Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 1 Chơng 1 Biến cố ngẫu nhiên v xác suất Trong thực tế chúng ta thờng gặp những hiện tợng ngẫu nhiên, tức là những hiện tợng mà mặc dù với mọi khả năng có thể có ta cố gắng giữ cho những điều kiện cơ bản của các lần thí nghiệm về các hiện tợng ấy không thay đổi, nhng ta vẫn không thể khẳng định đợc kết quả của từng thí nghiệm riêng lẻ sẽ nh thế nào. Sở dĩ nh vậy vì ngoài nhóm những điều kiện cơ bản ra còn có rất nhiều các nguyên nhân không lờng trớc đợc, gây tác động khác nhau trong quá trình tiến hành các lần thí nghiệm, làm cho kết quả của các lần thí nghiệm có thể thay đổi từ lần này sang lần khác, khiến cho mọi cố gắng của chúng ta để dự đoán kết quả chính xác ở mỗi lần thí nghiệm riêng lẻ đều vô hiệu. Tuy nhiên, trên cơ sở quan sát rất nhiều hiện tợng thực tế ngời ta thấy rằng nếu nh ở mỗi thí nghiệm riêng lẻ sự xuất hiện của một sự kiện nào đó còn mang tính chất ngẫu nhiên thì qua một số lớn lần lặp lại cùng thí nghiệm ấy, khả năng xuất hiện khách quan của sự kiện đó lại biểu hiện khá rõ nét. Vì vậy một lý thuyết toán học đã đợc xây dựng nên nhằm nghiên cứu một cách chính xác tính quy luật của các hiện tợng ngẫu nhiên khi ta lặp lại nhiều lần cùng các điều kiện cơ bản làm nảy sinh ra các hiện tợng đó, đợc gọi là Lý thuyết xác suất . A- Các định nghĩa về xác suất I. Phép thử v không gian các biến cố sơ cấp Trong lý thuyết xác suất, khi thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó ngời ta gọi là thực hiện một phép thử . Nếu kết quả của phép thử mà không thể khẳng định trớc đợc thì ta có một phép thử ngẫu nhiên. Ta sẽ ký hiệu phép thử ngẫu nhiên là G . Các kết quả có thể xảy ra trong phép thử G sao cho khi G đợc thực hiện thì thể nào cũng có một trong chúng xảy ra, chúng loại trừ lẫn nhau và không thể phân chia thành Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 2 những kết quả nhỏ hơn thì các kết quả nh vậy đợc gọi là các biến cố sơ cấp . Nói cách khác một biến cố sơ cấp là một kết quả tối giản của phép thử. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của phép thử G đợc gọi là không gian các biến cố sơ cấp (không gian mẫu) với ký hiệu là . Thí dụ 1. Nếu phép thử là tung một đồng xu thì = { S, N } trong đó: 1 = S = kết quả là sấp; 2 = N = kết quả là ngửa. Thí dụ 2. Nếu phép thử là tung một hạt xúc sắc thì: ={1,2,3,4,5,6} trong đó : i = i = đợc mặt i chấm (i= 6,1) Thí dụ 3. Nếu phép thử là tung cùng một lúc hai đồng xu thì : ={(S,S), (S,N), (N,S), (N,N)} Thí dụ 4. Nếu phép thử là Tung cùng một lúc hai hạt xúc sắc thì: ={(x,y): x= 6,1 ;y= 6,1 } Thí dụ 5. Nếu phép thử là "tung một đồng xu cho tới khi nào đợc mặt sấp thì dừng" thì: , }NNNS,NNS,NS,S{= Thí dụ 6. Nếu phép thử là "đo khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn tới tâm bia với bán kính của bia là một đơn vị độ dài thì = [0,1[. Nhận xét : a. Số lợng các phần tử của trong các thí dụ 1, 2, 3, 4 là hữu hạn. b. Số lợng các phần tử của trong thí dụ 5 là vô hạn nhng đếm đợc (tức là ta có thể đánh số đợc 1 = S, 2 = NS, 3 = NNS, ). Các tập hữu hạn hay vô hạn đếm đợc gọi là các tập hơp rời rạc . c. Số lợng các phần tử của trong thí dụ 6 (số các điểm của đoạn [0,1[) là vô hạn nhng đếm đợc. Trong trờng hợp này ta bảo có lực lợng continum. II. - đại số các biến cố 1. Biến cố ngẫu nhiên Một biến cố ngẫu nhiên A là một tập hợp con của Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 3 Thí dụ 1: Gọi A là biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 khi tung hạt xúc sắc thì A={3,6} . Ghi chú a. Kết quả nào của G mà làm cho A xảy ra thì kết quả đó đợc gọi là kết quả thuận lợi cho A. Nh vậy biến cố A ở thí dụ vừa nêu có hai kết quả thuận lợi. b. Mỗi biến cố sơ cấp cũng có thể coi là một biến cố ngẫu nhiên { } (gồm một phần tử ). c. đợc gọi là biến cố chắc chắn. d. Tập hợp trống đợc gọi là biến cố không thể có. Các khái niệm vừa nêu có thể minh họa trong hình sau 2. Mối quan hệ giữa các biến cố Stone đã chứng minh đợc rằng: giữa các tập hợp và các biến cố có một sự đẳng cấu. Vì vậy ta có thể dùng mối quan hệ giữa các tập hợp để mô tả mối quan hệ giữa các biến cố. Cụ thể: a. Nếu B A thì biến cố B gọi là kéo theo biến cố A. Nh vậy các phần tử của thuộc B cũng sẽ thuộc A (Hình 1.1). Nói cách khác biến cố B xảy ra cũng làm cho biến cố A xảy ra. Hình 1.1 A x x x x x A B x x xx Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 4 Thí dụ 2: Gọi B là biến cố đợc mặt 3 chấm tức là B = {3}. Khi đó B A = {3, 6} = biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3. b. Nếu B A và A B thì A và B gọi là hai biến cố tơng đơng và đợc ký hiệu là A=B. Thí dụ 3: Giả sử mỗi chấm đợc 5 điểm nếu A là biến cố đợc mặt 6 chấm và B là biến cố ngời tung đợc 30 điểm thì A = B. c. Nếu B = \ A thì B gọi là biến cố đối lập của A. Nh vậy B sẽ xảy ra khi A không xảy ra (Hình 1.2) * Hình 1.2 Thí dụ 4: Nếu A ={3, 6}= biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 thì B = \{3, 6}={1, 2, 4, 5} là biến cố đợc mặt có số chấm không chia hết cho 3. Ghi chú : Biến cố đối lập của biến cố A thờng đợc ký hiệu là A . d. Nếu C = A B thì C gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B. Nh vậy C sẽ xảy ra khi ít nhất có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra (Hình 1.3) ta cũng có thể ký hiệu C = A + B Hình 1.3 Thí dụ 5: Nếu A={3, 6}= Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 * (*)Tất cả các thí dụ trong mục này sẽ đợc xét trong phép thử tung một hạt súc sắc khi đó ={1,2,3,4,5,6} A B B A Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 5 B ={2,4,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là chẵn thì C = A B ={2,3,4,6}= Biến cố đợc mặt chẵn hoặc bội 3 . Tơng tự biến cố tổng n 1=i i A của n biến cố thành phần A i (i= n,1 ) là biến cố sẽ xảy ra khi ít nhất có một trong các biến cố A i xảy ra. e. Nếu C = A B thì C gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B. Nh vậy C sẽ xảy ra khi A và B đều xảy ra. (Hình 1.4) Ta cũng có thể ký hiệu C = A.B Hình 1.4 Thí dụ 6: Nếu A ={3,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 B ={2,4,6} = Biến cố đợc mặt có số chấm là chẵn. thì C = A B ={6}= Biến cố đợc mặt 6 chấm( vừa là chẵn vừa là bội của 3) Tơng tự biến cố tích n 1=i i A của n biến cố thành phần A i là biến cố sẽ xảy ra khi tất cả các biến cố A i đều xảy ra (i= n,1 ) f. Nếu A B = thì A và B gọi là hai biến cố xung khắc. Nh vậy A và B sẽ không thể cùng xảy ra trong phép thử (Hình 1.5) Hình 1.5 B A B A Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 6 Thí dụ 7: Nếu A = {3, 6}= Biến cố đợc mặt có số chấm là bội của 3 B ={1, 2}= Biến cố đợc mặt có số chấm không quá 2 thì A B = (không thể vừa đợc mặt có số chấm là bội của 3 vừa