Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn Chơng Các tham số đặc trng biến ngẫu nhiên A Các tham số đặc trng biến ngẫu nhiên chiều i Kỳ vọng toán Định nghĩa Nếu X biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất F(x) kỳ vọng toán đợc ký hiệu đợc định nghĩa nh sau: E(X)= xdF( x ) Với giả thiết (1) x dF(x) tồn Ghi chú: Tích phân nêu gọi tích phân Stieljes x lấy F(x) a Nếu F(x) hàm bậc thang tích phân trở thành E ( X ) = ∑ x i p( x i ) (2) i∈I Trong I tập hợp hữu hạn đếm đợc số Nh (2) công thức định nghĩa cho kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc X b Nếu F(x) có hàm mật độ xác suất f(x) tích phân trở thành +∞ E (X ) = ∫ xf ( x )dx (3) Do (3) công thức định nghĩa kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên liên tục X Trong hai công thức (2) (3), chuỗi tích phân suy rộng không hội tụ tuyệt đối ta bảo biến ngẫu nhiên X tơng ứng kỳ vọng toán c Về mặt ý nghĩa ta hiểu kỳ vọng toán giá trị trung bình biến ngẫu nhiên X ®iĨm c©n b»ng cđa ph©n phèi Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 111 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  ThÝ dụ 1: HÃy xác định số trung bình lần suất mặt sấp ta tung hai đồng xu đối xứng đồng chất lần Bài giải Nếu gọi X số lần xuất mặt sấp ta đà thiết lập đợc bảng phân phối xác suất cđa nã lµ X P(x) 4 Do ®ã E(X) = (0) + (1) + (2) = = 4 4 ThÝ dơ 2: Cho X lµ biến ngẫu nhiên liên tục phân phối (a; b) tức hàm mật độ xác suất có dạng: ⎧0 ⎪ f (x) = ⎨ ⎪C = b − a ⎩ x ∉ (a ; b) x ∈ (a ; b ) a.TÝnh: E(X) b.TÝnh: P ⎛ X − E ( X ) < b − a ⎞ Bài giải a áp dụng c«ng thøc (3) ta cã b b a a E ( X ) = ∫ xf ( x )dx = ∫ x a+b dx = b−a Ta thÊy X phân phối (a; b) nên E(X) điểm khoảng a) Biến cố mà ta phải tính xác suất phân tích thành biến cố tơng đơng nh sau: ba a + b b − a ⎞ ⎛ 3a + b 3b + a ⎞ ⎛ 0 +∞ ii A dx = ∫ − + x Sau tính tích phân điều kiÖn thø hai ta cã: A = π VËy hàm f(x) muốn hàm mật độ xác suất phải có biểu thức cụ thể là: f (x ) = π (1 + x ) (− ∞ < x < +∞ ) Mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tục có hàm mật độ xác suất nh vừa nêu đợc gọi tuân theo quy luật phân phối Cauchy +∞ b V× ∫ ∫ x xdx = ∫1+ x2 π +∞ x f ( x ) dx = −∞ −∞ = π = +∞ π +∞ [ ( lim ln + B B → +∞ ∫ dx π (1 + x ) B d (1 + x ) d (1 + x ) = lim ∫ 1+ x π B → +∞ + x )] Vì giới hạn nêu giá trị hữu hạn nên tích phân xét không hội tụ, E(X) không tồn Một số tÝnh chÊt cđa kú väng to¸n TÝnh chÊt 1: NÕu X biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm khối lợng xác suất p(x) Y = (X ) hàm X LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 114 Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn E(X) = E[ϕ(X )] = ∑ ϕ(x )p( x ) x Tơng tự X biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) th×: +∞ E ( X ) = E[ϕ(X )] = ∫ ϕ( x )f ( x )dx −∞ ý