Đang tải... (xem toàn văn)
ứng dụng tối ưu hóa toán học giải bài toán markowitz tối ưu hóa danh mục đầu tư chứng khoán
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Trần Thị Như Hoa ỨNG DỤNG TỐI ƯU HÓA T OÁN HỌC GIẢI BÀI TOÁN MARKOWITZ TỐI ƯU HÓA DANH MỤC ĐẦU TƯ CHỨNG KHOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Toán - Tin ứng dụng Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Điển Hà Nội - 2010 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn H ữu Điển người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đ ại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá tr ình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Trần Thị Như Hoa Mục lục Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.Bài toán quy hoạch tuyến tính gốc và đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 2. Bài toán quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.Bài toán quy hoạch toàn phương dạng chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1. Điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (KT). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.Phương pháp điểm trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1. Hướng đi sử dụng phương pháp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2. Tính toán chiều dài mỗi bước lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.3. Tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.4. Thuật t oán điểm trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.Phương pháp gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1. Ý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2. Thuật t oán gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5.Phương pháp sử dụng các mở rộng của phương pháp đơn hình . . . . 18 2.5.1. Phát biểu bài toán và điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5.2. Hướng giải quyết vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 3. Giải bài toán Markowitz - tối ưu hóa danh mục đầu tư . . . 21 3.1.Tổng quan về bài toán Markowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1. Phát biểu bài toán Markowitz cơ bản và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.2. Các khái niệm và thông số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.3. Thuộc tính của bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.4. Một số kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.Phương pháp giải bài toán Markowitz gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1. Mô hình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.2. Điều kiện Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.3. Trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.4. Tìm nghiệm cơ sở của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.5. Ví dụ minh họa thuật giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 3.3.Thuật giải Markowitz tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1. Mô hình bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.2. Điều kiện tối ưu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.3. Tìm nghiệm cơ sở của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Phụ lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 Lời mở đầu Ngày nay, tối ưu hóa đã trở thành một lĩnh vực rất phát