Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG Tên chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn Giáo viên Trường THPT Đội Cấn Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 11 và 12 Số tiết bồi dưỡng: 12 tiết NỘI DUNG Chương I. Kiến thức cơ sở Công thức biến đổi lượng giác • Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt. • Các hằng đẳng thức lượng giác • Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt • Công thức biến đổi Chương II. Các bài toán cơ bản (số tiết 12) Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản. Dạng 2. Phương trình bậc 2, bậc 3,với một hàm số lượng giác. Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx. Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sinx và cosx Dạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cox. Dang 6. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực Trang số 1 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc Chương I. Kiến thức cơ sở CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC A. Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt. 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π 5 6 π π sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 tan 0 3 3 1 3 || - 3 -1 3 3 − 0 cot || 3 1 3 3 0 - 3 3 -1 - 3 || B. Các hằng đẳng thức lượng giác ( ) 2 2 2 2 2 2 sin cos a 1 tana.cota 1 2 1 1 1 tan 1 cot cos 2 sin a a k a a k a a k a a π π π π   + = = ≠  ÷     + = ≠ + + = ≠  ÷   C. Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt 2x k π + x k π + x− x π − 2 x π − x π + 2 x π + sin sinx ( ) 1 sinx k − -sinx sinx cosx -sinx cosx cos cosx ( ) 1 cos k x− cosx cosx sinx -cosx -sinx tan tanx tanx -tanx -tanx cotx tanx -cotx cot cotx cotx -cotx -cotx tanx cotx -tanx D. Công thức biến đổi 1. Công thức cộng: sin( ) sin cos cos sin( ) sin cos cos cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin a b a b asinb a b a b asinb a b a b a b a b a b a b + = + − = − + = − − = + tan tan tan tan tan( ) tan( ) 1 tan .tan 1 tan .tan a b a b a b a b a b a b + − + = − = − + 2. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa 2 2 2 2 os2 os sin 2 os 1 1 2sinc a c a a c a a= − = − = − Trang số 2 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc 2 2 tan tan 2 1 tan a a a = − 3. Công thức nhân ba: sin3x = 3sinx – 4sin 3 x cos3x = 4cos 3 x – 3cosx 3 2 3tan tan tan3 1 3tan a a a a − = − 4. Công thức hạ bậc: 2 1 cos2 cos 2 x x + = 2 1 cos2 sin 2 x x − = 3 3cos cos3 cos 4 a a a + = 3 3sin sin 3 sin 4 a a a − = Mở rộng (Phải chứng minh khi sử dụng) sin 3 4sin .sin .sin 3 3 a a a a π π     = − +  ÷  ÷     os3 4 os . os . os 3 3 c a c a c a c a π π     = − +  ÷  ÷     tan3 tan .tan .tan 3 3 a a a a π π     = − +  ÷  ÷     5. Công thức biến tích thành tổng: ( ) ( ) ( ) 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = − + + = − − + = − + + 6. Công thức biến tổng thành tích: sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y x y x y x y + − + = + − − = cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 x y x y x y x y x y x y + − + = + − − = − sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − = sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + − = sin( ) cot cot sin .sin b a a b a b − + = Trang số 3 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc 2 tan cot sin 2 a a a + = cot tan 2cot 2a a a− = 7. Công thức biểu diễn các giá trị lượng giác của a theo tan 2 a 2 2t sin 1 t a = + 2 2 1 t cos 1 t a − = + 2 2t tan 1 t a = − 8. Một số công thức thường dùng khác sin cos 2 sin 2 os 4 4 a a a c a π π     + = + = −  ÷  ÷     sin cos 2 sin 2 os 4 4 a a a c a π π     − = − =− +  ÷  ÷     sin 3 cos 2sin 2 os 3 6 a a a c a π π     + = + = −  ÷  ÷     sin 3 cos 2sin 2 os 3 6 a a a c a π π     − = − = +  ÷  ÷     3 sin cos 2sin 2 os 6 3 a a a c a π π     + = + = −  ÷  ÷     3 sin cos 2sin 2 os 6 3 a a a c a π π     − = − =− +  ÷  ÷     Chương II. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG THƯỜNG GẶP DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. Trang số 4 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc A. Kiến thức cần nhớ. 1. Phương trình sinx = sinα a/ 2 sin sin ( ) 2 x k x k Z x k  = + = ⇔ ∈  = − +  α π α π α π b/ sin . : 1 1. arcsin 2 sin ( ) arcsin 2 x a Ñieàu kieän a x a k x a k Z x a k = − ≤ ≤  = + = ⇔ ∈  = − +  π π π c/ sin sin sin sin( )u v u v= − ⇔ = − d/ sin cos sin sin 2 u v u v   = ⇔ = −  ÷   π e/ sin cos sin sin 2 u v u v   = − ⇔ = −  ÷   π * Các trường hợp đặc biệt: sin 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈ π sin 1 2 ( ) 2 x x k k Z= ⇔ = + ∈ π π sin 1 2 ( ) 2 x x k k Z= − ⇔ = − + ∈ π π 2 2 sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( ) 2 x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ π π 2. Phương trình cosx = cosα a/ cos cos 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ± + ∈ α α π b/ cos . : 1 1. cos arccos 2 ( ) x a Ñieàu kieän a x a x a k k Z = − ≤ ≤ = ⇔ = ± + ∈ π c/ cos cos cos cos( )u v u v= − ⇔ = − π d/ cos sin cos cos 2 u v u v   = ⇔ = −  ÷   π e/ cos sin cos cos 2 u v u v   = − ⇔ = +  ÷   π Các trường hợp đặc biệt: cos 0 ( ) 2 x x k k Z= ⇔ = + ∈ π π cos 1 2 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈ π cos 1 2 ( )x x k k Z= − ⇔ = + ∈ π π 2 2 cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ π 3. Phương trình tanx = tanα a/ tan tan ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈ α α π b/ tan arctan ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈ π c/ tan tan tan tan( )u v u v= − ⇔ = − d/ tan cot tan tan 2 u v u v   = ⇔ = −  ÷   π e/ tan cot tan tan 2 u v u v   = − ⇔ = +  ÷   π Trang số 5 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc * Các trường hợp đặc biệt: tan 0 ( )x x k k Z= ⇔ = ∈ π tan 1 ( ) 4 x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈ π π 4. Phương trình cotx = cotα cot cot ( )x x k k Z= ⇔ = + ∈ α α π cot arccot ( )x a x a k k Z= ⇔ = + ∈ π Các trường hợp đặc biệt: cot 0 ( ) 2 x x k k Z= ⇔ = + ∈ π π cot 1 ( ) 4 x x k k Z= ± ⇔ = ± + ∈ π π 5. Một số điều cần chú ý: a/Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. * Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( ). 2 x k k Z≠ + ∈ π π * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: ( )x k k Z≠ ∈ π * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( ) 2 x k k Z≠ ∈ π * Phương trình có mẫu số: (Mẫu số khác 0) • sin 0 ( )x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈ π cos 0 ( ) 2 x x k k Z≠ ⇔ ≠ + ∈ π π • tan 0 ( ) 2 x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈ π cot 0 ( ) 2 x x k k Z≠ ⇔ ≠ ∈ π b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đường tròn lượng giác. 3. Giải các phương trình vô định. Ví dụ 1.1. Giải phương trình lượng giác: 2 3 os10 2 os 4 6 os3 .cos cos 8cos . os 3c x c x c x x x x c x + + = + (1) Giải. ( ) 3 1 os10 1 os8 cos 2cos (4 os 3 3 os3 ) 2 os9 .cos 1 cos 2cos . os9 cos 1 2 . c x c x x x c x c x c x x x x c x x x k π ⇔ + + = + − ⇔ + = + ⇔ = ⇔ = Vậy phương trình có 1 họ nghiệm x = k2π. Ví dụ 1.2. Giải phương trình: 2 2 2 inx.sin os 2 sin 2 (0 ) 2 s x c x x x π π   + = − < <  ÷   (2) Trang số 6 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc Giải ( ) { } (2) 2sin x cos os4 sin 2 os4 12 3 sin 2 sin 4 . 2 4 0 0;1;2 ; 1. x c x x c x k x x x k l x l x k l π π π π π π ⇔ = ⇔ =  = +    ⇔ = − ⇔ ∈   ÷    = +   < < ⇒ = = ¢ Vậy phương trình có nghiệm là: 5 3 ; ; 12 12 4 x π π π   =     . Ví dụ 1.3. (KD – 2002) Tìm [ ] 0;14x ∈ nghiệm đúng phương trình: cos3x – 4.cos2x +3 cosx – 4 = 0 (3) Giải Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 4 os 3cos 4 2 os 1 3cos 4 0 4 os 8 os 0 4 os cos 2 0 cos 0 cos 2 2 c x x c x x c x c x c x x x x k x π π − − − + − = ⇔ − = ⇔ − = =  ⇔ ⇔ = +  =  Ta có: [ ] 1 14 1 0;14 0 14 3,9 2 2 2 x k k π π π ∈ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − ≈ Mà: { } 3 5 7 0;1;2;3 ; ; ; 2 2 2 2 k k x π π π π   ∈ ⇒ = ⇒ =     ¢ Ví dụ 1.4. (KD – 2004) Giải phương trình: ( ) ( ) 2cos 1 2sinx cos sin 2 sinxx x x− + = − (4) Giải. Ta có: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) (4) 2cos 1 2sinx osx sinx(2cos 1) 2cos 1 2sinx osx sinx 0 2cos 1 sinx osx 0 x c x x c x c ⇔ − + = − ⇔ − + − = ⇔ − + = 1 2 2 cos 3 3 2 sinx osx t anx 1 4 x k x k x c x k π π π π π π  = ± +    = ± + =   ⇔ ⇔     = − = − = − +     Ví dụ 1.5. Giải phương trình: 2 2 2cos 2 3 cos 4 4sin 1 4 x x x π   − − = −  ÷   . Trang số 7 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc Giải Phương trình đã cho tương đương với: 1 cos 4 3cos4 2(1 cos2 ) 1 2 x x x π   + − − = − −  ÷   3cos4 sin 4 2cos2x x x⇔ − = 3 1 cos4 sin 4 cos2 2 2 x x x⇔ − = cos 4 cos2 4 2 2 6 6 x x x x k π π   ⇔ + = ⇔ + = ± + π  ÷   , , 12 36 3 x k x k k π π π = − + π = − + ∈¢ Ví dụ 1.6. (KA – 2009) Giaûi phöông trình: (1 2sin x)cosx 3 (1 2sin x)(1 sin x) − = + − . Giải. ĐK: 1 sin 2 x − ≠ , sinx ≠ 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin cos 2sin cos 3 1 sin 2sin cos 3sin sin2 3cos2 ⇔ − = + − ⇔ − = + − ⇔ − = + Pt x x x x x x x x x x x x x 1 3 1 3 cos sin sin2 cos2 cos cos 2 2 2 2 2 3 6     ⇔ − = + ⇔ + = −  ÷  ÷     x x x x x x π π 2 2 2 ( ) 3 6 2 2 ( ) 2 2 18 3 3 6 x x k x k l x k tm x x k π π π π π π π π π π   + = − + ⇔ = −   ⇔ ⇔     = − + + = − + +     Vậy phương trình có nghiệm là: 2 , 18 3 x k k π π = − + ∈¢ Ví dụ 1.7. (KD – 2011) Giải phương trình: sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x + − − = + Trang số 8 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc Giải ĐK : tan 3x ≠ − ; cosx ≠ 0 Pt ⇔ sin2x + 2cosx − sinx − 1 = 0 ⇔ 2sinxcosx + 2cosx − (sinx + 1) = 0 ⇔ 2cosx (sinx + 1) − (sinx + 1)= 0 ⇔ (2cosx − 1)(sinx + 1) = 0 1 2 cos 3 2 sin 1 2 2 x k x x x k π π π π  = ± +   =  ⇔ ⇔    = − = − +    Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của pt : 2 ( ) 3 x k k π π = + ∈Z BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1. Giải các phương trình lượng giác sau: 1.1. 