có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 2). Nhận xét 1 : Hai biến cố A và B ở hình 1.4 là không xung khắc (phần giao không trống). Nhận xét 2 : Hai biến cố đối lập A và A sẽ thoả mãn cả hai hệ thức: = = )(AA )(AA 2 1 Nh vậy có thể nào cũng có một (hệ thức 1) và chỉ một (hệ thức 2) trong hai biến cố này cùng xảy ra trong phép thử. Ghi chú : Các biến cố A i (i = n,1 ) gọi là xung khắc từng đôi. Nếu bất kỳ cặp biến cố nào trong chúng cũng là hai biến cố xung khắc. g. Các biến cố A i (i= n,1 ) gọi là một hệ đầy đủ n biến cố (hoặc tạo nên một phân hoạch của ) nếu : = = = ji n i i AA A 1 (với i j ) Nh vậy thể nào cũng có một và chỉ một trong các biến cố A i (i= n,1) xảy ra trong phép thử (Hình 1.6). Hình 1.6 Thí dụ 8: Nếu A = {1, 2} = Biến cố đợc mặt có số chấm không quá 2 A n A 1 A 2 . A i . Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 7 B = {3} = Biến cố đợc mặt có số chấm là 3 C ={4, 5, 6} = Biến cố đợc mặt có số chấm tối thiểu là 4 thì A, B, C là một hệ đầy đủ 3 biến cố. Nhận xét : Hai biến cố đối lập A và A lập thành một hệ đầy đủ 2 biến cố. Ghi chú : Vì giữa các tập hợp và các biến cố có sự đẳng cấu nên các tính chất của các phép toán về tập hợp cũng đúng cho các phép toán về biến cố, chẳng hạn các phép toán hợp và giao các biến cố có tính chất giao hoán và kết hợp. Cụ thể ta có: A B = B A ( A B ) C = A (B C) A B = B A ( A B ) C = A (B C) Vì thế với một số hữu hạn các biến cố sơ cấp A i (i= n,1 ) thì các biến cố n 1=i i A , n 1=i i A là hoàn toàn xác định. Ngoài ra ta cũng có quy tắc đối ngẫu (quy tắc De Morgan) nh sau: = = == == n i i n i i n i i n i i AA AA 11 11 3. -Đại số các biến cố Trong thực tế có nhiều trờng hợp chúng ta muốn thực hiện vô hạn lần các phép toán về các biến cố và kết quả vẫn phải đợc một biến cố. Vì vậy đối với một họ A các biến cố nào đó đợc xây dựng trên không gian ta sẽ giả thuyết nó thỏa mãn các yêu cầu sau đây: a. A b. Nếu A A thì A A Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 8 c . Nếu A i (i = ),( 1 là một dãy đếm đợc các biến cố thuộc A thì: i i1 A = A Họ A các biến cố nh vậy đợc gọi là một - đại số ( một trờng Borel) các biến cố. Từ định nghĩa trên ta suy ra: . A. Vì A nên = A. . Nếu A A, B A thì A B A. Vì A A nên A A; B A nên B A. Do đó A B A, tức là AB A. Suy ra AB A . Vậy A B A. . Điều kiện c) tơng đơng với điều kiện i i1 A = A . Điều này suy rộng kết quả ở ). Tóm lại một - đại số các biến cố sẽ đóng kín đối với một dãy hữu hạn hoặc đếm đợc các phép tính tổng, tích hoặc lấy đối lập với các biến cố thuộc A. Nói cách khác nếu A là một - đại số các biến cố thì khi ta thực hiện một số hữu hạn hay đếm đợc các phép toán vừa nêu đối với các biến cố thuộc A thì kết quả lại đợc một biến cố thuộc A. Cặp ( , A ) đợc gọi là một không gian đo. Nó dùng để mô hình hoá một phép thử ngẫu nhiên cùng với các sự kiện mà ta muốn xét gắn với phép thử ấy. Thí dụ 9: Nếu ={ 1 , 2 , , n } và ta xét - đại số A là tập hợp tất cả các tập con của (kể cả và ) thì đây là - đại số lớn nhất có thể xây dựng đợc từ và gồm 2 n phần tử. III. Định nghĩa tiên đề về xác suất Nh ta đã nêu ở phần mở đầu chơng, mỗi biến cố ngẫu nhiên A có một khả năng xuất hiện khách quan. Vì thế trong lý thuyết xác suất ngời ta lợng hoá khả năng xuất Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 9 hiện khách quan của một biến cố A bằng một con số. Con số này gọi là xác suất