Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt tất cả các công thức toán thông dụng trong chương trình trung học phổ thông
Gv. Nguyễn Bá Hùng mail: bahung2681988@gmail.com Công thức toán 1. Phương trình bậc hai một ẩn: 2 0 (a 0)ax bx c+ + = ≠ Phương pháp: 2 4b ac∆ = − 0∆ > ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 b x a − + ∆ = , 2 2 b x a − − ∆ = 0 ∆ = ⇒ Phương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a − = = 0 ∆ < ⇒ Phương trình vô nghiệm. 2 ' 'b ac∆ = − ' 0∆ > ⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 ' 'b x a − + ∆ = , 2 ' 'b x a − − ∆ = ' 0 ∆ = ⇒ Phương trình có nghiệm kép 1 2 'b x x a − = = ' 0 ∆ < ⇒ Phương trình vô nghiệm. Áp dụng định lý Vi-ét nhẩm nghiệm: + Nếu 0a b c+ + = thì pt có 1 nghiệm 1x = còn nghiệm kia là c x a = . + Nếu 0a b c− + = thì pt có 1 nghiệm 1x = − còn nghiệm kia là c x a = − . 2. Xét dấu tam thức bậc hai: 2 ( ) ( 0; , ; ; ) b f x ax bx c a S a α β α β = + + ≠ ∈ℜ < = − 0 ( ) 0, 0 f x x a ∆ ≤ ≥ ∀ ∈ℜ ⇔ > 0 ( ) 0, 0 f x x a ∆ ≤ ≤ ∀ ∈ℜ ⇔ < α là nghiệm của ( ) ( ) 0f x f α ⇔ = 1 2 ( ) 0x x af α α < < ⇔ < 1 2 2 0 ( ) 0 0 S x x af α α α ∆ > > − > < < ⇔ 1 2 2 0 ( ) 0 0 S x x af α α α ∆ > < < ⇔ > − < 1 2 ( ) 0 ( ) 0 af x x af α α β β < < < < ⇔ < 1 2 ( ) 0 ( ) 0 af x x af α α β β < < < < ⇔ > 1 2 ( ) 0 ( ) 0 af x x af α α β β > < < < ⇔ < 1 2 1 2 0 ( ) 0 x x x x af α α α < < ∆ > ⇔ < < > 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 x x f f x x α β α β α β < < < ⇔ < < < < 1 2 2 2 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 S S af x x af α α β β α α ∆ > > < < < ⇔ > − > − < 3. Cấp số cộng: a/. Định nghĩa: Dãy số 1 2 , , , , n u u u gọi là một cấp số cộng có công sai d nếu 1k k u u d − = + . b/. Số hạng thứ n: 1 ( 1) n u u n d= + − . c/. Tổng n số hạng đầu tiên: 1 2 1 1 ( ) [2 ( 1) ] 2 2 n n n n n S u u u u u u n d= + + + = + = + − . 4. Cấp số nhân: a/. Định nghĩa: Dãy số 1 2 , , , , n u u u gọi là một cấp số nhân có công bội q nếu 1 . k k u u d − = . b/. Số hạng thứ n: 1 . n n u u q= c/. Tổng n số hạng đầu tiên: 1 2 1 1 . (q 1) 1 n n n q S u u u u q − = + + + = ≠ − Gv. Nguyễn Bá Hùng mail: bahung2681988@gmail.com Nếu 1 1q− < < ( | | 1q < ) thì 1 lim 1 n n u S q →∞ = − . 5. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-Si): , 0 thì 2 a b a b ab + ≥ ≥ ,dấu“=”xảy ra a b ⇔ = . , , 0a b c ≥ thì 3 3 a b c abc + + ≥ ,dấu “ =” xảy ra a b c ⇔ = = 6. Lũy thừa: a,b > 0 . .a a a a α β γ α β γ + + = a a a α α β β − = a a b b α α α = ÷ ( ) .a b a b α α α = k n k n a a= . . k m n m nk k m n a a a= = 7. Phương trình, bất phương trình mũ: ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) f x g x a a a f x g x < ≠ = ⇔ = hoặc 1 ( ), ( ) có nghia a f x g x = ( ) ( ) 0 ( 1)[ ( ) ( )] 0 f x g x a a a a f x g x > > ⇔ − − > 8. Logarit: 1 2 0 , , và 0 , 1N N N a b< < ≠ ta có: log M a N M N a= ⇔ = 1 1 2 2 log log log a a a N N N N = − ÷ log M a a M= log log a a N N α α = log a N a N= log log a a N N β α α β = log log log b a b N N a = 2 1 log log 1 2 a a N N N N= 1 log log a b b a = ( ) 1 2 1 2 log . log log a a a N N N N= + 1 2 1 log log log 2 a a a N N N= = 9. Phương trình, bất phương trình logarit: 0 1 log ( ) log ( ) ( ) 0 v ( ) 0 ( ) ( ) a a a f x g x f x g x f x g x < ≠ = ⇔ > > = 0 1 ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( 1)[ ( ) ( )] 0 a a a f x f x g x g x a