Đang tải... (xem toàn văn)
Baøi 1. Tìm taäp xaùc ñònh vaø taäp giaù trò cuûa caùc haøm soá sau: a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ h/ i/ y = Baøi 2. Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá: a/ y = b/ c/ d/ e/ f/ g/ y = sinx + cosx h/ y = i/ y = Baøi 3. Xeùt tính chaün – leû cuûa haøm soá: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx g/ y = h/ y = i/ y =
Trần Só Tùng Đại số 11 I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác: cos sin tan ' cot OP a OQ a AT a BT a = = = = Nhận xét: • , 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤ α • tana xác đònh khi , 2 a k k Z≠ + ∈ π π , • cota xác đònh khi ,a k k Z≠ ∈ π 2. Dấu của các giá trò lượng giác: Cung phần tư Giá trò lượng giác I II II IV sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin 2 a + cos 2 a = 1; tana.cota = 1 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin a a a a + = + = 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cosa a− = ( ) sinsin a a− = π sin cos 2 a a − = ÷ π sin( ) sina a− = − cos( ) cosa a− = − π cos sin 2 a a − = ÷ π tan( ) tana a− = − tan( ) tana a− = − π tan cot 2 a a − = ÷ π cot( ) cota a− = − cot( ) cota a− = − π cot tan 2 a a − = ÷ π Trang 1 CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯNG GIÁC CHƯƠNG 0 CÔNG THỨC LƯNG GIÁC cosin O cotang sin tang p A M Q B T' α Đại số 11 Trần Só Tùng 5. Bảng giá trò lượng giác của các góc (cung) đặc biệt II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: Trang 2 Cung hơn kém π Cung hơn kém 2 π sin( ) sina a+ = − π sin cos 2 a a + = ÷ π cos( ) cosa a+ = − π cos sin 2 a a + = − ÷ π tan( ) tana a+ = π tan cot 2 a a + = − ÷ π cot( ) cota a+ = π cot tan 2 a a + = − ÷ π 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3− –1 0 0 cotg 3 1 3 3 0 3 3 − –1 0 sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = + tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b − − = + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan x x x x x x + − + = − = ÷ ÷ − + π π Trần Só Tùng Đại số 11 III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= − = − = − 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot2 2cot 1 tan a a a a a a − = = − 2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba: 4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 a : Đặt: tan ( 2 ) 2 a t a k= ≠ + π π thì: 2 2 sin 1 t a t = + ; 2 2 1 cos 1 t a t − = + ; 2 2 tan 1 t a t = − IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b + − − = cos cos 2cos .cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − = sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + + = sin( ) cot cot sin . b a a b a sinb − − = sin cos 2.sin 2.cos 4 4 a a a a + = + = − ÷ ÷ π π sin cos 2sin 2 cos 4 4 a a a a − = − = − + ÷ ÷ π π 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = − + + = − − + = − + + Trang 3 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan a a a a a a a a a a = − = − − = − 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a a a a a − = + = − = + Đại số 11 Trần Só Tùng Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ siny x= : Tập xác đònh D = R; tập giá trò 1, 1T = − ; hàm lẻ, chu kỳ 0 2T = π . * y = sin(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = sin(f(x)) xác đònh ( )f x⇔ xác đònh. cosy x= : Tập xác đònh D = R; Tập giá trò 1, 1T = − ; hàm chẵn, chu kỳ 0 2T = π . * y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = cos(f(x)) xác đònh ( )f x⇔ xác đònh. tany x= : Tập xác đònh \ , 2 D R k k Z = + ∈ π π ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = tan(f(x)) xác đònh ( )f x⇔ ( ) 2 k k Z≠ + ∈ π π coty x= : Tập xác đònh { } \ ,D R k k Z= ∈ π ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = cot(f(x)) xác đònh ( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈ π . * y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 Thì hàm số 1 2 ( ) ( )y f x f x= ± có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . Trang 4 Trần Só Tùng Đại số 11 Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau: a/ 2 sin 1 x y x = ÷ − b/ siny x= c/ 2 siny x= − d/ 2 1 cosy x= − e/ 1 sin 1 y x = + f/ tan 6 y x = − ÷ π g/ cot 3 y x = + ÷ π h/ sin cos( ) x y x = − π i/ y = 1 tan 1x − Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số: a/ y = 2sin 1 4 x + + ÷ π b/ 2 cos 1 3y x= + − c/ siny x= d/ 2 4sin 4sin 3y x x= − + e/ 2 cos 2sin 2y x x= + + f/ 4 2 sin 2cos 1y x x= − + g/ y = sinx + cosx h/ y = 3sin2 cos2x x− i/ y = sin 3 cos 3x x+ + Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin 4 x f/ y = sinx.cosx g/ y = sin tan sin cot x x x x − + h/ y = 3 3 cos 1 sin x x + i/ y = tan x Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số: a/ sin2y x= b/ cos 3 x y = c/ 2 siny x= d/ sin2 cos 2 x y x= + e/ tan cot3y x x= + f/ 3 2 cos sin 5 7 x x y = − g/ 2sin . cos3y x x= h/ 2 cos 4y x= i/ y = tan(−3x + 1) ĐS: a/ . π b/ 6π. c/ . π d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/ . 4 π i/ 3 π Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC 1/ Vẽ đồ thò hàm số lượng giác: – Tìm tập xác đònh D. – Tìm chu kỳ T 0 của hàm số. – Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần). – Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T 0 có thể chọn: 0 0,x T ∈ hoặc 0 0 , 2 2 T T x ∈ − . – Vẽ đồ thò trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. – Rồi suy ra phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ 0 . .v k T i= r r về bên trái Trang 5 Đại số 11 Trần Só Tùng và phải song song với trục hoành Ox (với i r là véc tơ đơn vò trên trục Ox). 2/ Một số phép biến đổi đồ thò: a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến đồ thò y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vò nếu a < 0. b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua trục hoành. c/ Đồ thò ( ), nếu f(x) 0 ( ) -f(x), nếu f(x) < 0 f x y f x ≥ = = được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành. Ví dụ 1: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = sinx. – Tập xác đònh: D = R. – Tập giá trò: 1, 1 . − – Chu kỳ: T = 2π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π – Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thò y = sinx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 2 ÷ π và nghòch biến trên , . 2 ÷ π π Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx. – Tập xác đònh: D = R. – Tập giá trò: 1, 1 . − – Chu kỳ: T = 2π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : π Trang 6 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = sinx –1 y x 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = cosx –1 y x x0y 1 0 –1 0 0 x0 Trần Só Tùng Đại số 11 – Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i= r r π ta được đồ thò y = cosx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. – Hàm số nghòch biến trên khoảng 0, 2 ÷ π và nghòch biến trên khoảng 3 , . 2 ÷ π π Ví dụ 3: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = tanx. – Tập xác đònh: D = R \ , 2 k k Z + ∈ π π – Tập giá trò: R. – Giới hạn: 2 lim x y →± = ∞ π : 2 x⇒ = ± π là tiệm cận đứng. – Chu kỳ: T = π. – Bảng biến thiên trên , 2 2 − ÷ π π : – Tònh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thò y = tanx. Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D. Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx. – Tập xác đònh: D = R { } \ ,k k Z∈ π – Tập giá trò: R. – Giới hạn: 0 lim , lim x x x y y → → = + ∞ = − ∞ tiệm cận đứng: x = 0, x = π. – Chu kỳ: T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, π : – Tònh tiến theo véctơ .v k i= r r π ta được đồ thò y = cotx. Trang 7 ∞ ∞ x0y 0 +∞ –∞ 3 2 π − π 2 π − 2 π π 3 2 π 2π 5 2 π 2− π 3 2 π − 2 π − 2 π π 3 2 π y = cotx −π 2π Đại số 11 Trần Só Tùng Nhận xét: – Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số luôn giảm trên tập xác đònh D. Ví dụ 5: Vẽ đồ thò y = – sinx. – Vẽ đồ thò y = sinx. – Từ đồ thò y = sinx, ta suy ra đồ thò y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. Ví dụ 6: Vẽ đồ thò y = sinx sin , nếu sin x 0 sin -sin x, nếu sin x < 0. x y x ≥ = = Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thò y = cosx. – Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò 1 cosy x= + bằng cách tònh tiến đồ thò cosy x= lên trục hoành 1 đơn vò. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π : Trang 8 y x –2π 3 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O −π 2 π − y = –sinx 1 –1 π 2 π − 3 2 π 2π 2 π π O y = /sinx/ y 1 x x0πy = cosx1 0 –1 01y = 1 + cosx2 1 0 12 2 π − O y = 1 + cosx y x − π 2 π π 3 2 π y = cosx 2 1 –1 Trần Só Tùng Đại số 11 Ví dụ 8: Vẽ đồ thò y = sin2x. – y = sin2x có chu kỳ T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π : Ví dụ 9: Vẽ đồ thò y = cos2x. – y = cos2x có chu kỳ T = π. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π : Trang 9 2 π − O y x π 4 π − 4 π 1 3 2 π 2 π 5 4 π y = sin2x –1 x02x0y = sin2x 0 –1 01 0 x02x0y = cos2x –1 01 0 –1 O y x 2 π 4 π 2 π 4 π 3 4 π Đại số 11 Trần Só Tùng Ví dụ 10: Vẽ đồ thò sin 4 y x = + ÷ π có chu kỳ T = 2π. Ví dụ 11: Vẽ đồ thò cos 4 y x = − ÷ π có chu kỳ T = 2π. Trang 10 3 2 π −π 3 4 π − 2 π − 4 π − 4 π 2 π 3 4 π π 5 4 π 7 4 π 2 / 2 2 / 2− [...]