Mục lục Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 3 1.1.1 KHÔNG GIAN Rn 3 1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN 6 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO 7 1.3 VI PHÂN 8 1.3.1 VI PHÂN 8 1.3.2 VI PHÂN TOÀN PHẦN 8 1.3.3 VI PHÂN CẤP CAO 8 1.4 CỰC TRỊ TỰ DO 9 1.4.1 ĐỊNH NGHĨA 9 1.4.2 CÁCH TÌM CỰC TRỊ 9 1.5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 11 1.6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 14 1.6.1 ĐỊNH NGHĨA 14 1.6.2 CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 14 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 16 2.1 KHÁI NIỆM 16 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 17 2.2.1 PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT 17 2.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LY 19 2.2.3 PHƯƠNGTRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1 21 2.2.4 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI 22 2.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THỂ HẠ CẤP 24 2/25 Toán cao cấp Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 1.1.1 KHÔNG GIAN R n R n = {(x 1 , x 2 , …, x n )  x i ∈R, 1≤ i ≤n} Một điểm trong R n gồm bộ n số thực xác định điểm đó. - Khoảng cách giữa 2 điểm M(x 1 , x 2 , …, x n ), N(y 1 , y 2 , …, y n ): MN = 22 22 2 11 )( )()( nn yxyxyx −++−+− MN ≥ 0,∀ M, N ∈ R n - Giới hạn của dãy điểm : Cho dãy điểm M k ( k n kk xxx , ,, 21 ) trong R n , k = 1, 2, …. Dãy điểm M k hội tụ tới M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ) nếu +∞→k lim M k M 0 = 0 hay +∞→k lim M k = M 0 Định lý: Dãy điểm M k ( k n kk xxx , ,, 21 ) hội tụ tới M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ) khi và chỉ khi 0 11 lim xx k k = +∞→ 0 22 lim xx k k = +∞→ … 0 lim n k n k xx = +∞→ Ví dụ : Tìm       + +∞→ n n n n M n n 1 sin, 12 lim ∈ R 2 n n n 12 lim + +∞→ = 2, n n n 1 sinlim +∞→ = 1 nên       + +∞→ n n n n M n n 1 sin, 12 lim = M 0 (2, 1) 1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 1) Hàm hai biến Cho D là một tập hợp trong 2 ¡ , người ta gọi ánh xạ :f D → ¡ , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực ( ) , x y D ∈ một số thực duy nhất z , ký hiệu là ( ) , f x y là hàm số hai biến số, x và y là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu : ( ) ( ) : , , f x y z f x y = a D được gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp ( ) ( ) ( ) { } , , , f D z z f x y x y D = ∈ = ∀ ∈ ¡ gọi là miền giá trị của hàm số f . Ví dụ: Hàm chi phí của hai sản phẩm. Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản phẩm như sau: Sản phẩm A: ( ) 500 70C x x = + , x là số lượng sản phẩm A. 3/25 Chương 1: Hàm nhiều biến Sản phẩm B: ( ) 200 100C y y = + , y là số lượng sản phẩm B. Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là ( ) ,C x y : ( ) ( ) ( ) , 700 70 100C x y C x C y x y = + = + + Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B ( ) 10,5 700 70.10 100.5 1900C = + + = . Biểu diễn hàm hai biến Đặt z = f(x,y). Tập hợp tất cả (x,y,z) trong không gian với toạ độ Oxyz thường tạo thành 1 mặt, gọi là biểu diễn của hàm z = f(x,y). Ví dụ : Cho hàm số z = f(x,y) = sin(x+y) có biểu diễn trên hệ trục Oxyz như sau: Miền xác định Miền xác định của hàm số z = f(x,y) là tập hợp những cặp ( ) , x y sao cho biểu thức ( ) , f x y có nghĩa. Ví dụ : Hàm số 2 3 5z x y = − + xác định với mọi cặp ( ) 2 , Ryx ∈ , miền xác định của nó là toàn bộ mặt phẳng. Hàm số 2 2 1z x y = − − xác định khi 2 2 1 0x y− − ≥ hay 2 2 1x y+ ≤ , miền xác định của nó là hình tròn đóng, tâm O , bán kính I ( hình 1). 4/25 Toán cao cấp 1 O y x hình 1 Hàm số ( ) ln 1z x y = + − được xác định khi 1 0x y + − > hay 1x y + > , miền xác định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng 1x y + = (hình 2). 1 1 O y x Hình 2 2) Hàm n biến Cho hai tập D va U khác rỗng, D ⊆ R n , U ⊆ R. Hàm n biến ký hiệu f: D → U với u = f(x 1 , x 2 , …, x n ) ∈ U D: miền xác định gồm (x 1 , x 2 , …, x n ), U: miền giá trị của hàm. Giá trị của hàm u = f(x 1 , x 2 , …, x n ) tại điểm M 0 ( 0 1 x , …, 0 n x ) được ký hiệu là f( 0 1 x , …, 0 n x ) hoặc f(M 0 ). GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1) Hàm hai biến * f(x,y) xác định trên D⊂ R 2 , (x 0 ,y 0 )∈ D, 5/25 Chương 1: Hàm nhiều biến ),(lim 0 0 yxf yy xx → → = A ⇔∀(x n ,y n )∈D, x n → x 0 , y n → y 0 thì f(x n ,y n )→ A Định nghĩa giới hạn này gọi là giới hạn kép (hay giới hạn bội). * Hàm hai biến còn có giới hạn lặp: 0 lim yy → ( 0 lim xx → f(x,y)) 0 lim xx → ( 0 lim yy → f(x,y)) 2) Hàm n biến Hàm n biến f(x 1 , x 2 , …, x n ) xác định trên tập D có giới hạn b tại điểm M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ) nếu mọi dãy điểm M k ( k n kk xxx , ,, 21 ) ∈ D, k = 1, 2, … có giới hạn M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ), (M k ≠ M 0 ) tức +∞→ k lim M k = M 0 thì +∞→ k lim f( k n kk xxx , ,, 21 ) = b Ta viết bxxxf n xx xx xx nn = → → → ), ,,(lim 21 0 0 22 0 11 * Để chứng minh hàm số f không có giới hạn tại điểm M 0 ta chọn 2 dãy điểm M k ≠ M 0 , M’ k ≠ M 0 đều có +∞→ k lim M k = M 0 , +∞→ k lim M’ k = M 0 nhưng +∞→ k lim f(M k ) ≠ +∞→ k lim f(M’ k ) Ví dụ: Tìm 32 2 1 lim yx y x → → , ta có n n x +∞→ lim = 1, n n y +∞→ lim = 2 ),(lim nn n yxf +∞→ = 22 .lim nn n yx +∞→ = 1.2 3 = 8 ⇒ 32 2 1 lim yx y x → → = 8 f(x, y) = 22 yx xy + , Chứng minh ),(lim 0 0 yxf y x → → không tồn tại Lấy 2 dãy M n ( n 1 ,0), K n ( n 1 , n 1 ) với n ∈ N*, M n ≠ M 0 (0,0), K n ≠ M 0 n n M +∞→ lim = M 0 , n n K +∞→ lim = M 0 , )(lim n n Mf +∞→ = 0 1 0. 1 lim 2 + +∞→ n n n = 0, )(lim n n Kf +∞→ = 22 2 11 1 lim nn n n + +∞→ = 2 1 1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN Cho hàm số ( ) ,f x y xác định trong miền D . ( ) 0 0 0 ,M x y là điểm thuộc D . Ta nói rằng hàm số ( ) ,f x y liên tục tại 0 M nếu: Tồn tại ( ) ( ) ( ) 0 0 , , lim , x y x y f x y → , 6/25 Toán cao cấp ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , lim , , x y x y f x y f x y → = (1.1) Hàm số ( ) ,f x y được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền D . 