2 2 3 os2 tan 4sin ( ) cot 2 4 c x x x x π − = − + 1.2. ( ) 3 3 5 5 sin os 2 sin osx c x x c x+ = + 1.3. sinx sin 2 sin 3 3 cos os2 os3 x x x c x c x + + = + + 1.4. 2 1 cos tan 1 sinx x x + = − 1.5. 2 4 os os 3 x c c x= 1.6. 2 1 1 2 sin 4 sinx cos x x π   + = +  ÷   1.7. 1 3 cos3 1 tan 2 2sin 2 sin 2 x x x x π −   + − =  ÷   1.8. ) 2 sin(2 cossin 2sin cot 2 1 π += + + x xx x x 1.9. tan2x + cotx = 8cos 2 x 1.10. sinx.cot 5 1 os9 x c x = 1.11. 16.sin x.cos . os2 . os4 2x c x c x = 1.12. ( ) 4 4 1 sin os 3 os6 4 x c x c x+ = − Trang số 9 Tỏc gi: Nguyn Ngc Tun Trng THPT i Cn Vnh Tng Vnh Phỳc 1.13. (KB 02) 2 2 2 2 sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x = 1.14. (KB 05) sinx cos 1 sin 2 os2 0x x c x+ + + + = 1.15. (KD -03) 2 2 2 sin tan os 0 2 4 2 x x x c = ữ 1.16. Cho phng trỡnh: ( ) ( ) 2 2. inx 1 2 os2 2sinx 3 4 oss c x m c x + + = a. Gii phng trỡnh khi m=1. b. Tỡm m phng trỡnh cú ỳng hai nghim trờn [ ] 0; 1.17. Tỡm m phng trỡnh: 2 sin 4 x m + = ữ cú nghim 0; 2 x ữ Dng 2. Phng trỡnh bc 2, bc 3 vi mt hm s lng giỏc. * Cn nh: Daùng ẹaởt ẹieu kieọn 2 sin 0asin x b x c+ + = t = sinx 1 1t 2 cos cos 0a x b x c+ + = t = cosx 1 1t 2 tan tan 0a x b x c+ + = t = tanx ( ) 2 x k k Z + 2 cot cot 0a x b x c+ + = t = cotx ( )x k k Z Vớ d 2.1. (KB 2011) Giai phng trinh: sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x + = + + Gii Phng trỡnh ó cho tng ng : 2sinxcos 2 x + sinxcosx = 2cos 2 x 1 + sinx + cosx sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) 1 + sinx cosx(2cosx + 1)(sinx 1) sinx + 1 = 0 sinx = 1 hoc cosx(2cosx + 1) 1 = 0 x = 2 2 k + hoc 2cos 2 x + cosx 1 = 0 x = 2 2 k + hoc cos 1 cos 1/ 2 x x = = Trang s 10 [...]... của phương trình: cos 3 x + sin 3x   5  sin x + ÷ = cos 2 x + 3 1 + 2sin 2 x   2.19 Cho phương trình: cos2 x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 a Giải phương trinh khi m = 3 2  π 3π  b Tìm m để phương trình có nghiệm trên  ; ÷ 2 2  2 2.20 Cho phương trình: ( cos x + 1) ( cos2 x − m cos x ) = m sin x Trang số 13 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc a Giải phương. .. Tường – Vĩnh Phúc + cosx ≠0 chia hai vế của phương trình cho cos2x ta có: 4 tan 2 x + 3 3 t anx − 2 = 4(1 + tan 2 x) 2 2 ⇔ t anx = ⇒ x = arctan + kπ 3 3 Vậy phương trình có nghiệm là: x = 2 π + kπ + kπ x = arctan 3 2 Ví dụ 4 2 Giải phương trình: cos3 x + s inx − 3sin 2 x.cos x = 0 Giải + cosx = 0 khơng là nghiệm của phương trình + cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có: PT ⇔ 1 + t anx(1... x + 2 = 0 2 2 4.14 Cho phương trình: sin x + 2 ( m − 1) s inx.cos x − (m + 1)cos x = m Tìm m để phương trình có nghiệm 4.15 Cho phương trình: ( 6 − m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sinx+2( m − 2) sin 2 x.cosx − ( 