Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I Ơn tập kiến thức bản: ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP - 10 Hệ thức lượng tam giác vuông : cho DABC vuông A ta có : a) Định lý Pitago : BC = AB + AC A b) BA2 = BH BC; CA2 = CH CB b c) AB AC = BC AH c 1 = + d) 2 AH AB AC H M B e) BC = 2AM a b c b c f) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b b b = g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = , sin B cos C b = c tanB = c.cot C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R * Định lý hàm số Sin: sin A sin B sin C Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: a.b.c a+b+c = p.r = p.( p - a )( p - b)( p - c) với p = S = a.ha = a.b sin C = 4R 2 C a S = AB AC ,* DABC cạnh a: S = Đặc biệt :* DABC vuông A : b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình trịn : S = p R ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: a Đường thẳng mt phng gi l song song a/ /(P) aầ(P) =ặ với chúng (P) khơng có điểm chung II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng d ìd Ë (P) ï íd / /a Þ d / /(P) ùa è (P) ợ ỡa/ /(P) ù ị d / /a ía Ì (Q) ï(P) Ç (Q) = d ợ a (P) (Q) a d (P) ỡ(P) ầ (Q) = d ï Þ d / /a í(P)/ /a ù(Q)/ /a ợ d a Q P Đ2.HAI MT PHNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song vi http://book.mathvn.com (P)/ /(Q) (P) ầ(Q) =ặ P Q ỡa,b è (P) ù ị (P)/ /(Q) ớa ầ b = I ïa/ /(Q),b / /(Q) ỵ a P b I Q Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song a ỡ(P) / /(Q) ị a / /(Q) ợa Ì (P) P Q R ì(P) / /(Q) ï í(R) Ç (P) = a Þ a / / b ï(R) Ç (Q) = b ỵ a P b Q B.QUAN HỆ VNG GĨC §1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng a gọi vuông góc với a ^ mp(P) Û a ^ c,"c Ì (P) mặt phẳng vng góc với đường thẳng c P nằm mặt phẳng II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) ìd ^ a ,d ^ b ï ía ,b Ì mp(P) Þd ^ mp(P) ïa,b cắt ỵ d P b a a a ^ mp(P),b Ì mp(P) b ^ a Ûb ^ a' P a' b §2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với ìa ^ mp(P) Þ mp(Q) ^ mp(P) mặt phẳng khác hai í a Ì mp(Q) mặt phẳng vng góc ỵ với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc ì(P) ^ (Q) với thỡ bt c ù ớ(P) ầ(Q) = d ịa ^ (Q) đường thẳng a nằm ïa Ì (P),a ^ d (P), vng góc với ỵ giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng ì(P) ^ (Q) góc với A ï ïA Ỵ (P) điểm (P) Þ a Ì (P) í đường thẳng a qua a ï điểm A vng góc ïa ^ (Q) ỵ với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt ì(P) Ç (Q) = a vng góc với mặt ï Þ a ^ (R) phẳng thứ ba giao í(P) ^ (R) tuyến chúng vng ï(Q) ^ (R) góc với mặt phẳng thứ ỵ ba Q a P P a Q d P a A Q P Q a R §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) O O a H P H d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB O a H P O P H Q A a b B §4.GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm http://book.mathvn.com a a' b' b a a' P a P b Q a P b Q Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) S S' = Scos j A j góc hai mặt phẳng (P),(P’) C j B ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h ì B : d ie än tíc h đ a ùy ỵ h : c h ie àu c a o h với í B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước a b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: c b a a a V= Bh h ìB : diện tích đáy với í ỵ h : chiều cao TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC VSA ' B ' C ' SA SB SC = SA ' SB ' SC ' http://book.mathvn.com B S C' A' A B' C B Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT: ( A' ) h B + B'+ BB' ìB, B' : diện tích hai đáy với í ỵ h : chiều cao V= B' C' A B C Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a + b2 + c , 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác II/ Bài tập: Nội dung LOẠI 1: 1) Dạng 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vuông cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ a Lời giải: Ta có VABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A'B'C' lăng trụ đứng Þ AA' ^ AB VAA 'B Þ AA '2 = A'B2 - AB2 = 8a2 Þ AA ' = 2a Vậy V = B.h = SABC AA' = a3 Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ ? http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Lời giải: ABCD A'B'C'D' lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 Þ BD = 3a 3a ABCD hình vng Þ AB = 2 9a Suy B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 C' D' A' B' 4a 5a C D A B Ví dụ 3: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có V ABC nên C' A' B' AI = A AB = & AI ^ BC Þ A 'I ^ BC(dl3 ^) 2S SA'BC = BC.A 'I Þ A 'I = A'BC = BC AA ' ^ (ABC) Þ AA ' ^ AI C VA 'AI Þ AA ' = A 'I2 - AI2 = Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA'= I B Ví dụ 4: Một bìa hình vng có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ góc bìa hình vng cạnh 12 cm gấp lại thành hộp chữ nhật khơng có nắp