nghÜa: Khi tính kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên, Y hàm số biến ngẫu nhiên X dùng giá trị hàm nhng dùng phân phối xác suất X Chứng minh Để cho đơn giản ta xét trờng hợp X biến ngẫu nhiên rời rạc với số hữu hạn giá trị cã thĨ cã lµ x1, x2 , x3 xi , k x Ta ký hiƯu yj lµ giá trị có Y (j = , m víi m ≤k nÕu m = k th× ánh xạ 1-1) (x i Ta gọi I l tập hợp số i cho l )= y j Khi ®ã quy luËt phân phối xác suất Y đợc xác định nh sau: ( ) ( ) p( y j ) = P(Y = y j ) = ∑ P X = x i l = ∑ p x i l l∈I l V× vËy l∈I l m m ⎞ ⎛ E(Y) = ∑ y jp(y j ) = ∑ ⎜ ∑ p(x i )⎟ y j j=1 j=1 ⎝ l∈I ⎠ l l m ⎛ ⎞ m⎛ ⎞ = ∑ ⎜ ∑ p(x i )y j ⎟ = ∑ ⎜ ∑ p(x i )ϕ(x i )⎟ j=1 ⎝ l∈I ⎠ j=1 ⎝ l∈I ⎠ l l l l l Do c¸c tập hợp I l tạo nên phép phân hoạch tập hợp số i=1, 2, , k tổng số thực có tính chất kết hợp nên m j= l I l = k ∑ i=1 V× thÕ m ⎞ k ⎛ E(Y) = ∑ ⎜ ∑ p(x i )ϕ(x i )⎟ = ∑ ϕ( x i )p( x i ) j=1 ⎝ l∈I ⎠ i =1 l l l §ã kết phải chứng minh LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 115 Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn Thí dụ 1: Tung hai đồng xu đối xứng đồng chất mặt sấp suất đợc tính điểm HÃy xác định số điểm trung bình hy vọng thu đợc lần tung Bài giải Ta gọi X số mặt sấp suất Y số điểm thu đợc Để xác định E(Y) ta thực hiên theo hai cách a Cách thứ Từ quy luật phân phối xác suất X mà ta đà thành lập đợc, cụ thể: X P(x) 4 ta suy quy lt ph©n phèi cđa Y nh− sau: Y 10 P(y) 4 Do ®ã E ( Y ) = (0 ) + (5 ) + (10 ) = 4 b Cách thứ hai Vì Y=5X nên ta ¸p dơng c«ng thøc võa chøng minh, ta cã: E(Y) = (5× 0) + (5×1) + (5× 2) = 4 ThÝ dô 2: Cho X biến ngẫu nhiên liên tục tuân theo quy luật phân phối [0;1] HÃy tính E(Y) với Y = X Bài giải a Cách thứ LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 116 Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn Trớc hết ta xác định quy luật phân phối xác suất Y cách vào quy luật phân phối xác suất X Ta cã ( ) ⎛ 1⎞ FY (y ) = P(Y < y ) = P(X < y ) = P X < y = FX ⎜ y ⎟ 3 Do X phân phối [0;1] nên theo thí dụ phần I ta có: ⎧0 ⎪ f (x) = ⎨1 ⎪0 ⎩ x≤0 víi 01 Suy ⎧0 ⎪ F( x ) = ⎨x ⎪1 ⎩ x≤0 víi < x ≤1 x >1 Tõ ®ã ⎧0 ⎪ ⎪ FY ( y) = ⎨ y ⎪1 ⎪ ⎩ y≤0 < y ≤1 y >1 VËy ⎧0 ⎪ −2 ⎪1 f Y ( y) = ⎨ y ⎪3 ⎪0 ⎩ y≤0 < y ≤1 y >1 V× thÕ 1 −2 11 E ( Y ) = ∫ y y dy = ∫ y dy = 30 b C¸ch thứ hai Vì Y = X nên theo tính chất đà nêu ta có: LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 117 Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn x4 1 E(Y) = ∫ x f ( x )dx = ∫ x 1.dx = = 4 0 TÝnh chÊt 2: 3 E(aX + b ) = aE ( X ) + b Chøng minh Ta coi (X) = aX + b đó: a Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc với quy luật phân phối xác suất x i ⎨ ⎬(i ∈ I ) p( x i ) ⎭ ⎩ th× E(aX + b) = ∑ (ax i + b )p( x i ) = ∑ ax i p( x i ) + ∑ bp( x i ) i∈I i∈I i∈I = a ∑ x i p( x i ) + b∑ p( x i ) = aE(X) + b iI iI b Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f ( x ) +∞ +∞ −∞ E (aX + b) = +∞ −∞ (− ∞ < x < +∞ ) th×: −∞ ∫ (ax + b )f ( x )dx = ∫ axf ( x )dx + ∫ bf ( x )dx +∞ +∞ −∞ −∞ = a ∫ xf ( x )dx + b ∫ f ( x )dx = aE (X) + b HƯ qu¶ 1: Cho a = ta đợc E(b) = b Hệ quả2: Cho b= ta đợc E(aX) = aE(X) Thí dụ: Với Y số điểm thu đợc nh đà nêu thí dụ mục ta có Y= 5X E(Y)= E(5X)= 5E(X) Nh đà tính E(X)= nên E(Y)= 5.1= ( TÝnh chÊt 3: NÕu C i i = , n ) số n C ϕ (X )⎤ = n C E[ϕ (X )] E ∑ i i i ⎥ ∑ i ⎢ i =1 ⎦ i =1 ⎣ Chøng minh: n Ta ®Ỉt ϕ(X ) = ∑ C i ϕ i (X ) i =1 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 118 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  ta cã n n E[ϕ(X )] = E ⎡∑ Ci ϕi (X ) ⎤ = ∑ ⎡∑ Ci ϕi (X ) ⎤p( x ) ⎥ ⎥ x ⎢ i =1 ⎢ i =1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ n n = ∑ ∑ C i ϕi (X)p( x ) = ∑ C i ⎡∑ ϕi ( x )p( x ) ⎤ ⎢x ⎥ ⎣ ⎦ x i =1 i =1 ∑ C E [ϕ n = i i =1 i (X )] ThÝ dô: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ x¸c st nh− sau: ⎧2(1 − x) víi < x < f (x) = ⎨ víi x < vµ x > ⎩0 H·y tÝnh: a E(X r ) 2⎤ ⎡ b E ⎢⎣( X + 1) Bài giải 1 a E ( X ) = ∫ x 2(1 − x ) dx = ∫ (x r − x r +1 )dx r r [ ⎡ x r +1 x r + ⎤ = 2⎢ − ⎥ = (r + 1)(r + 2) ⎣r +1 r + 2⎦ b E (2 X + ) ] = E [4 X + X + 1] = E[4X ] + E[4X] + E(1) = 4E[X ] + 4E(X) + áp dụng kết ë a) ta cã: [ ] E (2X + 1) = 2 +4 +1 = (2 + 1)(2 + 2) (1 + 1)(1 + 2) II Các Mô_men Các định nghĩa a Mô_men bậc k (k 0) lấy điểm cố định a lµ Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 119 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  γ k (a ) = E[ X − a ]k b NÕu a lµ gèc ta có mô_men gốc bậc k k = E(X k ) Nh− vËy kú väng to¸n E(X) mô_men gốc bậc 1, tức E ( X ) = α c NÕu a lµ E(X) ta có mô_men trung tâm bậc k k = E[X E(X)]k Từ định nghĩa ta thÊy μ = E[X − E(X)]0 = E(1) = μ1 = E[X − E(X)]1 = E(X) − E[E(X)] = E(X) − E(X) = μ = E[X − E(X)]2 = E{X − 2X.E(X) + [E(X)]2 } = E(X ) − 2[E(X)]2 + [E(X)]2 = E (X ) − [E (X)] = α − α12 T−¬ng tù ta suy ra: μ = α − 3α1α + 2α1 μ = α − 4α1α + 6α12 α − 3α14 ( Ghi chó: C¸c biĨu thøc E X − a k ) , E( X k ( ) E X E(X) k ) đợc gọi mô_men tuyệt đối Nếu mô_men tuyệt đối tồn mô_men k , k & k tơng ứng tồn Tính chất Định lý: Nếu biến ngẫu nhiên X có mô_men bậc k có mô_men bậc k với ≤ k’ ≤ k Chøng minh Ta chøng minh cho trờng hợp k Theo giả thiết th× Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 120 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  { } = E [X − E(X)] + [Y − E(Y)] + 2[X − E(X)][Y − E(Y)] 2 = E[X − E(X)] + E[Y − E (Y)] + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y)]} 2 = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y) §èi víi V(X-Y) cách chứng minh tơng tự b Các tính chất: TÝnh chÊt 1: Cov (X,Y) = Cov (Y,X) TÝnh chÊt thấy qua vai trò đối xứng X Y biểu thức định nghĩa Tính chÊt 