... Z ) 4 5 Một số điều cần chú ý: a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh * * * * π + kπ (k ∈ Z ) 2 Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x ≠ kπ (k ∈ Z ) π (k ∈ Z ) Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x ≠ k 2 Phương trình có mẫu số: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z ) • Phương trình chứa tanx... 1 + 2sin 2 x 5 phương trình thuộc ( 0 ; 2π ) Bài 4 Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 Tìm các nghiệm của phương trình thuộc ( −π ; π ) 4 4 Bài 5 Giải phương trình : sin x + sin x + π π 5 4 ÷+ sin x − ÷ = 4 4 4 III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) Cách 1: • a (1) ⇔ • a2 + b2 ta được: Chia hai vế phương trình cho Đặt: sin... a2 + b2 và max y = a2 + b2 ⇔ sin x cos x a = ⇔ tan x = a b b Bài 1 Giải các phương trình sau: 1) cos x + 3 sin x = 2 4) sin x + cos x = 2 sin 5 x π 6) 3 sin 2 x + sin + 2 x ÷ = 1 2 Bài 2 Giải các phương trình sau: 1) 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 3 1 + sin x cos x 5) sin5x + cos5x = 2 cos13x Bài 3 Giải các phương trình sau: 1) 3sinx – 2cosx = 2 3) cosx + 4sinx = –1 Bài 4 Giải các phương trình sau:... , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ 0 ta được: a.tan 2 x + b.tan x + c = d (1 + tan 2 x ) • Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: (a − d )t 2 + b.t + c − d = 0 Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1 − cos 2 x sin 2 x 1 + cos 2 x + b + c = d 2 2 2 ⇔ b.sin 2 x + (c − a).cos 2 x = 2d − a − c (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x) (1) ⇔ a Bài 1 Giải các phương trình sau: 1)... 12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0 Bài 2 Giải các phương trình sau: 1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 2) 3 sin x.cos x − sin 2 x = 2 −1 2 Bài 3 Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm Trang 18 Trần Só Tùng Đại số 11 Bài 4 Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin 2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vô nghiệm V PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx... − cos x ) + 2 = 0 2 Bài 3 Giải các phương trình: 1) sin3x + cos3x = 1 + ( 2) 2sin2x – 3 6 sin x + cos x + 8 = 0 2 − 2 ) sinx.cosx Trang 19 Đại số 11 Trần Só Tùng VI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Bài 1 Giải các phương trình sau: 3 2 1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3 2 Bài 2 Giải các phương trình sau: 1) sin6x + cos6x = 1 4 2)... 2 II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC Dạng asin x + b sin x + c = 0 Đặt t = sinx −1 ≤ t ≤ 1 a cos2 x + b cos x + c = 0 t = cosx −1 ≤ t ≤ 1 a tan 2 x + b tan x + c = 0 t = tanx x≠ a cot 2 x + b cot x + c = 0 t = cotx 2 Điều kiện π + kπ (k ∈ Z ) 2 x ≠ kπ (k ∈ Z ) Trang 15 Đại số 11 Trần Só Tùng Nếu đặt: t = sin 2 x hoặc t = sin x thì điều kiện : 0 ≤ t ≤ 1 Bài 1 Giải các phương trình. .. tra điều kiện Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trò của x vào biểu thức điều kiện 2 Dùng đường tròn lượng giác 3 Giải các phương trình vô đònh • cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ Trang 14 Trần Só Tùng Đại số 11 Bài 1 Giải các phương trình: π 1) cos 2 x + ÷ = 0 6 π 4) sin 3 x + ÷ = 0 3 7) sin ( 3 x + 1) = 1 2 π 1 10) cos − 2 x ÷ = −... 2) 3 cosx + 4sinx – 4) 2sinx – 5cosx = 5 Trang 17 3 =0 Đại số 11 Trần Só Tùng π π 3 2 π 1) 2sin x + ÷ + sin x − ÷ = 2) 3 cos 2 x + sin 2 x + 2sin 2 x − ÷ = 2 2 4 4 6 2 Bài 5 Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm Bài 6 Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm IV PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 2 2 DẠNG: a sin x + b sinx.cosx + c... Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 π • Đặt: t = cos x ± sin x = 2.cos x m ÷; t ≤ 2 4 • 1 ⇒ t 2 = 1 ± 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± (t 2 − 1) 2 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t ≤ 2 Suy ra x Lưu ý dấu: • π π cos x + sin x = 2 cos x − ÷ = 2 sin x + ÷ 4 4 • π π cos x − sin x = 2 cos x + ÷ = − 2 sin . ∈ π π 5. Một số điều cần chú ý: a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh. * Phương trình. 70π. g/ π. h/ . 4 π i/ 3 π Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC 1/ Vẽ đồ thò hàm số lượng giác: – Tìm tập xác đònh D. – Tìm chu kỳ T 0 của hàm số. – Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần). – Lập. ). 2 x k k Z≠ + ∈ π π * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: ( )x k k Z≠ ∈ π * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( ) 2 x k k Z≠ ∈ π * Phương trình có mẫu số: • sin 0 ( )x x k k