triển, góp phần quan trọng trong việc ứng dụng khoa học công nghệ vào cuộc sống và sản xuất. Quy hoạch toàn phương (QHTP) là một lĩnh vực của tối ưu hóa đã được phát triển từ đầu của thế kỷ 20, đến nay toàn bộ lý thuyết toán học cho lĩnh vự c này có thể nói là đã rất hoàn thiện. Chúng ta có hai lý do chính để yêu thích QHTP. Đầu tiên là về mặt thực tiễn, một mô hình rất quan trọng trong vấn đề tối ưu hóa đầu tư tài chính yêu cầu giải bài toán quy hoạch toàn phương. Lý do thứ hai cho sự yêu thích của chúng ta đó là dạng bài toán và cách giải QHTP là cầu nối tới một lĩnh vực mang tính rộng lớn hơn rất nhiều đó là quy hoạch lồi. Chúng ta sẽ đi vào vấn đề ứng dụng thực tiễn của QHTP, một vấn đề mà rất nhiều người quan tâm, không chỉ các nhà toán học mà các nhà kinh tế cũng đang nghiên cứu tỉ mỉ mô hình này. Khóa luận tậ p trung làm rõ một số vấn đề sau: Trình bày bài toán quy hoạch toàn phương tổng quát, các phương pháp chủ yếu để giải bài toán. Sau đó đi vào bài toán Markowitz: tối ưu hóa danh mục đầu tư chứng khoán. Bài toán Markowitz được trình bày dưới 2 dạng, dạng gốc và dạng tổng quát. Và cuối cùng là các ví dụ cũng như kết quả tính toán bằng số để minh họa cho bài toán. Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương và 1 phụ lục: • Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về bài toán quy hoạch tuyến tính gốc và đối ngẫu, thuật toán đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan đến khóa luận. • Chương 2 của khóa luận đi vào tr ình bày tổng quan về bài toán quy hoạch toàn phương, một số phương pháp chủ yếu để giải bài toán như phương pháp điểm trong, phương pháp gradient, phương pháp sử dụng những mở rộng của phương pháp đơn hình. • Chương 3 trình bày các kiến thức về kinh tế liên quan, đặt bài toán Markowitz, các điều kiện để bài toán tối ưu, sau đó đi vào trình bày phương pháp giải bà i toán Markowitz gốc với các ràng buộc dạng đẳng thức và bài toán Markowitz tổng quát với số ràng buộc lớn hơn, có thêm các ràng buộc dạng bất đẳng thức. • Phụ lục sử dụng bảng tính excel làm việc với bài toán trong thực tế. Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm khóa luận không trá nh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy c ô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010 Sinh viên Trần Thị Như Hoa 5 Chương 1 Một số kiến thức liên quan 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính gốc và đối ngẫu Bài toán quy hoạch tuyến tính[1] (QHTT) tổng quát có thể được phát biểu dưới dạng: min(max){ f(x) := n ∑ j=1 c j x j } (1.1) thỏa mãn: D := ∑ n j=1 a ij x j = b i , i = 1, ,m 1 , ∑ n j=1 a ij x j ≤ b i , i = m 1 + 1, ,m 2 , ∑ n j=1 a ij x j ≥ b i , i = m 2 + 1, ,m, l j ≤ x j ≤ u j , j = 1, . ,n. trong đó x j gọi là các biến, c j gọi là thành phần của véc tơ hệ số hàm mục tiêu (hàm giá), a ij gọi là hệ số ràng buộc, b i gọi là hệ số vế phải, l j < u j lần lượt gọi là các cận dưới và cận trên (giới hạn dưới và trên) của biến x j (i = 1, ,m, j = 1, , n) . Để nghiên cứu tính chất và cá c phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính (1.1) người ta thường chuyển bài toán này về một trong hai dạng chính tắc và chuẩn tắc. Trong khóa luận này chỉ để cập đến bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc như sau: min f(x) = c T x thỏa mãn: D p = Ax = b x ≥ 0. (1.2) Trong đó x = (x 1 , ,x n ) T gọi là các biến cần tối ưu, c = (c 1 , ,c n ) T là véctơ hàm mục tiêu, ma trận A = (a ij ) m×n là ma trận hệ số ràng buộc và b = (b 1 , ,b m ) T gọi là véctơ vế phải. Hàm f gọi là hàm mục tiêu, tập D p gọi 6 là tập ràng buộc. Ma trận A được giả thiết là có hạng đủ, rank A = m ≤ n và bài toán gọi là bài toán QHTT gốc, ký hiệu là (P). Một điểm x ∈ D p gọi là một điểm (hay phương án) chấp nhận được. Điểm x ∗ ∈ D p gọi là nghiệm (hay phương án tối ưu) của bài toán (1.2) nếu f (x ∗ ) ≤ f(x) với mọi x ∈ D p . Vì D p là tập lồi đa diện, nên x ∈ D p là đỉnh của D p thì x gọi là phương án cực biên (phương án cơ sở). Nếu x ∗ là điểm cực biên (đỉnh) của D p và tối ưu thì x ∗ gọi là phương án cực biên tối ưu. Cho một phương án cơ sở (hay một đỉnh) x, ký hiệu J + (x) = { j ∈ {1, ,n} : x j > 0} gọi là tập chỉ số c ơ sở của x. Nếu |J + (x)| = m thì x gọi là phương án không suy biến, còn nếu |J + (x)| < m thì x gọi là phương án suy biến. Ta công nhận kết quả sau: tập hợp các véctơ B + (x) = {A j | j ∈ J + (x)} (1.3) gồm các véctơ cột của A sẽ là một hệ độc lập tuyến tính. Nếu r := |J + (x)| < m thì ta bổ sung thêm m− r véctơ còn lại của A vào B + (x) sao cho ta thu được hệ gồm m véctơ cột của A độc lập tuyến tính, ký hiệu là B(x). Hệ véctơ B(x) gọi là hệ véctơ cơ sở (hay gọi tắt là cơ sở) của phương án cực biên x. Thông thường ta thường gọi J(x) là tập chỉ số cơ sở thay cho gọi cơ sở B(x). Lập hàm Lagra nge cho bài toán QHTT gốc (P) như sau: L(x,y,s) = c T x+y T (b−Ax) + s T x (1.4) trong đó y và s ≥ 0 là các nhân tử Lagrange. Khi đó bài toán đối ngẫu (dạng Lagrange) của bài toán gốc (P) sẽ có dạng (sẽ ký hiệu là (D)): maxg(y, s) = b T y thỏa mãn: D d = A T y+s = c s ≥ 0. (1.5) Biến s gọi là biến bù, g gọi là hàm mục tiêu đối ngẫu và D d gọi là miền ràng buộc đối ngẫu. Hiển nhiên D d cũng là tập lồi đa diện và bài toán (1.5) cũng là bài toán QHTT. Với mọi bộ ba (x,y, s) sao cho x ∈ D p và (y,s) ∈ D d ta đặt τ (x,y,s) = f(x) −g(y,s) = s T x, (1.6) gọi là khoảng trống đối ngẫu. Theo định lý đối ngẫu yếu thì τ (x,y,s) ≥ 0, và nếu τ (x,y,s) = 0 thì (x,y,s) sẽ là nghiệm của cặp bài toán gốc đối ngẫu ( P)- (D). C òn theo định lý đối ngẫu mạnh thì nếu x ∗ là nghiệm tối ưu của bài toán gốc (P) thì sẽ tồn tại nghiệm tối ưu (y ∗ ,s ∗ ) của bà i toán đối ngẫu (D) sao cho τ ∗ = τ (x ∗ ,y ∗ ,s ∗ ) = 0 và ngược lại. 7 1.2. Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT. Một trong những phương pháp nổi tiếng và hiệu quả là phương pháp đơn hình, được G. B. Dantzig phát minh ra năm 1947. Phần này sẽ trình bày tóm tắt lại tư tưởng cơ bản và nội dung của phương pháp đơn hình, phương pháp này sẽ được sử dụng để tính toán nhiều trong khóa luận. Trước hết ta chỉ ra một tính chất quan trọng của bài toán quy hoạch tuyến tính là nghiệm sẽ nằm ở điểm cực biên. Bổ đề 1.2.1. Giả sử bài toán QHTT gốc (1.2) có nghiệm tối ư u thì nó sẽ có nghiệm tối ưu x ∗ nằm ở đỉnh. Do tính chất đặc biệt của bài toán QHTT nên thuật toán đơn hình đã tận dụng rất hiệu quả các tính chất này để tạo ra một thuật toán rất hiệu quả. Đặc biệt là các tính chất: • Miền ràng buộc của bài toán QHTT là một tập lồi đa diện với số điểm cực biên là hữu hạn. • Nếu bài toán QHTT có nghiệm tối ưu thì sẽ có nghiệm tối ưu nằm ở đỉnh. Ý tưởng của thuật toán Bước 1: Xuất phát từ một đỉnh x 0 của miền ràng buộc. Bước 2: Nếu x 0 là nghiệm tối ưu, dừng thuật toán. Nếu không chuyển sang bước 3. Bước 3: Từ x 0 tìm cách di chuyển đến đỉnh kề tiếp theo của miền ràng buộc tốt hơn đỉnh x 0 (theo nghĩa giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn). Bước 4: Lặp lại Bước 2, 3 với x 0 thay bằng x 1 . Do số đỉnh của miền ràng buộc là hữu hạ n, nên nếu bài toán có nghiệm, sau hữu hạn bước ta sẽ tìm được đỉnh tối ưu. Có nhiều vấn đề cần giải quyết trong phương pháp đơn hình, bao gồm: • Tìm đỉnh xuất phá t, vấn đề này thường đư ợc giải quyết dự a vào phương pháp hai pha hoặc đánh thuế (hai phương pháp này cũng cho biết miền ràng buộc có rỗng hay không). • Kiểm tra bài toán có nghiệm hay vô nghiệm (có bị chặn dưới hay không). • Kiểm tra đỉnh x 0 có là tối ưu hay không? • Từ đỉnh x 0 làm thế nào di chuyển đến đỉnh x 1 tốt hơn x 0 ? 8 Thuật toán đơn hình. • Đầu vào: Ma trận A = (a ij ) m×n , véctơ b, vé ctơ c. Phương án cơ sở x 0 và cơ sở tương ứng J(x 0 ). • Đầu ra: Phương án cơ sở tối ưu x ∗ và giá trị mục tiêu tối ưu f(x ∗ ) hoặc chỉ ra bài toán không c ó nghiệm tối ưu (tức là hàm mục tiêu không bị chặn dưới). • Thuật toán: Bước khởi tạo: 1. Tìm một phương án cơ sở xuất phát x 0 ứng với cơ sở xuất phát J 0 := B(x 0 ). 2. Tính các hệ số khai triển Z = (z jk ) và các ước lượng ∆ k theo các công thức tương ứng sau A k = ∑ j∈J 0 z jk A j ∀ j = 1,n ∆ k = ∑ j∈J 0 z jk c j − c k ∀k /∈ J 0 ∆ k = 0 ∀k ∈ J 0 Bước 1: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu. 1. Nếu ∆ k ≤ 0 với mọi k /∈ J 0 thì x 0 là phương á n tối ưu. Kết thúc thuật toán. 2. Nếu ∃∆ k > 0, chuyển sang bước 2. Bước 2: Kiểm tra tính bị chặn của hàm mục tiêu. Với mỗi k /∈ J 0 mà ∆ k > 0 ta kiểm tra các hệ số khai triển Z k = (z jk ). 1. Nếu có một ∆ k > 0 mà tất cả các hệ số khai triển z jk ≤ 0, (∀ j ∈ J 0 ) thì kết luận hàm mục tiêu không bị chặn dưới. Bài toán không có phương án hữu hạn. Kết thúc thuật toán. 2. Nếu với mọi k /∈ J 0 mà tồn tại ít nhất một hệ số z jk > 0 thì tiến hành tìm phương án mới x 1 tốt hơn x 0 bằng cách chuyển sang bước 3. Bước 3: Tìm phương án mới 1. Chọn véctơ A s đưa vào cơ sở: Có thể bất kỳ s /∈ J ) sao cho ∆ s > 0. Thông thường chọn s sao cho ∆ s lớn nhất 2. Chọn véctơ A r đưa ra khỏi cơ sở theo quy tắc: 9 [...]... Chương 3 Giải bài toán Markowitz - tối ưu hóa danh mục đầu tư 3.1 Tổng quan về bài toán Markowitz Quy hoạch toàn phương có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, nhất là trong lĩnh vực kinh tế Một ứng dụng điển hình đó là bài toán Markowitz Harrry Markowitz là nhà toán học và nhà kinh tế học, ông đã nghiên cứu quá trình đầu tư trong kinh tế và đề xuất lên bài toán Markowitz về tối ưu hóa danh mục đầu tư Với... nhà đầu tư không chỉ đầu tư vào một tài sản mà đầu tư vào nhiều loại tài sản thì phải có những phương pháp đánh giá hiệu quả đầu tư cho một danh mục tài sản Một danh mục đầu tư chứng khoán bao gồm nhiều loại chứng khoán khác nhau Mỗi loại chứng khoán lại có lợi suất đầu tư riêng Vì thế lợi suất ước tính của một danh mục đầu tư chứng khoán là bình quân của lợi suất thu được từ mỗi chứng khoán trong danh. .. chứng khoán riêng