2: NÕu a vµ b lµ hai sè thùc Cov (aX,bY) = ab.Cov(X,Y) Chứng minh: Theo định nghĩa ta cã Cov ( aX , bY ) = { [aX − E ( aX ) ][bY − E ( bY ) ] } ¸p dơng c¸c tÝnh chÊt cđa kỳ vọng ta đợc Cov ( aX , bY ) = { [aX − aE ( X ) ][bY − bE ( Y ) ] } = {a [X − E ( X ) ] b [Y − E ( Y ) ] } = abE { [X − E ( X ) ][Y − E ( Y ) ] } = abCov ( X , Y ) TÝnh chÊt 3: Nếu X Y độc lập Cov (X,Y) = Chøng minh: Trong phÇn chøng minh hƯ thøc nêu nhận xét (a) ta đà có kết lµ Cov(X, Y) = E(XY) − E (X).E (Y) Nh− đà biết X Y độc lập E(XY) = E(X).E(Y) ®ã Cov(X,Y) = Ghi chó 1: Tuy nhiên nh ta đà thấy: Nếu E(XY) = E(X).E(Y) cha X Y đà độc lập Nói cách khác Cov (X,Y) = cha X Y đà độc lập Trong trờng hợp ta bảo X Y mối liên hệ tơng quan mà Vậy hai biến ngẫu nhiên LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 137 Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn độc lập liên hệ tơng quan, nhng ngợc lại hai biến ngẫu nhiên liên hệ tơng quan cha đà độc lËp Ghi chó 2: HƯ thøc võa nªu Cov(X, Y) = E(XY) E (X).E (Y) Thờng đợc dùng để tính Cov(X, Y) cho nhanh đặt Y X ta có công thức tính phơng sai quen biết: Cov(X, X) = V(X) = E(X ) − [E(X)]2 Ghi 3: Qua định nghĩa qua tính chất ta thấy Cov(X,Y) tham số đặc trng cho mức độ chặt chẽ mối liên hệ hai biến ngẫu nhiên X Y Cụ thể: a Nếu Cov(X,Y) > ta bảo X Y có mối liên hệ tơng quan thuận chiều b Nếu Cov(X,Y) th× ρ(X' , Y' ) = ρ(X, Y) Chøng minh Do σ(X' ) = σ(aX) = V(aX) = a V(X) = a V(X) = a σ(X) = a(X) (a>0) tơng tự (Y' ) = b σ(Y) = bσ(Y) nªn Cov(X' , Y' ) Cov(aX, bY) abCov(X, Y) = = σ(X' )σ(Y' ) σ(aX)σ(bY) aσ(X)bσ(Y) ρ(X' , Y') = = Cov(X, Y) = ρ(X, Y) σ( X ) σ( Y ) ( ) ~ ~ ~ ~ TÝnh chÊt 2: ρ(X, Y) = Cov X, Y X Y biến ngẫu nhiên chuẩn hoá từ X Y Chứng minh: Ta có ρ(X, Y) = = Cov(X, Y) σ ( X ) σ( Y ) E{[X − E(X)][Y − E(Y)]} σ ( X ) σ( Y ) ⎧ ⎡ X − E(X) ⎤ ⎡ Y − E(Y) ⎤ ⎫ = E⎨ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎬ ⎩ ⎣ σ( X ) ⎦ ⎣ σ( Y ) ⎦ ⎭ ~ ~ = E ( X, Y ) ~ ~ Vì biến ngẫu nhiên chuẩn hoá nên E(X) = E(Y) = ta viết: ~ ~ ~ ~ ρ(X, Y) = E X − E(X) Y − E (Y) ~ ~ = Cov(X, Y) {[ TÝnh chÊt 3: ][ ]} − ≤ ρ(X, Y) ≤ 1, tøc lµ ρ(X, Y) ≤ Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 139 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  Chøng minh: Ta cã ~ ~ ~ ~ ~ ~ V ( X ± Y ) = V ( X ) + V ( Y ) ± 2Cov ( X , Y ) = + ± 2ρ(X, Y) = 2[1 ± ρ( X, Y )] ~ ~ Do V (X, Y) ≥ nªn ta suy ± ρ(X, Y) ≥ tøc lµ ρ(X, Y) ≤ TÝnh chÊt ρ(X, Y) = ±1 vµ chØ X Y có mối liên hệ hàm số tuyến tính Chứng minh a Điều kiên cần Giả sư Y = aX + b Khi ®ã ρ(X, Y) = ρ(X, aX + b) = Cov(X, aX + b) σ(X)σ(aX + b) Nh−ng Cov ( X , aX + b ) = E { [X − E ( X ) ][aX + b − E ( aX + b ) ] } = E { [X − E ( X ) ][a (X − E ( X ) )] } = aE[X − E(X )] = aV(X ) σ ( aX + b ) = V (aX + b ) = a V ( X ) = a σ ( X ) V× thÕ ρ( X , Y ) = aV(X ) a = = ±1 a σ( X )σ( X ) a Cơ thĨ: NÕu a > th× ρ(X, Y) = +1 NÕu a < (X, Y) = b Điều kiện đủ Giả sử (X, Y) = +1 Trong phần chứng minh tÝnh chÊt ta ®· thÊy Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 140 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  ~ ~ V(X − Y) = 2[1 − ρ(X, Y)] ~ ~ VËy nÕu ρ(X, Y) = th× V X Y = ~ ~ Điều chứng tỏ X − Y lµ mét h»ng sè C ~ ~ ~ ~ Mặt khác E(X Y) = E (X) − E(Y) = − = ~ ~ ~ ~ Do ®ã ta suy C = Tøc lµ X − Y = vËy X = Y ( ) X − E(X) Y − E(Y) = ( X ) ( Y ) Đây phơng trình đờng thẳng Ghi Nếu rút Y theo X ta đợc phơng trình Y= ( Y ) σ( Y ) X + ⎢E (Y) − E(X)⎥ ( X ) ( X ) Đây dạng phơng trình đờng thẳng quen thuộc Y = aX + b ®ã a = ⎤ ⎡ σ( Y ) σ( Y ) E(X)⎥ vµ b = ⎢E(Y) − σ( X ) σ( X ) ⎦ ⎣ ~ ~ Ghi chó NÕu ρ(X, Y) = −1 ta sÏ sử dụng kết V( X, Y) rút Y theo X ta đợc phơng trình Y= ⎡ ⎤ σ( Y ) σ( Y ) X + ⎢E(Y) + E ( X ) ⎥ = a ' X + b' σ( X ) σ( X ) ⎣ ⎦ Ghi chó NÕu rót X theo Y ta đợc dạng phơng trình tơng tự Ghi Qua tính chất ta thấy (X, Y) tham số đánh giá mức độ tuyến tính mối liên hệ tơng quan X Y Nếu ( X, Y) lớn mức độ tuyến tính cao, nhiên (X, Y ) = ta kết luận dạng tuyến tính mối quan hệ X Y không quan hệ Sau vài hình ảnh minh hoạ ý nghĩa (X, Y) Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 141 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  y y ρ≅1 ρ≅-1 x x x E(y) x x x x x E(x) E(x) x y y ρ≅1 ρ≅-1 x x x E(y) x x x x x x E(x) E(x) x x y y x x ρ≅0 ρ≅0 x x E(y) E(y) x Nhng có quan hệ X Y x x E(x) x x E(x) x ThÝ dô: H·y tÝnh (X, Y) X số lần bán đợc hàng Y tổng số tiền lÃi thu đợc vào bảng phân phối xác suất đồng thời ®· xÐt ë mơc III, mơc B ch−¬ng II Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 142 Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn Bài giải Để có (X, Y) ta phải tÝnh Cov(X, Y), σ(X) & σ(Y) muèn vËy ta ph¶i ¸p dơng c«ng thøc Cov(X; Y) = E(XY) − E(X).E (Y) σ(X) = V(X) = E(X ) − [E (X)]2 σ(Y ) = V (Y ) = E ( Y ) − [ E ( Y )] Các kết tính toán trung gian đợc nêu b¶ng sau: Y X 400 0.000 0.000 0.384 0.384 0.192 0.384 0.008 300 x2p(x) 0.096 200 xp(x) 0.384 100 P(x) 0.512 0.024 0.072 0.080 0.084 0.512 0 0.256 0.128 25,6 25,6 0.032 0.064 12,8 38,4 0.008 9,6 P(y) 0.512 0.256 0.160 0.064 0.008 yP(y) 25.6 32.0 19.2 3.2 ∑ = 80 y2p(y) 2560 6400 5760 1280 ∑ = E(XY) =∑ = 112 16000 Từ kết bảng ta suy ra: a) E ( Y ) = ∑ yp( y) = 80 V(Y) = ∑ y p( y) − [E (Y)] = 16000 − (80) = 9600 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 143 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  σ( Y ) = 9600 ≈ 97,98 b) E ( X ) = ∑ xp( x ) = 0,6 V(X) = ∑ x p( x ) − [E(X)]2 = 0,84 − (0,6) = 0,48 σ(X ) = 0,48 ≈ 0,693 c) Cov(X, Y) = E(XY) − E (X).E (Y) Vì E(XY) = tổng số đợc đóng khung ô nên giá trị 112 ®ã Cov(X, Y) = 112 − (80).(0,60) = 64 d) Cuèi cïng ta cã ρ(X, Y) = Cov(X, Y) 64 = ≈ 0,94 σ(X).