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG 1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG 1) Hàm hai biến f(x,y) xác định trên D ⊂ R 2 , (x 0 ,y 0 ) ∈ D Đạo hàm riêng của f theo biến x tại (x 0 , y 0 ) x f ∂ ∂ (x 0 ,y 0 ) = x yxfyxxf x ∆ −∆+ →∆ ),(),( lim 0000 0 Đạo hàm riêng của f theo biến y tại (x 0 , y 0 ) y f ∂ ∂ (x 0 ,y 0 ) = x yxfxyxf x ∆ −∆+ →∆ ),(),( lim 0000 0 Nhận xét: đạo hàm theo biến x thì coi y là hằng số và ngược lại. Ví dụ : Tính các đạo hàm riêng của 4 3 2 4 5 2z x x y y= − + 3 2 2 3 3 4 15 ; 10 8 z z x x y x y y x y ∂ ∂ = − = − + ∂ ∂ Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của ( ) 0 y z x x = > . 1 ; ln y y z z yx x x x y − ∂ ∂ = = ∂ ∂ Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của cos , 0 x z y y   = ≠  ÷   1 sin . .sin z x x x x y x y y y   ∂ ∂ = − = −  ÷ ∂ ∂   2 sin . sin z x x x x y y y y y y   ∂ ∂ = − =  ÷ ∂ ∂   2) Hàm n biến Hàm n biến f(x 1 , x 2 , …, x n ) xác định tại M 0 ( 00 2 0 1 , ,, n xxx ) và lân cận của M 0 . Đạo hàm riêng của hàm f đối với biến x i tại M 0 là i x f ∂ ∂ = ' i x f = i ninii x x xxxfxxxxf i ∆ −∆+ →∆ ), ,, ,(), ,, ,( lim 000 1 0000 1 0 1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO 1) Hàm hai biến Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng x f ∂ ∂ , y f ∂ ∂ theo các biến x, y nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f. ( ) 2 2 2 2 x xx x f f z f f x x x x ∂ ∂ ∂ ∂   = = = =  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂   7/25 Chương 1: Hàm nhiều biến ( ) 2 2 x xy y f f z f f y x x y x y ∂ ∂ ∂ ∂   = = = =  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ( ) 2 2 y yx x f f z f f x y x y x y   ∂ ∂ ∂ ∂ = = = =  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   ( ) 2 2 2 2 y yy y f f z f f y y y y   ∂ ∂ ∂ ∂ = = = =  ÷ ∂ ∂ ∂ ∂   Định lý: Hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng f xy và f yx xác định và liên tục trong một lân cận của M 0 (x 0 ,y 0 ) thì f xy (x 0 , y 0 ) = f yx (x 0 , y 0 ). 2) Hàm n biến Xét hàm f(x 1 , x 2 , …, x n ). Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp (m – 1) của đối với biến xj (1 ≤ j ≤ n) là đạo hàm riêng cấp m. Định lý: Nếu hàm số có các đạo hàm riêng các cấp liên tục thì đạo hàm riêng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Ví dụ : Cho f = y 2 .lnx, tìm các đạo hàm riêng cấp 2 x f ∂ ∂ = x y 2 , y f ∂ ∂ = 2y.lnx 2 2 x f ∂ ∂ = 2 2 x y − , yx f ∂∂ ∂ 2 = x y2 2 2 y f ∂ ∂ = 2.lnx 1.3 VI PHÂN 1.3.1 VI PHÂN Hàm 2 biến: Vi phân của hàm f(x,y) là df = x f ∂ ∂ dx + y f ∂ ∂ dy Hàm n biến: Cho hàm n biến f(x 1 , x 2 , …, x n ) có các đạo hàm riêng liên tục. Vi phân toàn phân của hàm f là df = ∑ = ∂ ∂ n i i x f 1 (x 1 , x 2 , …, x n ). dx i 1.3.2 VI PHÂN TOÀN PHẦN Điều kiện để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy trở thành một vi phân toàn phần: Giả sử P(x,y), Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trong miền D nào đó. Biểu thức P(x, y)dx +Q(x, y)dy là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi: , , P Q x y D y x ∂ ∂ = ∀ ∈ ∂ ∂ 1.3.3 VI PHÂN CẤP CAO * Vi phân cấp 2 của f(x,y) là d 2 f = d(df) d 2 f = 2 2 x f ∂ ∂ dx 2 + 2 yx f ∂∂ ∂ 2 dxdy + 2 2 y f ∂ ∂ dy 2 * Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục thì vi phân cấp m của hàm f là 8/25 Toán cao cấp d m f = k y km kkm m m k m Ax yx f C . 