Tính thể tích hộp C' D' D' D' D A' B' D C A' A B A A' Giải C' Theo đề bài, ta có C C' AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD hình vng có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm chiều cao hộp h = 12 cm B B' Vậy thể tích hộp V = SABCD.h = 4800cm3 B' Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy hình thoi cạnh a có góc nhọn http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 600 Đường chéo lớn đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp C' D' Lời giải: Ta có tam giác ABD nên : BD = a SABCD = 2SABD = B' A' a =a VDD'B Þ DD' = BD'2 - BD2 = a a3 Vậy V = SABCD.DD' = Theo đề BD' = AC = C D A a2 60 B Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác biết tất cạnh lăng trụ a Tính thể tích tổng diện tích mặt bên lăng trụ a3 ĐS: V = ; S = 3a2 Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác cạnh a biết BD' = a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2a3 Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình thoi mà đường chéo 6cm 8cm biết chu vi đáy lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ Đs: V = 240cm3 S = 248cm2 Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài cạnh đáy 37cm ; 13cm ;30cm biết tổng diện tích mặt bên 480 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 1080 cm3 Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân A ,biết chiều cao lăng trụ 3a mặt bên AA'B'B có đường chéo 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác có tất cạnh biết tổng diện tích mặt lăng trụ 96 cm2 Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 64 cm3 Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy 19,20,37 chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 2888 Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích mặt 24 m2 Tính thể tích khối lập phương Đs: V = m3 Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết độ dài đường chéo hình hộp m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật Đs: V = 0,4 m3 http://book.mathvn.com Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết đường chéo mặt 5; 10; 13 Tính thể tích khối hộp Đs: V = 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ C' A' B' C A 60o B Lời giải: Ta có A 'A ^ (ABC) Þ A 'A ^ AB& AB hình chiếu A'B đáy ABC Vậy góc[A 'B,(ABC)] = ¼' = 60o ABA VABA ' Þ AA ' = AB.tan 600 = a a2 SABC = BA.BC = 2 a3 Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác ¼ vng A với AC = a , ACB = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ A' C' B' A 30o a o 60 B C Lời giải: VABC Þ AB = AC.tan60o = a Ta có: AB ^ AC;AB ^ AA' Þ AB ^ (AA'C'C) nên AC' hình chiếu BC' (AA'C'C) Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = ¼ = 30o BC'A AB VAC'B Þ AC' = = 3a t an30o V =B.h = SABC.AA' VAA 'C' Þ AA' = AC'2 - A 'C'2 = 2a a2 VABC nửa tam giác nên SABC = Vậy V = a Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a http://book.mathvn.com 10 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com S H 60 A B a C o D Lời giải: 1)Ta có SA ^ (ABC) CD ^ AD Þ CD ^ SD ( đl ^ ).(1) ¼ Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o VSAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vậy V = SABCD SA = a2a = 3 2) Ta dựng AH ^ SD ,vì CD ^ (SAD) (do (1) ) nên CD ^ AH Þ AH ^ (SCD) Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD) 1 1 VSAD Þ = + = 2+ 2= 2 2 AH SA AD 3a a 3a a Vậy AH = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA=BC=a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAB) góc 30o a3 Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể h3 tích khối chóp SABC Đs: V = Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng A SB vng góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o (SAC) hợp với (ABC) góc 60o Chứng minh SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp a3 Đs: V = 27 Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD ^ (ABC) biết AC = AD = cm,AB = cm, BC = cm 1) Tính thể tích ABCD Đs: V = cm3 12 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) Đs: d = 34 Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a , góc ¼ = 120o , biết SA ^ (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o BAC a3 Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V = Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình vng biết SA ^ (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp a3 Đs: V = 48 Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết http://book.mathvn.com 20 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com SA ^ (ABCD) , SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp Đs: V = 20a3 Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60o SA ^ (ABCD) ,biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a a3 Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V = Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA ^ (ABCD) (SCD) hợp với đáy góc 60o a3 Tính thể thích khối chóp SABCD Đs: V = Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp nửa đường tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD 3R3 o góc 45 Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V = 2) Dạng : Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD S D A B H a C Lời giải: 1) Gọi H trung điểm AB VSAB Þ SH ^ AB mà (SAB) ^ (ABCD) Þ SH ^ (ABCD) Vậy H chân đường cao khối chóp a 2) Ta có tam giác SAB nên SA = a suy V = SABCD SH = Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC) ^ (BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD http://book.mathvn.com 21 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Lời giải: Gọi H trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH ^ (BCD) , mà (ABC) ^ (BCD) Þ AH ^ (BCD) A a B 60 o H D C Ta có AH ^ HD Þ AH = AD.tan60o = a a & HD = AD.cot60o = 2a VBCD Þ BC = 2HD = suy 1 a3 V = SBCD AH = BC.HD.AH = 3 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 450 a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC S H A 45 C I J B Lời giải: a) Kẽ SH ^ BC mp(SAC) ^ mp(ABC) nên SH ^ mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC Þ SI ^ AB, SJ ^ BC, theo giả thiết ¼ = SJH = 45o SIH ¼ Ta có: DSHI = DSHJ Þ HI = HJ nên BH đường phân giác VABC suy H trung điểm AC a a3 S ABC SH = b) HI = HJ = SH = Þ VSABC= 12 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC cạnh a, tam giác SBC cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) 1) Chứng minh chân đường cao chóp trung điểm BC a3 2) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V = 24 Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng a3 o (SAC) hợp với (ABC) góc 45 Tính thể tích SABC Đs: V = 12 http://book.mathvn.com 22 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com ¼ Bài 3: Cho hình chóp SABC có ¼ = 90o ;ABC = 30o ; SBC tam giác BAC a2 cạnh a (SAB) ^ (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V = 24 Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h (SBC) ^ (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) góc 30o Tính 4h3 thể tích hình chóp SABC Đs: V = Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai a3 mặt phẳng vng góc với biết AD = a.Tính thể tích tứ diện Đs: V = 36 Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 4h3 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V = Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) a3 góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V = Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, SAB ^ (ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 8a3 30o Tính thể tích hình chóp SABCD Đs: V = Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a tam giác SAD vuông cân S , nằm mặt phẳng vng góc với ABCD Tính a3 thể tích hình chóp SABCD Đs: V = 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc a3 với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD Đs: V = 3) Dạng : Khối chóp Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC Lời giải: Dựng SO ^ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên http://book.mathvn.com 23 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com S AO = 2a VSAO Þ SO2 = SA - OA = O 11a2 a 11 a3 11 Þ SO = Vậy V = SABC SO = 12 C A a 2a a AH = = 3 H B Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác 2) Tính thể tích khối chóp SABCD S C D a a 2 1 a a3 = Þ V = S ABCD SO = a 3 nên V ASC vng S Þ OS = O A Lời giải: Dựng SO ^ (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD Þ ABCD hình thoi có đường trịn gnoại tiếp nên ABCD hình vng Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 B Vậy V = a3 Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC Lời giải: a) Gọi O tâm DABC Þ DO ^ ( ABC ) V = S ABC DO a2 a S ABC = , OC = CI = 3 a DDOC vng có : DO = DC - OC = a2 a a3 ÞV = = 12 http://book.mathvn.com 24 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH a MH = DO = D M Þ VMABC A C O I H 1 a a a3 = S ABC MH = = 3 24 Vậy V = a3 24 a B Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp SABC có cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 3a3 o 60 Tính thể tích hình chóp Đs: V = 16 Bài 2: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 45o a 1) Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC Đs: SH = a3 2) Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V = Bài 3: Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a mặt bên hợp với đáy a3 góc 60o Tính thể tích hình chóp SABC Đs: V = 24 Bài : Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o h3 Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài : Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh h3 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V = ¼ = 60o Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a ASB a2 1) Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp Đs: S = 3 a 2) Tính thể tích hình chóp Đs: V = Bài : Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 2h3 60o Tính thể tích hình chóp Đs: V = o Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45 khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a http://book.mathvn.com 25 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 8a3 3 Bài 9: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o a3 Tính thề tích hình chóp Đs: V = 12 Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích 9a3 V = Đs: AB = 3a 4) Dạng : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích Đs: V = Tính thể tích hình chóp Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC = a , SA vng góc với đáy ABC , SA = a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( a ) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: S ABC SA SA = a S a)Ta có: VS ABC = A + DABC cân có : AC = a Þ AB = a 1 a3 Þ S ABC = a Vậy: VSABC = a a = b) Gọi I trung điểm BC SG = G trọng tâm,ta có : SI SM SN SG = = = a // BC Þ MN// BC Þ SB SC SI N C G M I B Þ VSAMN SM SN = = VSABC SB SC 2a VSAMN = VSABC = Vậy: 27 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE ^ ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF http://book.mathvn.com 26 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com ? Lời giải: a a)Tính VABCD : VABCD = SABC CD = b)Tacó: AB ^ AC , AB ^ CD Þ AB ^ ( ACD ) Þ AB ^ EC Ta có: DB ^ EC Þ EC ^ ( ABD ) D F a E c) Tính VDCEF :Ta có: B C VDCEF DE DF = (*) VDABC DA DB Mà DE.DA = DC , chia cho DA2 a DE DC a2 = = = DA DA 2a 2 DF DC a2 = = = Tương tự: 2 DB DB DC + CB Þ A Từ(*) Þ VDCEF 1 a3 = Vậy VDCEF = VABCD = VDABC 6 36 Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng (a ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Lời giải: Kẻ MN // CD (N Î SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) S N + M D A O C B VSAND SN 1 = = Þ VSANB = VSADB = VSABCD VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 1 = = = Þ VSBMN = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD 2 4 Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD Suy VABMN.ABCD = VSABCD VSABMN Do : = V ABMN ABCD Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên o tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F http://book.mathvn.com 27 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com a) Hảy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I = SO Ç AM Ta có (AEMF) //BD Þ EF // BD S b) VS ABCD = M E B S ABCD SO với S ABCD = a o + VSOA có : SO = AO.tan 60 = I C Vậy : VS ABCD F O A D a a3 = c) Phân chia chóp tứ giác ta có VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD SM = Ta có : Þ SC DSAC có trọng tâm I, EF // BD nên: Þ V SM SF SI SF = = = Þ SAMF = VSACD SC SD SO SD Þ VSAMF 1 a3 = VSACD = VSACD = 36 Þ VS AEMF a3 a3 =2 = 36 18 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA = a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC ^ ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ http://book.mathvn.com 28 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Lời giải: a) Ta có: VS ABCD S D' b) Ta có BC ^ ( SAB ) Þ BC ^ AB ' & SB ^ AB ' Suy ra: AB ' ^ ( SBC ) nên AB' ^ SC Tương tự AD' ^ SC Vậy SC ^ (AB'D') c) Tính VS A B ' C ' D ' B' C' I B A VSAB'C' SB ' SC ' = (*) VSABC SB SC +Tính VS AB 'C ' : Ta có: SC ' = SC SB ' SA2 2a 2a 2 = = = = Ta có: SB SB SA2 + AB 3a DSAC vuông cân nên O D a3 = S ABCD SA = 3 C Từ (* ) Þ V SA B 'C ' = V SABC Þ VSAB ' C ' a3 a3 = = 3 + VS A B 'C ' D ' = 2VS A B ' C ' 2a = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD Đs: k = Bài 2: Cho tứ diên ABCD tích 9m ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D' Đs: V = m3 Bài 3: Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC a 2a a3 cho AB = ;AC' = Tính thể tích tứ diên AB'C'D Đs: V = 36 Bài 4: Cho tứ diênABCD tích 12 m3 Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N AD cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diên BMNP Đs: V = m3 Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính thể tích hình chóp SAHK Đs: V = a3 40 Bài 6: Cho hình chóp SABCD tích 27m3 Lấy A'trên SA cho SA = 3SA' Mặt phẳng qua A' song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD B',C',D' Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D' Đs: V = m3 http://book.mathvn.com 29 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Bài 7: Cho hình chóp SABCD tích 9m3, ABCD hình bình hành , lấy M SA cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN Đs: V = 4m3 Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN song song với BD cắt a2 h SB,SDF M P Tính thể tích khối chóp SAMNP Đs: V = Bài : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC.Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính tỉ số thể tích phần Đs: k = Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA SM cho = x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần SA -1 tích Đs: x = 5) Dạng : Ôn tập khối chóp lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng o góc đáy Góc SC đáy 60 M trung điểm SB 1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 2) Tính thể tích khối chóp MBCD Lời giải: S a)Ta có V = S ABCD SA + S ABCD = (2a) = 4a + DSAC có : SA = AC tan C = 2a H A B 60o D 2a C 8a3 ÞV = 4a 2a = 3 b) Kẻ MH / / SA Þ MH ^ ( DBC ) 1 Ta có: MH = SA , S BCD = S ABCD 2 2a ÞVMBCD = V = Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp http://book.mathvn.com 30 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Lời giải: Hạ SH ^ ( ABC ) , kẽ HE ^ AB, HF ^ BC, HJ ^ AC suy SE ^ AB, SF ^ BC, SJ ^ AC Ta cú ẳ = SFH = SJH = 60O ị SEH ¼ ¼ DSAH = DSFH = DSJH nên HE =HF = HJ = r ( r bán kính đường trịn ngọai tiếp DABC ) Ta có SABC = p( p - a)( p - b)( p - c) a+b+c = 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a với p = S 6a Mặt khác SABC = p.r Þ r = = p Tam giác vuông SHE: 6a 3=2 a SH = r.tan 600 = 3 Vậy VSABC = 6 a 2 a = a S J A C 60 H E F B Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = a, AA’ = a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ A B Ta có : V = AB AD.AA ' = a 3.a = a O D M C B' A' C' D' Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V DABD có : DB = AB + AD2 = 2a * Khối OA’B’C’D’ có đáy đường cao a3 giống khối hộp nên: ÞVOA' B'C ' D' = V = 3 b) M trung điểm BC ÞOM ^(BB'C') 1 a2 a a3 ÞVOBB'C ' = SBB'C ' OM = = 3 2 12 c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Ta có : C ' H = http://book.mathvn.com 3VOBB 'C ' SOBB ' 31 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com DABD có : DB = AB + AD = 2a Þ SOBB ' = a Þ C ' H = 2a Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ B A D Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy chiều cao nên có thể tích 1 2 Khối CB’D’C’ có V1 = a a = C A' B' C' a +Khối lập phương tích: V2 = a 3 Þ VACB ' D ' = a - a = a 3 D' a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE E A I B F C B' A' Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I trung điểm AB, 1 a a a3 VA ' B ' BC = S A ' B ' B CI = = 3 2 12 b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên VA ' CEF = J C' http://book.mathvn.com SCEF SCEF A ' A a2 a3 = S ABC = Þ VA 'CEF = 16 48 32 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com +Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên VA ' B ' CF = SCFB' A ' J a2 SCFB' = SCBB ' = a a a3 Þ V A ' B ' CF = = 24 + Vậy : VCA'B'FE a3 = 16 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vng AB = AC = a; AA1 = a M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 a3 Đs:V = 12 ¼ Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vng B, SA ^ (ABC) ACB = 60o, BC = a, SA = a ,M trung điểm SB.Tính thể tích MABC Đs: VMABC = a3 ¼ Bài 3: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC ∆SBD tam giác có cạnh Tính thể tích khối chóp SABCD Đ s: VSABCD = Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: 12 11 b) AB = 1, SA = Đs: V = 12 Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC a3 Tính VA’ABC theo a? Đs: V = Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường chéo 60o, cạnh bên nghiêng với đáy góc 45o Tính VSABCD Đs: V = o o Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60 , BSC = 90 , a CSA = 120o.Chứng minh ∆ABC vng Tính VSABC Đs: V = 12 a) Cạnh đáy 1, góc ABC = 60o http://book.mathvn.com Đs: V = 33 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a ,SB= a mặt phẳng (SAB) vng góc mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN a3 Đs: vS BMDN = Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo Đs: k = Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a,mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N trung điểm cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP a3 Đs : vM CNP = 96 http://book.mathvn.com 34 ... THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h ì B : d ie än tíc h đ a ùy ỵ h : c h ie àu c a o h với í B a) Thể tích khối. .. kích thước a b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: c b a a a V= Bh h ìB : diện tích đáy với í ỵ h : chiều cao TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’,... BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE ^ ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF http://book.mathvn.com 26 Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com ? Lời giải: