- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Mơn: TỐN CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 MÔN TOÁN I PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm): Câu (2 điểm): - Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số - Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: Chiều biến thiên hàm số; cực trị; giá trị lớn nhỏ hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số; tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước; tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng)… Câu (2 điểm): - Phương trình, bất phưong trình; hệ phương trình đại số - Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác Câu (1 điểm): - Tìm giới hạn - Tìm ngun hàm, tính tích phân - Ứng dụng tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay Câu (1 điểm): - Hình học khơng gian (tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vuông góc đường thẳng, mặt phẳng; diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Câu (1 điểm): - Bài tốn tổng hợp II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu 6.a (2 điểm): - Phương pháp toạ độ mặt phẳng không gian: + Xác định toạ độ điểm, vectơ + Đường tròn, elip, mặt cầu + Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng + Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 6.a (1 điểm): - Số phức - Tổ hợp, xác suất, thống kê - Bất đẳng thức; cực trị biểu thức đại số Theo chương trình Nâng cao: Câu 5.b (2 điểm): - Phương pháp toạ độ mặt phẳng không gian: + Xác định toạ độ điểm, vectơ + Đường trịn, ba đường cơnic, mặt cầu + Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng + Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 6.b (1 điểm): - Số phức - Đồ thị hàm phân thức hữu tỷ dạng y = số yếu tố liên quan - Sự tiếp xúc hai đường cong - Hệ phương trình mũ lôgarit - Tổ hợp, xác suất, thống kê - Bất đẳng thức; cực trị biểu thức đại số - Trang Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Phần thứ nhất: NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CÁC CHUYÊN ĐỀ -1 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Biện luận số giao điểm đường (C): y = f(x) (C’): y = g(x) Số giao điểm hai đường (C 1) y= f(x) (C2) y=g(x) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm (C1), (C2): f(x) = g(x) (1) Sự tiếp xúc hai đường cong:  f ( x) = g ( x) Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với khi hệ sau có nghiệm:   f '( x) = g '( x) Viết PTTT đồ thị (C) hàm số y =f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) M0(x0;y0) ∈ (C) Tìm thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào y – y0 = f’(x0) ( x − x0 ) Bài toán 2: Viết pttt (C): y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến (hay: biết tiếp tuyến song song, vng góc với đường thẳng (D) ) - Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm) - Tìm y0 thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 ta có kết Bài toán 3: Viết pttt (C): y = f(x) biết tiếp tuyến qua hay xuất phát từ A(xA;yA) - Viết pt đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) (1) f (x) = k(x − x A ) + y A - (d) tiếp tuyến (C) khi hệ sau có nghiệm:  f '(x) = k(*) - Giải pt f ( x) = f '( x)( x − x A ) + y A tìm x thay vào (*) tìm k , thay vào (1) ta có kết PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN B ≥ 1) Dạng bản: • A = B ⇔  A = B B ≥ • A = B⇔ A = B 2) Tổng quát: - Phương pháp chung bình phương, lập phương hai vế phương trình cho để khử dấu căn, sau đặt điều kiện cho phương trình tương đương với hệ cho - Nếu phép bình phương, lập phương dẫn đến phương trình bậc cao, phức tạp ta tìm cách biến đổi thành tích dùng ẩn phụ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Các kiến thức cần nhớ:  B ≤ B ≥    A ≥ • A ≤ B ⇔ A ≥ 1) Dạng bản: • A ≥ B ⇔  B > A ≤ B    A ≥ B  2) Tổng quát: - Phương pháp chung bình phương hai vế bất phương trình cho để khử dấu căn, phải dùng ẩn số phụ trước bình phương - Một số dùng tính đơn điệu - Lưu ý: Xét trường hợp dấu hai vế thỏa mãn trước bình phương - Trang Mơn: TOÁN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hệ phương trình đối xứng 1) Hệ phương trình bậc hai ẩn 2) Hệ phương trình đối xứng loại 1: f ( x , y) = - Dạng:  f(x , y) g(x , y) biểu thức đối xứng theo x y g ( x , y) = - Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S2 - 4P ≥ 0) - Chú ý: + Đôi phải sử dụng ẩn phụ trước tiến hành đặt S, P + Do tính đối xứng nên (x , y) nghiệm (y , x) nghiệm 3) Hệ phương trình đối xứng loại 2: f ( x , y) = - Dạng:  (hốn vị vai trị x y phương trình thành phương trình kia) f ( y, x ) = - Cách giải: + Trừ vế theo vế ta phương trình phân tích thành (x - y)g(x,y) = x − y = g ( x , y) = ( I) ∨  ( II) + Khi hệ phương trình tương đương với:  f ( x , y) = f ( x , y) = g ( x , y) = - Lưu ý: (II) tương đương với  (Hệ đối xứng loại 1) f ( x , y) + f ( y, x ) = Hệ phương trình đẳng cấp f ( x , y) =  - Dạng:  f(x , y) g(x , y) biểu thức đẳng cấp bậc (tổng số mũ x g ( x , y) = y hạng tử nhau) - Cách giải: + Giải hệ với x = (hoặc y = 0) + Với x khác (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx) Ta hệ phương trình ẩn x t + Khử x, ta phương trình ẩn t Hệ phương trình mũ, lơgarit Phương pháp chung thường hay sử dụng là: Biến đổi với tính chất tương ứng, sau dưa hệ phương trình đại số (có thể phải qua bước dùng ẩn phụ) Để ý: Trong hai phương trình hệ thường có phương trình giúp rút ẩn theo ẩn để vào phương trình cịn lại Hệ phương trình khác Dùng phương pháp biến đổi tương đương, đưa hệ phương trình cho hệ phương trình đơn giản Thường ta dùng phép biến đổi sau: 1) Nếu biểu thị ẩn theo ẩn cịn lại dùng phương pháp 2) Nếu biến phương trình hệ thành tích ta phân tích hệ thành nhiều hệ đơn giản 3) Nếu biến đổi hệ thành biểu thức đồng dạng đặt ẩn phụ LƯỢNG GIÁC Các công thức biến đổi: 1) Hệ thức giá trị lượng giác cung góc có liên quan đặc biệt: * Cung đối nhau: cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; * Cung bù nhau: cos( π - x) = - cosx sin( π - x) = sinx tg( π - x) = - tgx * Cung phụ nhau: π π π cos( − x ) = sinx sin( − x ) = cosx tg( − x ) = cotgx 2 * Cung π : cos( π + x) = - cosx sin( π + x) = - sinx tg( π - x) = tgx cotg(-x) = - cotgx cotg( π - x) = -cotgx cotg( π − x ) = tgx cotg( π - x) = cotgx - Trang Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 2) Công thức cộng: cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa tga + tgb tg(a + b) = − tgatgb 3) Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina cosa; 4) Công thức hạ bậc: cos a = (1 + cos 2a ) ; cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa tga − tgb tg(a - b) = + tgatgb cos2a = 2cos2a - = - 2sin2a = cos2a - sin2a; sin a = (1 − cos 2a ) ; a 2t ; 5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t = tg : sin a = 1+ t2 6) Công thức biến đổi tổng thành tích: tg a = tg2a = tga − tg a − cos 2a + cos 2a cos a = 1− t2 1+ t ; tga = 2t 1− t2 a+b a−b a+b a−b cos cos a − cos b = −2 sin sin ; 2 2 a+b a −b a+b a−b sin a + sin b = sin cos sin a − sin b = cos sin ; 2 2 sin(a + b) sin(a − b) tga + tgb = ; tga − tgb = cos a cos b cos a cos b cos a + cos b = cos 7) Công thức biến đổi tích thành tổng: 2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b) 2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b) 2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b) Các dạng phương trình biết cách giải tổng quát: 1) PTLG bản:  u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  ; cou = cos v ⇔ u = ± v + k 2π  u = π − v + k 2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ ; cot gu = cot gv ⇔ u = v + kπ 2) PT bậc nhất, bậc hai, theo HSLG 3) Phương trình bậc theo sinu cosu: asinu + bcosu = c a b = cos α; = sin α - Cách giải: Chia hai vế cho a + b Đặt: 2 a +b a + b2 - Điều kiện có nghiệm: a + b ≥ c 4) Phương trình đẳng cấp: a sin u + b sin u cos u + c cos u = - Xét cosu = - Trường hợp cosu ≠ , chia hai vế phương trình cho cos2u 5) Phương trình theo sin u ± cos u sinu.cosu: t −1 - Đặt t = sin u ± cos u , suy ra: sinu.cosu = ± π - Lưu ý: sin u ± cos u = sin(u ± ) , u ≤ Một số gợi ý giải phương trình lượng giác: - Đối với PTLG tổng quát, trình giải ta cố gắng dùng công thức lượng giác thích hợp để đưa PTLG biết cách giải tổng quát tích phương trình - Trong q trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = trước, sau ưu tiên đưa góc lượng giác - Nếu phương trình có chứa mẫu thức tg, cotg phải đặt điều kiện trước giải Tùy theo trường hợp mà điều kiện để nguyên phương trinh lượng giác hay giải tường minh x - Trang Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 - Nếu đưa PT theo hàm lượng giác góc dùng ẩn phụ (với điều kiện tương ứng) - Nếu phương trình chứa tgx sin2x, cos2x, tg2x, cotg2x chứa toàn hàm lượng giác góc x đặt t = tgx (Nếu Pt bậc n thu giải được) Lưu y: Các nhận xét mang tính chất tương đối, nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng riêng phương trình mà đưa cách giải thích hợp PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT Phương trình, bất phương trình mũ 1) Hàm số mũ y = ax: - TXĐ: R, ax > với x - Hàm số đồng biến R a > 1, nghịch biến R < a < - Các tính chất lũy thừa a f ( x ) = a g ( x ) a f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x );  ⇔ f ( x ) = log a g ( x ) 2) Dạng bản:  0 < a ≠ 0 < a ≠ 1, g ( x ) > a > 0 < a < a f (x) > a g(x ) ⇔  ∨ f ( x ) > g ( x ) f ( x ) < g ( x ) 3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ: - Đưa số - Lơgarít hai vế (dạng: a f ( x ) = b g ( x ) , a f ( x ) b g ( x ) = c ) - Dùng ẩn phụ để đưa dạng bản- Đốn nghiệm dùng tính đơn điệu chứng minh Phương trình, bất phương trình lơgarit - Định nghĩa: y = log a x ⇔ x = a - Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0, < a ≠ Tập giá trị: R - Tính chất: Hàm số đồng biến a > 1, nghịch biến < a ≠ - Các công thức biến đổi: y log a a = log a = loga(N1.N2)= loga|N1| + loga|N2| log a b = log a c log c b log a N α = αlog a | N | - Phương trình bất phương trình bản: 0 < a ≠ log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔  f ( x ) = g ( x ) > a log a x = x N log a = log a N1 − log a N N2 log c b log a b = log a b = log c a log b a log a α N = log a N α 0 < a <  0 < f ( x ) < g ( x ) log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔  a >  f ( x ) > g ( x ) >  - Phương pháp giải thường dùng: + Đưa số + Đặt ẩn phụ để đưa phương trình, bất phương trình TÍCH PHÂN Tính tích phân phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng: π π • Đặt x = asint, t ∈ [− ; ] x = acost, t ∈ [0; π ] a2 − x2 2 - Trang Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 π π ; ) 2 • a2 + x2 Đặt x = atgt, t ∈ (− • a−x a+x Đặt x = acos2t, t ∈ [0; π ) x2 −1 Đặt x = π , t ∈ [0; π ] \ { } cos t π π 2 • a +x , Đặt x = atgt, t ∈ (− ; ) 2 a + x2 Tính tích phân phương pháp tích phân phần: b b udv=uv b − ∫ vdu ∫ a a a • Chú ý: Một số dạng tích phân sử dụng phương pháp tích phân phần: P(x)lnx, P(x)eax, P(x)sinax, P(x)cosax, eaxcosax, eaxsinax Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x )  (H ) :  ∆1 : x = a ∆ : x = b  y x=a (H ) y x=b (C1 ) : y = f ( x) (C ) : y = g ( x) b S = ∫ [ f ( x) − g ( x)] dx a a b yO1 y C2 C x (C ) : x = (C1 ) : x = f ( y ) (C ) : x = g ( y )  (H ) :  ∆ : y = a ∆ : y = b  g ( y) y=b b (H ) ab y=a S = ∫ [ f ( y ) − g ( y )] dy x a O xC xC (C1 ) : x = f ( y ) Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể trịn xoay y x=a O a x=b (C ) : y = f ( x) y=0 b b y b x=0 x y=b (C ) : x = f ( y ) y=a a x O b V = π ∫ [ f ( y )] dy V = π ∫ [ f ( x )] dx a a ĐẠI SỐ TỔ HỢP Quy tắc cộng : Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, cách chọn đối tượng x không trùng với cách chọn đối tượng y nào, có m + n cách chọn đối tượng cho Quy tắc nhân : Nếu có m cách chọn đối tượng x, sau đó, với cách chọn x thế, có n cách chọn đối tượng y, có m x n cách chọn đối tượng (x ; y) Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp - Trang Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 n! (n - k)! (1 ≤ k ≤ n) n! k!(n - k)! (0 ≤ k ≤ n) k An = Pn = n! (n ≥ 1) k Cn = k k A n = k!Cn n! = 1.2.3…n n! = (n – 1)!n 0! = A1 = n C0 = Cn = n n A n = n! n k Cn-k = Cn n Pn = A n n k-1 k k Cn-1 + Cn-1 = Cn Số cách chọn tập hợp k Số cách xếp n phần tử Số cách chọn k phần tử n phần tử tập hợp n phần tử vào n vị trí co thứ tự phần tử có thứ tự không thứ tự Công thức khai triển Niutơn n (a + b)n = ∑ Ck an-k b k = C0 an + C1 an-1b + C2 an-2 b2 + C3 an-3 b3 + + Cn b n n n n n n n k=0 Các tính chất : - Trong khai triển (a + b)n ta (n+1) số hạng - Tổng số mũ a b số n k n-k k - Số hạng tổng quát thứ k+1 khai triển (a + b)n Tk+1 = Cn a b Các dạng tập - Dạng : Tìm hệ số xn khai triển nhị thức Niutơn - Dạng : Tính tổng chứng minh đẳng thức, áp dụng giải toán khác Phương pháp : k n Cn 1) Nếu tổng có , ta khai triển ( ax + b ) lấy tích phân k +1 n k 2) Nếu tổng có kCn , ta khai triển ( ax + b ) lấy đạo hàm 3) Nếu tổng khơng có số hạng trên, ta khai triển ( ax + b ) chọn a, b, x 4) Nếu tổng có số khơng đầy đủ, ta đặt tổng bổ sung, tính tổng hiệu SỐ PHỨC Tập hợp số phức: C Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R , i đơn vị ảo, i2 = -1); a phần thực, b phần ảo z • z số thực ⇔ phần ảo z (b = 0) • z phần ảo ⇔ phần thực z (a = 0) a = a ' (a, b, a ' , b'∈ R ) Hai số phức nhau: a + bi = a’ + b’i ⇔  b = b' n → Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b ∈ R ) biểu diễn điểm M(a ; b) hay u = (a; b) mp(Oxy) (mp phức) Cộng trừ số phức : (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’ ∈ R ) • Số đối z = a + bi –z = -a – bi (a, b ∈ R ) • → → → → → → z biểu diễn u , z’ biểu diễn u ' z + z’ biểu diễn u + u ' z – z’ biểu diễn u − u ' Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’ ∈ R ) − Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a − bi a) z = z ; z + z ' = z + z ' ; z.z ' = z.z ' b) z số thực ⇔ z = z ; z số ảo ⇔ z = − z Môđun số phức : z = a + bi - Trang Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 2 a) z = a + b = z z = OM b) z ≥ ∀z ∈ C , z = ⇔ z = c) z.z ' = z z ' , z + z ' ≤ z + z ' ∀z , z '∈ C Chia hai số phức : −1 a) Số phức nghịch đảo z (z ≠ 0) : z = b) Thương z’ chia cho z (z ≡ 0) : z z z' z' z z' z = z ' z −1 = = z zz z z' z'  z'  z' =  = , z z z z 10 Căn bậc hai số phức : z bậc hai số phức ω ⇔ z = ω c) Với z ≠ , z' = w ⇔ z ' = wz z ,  a + a2 + b2 x = x − y = a  ⇔ ⇔ xy = b  y = b  2x  z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi (a, b, x, y ∈ R ) a) w = có bậc hai z = b) w ≠ có hai bậc hai đối * Hai bậc hai a > ± a * Hai bậc hai a < ± − a.i 11 Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (A, B, C số phức cho trước, A ≠ ) ∆ = B − AC − B ±δ a) ∆ ≠ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt , ( δ bậc hai ∆) 2A B b) ∆ = : Phương trình có nghiệm kép − 2A PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Hệtrục toạ độ, toạ độ điểm, vectơ r r A) Vectơ: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho hai vectơ u = ( x1 ; y1 ) , v = ( x ; y ) r r u + v = (x1 + x2 ;y1 + y2) r r u − v = (x1 - x2 ;y1 - y2) r k.u = (kx1 ; ky1 ) r r x = x u=v⇔  y1 = y B) Điểm: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(xA; yA), B(xB;yB), C(xC; yC) uuu r AB = (xB- xA ; yB - yA) uuu r uuu r A, B, C thẳng hàng AB AC phương uuu r uuu r A, B, C ba đỉnh tam giác AB AC không phương xA + xB + xC xA + xB   xG = x M =   Tọa độ trung điểm M AB  ,trọng tâm G tam giác ABC:  yA + yB y A + yB + yC y = y =  M  G   Phương trình đường thẳng, khoảng cách góc r 1.Đường thẳng qua điểm M(x0;y0) nhận véctơ u (a;b) làm véc tơ phương có phương trình tham số:  x = x0 + at x − x0 y − y0 = phương trình tắc  a b  y = y0 + bt PTTQ đường thẳng có dạng: ax + by + c = r Đường thẳng qua M(x0;y0) nhận véctơ n (a;b) làm VTPT có PTTQ: a(x- x0) + b(y - y0) = - Trang Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Khoảng cách từ M(x0;y0) đến ∆ :ax + by + c = là: d ( M, ∆ ) = ax + by + c a2 + b uu r uu r Đường thẳng d1, d2 có VTCP u1 = ( a1; b1 ) , u2 = ( a2 ; b2 ) Khi ta có: ur uu u r u1 u2 ur uu u r a1a2 + b1b2 · cos d1 ,d = cos u1 , u2 = ur uu = u r u1 u2 a + b a2 + b 1 2 ( ) ( ) Đường trịn Đường trịn tâm I(a,b), bán kính R có phương trình tắc:(x- a)2 + (y - b)2 = R2 Phương trình x2+y2 + 2ax + 2by + c = (a2 + b2 - c > 0) phương trình đường trịn với tâm I(-a ; -b), bán kính R = a + b2 − c Elip Định nghĩa: Trong mp cho điểm cố định F1,F2 số dương 2a không đổi ( 2a > F1F2=2c) (E) = {M : M F1 + MF2 = 2a} y • F1,F2 : Tiêu điểm - F1F2 = 2c tiêu cự ( c < a ) M(x,y) c r1 = F1M = a + x a • r1 = M F1 , r2 = MF2 bán kính qua tiêu M c r2 = F2 M = a − x a F1 -c x y2 Phương trình tắc: + = ( a > b > 0, b = a − c ) a b - Các đỉnh: A1(-a,0) , A2(a,0) , B1(0,-b) B2(0,b) - Các trục: - Trục lớn A1A2 = 2a x± - Trục nhỏ B1B2 = 2b - Tâm sai: e = c a O F2 c x - Các đường chuẩn: a =0 e r PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Kệ toạ độ khơng gian r Tọa độ vectơ: Cho a = ( a1 , a , a ) , b = ( b1 , b , b ) Ta có r r r  a ± b = ( a1 ± b1;a ± b ;a ± b )  k.a = ( ka1 ;ka ;ka ) a = b1 r r   a = b ⇔ a = b a = b  rr  a.b = a1b1 + a b + a 3b r 2  a = a1 + a + a r r  a phương b ⇔ r a1 a a = = b1 b b3 r  a ⊥ b ⇔ a1b1 + a b + a 3b = rr cos a, b =  ( ) a1b1 + a b + a 3b3 2 2 a1 + a + a b1 + b + b3 2 Tọa độ điểm: Cho A(x A; y A ;z A ), B(x B; y B ;z B ),C(x C; y C ; z C ) uuu r  AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) uuu r  AB = AB = ( xB − xA ) + ( yB − yA ) + ( zB − zA ) 2  x A + x B yA + yB z A + z B  ; ; ÷ 2    M trung điểm AB ⇔ M  - Trang Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010  x A + x B + x C y A + yB + yC z A + z B + z C  ; ; ÷ 3   r r Tích có hướng hai vectơ: a = ( a1 , a , a ) , b = ( b1 , b , b3 )  G trọng tâm tam giác ABC ⇔ M  r rr r a a a a a a  3 Tích có hướng hai vec tơ a b vectơ, k/h: a, b  =    b b ;b b ;b b ÷ ÷  3 1 2 rr r rrr - Điều kiện để vectơ đồng phẳng: a, b,c đồng phẳng ⇔ a, b  c =   r rr r r - a phương b ⇔ a, b  =   uuu uuu r r : SABCD =  AB, AD    - Diện tích hình bình hành ABCD uuu uuu r r  AB, AC    r r r uuu uuu uuu - Thể tích tứ diện ABCD : VABCD =  AB, AC  AD  6 uuu uuu uuuu r r r - Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' : VABCD.A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  AA '   : SABC = - Diện tích tam giác ABC Phương trình mặt phẳng 1) Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ phương mặt phẳng: → → → * n ≠ VTPT mp( α ) nếu: n ⊥ α → → * Hai vectơ không phương a , b gọi cặp vectơ phương ( α ) chúng song → →  α ) Khí đó:  a , b  vectơ pháp tuyến ( α ) song nằm (   2) Phương trình tổng quát mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = (A2 + B2 + C2 ≠ ) → + Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = có VTPT: n = (A; B; C) → + Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) có VTPT n = ( A; B; C) có pt: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = + Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz điểm (a ; ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là: x y z + + = (phương trình theo đọan chắn) a b c + MpOxy: z = + Mp(Oyz): x = + Mp(Ozx): y = 3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng):: Ax+By + Cz +D = A'x+B'y+ C'z + D'=0 m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = (m, n không đồng thời = 0) Phương trình đường thẳng khơng gian 1) Các dạng phương trình đường thẳng:  x = x + a1 t r  -Phương trình tham số:  y = y0 + a t , với a = (a1 ; a ;a ) vectơ phương đường thẳng z = z + a t  x − x y − y0 z − z = = -Phương trình tắc: a1 a2 a3 2) Cách xác định vị trí tương đối, tìm giao điểm hai đường thẳng: 3) Cách viết phương trình đường thẳng: Tìm điểm VTCP (hoặc cặp VTPT) đường thẳng → PTTS - Trang 10 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 2x + Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = 1− x Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) hàm số Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N MN = 10 Câu II (2 điểm): Giải phương trình: sin x − 3sin x − cos x + 3sin x + 3cos x − =  x + y + xy + = y Giải hệ phương trình:  2  y( x + y) = x + y + π Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = 3sin x − cos x dx ∫ (sin x + cos x)3 Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật với SA vng góc với đáy, G trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC M, cắt SD N Tính thể tích khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a góc hợp đường thẳng AN mp(ABCD) 300 Câu V (1 điểm): Cho số dương a, b, c : ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 2 + a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) abc PHẦN RIÊNG (Thí sinh làm hai phần (phần A phần B)) A Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a (2 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn: (C ) : x + y – x – y + = 0, (C ') : x + y + x – = qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) 20 20 Câu VII.a (1 điểm): Khai triển đa thức: (1 − x) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x Tính tổng: S = a0 + a1 + a2 + + 21 a20 B Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K (0; 2) , trung điểm cạnh AB M (3;1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1 ) : x y z x +1 y z −1 = = = = (d ) : Tìm tọa độ điểm M thuộc (d1 ) N thuộc (d ) 1 −2 1 cho đường thẳng MN song song với mp ( P ) : x – y + z + 2010 = độ dài đoạn MN - Trang 16 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010  log1− x (− xy − x + y + 2) + log 2+ y ( x − x + 1) =  Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình  =1 log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4)  ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THAM KHẢO I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vng góc với Câu II (2 điểm) π 1.Giải phương trình sau: sin( + 2x)cot3x + sin( π + 2x) – cos5x = 2 Giải phương trình x − + x − x − = x + x + + x − x + ( x + 4) d x Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫ x + 4x + Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, · ABC = 600 ;SD =a vng góc với đáy Gọi I, H trực tâm tam giác ACD SAC Tính thể tích khối tứ diện HIAC Câu V (1 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: x + y + z = xyz Tìm GTNN A = xy yz zx + + z (1 + xy ) x(1 + yz ) y (1 + zx) II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIa.( điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho ΔABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh ΔABC x = t x = − t   Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: (d 1): y = t ( d2) :  y = t Chứng minh z = z =   (d1) ( d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d 1) ( d2) Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình sau tập hợp số phức: ( z + i )( z − z ) = Theo chương trình Nâng cao Câu VIb.(2điểm) Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + = Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600 2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d có phương trình: x −1 y +1 z = = Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường −1 thẳng d - Trang 17 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 4log3 xy = + ( xy ) log3  Câu VIIb (1 điểm) Giải hệ phương trình  2 log ( x + y ) + = log x + log ( x + y )  ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THAM KHẢO 10 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + m − (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Câu II (2 điểm) (2 − sin 2 x) sin x 1.Giải phương trình tan4x +1 = cos x  2 4 xy + 4( x + y ) + ( x + y ) =  Giải hệ phương trình sau:  2 x + =  x+ y  Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = π s inxdx ∫ (sinx + cosx) Câu IV (1 điểm) Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên ( SAB) vng góc với đáy, hai mặt bên cịn lại tạo với đáy góc α Câu V (1 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ( với n ≥ 2), ta có: ln2n > ln(n-1).ln(n+1) II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành điểm B thuộc trục tung cho A B đối xứng với qua đường thẳng d :2 x − y + = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0 ,1 , 3), B(2 ,0 , –1), C(1 , , 0) Tìm trực tâm H ∆ABC Câu VII.a (1 điểm) Giải bất phương trình log5(3+ x ) > log x Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông A Biết A ( −1; ) , B ( 1; −4 )  1 đường thẳng BC qua điểm M  2; ÷ Hãy tìm toạ độ đỉnh C  2  x = −1 + 2t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(5 ; ; 0) đường thẳng (d):  y = −1 + 3t  z = − 4t  Tìm tọa độ điểm B, C thuộc (d) cho ∆ABC vuông C độ dài BC = 29 - Trang 18 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Câu VII.b (1 điểm) Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Niutơn ( x + ) , biết An − 8Cn + Cn = 49 n k k ( An số chỉnh hợp chập k n phần tử, Cn số tổ hợp chập k n phần tử) ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THAM KHẢO 11 I PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm) 2x +1 (C) x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm đồ thị (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ Câu II (2,0 điểm) 2 y − x =  Giải hệ phương trình:  2 x − y = y − x  Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = ( ) 6 2.Giải phương trình sau: sin x + cos x + 3 sin x = 3 cos x − 9sin x + 11 1 x+ ( x + − )e x dx Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ x Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a , BD = 2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ a điểm O đến mặt phẳng (SAB) , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ( x3 + y ) − ( x2 + y ) Câu V: (1 điểm) Cho x,y ∈ R x, y > Tìm giá trị nhỏ P = ( x − 1)( y − 1) PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) : Thí sinh làm hai phần ( phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng ∆: mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 x +1 y −1 z −1 = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1: ; d2: −1 x −1 y − z +1 = = mặt phẳng (P): x - y - 2z + = Viết phương trình tắc đường thẳng 1 ∆, biết ∆ nằm mặt phẳng (P) ∆ cắt hai đường thẳng d1 , d2 Câu VII.a (1 điểm) Giải bất phương trình 2log x + x 2log2 x − 20 ≤ B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - = Biết trọng tâm tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC - Trang 19 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 x −1 y − z = = điểm M(0 ; - ; 1 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M song song với đường thẳng ∆ đồng thời khoảng cách đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) 25 = − 6i Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình nghiệm phức : z + z Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THAM KHẢO 12 A PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3(2m + 1) x2 + 6m(m + 1) x + có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( 2;+∞ ) Câu II (2 điểm) Giải phương trình: cos 3x (2 cos x + 1) = 2 Giải phương trình : (3x + 1) x − = 5x + 21 x− Câu III (1 điểm) ln Tính tích phân I= ∫ dx (3 e x + 2) Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách AA’ a Câu V (1 điểm) BC Cho x,y,z thoả mãn số thực: x − xy + y = Tìm giá trị lớn ,nhỏ biểu thức x4 + y4 +1 P= x + y2 +1 B PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh chọn làm hai phần (phần A phần B) Phần A Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) trung điểm I AC nằm đường thẳng y = x Tìm toạ độ đỉnh C Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC) Câu VIIa(1 điểm) Giải phương trình: ( z − z )( z + 3)( z + 2) = 10 , z ∈ C Phần B Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2 điểm) Trong mp(Oxy) cho điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng (∆) : x − y − = cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích - Trang 20 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 : x − y −1 z + x−2 y+3 z = = d2 : = = −1 −2 Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2 Câu VIIb (1 điểm) Giải bất phương trình: x(3 log x − 2) > log x − ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THAM KHẢO 13 PHẦN BẮT BUỘC (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y = (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn Câu II (2.0 điểm) Tìm nghiệm phương trình: 2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + , biết x∈ [ ; π ] 33 x −2 y − 5.6 x + 4.23 x− y =  Giải hệ phương trình   x − y = y + ( y − x )( y + x )  Câu III (1.0 điểm) ∫ x3 Tính tích phân: ( x e + x 1+ x )dx Câu IV (1.0 điểm) Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c Tính thể tích tứ diện ABCD Câu V (1.0 điểm) Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1) PHẦN TỰ CHỌN ( 3.0 điểm) Thí sinh làm hai phần (A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2.0 điểm) Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64 Gọi F1, F2 hai tiêu điểm M điểm (E).Chứng tỏ tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 tới đường thẳng x = có giá trị khơng đổi Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vng góc với (Q) Câu VIIa (1.0 điểm) k k Giải bất phương trình A2 x − Ax ≤ Cx + 10 ( Cn , An tổ hợp, chỉnh hợp chập k n phần tử) x B Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2.0 điểm) - Trang 21 Môn: TOÁN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d 1) : 4x - 3y - 12 = (d 2): 4x + 3y - 12 = Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi M trung điểm đoạn AD, N tâm hình vng CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua điểm B, C’, M, N Câu VIIb (1.0 điểm) log ( x + 1) − log ( x + 1)3 Giải bất phương trình >0 x2 − 5x − ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO 14 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm ) 2x − x −2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Câu II (2 điểm) x x x 2π Giải phương trình: + sin sin x − cos sin x = cos  −  2 4 2 x +1 y −2 y +3 x 2 + = 3.2  Giải hệ phương trình:   x + + xy = x +  Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = e   ln x + x ln x dx Câu III (1 điểm) Tính tích phân I = ∫      x + ln x Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC = a · · SA = a , SAB = SAC = 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn : a + b + c = P= +3 +3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a + 3b b + 3c c + 3a PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh làm hai phần: Phần A phần B) Phần A:(Theo chương trình Chuẩn) Câu VIa (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng: d1 : x − y + = và d2: 3x + 6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) mặt phẳng (P): x + y + z − = Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn (C) giao (P) (S) Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: k n +1 2C2 n +1 − 3.2.2C2 n +1 + + (−1)k k (k − 1)2 k −2 C2 n +1 + − n(2 n + 1)2 n −1 C2 n +1 = −40200 Phần B: (Theo chương trình Nâng cao) Câu VIb (2 điểm) - Trang 22 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 x2 y2 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: − = Viết 16 phương trình tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) ngoại tiếp hình chữ nhật sở (H) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( P ) : x + y − z + = đường thẳng x+3 (d ) : = y + = z − , điểm A( -2; 3; 4) Gọi ∆ đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm ∆ điểm M cho khoảng cách AM ngắn 1  Câu VIIb (1 điểm): Giải bất phương trình log (4 x − x + 1) − x > − ( x + 2) log  − x   2 ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO 15 Môn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề I PHẦN BẮT BUỘC ( điểm) 2x −1 x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Chứng minh đường thẳng d: y = - x + truc đối xứng (C) Câu II: (2 điểm) x 4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + Giải phương trình: =0 2sinx - Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = Giải bất phương trình: x − x + 2.log x ≤ x − x + 2.(5 − log x 2) Câu III: ( điểm) Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thi (C) hàm sô y = x – 2x2 + x + tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x0 = Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng (H) quanh trục Ox Câu IV: (1điểm) Cho hình lặng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Biết khoảng cách hai đường a 15 thẳng AB A’C Tính thể tích khối lăng trụ Câu V:(1điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: (2 x + 1)[ln(x + 1) - lnx] = (2y + 1)[ln(y + 1) - lny] (1)   (2)  y-1 − ( y + 1)( x − 1) + m x + =  II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần A phần B) Phần A: Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x + y2 = 1; phương trình: x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4my = (1) Chứng minh phương trình (1) phương trình đường trịn với m Gọi đường tròn tương ứng (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C) x −1 y + z = = mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + = Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 1 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm d, tiếp xúc với (P) qua điểm A(2; - 1;0) Câu VII.b: (1 điểm) Cho x; y số thực thoả mãn x2 + y2 + xy = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 5xy – 3y2 Phần B: Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm) - Trang 23 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;3) hai đường thẳng d1 : x −2 y −3 z −3 = = 1 −2 x −1 y − z − = = Chứng minh đường thẳng d1; d2 điểm A nằm mặt phẳng −2 Xác định toạ độ đỉnh B C tam giác ABC biết d chứa đường cao BH d2 chứa đường trung tuyến CM tam giác ABC 1  Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có hai tiêu điểm F1 (− 3;0); F2 ( 3;0) qua điểm A  3; ÷ 2  Lập phương trình tắc (E) với điểm M elip, tính biểu thức: P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M Câu VII.b( điểm) Tính giá trị biểu thức: 2k 2008 2010 S = C2010 − 3C2010 + 32 C2010 + + (−1) k C2010 + + 31004 C2010 − 31005 C2010 ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO 16 Mơn: TỐN d2 : Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm) Câu I (2.0 điểm): Cho hàm số y = x3 − 3mx + 4m3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x Câu II (2.0 điểm ) Giải phương trình: + 2sin x + − = 2(cotg x + 1) sin x cos x  x3 − y + y − 3x − =  Tìm m để hệ phương trình:  có nghiệm thực 2 x + 1− x − y − y + m =  Câu III (1.0 điểm) Tính giới hạn sau: lim x →0 x + − cos x x Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 0, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mp(SAC) Câu V (1 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P= + + + xy + yz + zx PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) Phần A Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) Cho đường tròn (C ): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = đường thẳng d: x + y – = Xác định toạ độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C ) biết A thuộc d Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình: x y +1 z − = = (P): 2x − y − 2z − = 0; (d): Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), −1 cách mp (P) khoảng cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính - Trang 24 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 12 1  Câu VIIa (1 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển Newton: 1 − x − ÷ x  Phần B Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2 điểm) Trong mp Oxy cho đường tròn (C ): x + y2 = Đường tròn (C’) tâm I(2;2) cắt (C ) điểm A, B cho AB = Viết phương trình đường thẳng AB Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình: x y +1 z − = = (P): 2x − y − 2z − = 0; (d): Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) −1 tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Câu VIIb (1 điểm) ln(1 + x ) − ln(1 + y) = x − y Giải hệ phương trình:  2 x − 12 xy + 20 y = ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO 17 Môn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề PHẦN TỰ CHỌN: (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + m − (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành 04 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Câu II (2 diểm)  x + xy + y = y + x  1.Giải hệ phương trình:   y x − y + + x =  π π Giải phương trình sau: cos x ( sin x + cos x ) = sin(2 x + ) + cos(2 x + ) Câu III.(1 điểm) Tính tích phân sau: π 3s inx − cos x dx s inx + cos x + I=∫ Câu IV.(1 điểm) Cho tứ diện ABCD có góc ABC = BAD = 900 ; CAD = 1200 AB = a, AC = 2a, AD = 3a Tính thể tích tứ diện ABCD Câu IV (1 điểm) Cho < x ≤ y ≤ z Chứng minh ( 2z + y ) z − x − y + ( z + x ) ( z − x ) +  z + z ( x + y ) + xy  ( x + y )    z + z ( x + y ) + xy  + ≤  2x + y ( 2x + y) PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh làm môt hai phần (phần a phần b) Phần a Theo chương trình chuẩn CâuVIa:(2 diểm) Trong mặt phẳng với hệ trục 0xy, cho tam giác ABC có A(1;3), đường trung trực cạnh AC có phương trình (d): x – y = 0, trung điểm K cạnh BC thuộc đường thẳng (d’): x+ y -2 = 0, khoảng cách từ tâm I đường tròn ngoại tiêp tam giác ABC đến cạnh AC Tìm toạ độ điểm B; biết hoành độ điểm I bé - Trang 25 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Trong không gian với hệ tục toạ độ 0xy, cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng ( d1 ) : x ( d2 ) : x −1 y −3 z −1 = = −1 = y − = z Viêt phương trình dường (d) thẳng di qua A ,cắt ( d1 ) vng góc với ( d2 ) CâuVIIa.(1 điểm) Giải phương trình sau tập hợp số phức: z − (5 + i ) z + 4(i − 1) z − 12 + 12i = Phần b Theo chương nâng cao CâuVIb (2 diểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho hình thang cân ABCD có A(1;1),B(3;2) Điểm M(0;1) thuộc đáy lớn CD cho diện tích tam giác BMC 3, biết C có hồnh độ dương Viết Phương trình cạnh AD Trong khơng gian với hệ trục toạ độ 0xyz , cho tam giác ABC cân đỉnh A, với A(1;3;2) Mặt phẳng trung x y +1 z = trực cạnh AC có phưong trình ( α ) :4x - 2y + 4z -15 = 0, đỉnh B thuộc đường thẳng (d): = 2 Tìm toạ độ đỉnh B CâuVIIb.(1 điểm) Tìm cặp số thực (x ; y) thoả mãn phương trình: ex − x y + x y −1 + ex y − x + xy +1 = x + x y + xy − x + ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO 18 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm) x+2 Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (1) 2x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B cho ∆OAB cân gốc tọa độ O Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: cot x + + tan x + 2cot x = 2) Giải phương trình: Câu III (1 điểm) x − 2( x + 1) 3x + = 2 x + x + − x − π Tính tích phân : I = cos x − sin x dx ∫ − sin x Câu IV (1 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh CD, A′D′ Điểm P thuộc cạnh DD’ cho PD′ = 2PD Chứng tỏ (MNP) vng góc với (A′AM) tính thể tích khối tứ diện A′AMP Câu V (1 điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= ( a + b − c )3 (b + c − a )3 (c + a − b)3 + + 3c 3a 3b II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) (Học sinh chọn làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) + (y + 1)2 = 25 điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) A, B phân biệt cho MA = 3MB - Trang 26 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = hai đường thẳng x +1 y z + x −1 y − z +1 = = = = ∆1 : ; ∆2 : Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 1 −2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Câu VII.a (1 điểm) Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2 + 2z + 10 = 2 Tính giá trị biểu thức: A = z1 + z2 B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2) Viết phương trình đường thẳng qua A chia ∆ABC thành hai phần có tỉ số diện tích x 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : = y −1 z − = mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + = Lập phương trình đường thẳng d ′ qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) cắt đường thẳng d Câu VII.b (1 điểm) ( ) Giải phương trình: log + x = log x ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO 19 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm) Câu I ( điểm) Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = góc α , biết cos α = 26 Câu II (2 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − + m x + = 24 x − Giải phương trình: sin x.( cos x + 1) + = cos x + cos x − cos x Câu III (1 điểm) x +1 =∫ dx Tính tích phân: I + + 2x Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: IA = −2 IH , góc SC mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) Câu V(1 điểm) Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thỏa mãn: x + y + z ≤ xyz Hãy tìm giá trị lớn x y z + + biểu thức: P = x + yz y + zx z + xy ( ) PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn làm hai phần ( phần A phần B ) A Theo chương trình chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) - Trang 27 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A(3;0), đường cao từ đỉnh B có phương trình x + y + = , trung tuyến từ đỉnh C có phương trình: 2x – y – = Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Câu VII.a (1 điểm) Cho khai triển: (1 + x ) 10 x + x + = a + a1 x + a x + + a14 x 14 Hãy tìm giá trị a ( ) B Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(2;1), diện tích 5,5 trọng tâm G thuộc đường thẳng d: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh C Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(0;0;1) , B(0;0; − 1),C(1;1;1) D(0;4;1) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) C tạo với trục Oz góc 450 Câu VII.b (1 điểm)  z+i Giải phương trình (ẩn z) tập số phức:   = i− z ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO 20 Môn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1 − x ≤ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: Giải phương trình: cot x + sin x π = sin( x + ) sin x + cos x 2 x + 10 x + 21 = x + + x + − Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x2 +1 x 3x + dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0) Tìm m biết góc hai đường thẳng AB' BC ' 60 Câu V (1,0 điểm) Cho số thực không âm x, y , z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = xy + yz + zx + x+ y+z PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a, b) a Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) , phương trình đường thẳng chứa đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh C x − y + 13 = x − 13 y + 29 = Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC - Trang 28 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M (5; 3; − 1), P (2; 3; − 4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng (γ ) : x + y − z − = Câu VIIa (1,0 điểm) Cho tập E = { 0,1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ chữ số tập E lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số đơi khác nhau, phải có mặt chữ số 1? b Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét elíp (E ) qua điểm M (−2; − 3) có phương trình đường chuẩn x + = Viết phương trình tắc (E ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) mặt phẳng (α ) : x + y + = Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng (α ) Câu VIIb (1,0 điểm) Khai triển rút gọn biểu thức − x + 2(1 − x) + + n(1 − x) n thu đa thức P ( x) = a + a1 x + + a n x n Tính hệ số a8 biết n số nguyên dương thoả mãn + = Cn Cn n ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO 21 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại , cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng với qua đường thẳng y = x− 2 Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình : cot x – Giải phương trình : Câu III (1,0 điểm) cos 2x = − (sin 2x + cos 2x) + tan x x + + x − = x − 12 + x − 16 Tính giới hạn : lim x →0 x + + x −1 x Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a , AD = b SA ⊥ (ABCD); SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD Tìm biểu thức liên hệ a b để cos · CMN = Câu V (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = (1 + y )(1 + z ) (1 + x )(1 + z ) (1 + y )(1 + x ) +y +z Tính giá trị biểu thức: M = x 1+ x2 + y2 1+ z2 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn làm hai phần (phần phần 2) 1.Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2,0 điểm) - Trang 29 - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Mơn: TỐN Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ∆ABC với A(–1; 1) ; B(–2; 0) ; C(2 ; 2) Viết phương trình đường thẳng cách đỉnh ∆ABC Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2 ; ; 1), B(2 ; –1 ; 0), C(1 ; ; 1) x+2 y z−2 = = đường thẳng (d) có phương trình Tìm đường thẳng (d) điểm S cho: −2 uuu uur uur r u SA + SB + SC đạt giá trị nhỏ Câu VIIa (1,0 điểm) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn, số có chữ số khác có chữ số lẻ chữ số lẻ đứng cạnh Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb (2,0 điểm) x2 y Trong mặt phẳng Oxy , cho (H) : − = đường thẳng (d) : x – y + m = Chứng minh rằng: (d) cắt (H) hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (H) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;–3; 0), B(5 ;–1 ;–2) mặt phẳng (P): x + y + z – = Chứng minh đoạn thẳng AB cắt mặt phẳng (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA − MB lớn Câu VIIb (1,0 điểm) n −2 Tìm số nguyên dương n thỏa bất phương trình : A n + 2Cn ≤ 9n - Trang 30 ... − c) = R ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề - Trang 12 Môn: TOÁN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010... +3) = x ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề - Trang 13 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010... 9n - Trang 30 Mơn: TỐN - Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ THAM KHẢO 22 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I