lẻ, rủi ro tổng thể của danh mục chứng khoán là khả năng biến động trong tư ng lai về kết quả thu được từ danh mục đầu tư Vì thế khi phân tích rủi ro của một danh mục đầu tư chứng khoán nguời ta phải quan tâm đến rủi ro của cả danh mục chứ không phải rủi ro của một loại chứng khoán nào 22 Trong một danh mục đầu tư mỗi loại chứng khoán có mức rủi ro khác nhau Vì thế đa dạng hóa đầu tư. .. vậy khi tạo danh mục đầu tư tối ưu nhà đầu tư phải tính các độ lệch chuẩn, phương sai, covariance, xác định đường cong hiệu quả của danh mục, và sau đó xác định danh mục đầu tư hoàn chỉnh Chúng ta cùng tìm hiểu phần tiếp theo đó là một vài tiếp cận về mặt toán học để xác định danh mục đầu tư chứng khoán tối ưu Đối với bài toán Markowitz 26 Hình 3.1: Đường cong hiệu quả của danh mục đầu tư và các tiệm... (không bỏ tất cả trứng vào một rổ) trở thành một nguyên tắc trong đầu tư chứng khoán và là giải pháp quan trọng để giảm thiểu rủi ro cho toàn danh mục Thực tế cũng chứng minh rằng, nhiều khi bổ sung vào một danh mục đầu tư các chứng khoán có tính rủi ro lại là yếu tố quan trọng góp phần giảm thiểu rủi ro cho toàn danh mục đầu tư Bởi vì một khi danh mục đầu tư có nhiều loại chứng khoán khác nhau thì... toàn danh mục đầu tư Thỏa mãn: • giá trị kỳ vọng lợi nhuận trả về hay lợi nhuận ước tính của toàn danh mục đầu tư phải lớn hơn mức tối thiểu (mức mục tiêu đề ra) cho phép • các tỷ trọng đầu tư ứng với từng chứng khoán: các tỷ trọng này phải không âm và có tổng bằng 1 Các ký hiệu sử dụng: Chỉ số j : chỉ mục đầu tư thứ j (hay chứng khoán j) Các tham số: • R j lợi nhuận trả về của chứng khoán j (biến... Lập bài toán phụ cho bài toán (P), giải bài toán phụ bằng phương pháp đơn hình Nếu bài toán phụ vô nghiệm hoặc có nghiệm không là nghiệm chấp nhận của bài toán (P), dừng thuật toán Ngược lại, chuyển sang pha 2 Pha 2: Sử dụng thuật toán đơn hình giải bài toán (P) với phương án xuất phát thu được từ pha 1 12 Chương 2 Bài toán quy hoạch toàn phương 2.1 Đặt vấn đề Chúng ta vừa xét bài toán QHTT với hàm mục. .. và đưa ra mô hình Markowitz [5] về cách lựa chọn danh mục đầu tư hiệu quả nhất Nào chúng ta hãy cùng tìm hiểu mô hình[10] này trong sự tác động giữa các biến ngẫu nhiên 3.1.1 Phát biểu bài toán Markowitz cơ bản và các tính chất Mục tiêu của bài toán Markowitz là tìm tỷ trọng của các chứng khoán trong danh mục đầu tư sao cho giảm tới mức tối thiểu phương sai (rủi ro) của toàn 23 danh mục mà đạt được một... giữa chúng sẽ có tác động tư ng tác, bù trừ rủi ro lẫn nhau và tạo ra một kết quả đầu tư chung cho toàn danh mục Để xác định hệ số rủi ro giữa hai chứng khoán và giữa chứng khoán với từng danh mục người ta cần xem xét hệ số covariance (tích sai - đồng phương sai) và hệ số tư ng quan (correlation coefficient) của danh mục đầu tư Công thức tính hệ số covariance giữa hai chứng khoán như sau: Cov(ra , rb... lớn các ứng dụng, bài toán mà hàm mục tiêu của chúng không ở dạng tuyến tính mà có dạng bậc hai Những bài toán mà hàm mục tiêu là bậc hai của các biến tối ưu và tất cả các ràng buộc là tuyến tính thì bài toán có dạng quy hoạch toàn phương (QHTP) Với bài toán dạng này thì các phương pháp giải có mối quan hệ tới các mở rộng của bài toán quy hoạch tuyến tính Trong phần đầu tiên sẽ giới thiệu về bài toán