σ(Y) (97,98).(0,693) Nh− vËy møc độ tuyến tính mối liên hệ tơng quan Y X cao Điều đợc thể qua dạng sát gần đờng thẳng đờng hồi quy X theo Y mà ta đà vẽ mục C Các tham số đặc trng biÕn ngÉu nhiªn nhiỊu chiỊu BiÕn ngÉu nhiªn n chiÒu V = ( X , X , , X n ) đợc đặc trng bởi: a n kú väng to¸n E ( X ), E (X ), , E ( X n ) b n ph−¬ng sai V ( X ), V ( X ), ., V ( X n ) c n(n-1) mô_men tơng quan: K ij = E{[X i E(X i )][X j − E(X j )]} (i ≠ j) Do K ii = E[X i − E(X i )] = V(X i ) nªn ta cã thĨ viÕt tất phơng sai mô_men tơng quan thành ma trận gọi ma trận tơng quan (hoặc ma trận hiệp phơng sai) LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 144 Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn K 11 K 12 K n K ij = K 21 K 22 K n K n K n K nn Các phần tử đờng chéo ma trận tơng quan phơng sai biến ngẫu nhiên thành phần Do K ij = K ji nên ma trận tơng quan viết dới dạng tam giác: K 11 K 12 K 1n K ij = K 22 K n K nn NÕu c¸c biÕn ngÉu nhiên thành phần liên hệ tơng quan với tøc, lµ nÕu (i ≠ j) K ij = ma trận tơng quan trở thành ma trận đờng chéo với phần tử đờng chéo phơng sai biến ngẫu nhiên thành phần V(X ) V(X ) K ij = 0 V(X n ) n n i =1 i =1 NÕu X = ∑ X i th× V(X) = ∑ V(X i ) + 2∑∑ K ij i< j Nh biểu thức ngẫu nhiên thành phần liên hệ tơng quan n V(X) = ∑ V(X i ) i =1 øng với n(n-1) mô_men tơng quan, ta có n(n-1) hệ sè t−¬ng quan tuyÕn tÝnh rij = K ij σi σ j Trong ®ã σ i = V (X i ) ; σ j = V (X j ) (i j) LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 145 Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn Với hệ số tơng quan tuyÕn tÝnh ta sÏ cã ma trËn t−¬ng quan chuẩn hoá với dạng nh sau: r12 r1 n rij = r2 n D Hm đặc trng I định nghĩa v số tính chất Định nghĩa Hàm đặc trng biến ngẫu nhiên X đợc ký hiệu đợc định nghĩa nh− sau: ⎧∑ e itx p( x r ) ⎪r g X ( t ) = E[e itX ] = ⎨+ ∞ itx ⎪ ∫ e f ( x )dx ⎩−∞ (1) r (2 ) BiÓu thøc (1) dïng cho biến ngẫu nhiên rời rạc, biểu thức (2) dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục, i = (1) đơn vị ảo, t tham số thùc (−∞ < t < +∞) Mét sè tÝnh chÊt g X (0) = TÝnh chÊt 1: Chøng minh g X (0) = E[e i X ] = E(1) = g X (t ) ≤ TÝnh chÊt 2: Chøng minh Ta chøng minh cho trờng hợp X biến ngẫu nhiên liên tục Ta cã g X (t ) = +∞ ∫e −∞ itx f ( x )dx ≤ +∞ ∫e itx f ( x )dx −∞ Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 146 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  e itx = cos ( tx ) + sin ( tx ) = nh−ng nªn +∞ g X ( t ) ≤ ∫ f ( x )dx = −∞ g(aX+b) (t) = eitbgX (at) TÝnh chÊt 3: Chøng minh g ( aX + b ) ( t ) = E [e it (aX + b ) ] = E [e i ( at ) X e itb ] = e itb E [e i ( at ) X ] = e itb g X (at ) ( ) TÝnh chÊt 4: Nếu X k k = 1, n biến ngẫu nhiên độc lập g ⎞ n ∑ Xk ⎟ ⎟ k =1 (t) = n ∏g Xk k =1 ⎠ (t) Chøng minh ⎡ it ⎛⎜⎜ ∑ X g ⎛ ⎞ ( t ) = E ⎢e ⎝ ⎜ ∑X ⎟ ⎢ ⎟ ⎜ ⎣ ⎠ ⎝ n k =1 n k k =1 k ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎤ n ⎥ = ∏ g X (t) ⎥ k =1 ⎦ k ( ) Do X k độc lập nên e itX độc lËp k = 1, n k V× vËy g⎛ (t) = ∏E(e n n ⎞ ⎜ Xk ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ k =1 ⎠ ∑ k =1 itXk ) =∏g n k =1 Xk (t ) II mèi liªn hệ mô_men v hm đặc trng Định lý Nếu k k tồn g X ( t ) khả vi tới bậc k ®ã: αk = (k) g ( 0) ik Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 147 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  μk = − it α [e g X ( t ) ](t k= 0) k i Chøng minh Ta chøng minh hÖ thøc thø nhÊt biến ngẫu nhiên liên tục Đạo hàm cách hình thức bậc k theo tham số t hàm số dới dấu tích phân + biểu thức định nghĩa g X ( t ) = e itx f ( x )dx ta đợc g (t) = i (k) X +∞ k ∫x k e itx f ( x )dx −∞ theo gi¶ thiÕt k tồn nên ta suy + x k e f ( x )dx ≤ itx −∞ +∞ ∫x k e f ( x )dx = itx −∞ +∞ ∫x k f ( x )dx < +∞ −∞ Nh− vËy g (Xk ) ( t ) tån t¹i Cho t = ta đợc g (Xk ) ( ) = i k +∞ ∫x k f ( x ) dx = i k α k −∞ Tõ ®ã suy hƯ thøc ph¶i chøng minh ThÝ dơ: HÃy dùng hàm đặc trng để xác định E(X) V(X) với X số lần xuất mặt sấp tung hai đồng xu đối xứng đồng chất Bài giải Đối với X ta thiết lập đợc bảng phân phối xác suất là: X P(x) 4 V× vËy g X ( t ) = E [e itX ] = e it = + e it + e it 4 (1 + e it )2 Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 148 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  Tõ ®ã ⎡1 2⎤ E(X) = α1 = ⎢ (1 + eit ) ⎥ i ⎣4 ⎦ ′ =1 t =0 ⎡1 2⎤ E(X2 ) = α2 = ⎢ (1 + eit ) ⎥ i ⎣4 ⎦ ″ t =0 = Suy V(X) = α − α = −1 = 2 Hoặc V (X ) = = = i − itα [e g X ( t )]″ t = i2 ⎡ −it (1) it ⎤ ⎢e (1 + e ) ⎥ ⎦ ⎣ ″ t =0 = III Mối liên hệ hm đặc trng v hm phân phối Trong mục ta thừa nhận định lý sau đây: Định lý Nếu hàm đặc trng g X ( t ) khả tích R hàm phân phối FX ( x ) liên tục tuyệt đối hàm mật độ f X ( x ) đợc xác định theo công thức: f X (x) = +∞ −itx ∫ e g X ( t )dt Định lý Nếu hàm ®Ỉc tr−ng g X ( t ) cđa biÕn ngÉu nhiên liên tục X giới hạn dẫy hàm đặc trng g X ( t ) biến ngẫu nhiên X n hàm phân phối FX ( x ) tơng ứng X n giới hạn dẫy hàm phân phối FX ( x ) = P(X n < x ) điểm liên tơc x cđa FX ( x ) n Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 149 Chng3.Cỏcthamsctrngcabinngunhiờn Nhận xét Qua định lý ta thấy hàm đặc trng hàm phân phối có tơng ứng xác định quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên, thay cho việc xác định hàm phân phối, ta xác định hàm đặc trng tơng ứng Điều nhiều dễ thực hiên hơn, phải chuyển quang giới hạn Bi tập Theo thèng kª, viƯc mét ng−êi Mü 25 ti sÏ sèng thêm năm có xác suất 0,992; xác suất để ngời chết vòng năm tới 0,008 Một chơng trình bảo hiểm đề nghị ngời mua bảo hiểm sinh mạng cho năm với số tiền chi trả 1000 đôla, tiền đóng 10 đôla Hỏi lợi nhuận trung bình công ty bao