900 Gọi M điểm nửa đường tròn cho C điểm cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD E, F a) Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: D điểm cung MB c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đườngtròn M cắt tia OC, OD I, K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp d) Giả sử tia AM cắt tia BD S HÃy xác định vị trí C D cho điểm M, O, B, K, S thuộc đường tròn Bài tập 52 Cho đường tròn (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đường thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đường tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng OM OH a) Chứng minh ®iĨm M, O, H, E, F cïng n»m trªn mét ®­êng trßn b) Chøng minh: OH.OI = OK OM c) Chứng minh: IA, IB tiếp tuyến đường tròn (O) Bài tập 53 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB CD cắt đường tròn đường kính BC I Gmail: diepngoc0307@gmail.com 17 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chøng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến đường tròn đường kính BC Bài tập 54 Cho đường tròn (0) điểm A nằm đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn a) Chứng minh: Bèn ®iĨm A, 0, E, C cïng thc mét ®­êng trßn b) Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC c) Chứng minh: BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài tập 55 Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính AB Trên tiếp tuyến đường tròn O A lấy điểm M (M không trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm M D; tia MC nằm tia MA tia MO) vµ tiÕp tuyÕn thø hai MI (I lµ tiếp điểm) với đường tròn (O) Đường thẳng BC BD cắt đường thẳng OM tai E F Chứng minh: a Bốn điểm A, M, I O nằm đường tròn b IAB AMO c O trung điểm FE Bài tập 56 Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F a/ Chứng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp Gmail: diepngoc0307@gmail.com 18 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định b/ Chứng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC hình bình hành Bài tập 57 Cho đường tròn (O) đường thẳng xy đường tròn Đường thẳng qua O vuông góc với xy H cắt đường tròn (O) A B M điểm (O), đường thẳng AM cắt xy E, đường thẳng BM cắt xy F, tiếp tuyến M cắt xy I, đường thẳng AF cắt (O) K Nèi E víi K a) Chøng minh: IM = IF b) Chøng minh: ®iĨm E, M, K, F thuộc đường tròn c) Chứng minh: IK tiếp tuyến (O) d) Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp AMH M di động (O) Bài tập 58 Cho đường tròn (O; R) có ®­êng kÝnh AB; ®iĨm I n»m gi÷a hai ®iĨm A O Kẻ đường thẳng vuông góc với AB I, đường thẳng cắt đường tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm BM AN Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng cắt đường thẳng AB AM K H HÃy chứng minh: 1) Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK=HA.HM 2) KM tiếp tuyến đường tròn (O; R) 3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng Bài tập 59 Cho đường tròn (0; R), dây CD có trung điểm M Trên tia đối tia DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt đường thẳng SO ; OM P Q a) Chứng minh tø gi¸c SPMQ, tø gi¸c ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC c) Chøng minh OM OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S d) Khi BC // SA Chứng minh tam giác ABC cân A Gmail: diepngoc0307@gmail.com 19 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định e) Xác định vị điểm S tia đối tia DC để C, O, B thẳng hàng BC // SA Bài tập 60 Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M điểm cung AB K thuộc cung BM ( K khác M B ) AK cắt MO I a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đường tròn b) Gọi H hình chiếu M lên AK Chứng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp c) Tam giác HMK tam giác ? d) Chứng minh : OH phân giác góc MOK e) Xác ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm K ®Ĩ chu vi tam giác OPK lớn (P hình chiếu K lên AB) Bài tập 61 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (0) Tia phân giác góc B, góc C cắt đường tròn thứ tự D E, hai tia phân giác cắt F Gọi I, K theo thứ tự giao điểm dây DE với cạnh AB, AC a) Chứng minh: tam giác EBF, DAF cân b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình ? Tại ? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi ®ång thêi cã diƯn tÝch gÊp lÇn diƯn tÝch tứ giác AIFK Bài tập 62 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, đoạn OA lấy ®iĨm I cho AI = OA KỴ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C không trùng với M, N, B) Nối AC cắt MN E a) Chứng minh : Tứ giác IECB néi tiÕp b) Chøng minh : C¸c tam gi¸c AME, ACM đồng dạng AM2 = AE AC c) Chøng minh : AE AC – AI IB = AI2 d) HÃy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn Gmail: diepngoc0307@gmail.com 20 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài tập 63 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R)(AB < CD) Gọi P điểm cung nhỏ AB ; DP cắt AB E cắt CB K ; CP cắt AB F cắt DA I a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp b) Chøng minh: IK // AB c) Chøng minh: Tø gi¸c CDFE nội tiếp d) Chứng minh: AP2 = PE PD = PF PC e) Chøng minh : AP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AED f) Gọi R1 , R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AED BED.Chứng minh: R1 + R2 = 4R  PA Bài tập 54 Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD (E khác D), đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vuông góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1) Chøng minh ABF = ADK tõ ®ã suy AFK vuông cân 2) Gọi I trung điểm FK, Chứng minh I tâm đường tròn qua A , C, F , K 3) TÝnh sè ®o gãc AIF, suy ®iÓm A, B, F, I nằm đường tròn Bài tập 65 Cho góc vuông xOy , Ox, Oy lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB Dựng đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A, đường tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB 2) Chứng minh M nằm cung tròn cố ®Þnh M thay ®ỉi Gmail: diepngoc0307@gmail.com 21 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn Bài tập 66 Cho điểm A bên đường tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB2  AI.AH Bµi tËp 67 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác góc A , B cắt đường tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đường phân giác I , đường thẳng DE cắt CA, CB M , N 1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ? Bài tập 68 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC K trung điểm BC OK TÝnh tØ sè BC tø gi¸c BHOC néi tiÕp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vµ HC > HE Tinh HC Bài tập 69 Cho (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM Gmail: diepngoc0307@gmail.com 22 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Bài tập 70 Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O1) , (O2) C,D , gọi I , J trung điểm AC AD 1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vuông 2) Gọi M giao diểm CO1 vµ DO2 Chøng minh O1 , O2 , M , B nằm đường tròn 3) E trung điểm IJ , đường thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có ®é dµi lín nhÊt Bµi tËp 71 Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đường tròn đường kính AB , AC cắt D Một đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính AB , AC E vµ F 1) Chøng minh B , C , D thẳng hàng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm đường tròn 3) Xác định vị trí đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn Bài tập 72 Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB ( C đường tròn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I , CM cắt đường tròn E , EN cắt đường thẳng AB F 1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Gmail: diepngoc0307@gmail.com 23 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Bài tập 73 Cho ABC có góc nhän AC > BC néi tiÕp (O) VÏ c¸c tiếp tuyến với (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vuông góc O MC CMR a/ MAOH tứ giác nội tiếp b/ Tia HM phân giác góc AHB c/ Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MA, MB E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chứng minh QP // EF Bài tập 74 Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD , AE cắt đường tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đường tròn c) AC song song với FG d) Các đường thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập 75 Cho đường tròn tâm O Từ điểm P đường tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đường tròn (O) a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đường tròn b Tia AO cắt đường tròn (O) B; đường thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì? c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng Bài tập 76 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O M điểm cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vu«ng gãc víi AC ; MK vu«ng gãc víi BC Gmail: diepngoc0307@gmail.com 24 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định 1) Chứng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp   2) Chøng minh AMB  HMK 3) Chøng minh AMB đồng dạng với HMK Bài tập 77 Cho nửa đường tròn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C B Các tia AC, AD cắt Bx E F a, Chứng minh ABE vuông cân b, Chøng minh  ABF   BDF c, Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp d, Chøng minh AC.AE = AD.AF Bài tập 78 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đường tròn đường kính AD, tâm O Hai đường chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vuông góc E xuống AD I trung ®iĨm cđa DE Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c ABEH, DCEH nội tiếp được; b) E tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm đường tròn Bài tập 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm cđa BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD Gmail: diepngoc0307@gmail.com 25 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Bài tập 80 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B  450 ), mét ®­êng tròn (O) tiếp xúc với AB AC B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đường vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB a Chỉ cách dựng đường tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp c Gọi P giao điểm MB IK; Q giao điểm MC IH Chøng minh PQ  MI Bµi tËp 81 Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Hạ đường cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,D,B nằm đường tròn Tìm tâm I đường tròn MN// DE Cho (O) dây AB cố định, ®iĨm C di chun trªn cung lín AB Chøng minh độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp CDE không đổi Bài tập 82 Cho điểm A đường tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm cung nhá BC ( M  B ; M  C ) Gäi D , E , F t­¬ng øng hình chiếu vuông góc M đường thẳng AB , AC , BC ; H giao ®iĨm cđa MB vµ DF ; K lµ giao ®iĨm cđa MC vµ EF 1) Chøng minh : a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK 2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn Bài tập 83 Cho ABC vuông cân A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M thuộc Gmail: diepngoc0307@gmail.com 26 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định đoạn AD (M không trùng A, D) Gọi I, K hình chiếu vuông góc M AB, AC H hình chiếu vuông góc I