GIẢI TÍCH 12 Bổ túc về đại số: 1. Phương trình bậc 2:  ax 2 +bx+c=0 với x 1, x 2 là nghiệm thì ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 );  ∆=b 2 -4ac (∆’=b’ 2 -ac với b’=b/2) thì         ∆±− = ∆±− = a b x a b x 2 '' 2 2,12,1  Nếu a+b+c=0 thì x 1 =1; x 2 =c/a; nếu a-b+c=0 thì x 1 =1; x 2 = -c/a; S=x 1 +x 2 = - b/a; P=x 1 .x 2 = c/a (đl Vieet) 2. Tam thức bậc hai: f(x)= ax 2 +bx+c  ∆<0 thì f(x) cùng dấu a + 0)( 21 <⇔<< αα afxx     <∆ > ⇔> 0 0 0)( a xf +    <∆ < ⇔< 0 0 0)( a xf         >− > >∆ ⇔<< 0 2 0)( 0 21 α αα S afxx +        <− > >∆ ⇔<< 0 2 0)( 0 21 α αα S afxx 3. Phương trình bậc ba: ax 3 +bx 2 +cx+d=0  Nếu a+b+c+d=0 thì x 1 =1;  Nếu a-b+c-d=0 thì x 1 = -1;  Dùng Hoocner ax 3 +bx 2 +cx+d=(x-1)(ax 2 + βx + γ) = 0 với β=a+b; γ=β+c 4. Các công thức về lượng giác, cấp số và lôgarit:  );2cos1( 2 1 cos ); 2 cos(sin- ); 2 sin(cos 2 xx xxxx += +=+= ππ  )2cos1( 2 1 sin 2 xx −= ; 1+tg 2 x= x 2 cos 1 x x 2 2 sin 1 cotg1 −=+  Cấp số cộng: ÷a,b,c,… d = c – b = b – a  Cấp số nhân: a,b,c,… a b b c q == 1 I. ĐẠO HÀM: 1. Qui Tắc: 1. (u ± v)’ = u’ ± v’ 2. (u.v)’ = u’v + v’u 3. 2 ' v u'vv'u v u − =       4. (ku)’ = ku’ (k:const) 2. Công thức: (x n )’ = nx n-1 (u n )’ = nu n-1 u’ 2 ' x 1 x 1 −=       2 ' u 'u u 1 −=       ( ) x2 1 x ' = ( ) u2 'u u ' = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tgx)’ = xcos 1 2 (tgu)’ = ucos 'u 2 (cotgx)’ = xsin 1 2 − (cotgu)’ = usin 'u 2 − (e x )’ = e x (e u )’ = u’e u (a x )’ = a x .lna (a u )’ = u’a u .lna (lnx)’ = x 1 (lnu)’ = u 'u (log a x)’ = alnx 1 (log a u)’ = alnu 'u 2 II. KHẢO SÁT HÀM SỐ: 1. Hàm bậc ba y = ax 3 +bx 2 +cx+d: • Miền xác định D=R • Tính y’= 3ax 2 +2bx+c • y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có) • Tính y’’ tìm 1 điểm uốn • Bảng biến thiên • Điểm đặc biệt (2điểm) • Đồ thị (đt) * Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: - Để hs tăng trên D    ≤∆ > ⇔≥⇔ 0 0 0' 'y a y - Để hs giảm trên D    ≤∆ < ⇔≤⇔ 0 0 0' 'y a y - Để hs có cực trị trên D ⇔y’=0 có 2 n 0 phân biệt - Để hs không có cực trị ⇔y’=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép - Hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đồ thị - Chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là: y i =mx i +n - Đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. - Đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau ⇔ ax 3 +bx 2 +cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc ⇔ y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox. 3 2. Hàm trùng phương y = ax 4 +bx 2 +c: • Miền xác định D=R • Tính y’ • y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị • Bảng biến thiên • Điểm đặc biệt (2điểm) • Đồ thị * Các vấn đề đặc biệt cho hàm trùng phương: - Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng. - Để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D ⇔y’=0 có 3 n 0 pb (hoặc 1 n 0 ) - Để hs có điểm uốn ⇔ y’’=0 có 2 n 0 pb - Đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb ⇔ ∆>0; P>0; S>0. - Đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc ⇔ ∆>0; P>0; S>0; x 2 = 9x 1 và sử dụng định lý Vieet. 3. Hàm nhất biến dcx bax y + + = • Miền xác định D=R\ { } c d − • Tính ( ) 2 ' dcx bcad y + − = (>0, <0) • TCĐ c d x −= vì 0lim = −→ y c d x • TCN c a y = vì c a y x = ∞→ lim • Bảng biến thiên • Điểm đặc biệt (4điểm) • Đồ thị - Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 4 4. Hàm hữu tỷ: edx x edx cbxax y + ++= + ++ = γ βα 2 chia bằng Hoocner • Miền xác định D=R\ { } d e − • Tính y’= ( ) ( ) 2 2 2 . edx pnxmx edx d + ++ = + − γ α • y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có. • TCĐ d e x −= vì 0lim = −→ y d e x • TCX βα += xy vì 0lim = + ∞→ edx x γ • Bảng biến thiên • Điểm đặc biệt (4điểm) • Đồ thị * Một số kết quả quan trọng: - Đồ thị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng - Có 2 cực trị hoặc không ⇔ y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu hoặc vô nghiệm. - Nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là d bax y i i + = 2 và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị. - Đồ thị cắt ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ ax 2 +bx+c=0 có 2 nghiệm pb 5 * CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: 1. Phương trình tiếp tuyến: (pttt) a. Loại 1: pttt tại M(x 0, y 0 ) ∈ y=f(x) - Tính: + y’= + y’(x 0 )= - pttt: y = f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0 b. Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước Ta có: f’(x)=k Giải pt này tìm x 0 thay vào y=f(x) tìm được y 0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x 0 )+y 0 • pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a • pttt ⊥y=ax+b có hệ số góc k = -1/a. c. Loại 3: pttt qua M(x 0, y 0 ) của y=f(x) - ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x 0 )+y 0 - Để d là tt thì hệ sau có nghiệm:    = +−= (2) (1) kxf yxxkxf )(' )()( 00 - Thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên. 2. Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y= g(x) - Ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm. - Bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m) Đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị. - Để f(x) tiếp xúc g(x) ta có:    = = (x) ')(' )()( gxf xgxf từ đó tìm điểm tiếp xúc x 6 3. Đơn điệu: cho y=f(x) ; đặt g(x)=y’ a. g(x) = ax 2 +bx+c ≥ 0 trong (α,+∞) ⇔ a>0; α ≤− a b 2 ; g(α)≥0. b. g(x) = ax 2 +bx+c ≤ 0 trong (α,+∞) ⇔ a<0; α ≤− a b 2 ; g(α)≤0. c. g(x) = ax 2 +bx+c ≥ 0 trong (α,β) ⇔ ag(α)≤0; ag(β)≤0 {áp dụng cho dạng có m 2 } d. Trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x)) e. đối với hàm có mxđ D=R\{x 0 } thì • Tăng trên (α,+∞)⇔ y’≥0; x 0 ≤α • Giảm trên (α,+∞)⇔ y’≤0; x 0 ≤α 4. Cực trị: * y = f(x) có cực trị ⇔ y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”≠0) * y=f(x) có cực đại tại x 0 ⇔ ( ) ( )    < = 0'' 0' 0 0 xy xy * y=f(x) có cực tiểu tại x 0 ⇔ ( ) ( )    > = 0'' 0' 0 0 xy xy a. T.Hợp 1: Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d P.Pháp: • Tập xác định D = R • Tính y’ • Để hàm số có cực trị thì y / = 0 có hai n 0 pb    〉∆ ≠ ⇔ 0 0a 7 b. T.Hợp 2: Hàm số // 2 bxa cbxax y + ++ = P.Pháp: • Tập xác định       = / / \ a b RD • Tính ( ) 2 // / )( bxa xg y + = • Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm pb thuộc D      ≠− 〉∆ ⇔ 0)( 0 / / / a b g g 5. GTLN, GTNN: a. Trên (a,b) • Tính y’ • Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) • KL: ( ) ; max CD a b y y= , ( ) ; min CT a b y y= b. Trên [a;b] • Tính y’ • Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm ( ) 0 ;x a b∈ • Tính y (x 0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M KL: [ ] ; max a b y M= Chọn số nhỏ nhất m , KL: [ ] ; min a b y m= 8 III. HÀM SÓ MŨ VÀ LOGARIT: 1. Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n∈R ta có: a n a m =a n+m ; mn m n a a a − = ; ( n a 1 =a − m ; a 0 =1; a − 1 = a 1 ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; m n n b a b a =       ; n m n m aa = . 2. Công thức logarit: log a b = c⇔a c =b ( 0< a≠1; b>0) Với 0< a≠1, 0<b≠1; x, x 1 , x 2 >0; α ∈R ta có: log a (x 1 x 2 )=log a x 1 +log a x 2 ; log a 2 1 x x = log a x 1 −log a x 2 ; xa x a = log ; log a x α = α log a x; xx a a log 1 log α α = ; (log a a x =x); log a x= a x b b log log ; (log a b= a b log 1 ) ; log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . 3. Phương trình mũ- lôgarít : * Dạng a x = b ( a> 0 , 0a ≠ )  b ≤ 0 : pt vô nghiệm  b>0 : log x a a b x b= ⇔ = * Đưa về cùng cơ số: A f(x) = B g(x) ⇔ f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b= ( a> 0 , 0a ≠ )  Điều kiện : x > 0  log b a x b x a= ⇔ = • log a f(x) = log a g(x) ⇔ f(x) = g(x) • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… 9 4. Bất PT mũ – logarit: * Dạng a x > b ( a> 0 , 0a ≠ ) b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 : log x a a b x b> ⇔ > , khi a>1 log x a a b x b> ⇔ < , khi 0 < a < 1 * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b> ( a> 0 , 0a ≠ , x>0 ) log b a x b x a> ⇔ > , khi a >1 log b a x b x a> ⇔ < , khi 0 < x < 1 • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: ΙΙΙ1. Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) ⇔ F ( ) ( ) xfx = / , ( ) bax ;∈∀ 2. Nguyên hàm của hàm số sơ cấp  ∫ += cxdx.1  ( ) 1 1 . 1 −∝≠+ +∝ = ∫ +∝ ∝ c x dxx  ∫ += cxdx x ln. 1  ∫ += cSinxdxCosx .  ∫ +−= cCosxdxSinx.  ∫ += ctgxd x xCos . 1 2  ∫ +−= cCotgxdx xSin 2 1 .  ∫ += cedxe xx .  ∫ += c a a dxa x x ln . 10 [...]... gia hai vect a v b a.b Cos = = a.b a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 2 2 a12 + a 2 + a 3 b12 + b22 + b32 2 Gúc gia hai ng thng (a) v (b): ( 0 90 ) 0 Gi ng thng (a) v (b) cú VTCP ln lt l : a = ( a1 , a 2 , a 3 ) ; a.b Cos = = a.b l gúc gia hai ng thng (a) v (b) b = ( b1 , b2 , b3 ) a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 2 2 a12 + a 2 + a 3 b12 + b22 + b32 c bit: ab a.b = 0 3 Gúc gia hai mt phng ( ) v (... nghim z1 , z2 thỡ : z1 + z2 = v z1 z2 = a a nh lý o ca nh lý Viet : Nu hai s z1 , z2 cú tng z1 + z2 = S v z1 z2 = P thỡ z1 , z2 l nghim ca phng trỡnh : z 2 Sz + P = 0 16 HèNH HC 12 PHN I : CC KIN THC CN NH V HèNH HC 12 I T S GểC NHN TRONG TAM GIC VUễNG 1 sin = AB (I chia HUYN) BC 2 cos = AC (K chia HUYN) BC 3 tan = B AB (I chia K) AC 4 cot = A H AC (K chia I) AB II H THC LNG TRONG TAM GIC VUễNG... ; a3 ) ; b = ( b1 ; b2 ; b3 ) Trong khụng gian vi h trc Oxyz cho v k R Ta cú: 1) a b = ( a1 b1 ; a 2 b2 ; a 3 b3 ) 2) ka = ( ka1 ; ka 2 ; ka 3 ) 3) a.b = a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 4) 2 2 a = a12 + a 2 + a 3 5) Tớch cú hng ca hai vect a v b l a [ a, b ] = a b b 2 6) 7) 3 2 3 ; a 3 a1 a1 a 2 ; b3 b1 b1 b2 [a, b ] = a b Sin( a, b ) a1 = b1 a = b a 2 = b 2 a = b 3 3 21 [... a ( a1 ; a 2 ; a 3 ) l: x = x 0 + a1 t y = y 0 + a 2 t z = z + a t 0 3 ( t R) 3) Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng i qua im M0 cú VTCP: x x 0 y y 0 z z0 = = a1 a2 a3 a ( a1 ; a 2 ; a 3 ) l: 2 Vi a12 + a 2 + a 32 0 Qui c: Nu ai = 0 thỡ x x0 = 0 Vn 1: Tỡm VTCP ca ng thng tng quỏt A1 x + B1 y + C 1 z + D1 = 0 : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 B1C1 C1 A1 A1 B1 ; ; B2 C 2 C 2 A2 A1 B2 ... 11: Vit phng trỡnh ng thng d i qua im M 0 vuụng gúc vi ng thng 1 v ct ng thng 2 P.Phỏp: Gi ( ) l mt phng i qua M0 v vuụng gúc 1 Gi ( ) l mt phng i qua im M0 v cha 2 ng thng d = ( ) ( ) Vn 12: Vit phng trỡnh ng thng d i qua giao im ca ng thng v mt phng ( ) v d ( ) , d P.Phỏp: Gi { A} = ( ) Gi ( ) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi Nờn ( ) cú VTPT l VTCP ca ; ng thng d = ( ) ... ex Sinx dx v = dv = Cosx p dng cụng thc tớch phõn tng phn: A = [ u.v] b a b v.du a b - Loi 2: B = P( x ).Ln(ax + b).dx a Phng phỏp: t u = Ln(ax+b) dv = P(x).dx du = a dx ax + b v = 12 [ u.v] p dng: B = b a b v.du a IV DIN TCH HèNH PHNG: 1 Din tớch hỡnh phng gii hn bi (c): y = f(x) v hai ng x = a; x = b P.Phỏp: b DTHP cn tỡm l: S = f ( x ) dx (a < b) a Honh giao im ca (c) v . nghiệm của phương trình : 2 0z Sz P− + = . 16 HÌNH HỌC 12 PHẦN I : CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC 12 I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. sin α = AB BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos α . giác vuông: a) S = 1 2 ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): a) S = 1 2 a 2 (2 cạnh góc vuông. GIẢI TÍCH 12 Bổ túc về đại số: 1. Phương trình bậc 2:  ax 2 +bx+c=0 với x 1, x 2 là nghiệm thì ax 2 +bx+c