f x g x < ≠ > > ⇔ > − − > II. LƯỢNG GIÁC A. Công thức lượng giác: 1. Hệ thức cơ bản. 2 2 sin os 1x c x+ = tan .cot 1x x = sin tan cos x x x = cos cot sin x x x = 2 2 1 1 cot sin x x + = 2 2 1 1 tan cos x x + = 2. Các cung liên kết: Đối cos(- x) = cos x sin(- x) = - sin x tan(- x) = - tan x cot(- x) = - cot x Bù ( ) sin sinx x π − = ( ) cos cosx x π − = − ( ) tan tanx x π − = ( ) cot cotx x π − = − Phụ sin cos 2 x x π − = ÷ cos sin 2 x x π − = ÷ tan cot 2 x x π − = ÷ cot tan 2 x x π − = ÷ Hơn kém π ( ) tan tanx x π + = ( ) cot cotx x π + = ( ) sin sinx x π + = − ( ) cos cosx x π + = − Hơn kém 2 π sin cos 2 x x π + = ÷ cos sin 2 x x π + = − ÷ tan cot 2 x x π + = − ÷ cot tan 2 x x π + = − ÷ 3. Công thức nhân đôi sin 2 2sin cosx x x = 2 2 cos 2 cos sinx x x= − =2cos 2 x – 1 =1 – 2 sin 2 x 2 2 tan tan 2 1 tan x x x = − 4. Công thức hạ bậc Gv. Nguyễn Bá Hùng mail: bahung2681988@gmail.com 2 1 cos 2 sin 2 x x − = 2 1 cos 2 cos 2 x x + = 5. Công thức nhân ba 3 sin 3 3sin 4sinx x x= − 3 cos3 4cos 3cosx x x= − 3 2 3tan tan tan3 1 3tan x x x x − = − 6. Ct biêủ diễn qua tan 2 x t = 2 2 sin 1 t x t = + 2 2 1 cos 1 t x t − = + 2 2 tan 1 t x t = − Gv. Nguyễn Bá Hùng mail: bahung2681988@gmail.com B. Công thức biến đổi 1. Công thức cộng ( ) sin sin .cos cos .sinx y x y x y± = ± ( ) cos cos .cos sin .sinx y x y x y± = m ( ) tan tan tan 1 tan .tan x y x y x y ± ± = m 2. Tích thành tổng 1 cos .cos [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b= − + + 1 sin .sin [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b= − − + 1 sin .cos [sin( ) sin( )] 2 a b a b a b= − + + Đặc biệt sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x π π + = + = − ÷ ÷ sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x π π − = − = − + ÷ ÷ ( ) 2 1 sin 2 sin cosx x x± = ± 3. Tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 x y x y x y + − + = cos cos 2sin sin 2 2 x y x y x y + − − = − sin sin 2sin cos 2 2 x y x y x y + − + = sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y + − − = sin( ) tan tan cos .cos x y x y x y ± ± = sin( ) cot cot sin .sin y x x y x y ± ± = 4. Phương trình lượng giác a/. Phương trình cơ bản ( ) 2 sin sin 2 x k x k x k α π α π α π = + = ⇔ ∈ = − + ¢ Đặc biệt: sin 1 2 ; 2 x x k π π = ⇔ = + sin 1 2 ; 2 x x k π π = − ⇔ = − + sin 0x x k π = ⇔ = ( ) cos cos 2 x x k k α α π = ⇔ = ± + ∈¢ Đặc biệt: cos 1 2x x k π = ⇔ = cos 1 2x x k π π = − ⇔ = + cos 0 2 x x k π π = ⇔ = + ( ) tan tan x x k k α α π = ⇔ = + ∈¢ cot cotx x k α α π = ⇔ = + b/. Phương trình bậc n theo một hàm lượng giác Phương pháp: Đặt t = sin x (hoặc cos x, tan x, cot x) ta có 1 1 0 0 n n n n a t a t a − − + + + = Nếu t = cosx hoặc t = sinx thì có điều kiện 1 1t− ≤ ≤ c/. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx sin cos (a.b 0)a x b x c+ = ≠ Điều kiện có nghiệm 2 2 2 a b c+ ≥ Phương pháp: Chia cả hai vế cho 2 2 a b+ sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản. c./ Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx 2 2 .sin .sin .cos .cos 0a x b x x c x+ + = Phương pháp: + Xét cos 0 2 x x k π π = ⇔ = + có phải là nghiệm không. + Xét cos 0x ≠ chia 2 vế cho 2 cos x và đặt tant x= . d/. Phương trình dạng: .(sin cos ) .sin .cosa x x b x x c± + = Phương pháp: Đặt sin cos 2 sin ; 2 2 4 t x x x t π = ± = ± − ≤ ≤ ÷ 2 1 sin .cos 2 t x x − ⇒ = (hoặc 2 1 sin .cos 2 t x x − = ) và giải phương trình bậc hai theo t. C. Hệ thức lượng trong tam giác: 1. Định lý hàm số cosin: 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2. Định lý hàm số sin: Gv. Nguyễn Bá Hùng mail: bahung2681988@gmail.com 2 sin sin sin a b c R A B C = = = 3. Công thức đường trung tuyến: 2 2 2 2 4 a b c a m + = − 4. Công thức diện tích tam giác 1 1 . .sin . ( )( )( ) 2 2 4 a abc S a h ab C p r p p a p b p c R = = = = = − − − III. Đạo hàm và tích phân 1. Đạo hàm: ( ) ' ' 'u v u v± = ± ( ) . ' '. '.u v u v v u= + 2 '. '. ' u u v v u v v − = ÷ ( ( )) ' . ' u x y f u x y u= ⇒ ( ) 1 ' .x x α α α − = ( ) 1 ' 2 x x = 2 1 1 ' x x = − ÷ ( ) sin ' cosx x= ( ) cos ' sinx x= − ( ) 2 1 tan ' cos x x = ( ) 1 ' . . 'u u u α α α − = ( ) ' ' 2 u u u = 2 1 ' ' u u u = − ÷ ( ) sin ' '.cosu u u= ( ) cos ' '.sinu u u= − ( ) 2 ' tan ' cos u u u = ( ) 2 1 cot ' sin x x = − ( ) ' x x e e= ( ) ' .ln x x a a a= ( ) 1 ln 'x x = ( ) 1 log ' .ln a x x a = ( ) 2 ' cot ' sin u u u = − ( ) ' '. u u e u e= ( ) ' '. .ln u u a u a a= ( ) ' ln ' u u u = ( ) ' log ' .ln a u u u a = 2. Bảng các nguyên hàm: dx x C= + ∫ 1 ( -1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ + ∫ 2 1dx C x x = − + ∫ ln x x a a dx C a = + ∫ cos sinxdx x C= + ∫ sin cosxdx x C= − + ∫ ln | | dx x C x = + ∫ x x e dx e C= + ∫ 2 tan cos dx x C x = + ∫ 2 cot sin dx x C x = − + ∫ Chú ý: Nếu ( ) ( )f x dx F x C= + ∫ thì 1 ( ) ( )f ax b dx F ax b C a + = + + ∫ IV. Số phức Đơn vị ảo i : 2 1i = − 4 1 k i = 4 1k i i + = 4 2 1 k i + = − 4 3k i i + = − Dạng đại số: ; ,z a bi a b= + ∈¡ ⇒ số đối z a bi − = − − ' 'a bi a b i+ = + { } '; 'a a b b⇔ = = ( ) ( )a bi a bi+ ± + ( ') ( ')a a b b i= ± + + z a bi = + ⇒ số phức liên hợp z a bi= − ( )( ' ' )a bi a b i+ + = ( ' ') ( ' ')aa bb ab ba i− + + z z= ' 'z z z z+ = + . ' . 'z z z z= z là số thực z z⇔ = z là số ảo z z⇔ = − 2 2 | | .z a b z z= + = | . '| | |.| '|z z z z= 1 2 1 . | | z z z − = 1 2 ' '. '. | | z z z z z z z − = = ' 'z z z z = ÷ ' | '| | | z z z z = z là căn bậc hai của w 2 wz⇔ = Nếu z x yi= + , w a bi= + thì 2 2 2 x y a xy b − = = Dạng lượng giác (cos sin )z r i ϕ ϕ = + với 2 2 cos ;sin r z a b a b r r ϕ ϕ = = + = = ' '(cos ' sin ')z r i ϕ ϕ = + suy ra Gv. Nguyễn Bá Hùng mail: bahung2681988@gmail.com ' '[cos( ') sin( ')] [cos( ') sin( ')] ' ' (cos sin ) 2 2 cos sin n n n n zz rr i z r i z r z r n i n k k z r i n n ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ π = + + + = − + − = + + + = + ÷ 0, 1k n= − V. Nhị thức Niwton. ( ) 0 1 1 2 2 2 0 n n n n n n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C a b C b C a b − − − = + = + + + + = ∑ 0 1 n n n C C= = k n k n n C C − = 1 1 k k k n n n C C C − + + = ! !( )! k n n C k n k = − ! ( )! k n n A n k = − ! n P n= Chúc các em học tập tốt! . B. Công thức biến đổi 1. Công thức cộng ( ) sin sin .cos cos .sinx y x y x y± = ± ( ) cos cos .cos sin .sinx y x y x y± = m ( ) tan tan tan 1 tan .tan x y x y x y ± ± = m 2. Tích thành tổng 1 cos. x π + = − ÷ 3. Công thức nhân đôi sin 2 2sin cosx x x = 2 2 cos 2 cos sinx x x= − =2cos 2 x – 1 =1 – 2 sin 2 x 2 2 tan tan 2 1 tan x x x = − 4. Công thức hạ bậc Gv. Nguyễn Bá. GIÁC A. Công thức lượng giác: 1. Hệ thức cơ bản. 2 2 sin os 1x c x+ = tan .cot 1x x = sin tan cos x x x = cos cot sin x x x = 2 2 1 1 cot sin x x + = 2 2 1 1 tan cos x x + = 2. Các cung