đoạn DK a/Tứ giác AIMK hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc đường tròn Tìm tâm đường tròn c/ B, M, H thẳng hàng Bài tập 84 Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) Hai đường cao AD BF gặp H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK đường cao lại tam giác ABC; KD cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF E Chứng minh gócEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sư CH = AB TÝnh số đo góc ACB Bài tập 85 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đường tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh: a CAB  AOD b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB Bµi tËp 86 Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O D E Nối DC cắt đường tròn tâm O I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC Gmail: diepngoc0307@gmail.com 27 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bài tập 87 Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D, dựng CE vuông gãc víi BD a Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiếp đường tròn b Chứng minh AD.CD = ED.BD c Từ D kẻ DK vuông góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy điểm DKE ABE Bài tập 88 Từ điểm A đường tròn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC,  M  B; M  C  Tõ M hạ đường vuông góc MI, MH, MK tương øng xng BC, AC, AB Gäi P lµ giao cđa MB vµ IK; Q lµ giao cđa MC vµ IH a Chøng minh c¸c tø gi¸c BIMK, CIMH néi tiÕp đường tròn b Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC Bài tập 89 Cho đường tròn tâm O, bán kính R hai đường kính vuông góc AB CD Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE c¾t (O) ë M a TÝnh CE theo R b Chøng minh tø gi¸c MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác c Chứng minh hai tam giác CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đường cao MH tam giác CDM Bài tập 90 Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E Gmail: diepngoc0307@gmail.com 28 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đường thẳng CE đường thẳng DF cắt I a Chøng minh IA vu«ng gãc víi CD b Chóng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp c Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm EF Bài tập 91 Cho đường tròn tâm O cát tuyến CAB (C đường tròn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F 1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bài tập 92 Cho tam giác ABC vuông A có AB > AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F a Chứng minh tứ giác AEHF hình ch÷ nhËt b Chøng minh AE.AB = AF.AC c Chøng minh BEFC tứ giác nội tiếp Bài tập 93 Cho đường tròn (O) đường kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O B), vẽ đường tròn (O') đường kính AC Đường tròn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vuông góc với AB cắt đường tròn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đường tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đường tròn (O') Chứng minh: a Tứ giác ADBE hình thoi b AF // BD c Ba điểm E, A, F thẳng hàng Gmail: diepngoc0307@gmail.com 29 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định d Bốn điểm M, F, C E thuộc đường tròn e Ba đường thẳng CM, DK, EF đồng quy Bài tập 94 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Đường tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đường tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P a Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đường tròn c Chứng minh rằng: BP = BA Bài tập 95 Từ điểm P nằm đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đường thẳng qua điểm P cắt đường tròn (O) hai điểm E F Đường thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng: a Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn b Các ®iĨm P, N, O, H cïng n»m trªn mét ®­êng tròn c Tam giác PQO cân d PM2 = PE.PF e PHM PHN Các chuyên đề tui bạn tham khảo địa sau: 1) Chuyên đề Rút gọn biểu thức http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/844587 2) Chuyên đề Giải phơng trình http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/844577 3) Chuyên đề Hệ thức Vi Et Gmail: diepngoc0307@gmail.com 30 http://dangngocduong.violet.vn Đặng Ngọc Dương THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/844582 4) Chuyên đề Hệ phơng trình http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/844579 5) Chuyên đề Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/844584 6) Chuyên đề Tứ giác nội tiếp http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/844575 1) Đề thi tuyển sinh tỉnh Nam Định (2000 -> 2011) http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/844597 2) Đề thi tuyển sinh tỉnh Hà Nội (2000 -> 2011) http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/1539042 3) §Ị thi tun sinh tØnh TP Hå ChÝ Minh (2000 -> 2011) http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/1539043 4) §Ị thi tuyển sinh tỉnh TháI Bình (2000 -> 2011) http://dangngocduong.violet.vn/present/show/entry_id/1539045 Email: diepngoc0307@gmail.com Website: http://dangngocduong.violet.vn Gmail: diepngoc0307@gmail.com 31 http://dangngocduong.violet.vn ... phân giác I , đường thẳng DE cắt CA, CB M , N 1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ? Bài tập 68 Cho. .. minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình ? Tại ? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK Bài tập 62 Cho đường... Hà - Giao Thuỷ - Nam Định e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bài tập 87 Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D, dùng CE vu«ng gãc víi BD a Chøng minh tứ giác ABCE nội tiếp đường tròn b Chứng minh