của A và đợc ký hiệu là P(A). Đối với P(A) có nhiều cách định nghĩa khác nhau trong đó cách định nghĩa theo tiên đề là có tính tổng quát nhất và chặt chẽ nhất về mặt lô-gic. 1. Định nghĩa tiên đề về xác suất Xác suất (hoặc độ đo xác suất) P xác định trên - đại số các biến cố A của không gian đo ( , A) là một hàm thực ánh xạ A vào R và thoả mãn các tiên đề sau đây: (P1). P(A) 0 với mọi A A . (P2). P( ) = 1. (P3). Nếu dãy {A i } (i=1, ) thỏa mãn điều kiện A i A j = với mọi i j thì P( i i1 A = ) = i i1 PA() = . Tiên đề (P3) còn gọi là tính chất - cộng tính của độ đo xác suất P. Bộ ba ( , A, P) đợc gọi là một không gian xác suất. Ghi chú 1 : Từ tính chất - cộng tính ta có thể suy ra tính chất hữu hạn cộng tính của độ đo xác suất P, tức là P( n 1=i i A ) = = n i i )A(P 1 với A i A j = (i j). (xem tính chất 2 ở mục sau ). Ghi chú 2 : Hệ tiên đề nêu trên đã đợc Can-mô-gô-rốp đa ra vào năm 1933. Ta thấy hệ tiên đề này không mâu thuẫn, có nghĩa là ta có thể xây dựng những mô hình thoả mãn tiên đề đó. Chẳng hạn giả sử xét là một tập hợp hữu hạn các phần tử i (i = n,1 ) và A là hệ tất cả các tập hợp con của (kể cả và ). Nh đã nêu, A gồm 2 n phần tử. Ta đặt p i = P( i ) sao cho: = = n i i i p p 1 1 0 (i= n,1 ) Khi đó: Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 10 a. Nếu A = { 1 i , 2 i , , m i } thì P(A) = k m i k1 p = 0. b. P( ) = n i i1 p = =1. c. Nếu A = { 1 i , 2 i , , m i } B = { 1 j , 2 j , s j } Trong đó: k i l j với mọi k l thì AB = và A B = { 1 i , 2 i , , m i , 1 j , 2 j , s j } P(A B) = P{ 1 i , 2 i , , m i , 1 j , 2 j , s j } = k m i k1 p = + = n l jl p 1 = P(A) + P(B) Nh vậy các tiên đề của Can-mô-gô-rốp đợc thoả mãn. Ghi chú 3: Hệ tiên đề Can-mô-gô-rốp không đầy đủ, tức là với cùng một tập hợp ta có thể xác định xác suất P trên tập hợp A theo những cách khác nhau. Chẳng hạn nếu ta tung hạt xúc sắc thì ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Nếu hạt xúc sắc đều đặn và đồng chất thì: P( 1 ) = P( 2 ) = P( 3 ) = P( 4 ) = P( 5 ) = P( 6 ) = 6 1 Nhng nếu hạt xúc sắc không đồng chất và không cân đối thì các xác suất P phải xác định khác đi, chẳng hạn ta có thể đặt: P( 1 ) = P( 2 ) = P( 3 ) = 4 1 ; P( 4 ) = P( 5 ) = P( 6 ) = 12 1 . Nh vậy tính không đầy đủ của hệ tiên đề Can-mô-gô-rốp không phải là một nhợc điểm, mà trái lại nó là một u điểm vì nó cho phép ta tuỳ theo điều kiện cụ thể của vấn đề đang xét mà xác định xác suất thích hợp cho các biến cố thuộc - đại số A. 2. Một số tính chất của xác suất suy ra từ định nghĩa tiên đề Tính chất 1 : P() = 0. [...]... i =1 i = P(A ) i =1 i 3 Nguyên lý xác suất nhỏ và lớn Xác suất P(A) nhằm nêu lên khả năng xảy ra của A chứ không khẳng định về hiện thực của biến cố đó Tuy nhiên biết đợc khả năng xảy ra của A ta có thể nhận định đợc tình hình xảy ra của A một cách hợp lý Cụ thể qua thực nghiệm và quan sát thực tế ngời ta rút ra nguyên lý xác suất nhỏ sau đây: Một biến cố có xác suất nhỏ thì thực tế ta có thể coi... = Đ ộ đ o của miền mes() Cách xác định xác suất nh vừa nêu gọi là cách xác định xác suất theo quan điểm hình học Thí dụ 2: Giả sử phép thử G là lấy ngẫu nhiên một điểm trong đoạn [0, 1[ Nh vậy là tập hợp các điểm của [0,1[, còn - đại số các biến cố A là tập hợp các đoạn [a, b[ [0, 1[ Khi đó A = [a, b[ là biến cố điểm đợc lấy rơi vào đoạn [a,b[ Ta xác định độ đo xác suất P trên không gian đo ( ,... đó xác suất có điều kiện của một biến cố B A tính trong điều kiện biến cố A xảy ra đợc ký hiệu và định nghĩa nh sau: P(B/A) = P A (B) = P(A B ) P (A) Nh vậy ta đã xác định một độ đo xác suất mới mà ta có thể ký hiệu là P( /A) Độ đo xác suất này đợc xác định trên không gian đo ( A ; A A) trong đó: A A = {B A; B A} Nói cách khác, từ không gian xác suất ( , A, P) ta đã chuyển sang không gian xác. .. làm xảy ra biến cố B (i= 1, n ) Với mỗi giả thiết A j , ta có hai loại xác suất: a P(A j ) gọi là xác suất tiên nghiệm của A j b P( A j B ) gọi là xác suất hậu nghiệm của A j LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD 31 Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut Khi có thông tin là B xảy ra thì ta cần tính xác suất hậu nghiệm để chỉnh lý lại xác suất tiên nghiệm Thí dụ 1: Một chiếc máy bay có thể bị rơi ở 3 vùng với xác suất nh... thì biến cố A=[a,b[ sẽ là biến cố lấy đợc điểm cách 0 một đoạn đúng bằng a Khi đó P(A) = a a = 0, nhng A không hẳn là biến cố không thể có Tuy nhiên trong thực tế điều này rất hiếm xảy ra trong một phép thử (xem nguyên lý xác suất nhỏ) Thí dụ sau đây cho thấy phần nào tác dụng của cách xác định xác suất theo quan điểm hình học Thí dụ 3: (Bài toán Buffon) Kẻ trên mặt phẳng các đờng thẳng song song và. .. Chng1.Bincngunhiờnvxỏcsut b Cách thứ hai Vì P(A) = 2 1 1 = và P (A B ) = nên A và B độc lập do P(A) = P ( A B ) 6 3 3 Hoặc ta cũng có P(B) = 3 1 và P (B A) = tức là P(B) = P ( B A) nên A và B độc lập 6 2 2 Định lý Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì A và B , A và B, A và B cũng sẽ là những cặp biến cố độc lập Chứng minh: Chẳng hạn ta chứng minh rằng nếu A và B độc lập thì A và B cũng độc lập Thật vậy ta có: P(A B... nhau Giả sử (1- i ) là xác suất để tìm thấy nó ở vùng i nếu nh quả thật nó rơi ở vùng này (khi đó i gọi là xác suất mất tăm, xác suất này phụ thuộc vào vị trí và địa hình của vùng) (i = 1, 2, 3) Nếu mà tìm kiếm ở vùng 1 không có kết quả, hãy tính xác suất để quả thật máy bay bị rơi ở vùng i (i = 1, 2, 3) Bài giải Gọi A i là biến cố máy bay bị rơi ở vùng i (i = 1, 2, 3) B là biến cố việc tìm kiếm ở vùng... biến cố tất cả các ngày sinh của k ngời là khác nhau thì số kết cục thuận lợi cho A là m = 365(365-1) [365 - (k-1)] k = A 365 = Vậy P(A) = k A 365 (365) k = (365)! (365 - k )! (365)! (365 - k )!(365) k Từ đó xác suất phải tìm là : P( A ) = 1- P(A) = 1- (365)! (365 k )!(365) k 2 Định nghĩa thống kê về xác suất Định nghĩa này dựa vào tần suất của biến cố Cụ thể nếu phép thử G đợc lặp lại K lần mà biến. .. khoảng có độ dài là 2a Tung ngẫu nhiên một chiếc kim có độ dài 2l (l < a) lên mặt phẳng Tính xác suất để chiếc kim cắt một đờng thẳng nào đó Bài giải Trớc tiên ta hiểu tính chất: ngẫu nhiên của phép thử ở đây là a Tâm của chiếc kim sẽ rơi một cách ngẫu nhiên vào các điểm của các đoạn thẳng có độ dài 2a và vuông góc với các đoạn thẳng đã vẽ b Xác suất để góc tạo bởi chiếc kim và các đờng thẳng đã vẽ nằm... t = 0 thì s = k và t = k thì s = 0) và thay vào đẳng thức vừa nêu ta đợc: k s C k 1 = Cm -1Cnk-ms n is = 0 Đó là hệ thức phải chứng minh và từ đó ta có P(A k +1 ) = n (với 0 k n-1) m IV định lý Bayes Từ định nghĩa về xác suất có điều kiện và từ công thức xác suất toàn phần ta suy ra: P( A j B ) = P(A j B ) P(B ) = P(A j )P (B A j ) n P(A )P (B A ) i =1 i i Nh đã nêu, các biến cố A i có thể coi