4m − 3) cos x = 0 π   Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0;   4 Trang số 22 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc Dạng 5 Phương trình đối xứng theo sinx... Dạng 4 Phương trình đẳng cấp Cần nhớ: Dạng: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d asin3x + bsin2x.cosx + ccosx.sin2x + dcos3x = 0 Cách 1: • Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm phương trình không? Lưu ý: cosx = 0 ⇔ x = π + kπ ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ sin x = ± 1 2 • Khi cos x ≠ 0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ 0 ta được: a.tan 2 x + b.tan x + c = d (1 + tan 2 x ) • Đặt: t = tanx, đưa về phương trình. .. + kπ   t anx = 1 − 2  x = arctan(1 − 2) + kπ    Vậy phương trình có nghiệm là: x = π + kπ , x = arctan(1 + 2) + kπ , x = arctan(1 − 2) + kπ 4 Ví dụ 4.3 Giải phương trình: s inx.sin 2 x + sin 3 x = 6cos3 x Giải + cosx = 0 khơng là nghiệm của phương trình PT ⇔ 2sin 2 x.cos x + 3sin x − 4sin 3 x = 6cos 3 x + cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có: PT ⇔ 2 tan 2 x + 3 t anx(1+tan 2 x)... 2 = 1 ± 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± (t 2 − 1) 2 • Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t ≤ 2 Suy ra x Lưu ý dấu: •   π π cos x + sin x = 2 cos  x − ÷ = 2 sin  x + ÷  4  4 •   π π cos x − sin x = 2 cos  x + ÷ = − 2 sin  x − ÷  4  4 Ví dụ 5.1 Giải phương trình: 2cos3x – sinx – 2cos2x +1 = 0 (1) Giải (1) ⇔ 2 (1 – sin2x)... Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc Như vậy trong thời gian khơng được nhiều tơi đã trình bày với các em chun đề “ Phương trình lượng giác tuy chưa thật sâu sắc và có tính khái qt cao nhưng tơi hy vọng với tài liệu này sẽ giúp các em học tập có hiệu quả hơn Rất mong được sự góp ý của các em, chúc các emthi đạt kết quả cao Tác giả Nguyễn Ngọc Tuấn Trang số 36 ... Giải Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được: 1 2 (*) ⇔ cos7 x − 3 2 sin 7 x = − 2 2 π π  ⇔ sin  7 x − ÷ = sin 6 4  ⇔ − sin π π 2 cos7 x + cos sin 7 x = 6 6 2 5π 2π   x = 84 + k 7 ⇔  x = 11π + l 2π  84 7  Vậy phương trình có hai họ nghiệm : x = 5π 2π 11π 2π +k ,x = +l 84 7 84 7 Ví dụ 3.2 2 x x  Giải phương trình:  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2 2 2  Giải Phương trình đã cho tương đương với:... Trang số 13 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc a Giải phương trình khi m = -2  b Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên  0;  2π 3  ÷  Dạng 3 Phương trình bậc nhất với sinx và cosx • Cần nhớ: Dạng: asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0) Cách 1: • Chia hai vế phương trình cho (1) ⇔ • a a 2 + b2 a2 + b2 ta được: sin x +  a , cos α = sin α = a2 + b 2  Đặt:  a... t: (a − d )t 2 + b.t + c − d = 0 Cách 2: Dùng công thức hạ bậc (1) ⇔ a 1 − cos 2 x sin 2 x 1 + cos 2 x + b + c = d 2 2 2 ⇔ b.sin 2 x + (c − a).cos 2 x = 2d − a − c (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x) Ví dụ 4.1 Giải phương trình: 4sin 2 x + 3 3 sin x cos x − 2cos 2 x = 4 Giải + cosx = 0 PT ⇔ s in 2 x=1 x = π + kπ là nghiêm của phương trình 2 Trang số 19 Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn –