Đang tải... (xem toàn văn)
rất bổ ích cho các bạn ôn thi đh
Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số • Tìm TXĐ • Tính y’. Tìm các điểm tới hạn. • Lập bảng biến thiên • Kết luận. Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R hoặc trên từng khoảng của tập xác định. • Tìm TXĐ • Tính y’ • Hàm số ĐB trên R ' 0,y x R≥ ∀ ∈ 0 0a ∆ ≤ ⇔ > ( Hàm số nghịch biến trên R ' 0,y x R≤ ∀ ∈ 0 0a ∆ ≤ ⇔ < ) Từ đó suy ra điều kiện của m. Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b) * Cách 1: + Hàm số ĐB trên (a,b) ( ) ' 0, ,y x a b≥ ∀ ∈ [ ] ' 0, ,y x a b≥ ∀ ∈ ( vì y’liên tục tại x = a và x =b) g(x) ≥ h(m) , [ ] ,x a b∀ ∈ ( ) ( ) min , g x h m a b ≥ (*) + Tính g’(x) . Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x 0 [ ] ,a b∈ Tính ( ) ( ) ( ) 0 , ,g x g a g b => ( ) min , g x a b + Từ (*) suy ra điều kiện của m. * Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2) + Hàm số ĐB trên (a,b) ( ) ' 0, ,y x a b≥ ∀ ∈ Có 2 trường hợp : * TH1 : 0 ' 0, 0 y x R a ∆ ≤ ≥ ∀ ∈ ⇔ > suy ra m * TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa …….(điều kiện về x 1 , x 2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai ) Suy ra m Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm. Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ dài bằng d. + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng ĐB, NB y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 0 0a ∆ > ⇔ ≠ .suy ra m. (*) + Biến đổi 1 2 x x d− = thành ( ) 2 2 1 2 1 2 4x x x x d+ − = Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m. Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm. Bài 1. 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x), ( ) ,x a b∀ ∈ bằng cách sử dụng tính đơn điệu ( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 ) • Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b). • Tính '( )f x . Chứng tỏ '( ) 0, [ , )f x x a b≥ ∀ ∈ Hàm số đồng biến trên [a,b). ( ) , : ( ) ( )x a b f x f a∀ ∈ > =… Suy ra đpcm Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số • Quy tắc 1: + Tìm TXĐ + Tính y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có) +Lập bảng biến thiên + Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =… và y CĐ = … Hàm số đạt cực tiểu tại x =… và y CT = … • Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng giác): + Tìm TXĐ + Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm các nghiệm x i + Tính y” Tính y”(x i ) +Kết luận : y”(x i ) >0 => hs đạt CT tại x i và y CT =… y”(x i ) <0 => hs đạt CĐ tại x i và y CĐ =… Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị. (Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm đó) • Tìm TXĐ • Tính y’ - Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có 2 cực trị) pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt ' 0 0 y a ∆ > ≠ .suy ra m. - Hàm b3 ko có cực trị y’=0 có n 0 kép hoặc vô n 0 . - Hàm 2 1 b b có cực trị pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt khác x 0 ( với x 0 là nghiệm ở mẫu) 0 0 ( ) 0 g g x ∆ > ⇔ ≠ ( với g(x) = tử số của y’ ) Giải hệ tìm m. Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x 0 . • Tìm TXĐ • Tính y’ Cách 1: • Hàm số đạt cực trị tại x = x 0 => y’(x 0 ) = 0 .tìm m • Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không. Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x 0 ( ) ( ) 0 0 ' 0 " 0 y x y x = ⇔ ≠ Giải hệ tìm m. Trang 1 Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x 0 • Tìm TXĐ • Tính y’ , y” • Hàm số đạt cực đại tại x = x 0 ( ) ( ) 0 0 ' 0 " 0 y x y x = < ( Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ( ) ( ) 0 0 ' 0 " 0 y x y x = > ) • Giải hệ tìm m. Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x 1 , x 2 ) . + Tìm TXĐ + Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*) + Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0 ( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của các hoành độ) + Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K. So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt. Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông góc hoặc song song với đt cho trước,….) + Tìm TXĐ + Tính y’ + Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*) + Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b) Gọi ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , ,M x y M x y là các điểm cực trị. => ( ) 1 ' 0y x = và ( ) 2 ' 0y x = Suy ra : 1 1 y ax b= + , 2 2 y ax b= + Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d m : y = ax +b + Tìm m thỏa điều kiện K. + So với (*) kết luận m cần tìm . Bài 2. 7 : Cực trị của hàm trùng phương ( ) 4 2 0y ax bx c a= + + ≠ + TXĐ : D = R + Tính y’ = 4ax 3 +2bx ( ) 2 0 ' 0 4 2 0 * x y ax b = = ⇔ + = • Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0 • Hàm số có 3 cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt pt (*) có 2 nghiệm phận biệt khác 0 a.b <0 • Hàm số có 2 CĐ và 1 CT y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0 0 0 a b < > • Hàm số có 2 CT và 1 CĐ y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0 0 0 a b < > • Hàm số có đúng 1 cực trị pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0. . 0 0 a b b > = Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A. Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b) • Xét hàm số trên (a,b) • Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có ) • Lập bảng biến thiên • Dựa vào BBT kết luận ( ) ( ) max , min , , y y a b a b . Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] • Xét hàm số trên [a,b] • Tính y’ Cho y’ = 0 tìm các nghiệm x i [ , ]a b∈ • Tính ( ) ( ) ( ) , , i y x y a y b • Kết luận max , min [ , ] [ , ] y y a b a b . Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp • Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung • Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t ( ) [ , ] t α β ∈ Ta được : g(t) = … Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm t i [ , ] α β ∈ Tính g( t i ) , ( ) ( ) ,g g α β • Suy ra : ( ) ( ) max max [ , ] [ , ] min min [ , ] [ , ] y g t khi x a b y g t khi x a b α β α β = = = = = = Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b] • Xét hàm số y = f(x) trên [a,b] • Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có ) • Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc [a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] ) • Suy ra max [ , ] y a b ( hoặc min [ , ] y a b ) • Cho max [ , ] y a b = d (hoặc min [ , ] y a b =d ) tìm m. Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Trang 2 Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương • B1 : Tập xác định : D = R • B2: Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm . • B3 : Giới hạn : lim x y →+∞ và lim x y →−∞ • B4: Bảng biến thiên Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu • B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt) • B6 : Vẽ đồ thị. ( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương nhận Oy làm trục đối xứng) Bài 4.2 : Khảo sát hàm ( ) 1 : 0 1 b ax b y ad bc b cx d + = − ≠ + • B1 : Tập xác định : D = \ d c − ¡ • B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0, d x c − ∀ ≠ • B3 : Giới hạn và tiệm cận : + 0 lim x y y →±∞ = ⇒ y = 0 y là tiệm cận ngang. + lim d x c y + − → ÷ = ∞ và lim d x c y − − → ÷ = ∞ (- ∞ hoặc+ ∞ ) d x c − ⇒ = là tiệm cận đứng. • B4: Bảng biến thiên . Kết luận : - Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng khoảng xác định. - Hàm số không có cực trị. • B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt) • B6 : Vẽ đồ thị. Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C): ( ) y f x= đã vẽ, biện luận theo m số nghiệm của phương trình ( ) , 0F m x = (1) • Đưa pt (1) về dạng : ( ) ( ) f x g m= • Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang) Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d. • Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận. g(m) m Số nghiệm pt (1) +∞ - ∞ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số * Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Pt tiếp tuyến của (C) tại điểm ( ) 0 0 ,M x y có dạng : ( ) ( ) 0 0 0 ' .y y f x x x − = − * Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C 1 ) và (C 2 ). (C 1 ) tiếp xúc với (C 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f x g x f x g x = = có n 0 Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại điểm ( ) 0 0 ,M x y • Tìm x 0 , y 0 . • Tính y’ . => y’(x 0 ) • Pt tiếp tuyến của (C) tại ( ) 0 0 ,M x y có dạng : ( ) ( ) 0 0 0 ' .y y y x x x− = − Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k. • Gọi ( ) 0 0 ,M x y là tiếp điểm. • Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: ( ) 0 0 .y k x x y= − + • d có hệ số góc k => ( ) 0 'y x = k. Giải tìm x 0 . suy ra y 0 = y(x 0 ) • Suy ra Pt tiếp tuyến d. Cách 2: Dùng đk tiếp xúc + Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b + d tiếp xúc với (C) ( ) ( ) ' f x kx b f x k = + = có nghiệm + Giải hệ tìm b . Viết pttt d. Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau : + d song song với ( ) 2 2 : y k x b∆ = + => k = k 2 + d vuông góc với ( ) 2 2 : y k x b∆ = + => 2 1 k k − = + d tạo với ( ) 2 2 : y k x b∆ = + một góc α thì ( ) ( ) 0 0 2 1 2 tan , 0 ,90 1 k k k k α α − = ∈ + +d tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc α thì k = tan α Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (x A , y A ) • Gọi d là tiếp tuyến qua A (x A , y A ) và có hệ số góc k . Suy ra : d : ( ) A A y k x x y= − + • d tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm : ( ) ( ) ( ) ' A A f x k x x y f x k = − + = • Giải hệ tìm x ( pp thế). => k . Viết pttt. Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm : • Gọi ( ) 0 0 0 ,M x y là tiếp điểm.Khi đó ( ) 0 0 y f x= • Pt tiếp tuyến d tại M có dạng : ( ) ( ) 0 0 0 ' .y y y x x x− = − • Vì d qua A(x A , y A ) nên : ( ) ( ) 0 0 0 ' . A A y y y x x x− = − • Giải pt tìm x 0 . Từ đó viết pttt. Trang 3 Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường: Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là ( ) ( ) 1 2 ,C C . Biện luận theo m số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ): * B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của ( ) 1 C và ( ) 2 C f(x,m) = g(x, m) (1) * B2: Biện luận theo m số giao điểm của ( ) 1 C và ( ) 2 C . Chú ý : * Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau: - Tính ∆ . - Biện luận theo ∆ => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm của ( ) 1 C và ( ) 2 C . * Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau : - Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a) - Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne). Ta có: (1) (x-a)(Ax 2 +Bx + C) = 0 2 0 (2) x a Ax Bx C = + + = - Tính ∆ , Biện luận theo ∆ => Số nghiệm pt(2) => số nghiệm pt (1). Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba: Số n 0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox Pt bậc 3 Đồ thị của hàm số và trục hoành Nếu Có 3 nghiệm tạo thành cấp số cộng Cắt tại 3 điểm cách đều nhau (hay 3 điểm lập thành CSC) f ’(x) = 0 có 2 n 0 pb và điểm uốn nằm trên trục Ox Có 3 n 0 đơn phân biệt Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt f ’(x) = 0 có 2 n 0 pb và y CĐ .y CT <0 Có 1 n 0 kép, 1 n 0 đơn Tiếp xúc nhau tại 1 điểm và cắt nhau tại 1 điểm f ’(x) = 0 có 2 n 0 pb và y CĐ .y CT = 0 Có duy nhất 1 n 0 đơn Cắt nhau tại 1 điểm Có 2 trường hợp : * f ’(x) = 0 có n 0 kép hoặc vô n 0 . * f ’(x) = 0 có 2 n 0 pb và y CĐ .y CT >0 Định lí Viet về pt bậc 3: 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3 b x x x a c x x x x x x a d x x x a − + + = + + = − = Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m ): y = f(x,m) Cách 1: • Gọi M(x 0 , y 0 ) là điểm cố định của họ đồ thị (C m ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 . , , m M x y C m y f x m∈ ∀ ⇔ = có n 0 m ∀ • Biến đổi pt theo ẩn m. • Áp dụng đk pt có n 0 m∀ các hệ số đồng thời bằng 0. giải tìm x 0 , y 0 . => Kết luận. Lưu ý :* ax + b = 0 , m ∀ 0 0 a b = = * 2 0 0, 0 0 a ax bx c m b c = + + = ∀ ⇔ = = Cách 2: • Gọi M(x 0 , y 0 ) là điểm cố định của họ đồ thị (C m ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 . , , , m M x y C m y f x m m∈ ∀ ⇔ = ∀ (*) • Đặt F(m) = f(x 0 ,m) . F(m) = y 0 không đổi => F’(m) = 0 . Giải pt tìm x 0 . • Thay vào (*) tìm y 0 . Kết luận điểm cố định. Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ thị (C’) : a) ( ) y f x= , b) ( )y f x= • Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) a) Đồ thị hàm số ( )y f x= Ta có: ( ), ( ) 0 ( ) ( ), ( ) 0 f x f x y f x f x f x ≥ = = − < +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành +Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành Suy ra đồ thị hàm số ( )y f x= b) Đồ thị hàm số ( )y f x= Ta có: ( )y f x= là hàm số chẳn và ( ), 0 ( ) ( ), 0 f x x y f x f x x ∀ ≥ = = − ∀ < +Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung +Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung. Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua trục tung. Suy ra đồ thị hàm số ( )y f x= Trang 4 Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A ( ) ( ) P x y Q x = có tọa độ nguyên * Phân tích ( ) ( ) ( ) ( ) P x a y A x Q x Q x = = + , với A(x) là đa thức , a ∈¢ * Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên x nguyên và a là bội của Q(x). * Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận. Trang 5 . Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN. dụng của GTLN, GTNN vào giải toán VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Trang 2 Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com. 1 Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1 www.VNMATH.com GV : Nguyễn Thị A Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x 0 • Tìm TXĐ • Tính y’ , y” • Hàm số đạt cực đại