nhiêu? Nhu cầu (X) mua loại ôtô mới/tháng cửa hàng nh sau: X 10 11 13 15 P 0,4 0,3 0,2 0,1 Bán đợc ôtô loại tháng, cửa hàng lÃi 10 triệu đồng, để sang tháng thứ hai lỗ triệu đồng tiền bảo trì sân bÃi Cửa hàng muốn lợi suất kỳ vọng cao nên nhập xe/tháng Tuổi thọ (X năm) lại sản phẩm A biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ x(2 x), x > f ( x) = ⎨ ⎪0, x a) Tính xác suất để mua sản phẩm A, có sản phẩm bị hỏng trớc năm b) Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành quy định thời gian bảo hành năm c) Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành 5% cần quy định thời gian bảo hành bao nhiêu? Tỷ lệ phế phẩm sản phẩm Z 30% Để đảm bảo chất lợng, ngời ta cho kiểm tra sản phẩm Z trớc đa thị trờng Thiết bị kiểm tra tự động có độ xác 90% phẩm, 95% phế phẩm Sản phẩm Z đợc ®−a thÞ tr−êng Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 150 Chương 3. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên  nÕu thiÕt bÞ kiểm tra tự động coi phẩm Một ngời mua s¶n phÈm Z, h·y cho biÕt quy luËt phân phối xác suất, kỳ vọng phơng sai số phẩm từ sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm Z có mét chÝnh phÈm L·i st cỉ phiÕu cđa hai công ty A B độc lập với nhau, có kỳ vọng toán độ lệch chuẩn nh sau Kỳ vọng toán (%) Độ lệch tiêu chuẩn (%) Công ty A 10,5 1,5 C«ng ty B 11 2,5 NÕu mua cổ phiếu hai công ty nên mua theo tỷ lệ để: a) LÃi suất kỳ vọng lớn b) Độ rủi ro (đo phơng sai) nhỏ Cho luật phân phối xác suất cđa biÕn ngÉu nhiªn hai chiỊu (X,Y) nh− sau X \ Y 0,1 0,0 0,1 0,2 0,5 0,1 Tìm luật phân phối xác suất hàm X+Y XY sau tính kỳ vọng phơng sai Từ kết phân tích số liệu thống kê tháng doanh số bán hàng (D) chi phí cho quảng cáo (Q) (đơn vị triệu đồng) công ty, ta thu đợc bảng phân bố xác suất đồng thời nh sau: Q\D 100 200 300 0,15 0,1 0,04 1,5 0,05 0,2 0,15 0,01 0,05 0,25 a) Tính giá trị trung bình phơng sai chi phí cho quảng cáo b) Tính giá trị trung bình doanh số D chi phí cho quảng cáo 1,5 triệu đồng Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Nguyên, ĐHKTQD 151 ... Lê Văn Phong ‐ Trần Trọng Ngun, ĐHKTQD 116 Chương? ?3.? ?Các? ?tham? ?số? ?đặc? ?trưng? ?của? ?biến? ?ngẫu? ?nhiên? ? Tr−íc hÕt ta x¸c định quy luật phân phối xác suất Y cách vào quy luật phân phối xác suất cña X Ta cã ( ) ⎛ 1⎞ FY... cho biến ngẫu nhiên rời rạc (b) dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục Nhân xét: Từ định nghĩa vừa nêu ta suy ra: LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 129 Chương? ?3.? ?Các? ?tham? ?số? ?đặc? ?trưng? ?của? ?biến? ?ngẫu? ?nhiên? ?... kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên có kỳ vọng toán khác B tham số đặc trng biến ngẫu nhiên hai chiỊu I Kú väng to¸n cđa hμm hai biÕn ngẫu nhiên Công thức tính Nếu R = (X, Y ) X Y hai biên ngẫu nhiên