0 − − ∆ ∂∂ ∂ ∑ Khi x, y là biến độc lập không phụ thuộc những biến khác thì d m f = kkm kkm m m k m dydx yx f C . 0 − − ∂∂ ∂ ∑ 1.4 CỰC TRỊ TỰ DO 1.4.1 ĐỊNH NGHĨA * Hàm f đạt cực đại tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) nếu có một lân cận V ε của M 0 sao cho với mọi M(x 1 , …, x n ) ∈ V ε ta có f( 00 1 , , n xx ) ≥ f(x 1 , …, x n ) * Hàm f đạt cực tiểu tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) nếu có một lân cận V ε của M 0 sao cho với mọi M(x 1 , …, x n ) ∈ V ε ta có f( 00 1 , , n xx ) ≤ f(x 1 , …, x n ) * Khi f đạt cực đại hay cực tiểu, ta nói f đạt cực trị. Định lý Điều kiện cần Nếu ( 00 1 , , n xx ) là điểm cực trị địa phương của hàm f(x 1 , …, x n ) và hàm f có các đạo hàm riêng i x f ∂ ∂ (i = 1, …, n) thì i x f ∂ ∂ ( 00 1 , , n xx ) = 0 Điều kiện đủ Hàm f(x 1 , …, x n ) xác định và liên tục tại lân cận điểm M 0 ( 00 1 , , n xx ) và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại M 0 . Giả thiết rằng i x f ∂ ∂ ( 00 1 , , n xx ) = 0 với i = 1, …, n Nếu d 2 f( 00 1 , , n xx ) xác định dương thì hàm f đạt cực tiểu tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) Nếu d 2 f( 00 1 , , n xx ) xác định âm thì hàm f đạt cực đại tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) Nếu d 2 f( 00 1 , , n xx ) không xác định thì hàm f không đạt cực trị tại M 0 ( 00 1 , , n xx ) 1.4.2 CÁCH TÌM CỰC TRỊ Định lý : Giả sử rằng ( ) 0 0 0 ,M x y là một điểm dừng của hàm số ( ) ,f x y và hàm số ( ) ,f x y có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận điểm 0 M . Đặt: ( ) ( ) ( ) xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0 A f x , y , B f x , y , C f x ,y = = = Khi đó: * 2 B AC 0 A 0  − <  >  : hàm số đạt CT tại 0 0 0 M (x , y ) * 2 B AC 0 A 0  − <  <  : hàm số đạt CĐ tại 0 0 0 M (x , y ) 9/25 Chương 1: Hàm nhiều biến Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số 2 2 4 2 8z x y x y= + + − + Ta có: 2 4; 2 2 x y z x z y = + = − Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ 2 4 0 2 2 0 x y + =   − =  Vậy điểm dừng duy nhất là điểm ( ) 2, 1 − . Vì 2; 0; 2 xx xy yy z z z = = = nên 2 B AC 4 0 − = − < , còn 2 0C = > , vậy ham số đạt cực tiểu tại điểm ( ) 2, 1 − và ( ) 2 2 min 2 1 4. 2 2.1 8 3z = + + − − + = . Nếu viết lại ( ) ( ) 2 2 2 1 3z x y = + + − + , ta thấy 3z ≥ tại mọi ( ) 2 ,x y ∈ ¡ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2, 1x y = − = − ta đã thấy kết quả trên. Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số 3 3 3z x y xy= + − Ta có: 2 2 3 3 ; 3 3 x y z x y z y x = − = − Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ: 2 2 0 0 x y y x  − =   − =   Đó là một hệ phương trình đối xứng. Thế 2 y x= từ phương trình đầu vào phương trình sau ta được ( ) ( ) ( ) 4 3 2 0 1 1 1x x x x x x x x = − = − = − + + Phương trình này có hai nghiệm 0; 1x x = = . Vậy ta có hai điểm dừng ( ) 0 0,0M và ( ) 1 1, 1M . Vì 6 , 3, 6 xx xy yy z x z z y = = − = nên: Tại ( ) 0 0,0M ta có 2 9 0B AC − = > , điểm 0 M không là điểm cực trị. Tại ( ) 1 1,1M ta có 2 9 36 27 0B AC − = − = − < , 6 0C = > , 1 M là điểm cực tiểu, min 1 1 3 1z = + − = − . Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số 3 3 z x y= + . Ta có: 2 2 3 , 3 x y z x z y = = Vậy chỉ có một điểm dừng là ( ) 0 0,0M . Vì 6 , 0, 6 xx xy yy z x z z y = = = , nên tại 0 M ta có 2 0B AC − = . Vậy chưa kết luận ngay được. Chú ý rằng ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 0 0,0 0, , 0,0z M z z x y z x y = = − = + . Hiệu ấy là dương nếu điểm ( ) ,M x y nằm trong góc phần tư thứ nhất, là âm nếu ( ) ,M x y nằm trong góc phần tư thứ ba. Do đó dấu của hiệu ( ) ( ) 0 z M z M − thay đổi ở lân cận điểm 0 M nên 0 M không là điểm cực trị. 10/25 [...]... Chương 2: Phương trình vi phân Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 KHÁI NIỆM Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng : f(x, y, y’, y’’, …, y(n)) = 0 (1) Trong đó x là biến số độc lập, y = y(x) là hàm số phải tìm, y’, y’’, , y(n) là các đạo hàm của nó Từ (1) ta đưa được về dạng y(n) = f(x, y, y’, …, y(n-1)) (2) Thì (2) là dạng giải được đối với đạo hàm cấp cao nhất Nghiệm của phương trình vi... y(x) = 1 3 x + 2x + 1 3 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Phương trình vi phân cấp 1 giải được theo y’ có dạng y’ = f(x, y) hay dy = f(x, y) dx 2.2.1 PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT 1) Phương trình khuyết y : F(x, y’) = 0 a) Phương trình giải ra được đối với y’ có dạng y’ = f(x) Chỉ việc lấy tích phân 2 vế, ta được y = ∫ f ( x)dx = F(x) + C trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) b) Phương trình giải ra được đối với... trình vi phân là mọi hàm số thoả mãn phương trình ấy Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó Các nghiệm ấy có dạng : y = f(x) hoặc ϕ(x, y) = 0 hoặc x = x(t), y = y(t) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n phụ thuộc n tham số y = y(x, c1, …, cn) Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm Cho hàm f(x, y, …, y(n-1)) xác định và liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục tại... tìm nguyên hàm (n-1) lần ta có nghiệm tổng quát 2) Phương trình f(x, y(n-1), y(n)) = 0 (2) Đặt z = y(n-1) Khi đó y(n) = z’ và (2) đưa được về phương trình vi phân cấp 1 f(x, z, z’) = 0 Giải phương trình trên ta được z = z(x, c1) Để tìm nghiệm của (2) ta giải y(n-1) = z(x, c1) 3) Phương trình f(y, y’, y’’) = 0 (3) Đặt p = y’, ta có y’’= dp dy dp dp = = p dy dx dy dx (3) trở thành phương trình vi phân... f(x, y) = f(x.1, x ) = f(1, ) x x y dy dz Đặt z = , ta có y = z.x và = y’ = z + x dx x dx 19/25 Chương 2: Phương trình vi phân Phương trình trở thành dz dz z + x = f(1, z) hay x = f(1, z) – z dx dx Khi f(1, z) – z ≠ 0 ta có phương trình vi phân có biến phân ly dz dx = f (1, z ) − z x  ax + by + c     a ' x + b' y + c '  b) Phương trình dạng y’ = f   Nếu a b = 0 thì a’x + b’y = k(ax + by), k ≠... 2 3 5 1 Nghiệm phương trình x = t3 – 2t2 + t 2 2 2 9 4 4 3 5 2 y= t – t + t +C 8 3 4 x= 17/25 Chương 2: Phương trình vi phân 2) x = 2t2 + 3t, y’ = 3t -1 dx = (4t + 3)dt dy = y’dx = (3t -1).(4t +3)dt = (12t2 + 5t -3)dt 2 y = ∫ (12t + 5t − 3)dt = 4t3 + Nghiệm phương trình 5 2 t – 3t + C 2 x = 2t2 + 3t y = 4t3 + 5 2 t – 3t + C 2 2) Phương trình khuyết x : F(y, y’) = 0 dy dy a) Phương trình dạng y’ =... −4 13 , y1 = −9 13 Vì hàm f liên tục trên tập đóng và bị chặn x2 y2 E = { (x, y) + = 1} nên hàm f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên E Ở 4 9 đây có 2 điểm dừng nên f đạt cực đại tại 1 điểm và đạt cực tiểu tại điểm còn lại f( f( 4 13 −4 13 , , 9 13 −9 13 )= )= 4 13 −4 13 + + 9 13 −9 13 = 13 = - 13 < 13 13/25 Chương 1: Hàm nhiều biến Vậy f đạt cực đại tại M1( 4 13 , 9 13 ) và đạt cực tiểu tại M2(... dạng y = A(x).e-2x, Lấy đạo hàm 2 vế y’ = A’.e-2x – 2Ae-2x Thay vào (1) ta có: A’.e-2x = A2.e-4x.ex Ngoài nghiệm A = 0, ta còn dA = e-xdx 2 A dA ∫A 2 = ∫e −x dx 1 −1 = -e-x – c ⇔ A = − x , c∈R A e +c Nghiệm tổng quát của (1): e −2 x y = −x , c∈R e +c 23/25 Chương 2: Phương trình vi phân Và một nghiệm đặc biệt y(x) = 0, ∀x 2.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THỂ HẠ CẤP 1) Phương trình y(n) = f(x) (1) y(n-1)... 5 )dt 2 2 dy 9 5 dx = = ( t – 6 + )dt t 2 2t 9 5 x = t2 – 6t + lnt + C 4 2 dy = ( t2 – 6t + 2.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LY Dạng : f(y)dy = g(x)dx Để tìm nghiệm, ta lấy tích phân 2 vế, giả sử F, G là nguyên hàm của f và g thì F(y) = G(x) + c Phương trình trên xác định một hàm ẩn của x Nếu F có hàm ngược thì y = F-1(G(x) + c) Ví dụ : x dy (y2 + 1), thay y’ = dx x +1 dy x dy xdx = (y2 + 1) ⇔ 2 =... , y 0 ) 11/25 Chương 1: Hàm nhiều biến Thì H được gọi là ma trận Hesse * Nếu |H| < 0 thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại M0(x0,y0) * Nếu |H| > 0 thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại M0(x0,y0) * Nếu |H| = 0 thì ko có kết luận về cực đại, cực tiểu của hàm số tại M 0(x0,y0) Ví dụ : Tìm cực trị của hàm f = xy với điều kiện x2 + y2 = 4 Giải: điều kiện ϕ(x, y) = 4 - x2 - y2 Hàm phụ Lagrange: φ(x, . 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 16 2.1 KHÁI NIỆM 16 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 17 2.2.1 PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT 17 2.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LY 19 2.2.3 PHƯƠNGTRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1 21 2.2.4 PHƯƠNG. lục Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 3 1.1.1 KHÔNG GIAN Rn 3 1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 3 1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN 6 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG 7 1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG. PHÂN 1.3.1 VI PHÂN Hàm 2 biến: Vi phân của hàm f(x,y) là df = x f ∂ ∂ dx + y f ∂ ∂ dy Hàm n biến: Cho hàm n biến f(x 1 , x 2 , …, x n ) có các đạo hàm riêng liên tục. Vi phân toàn phân của hàm f là