bài tập chuyên đề hình học không gian

6 1.1K 11
bài tập chuyên đề hình học không gian

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN, BỒI DƯỠNG HSG THI QUỐC GIA Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm 1. Cho ABC  vuông tại A .Trên đường thẳng   d vuông góc với mặt phẳng   ABC tại B ta lấy điểm S sao cho: 1 SB BA AC    .   P là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh , , , SA SC BC BA lần lượt tại , , , D E F H .Xác đònh vò trí của mặt phẳng   P sao cho diện tích của tứ giác DEFH lớn nhất. 2. Cho tứ diện ABCD chỉ có cạnh AD lớn hơn 1, đặt BC x  . Tìm x để thể tích của tứ diện ABCD lớn nhất. 3. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC có cạnh đáy bằng a . a) Ta xem hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O ; gọi  là góc giữa mặt phẳng   SAB và   ABC . Hãy tính cos  để O cách đều tất cả các mặt của SABC b) Biết  0 30 ASB  . Xét mặt phẳng   P thay đổi đi qua A , sao cho   P cắt các đoạn thẳng , SB SC theo thứ tự tại , B C   .Tìm giá trò nhỏ nhất của chu vi tam giác AB C   theo a . 4. Cho mặt phẳng   P trong đó có một đường thảng   d cố đònh và một điểm A cố đònh không thuộc   d . Trên tia Az vuông góc với   P ta lấy một điểm D cố đònh. Góc vuông xAy quay quanh A sao cho   d cắt , Ax Ay lần lượt tại B và C . Gọi H là hình chiếu của A trên   BCD , K là điểm đối xứng của H qua   d . Chứng minh tứ giác DBKC nội tiếp trong một đường tròn. Tìm quỹ tích tâm của đường tròn đó. 5. Cho ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng 1, M và N là hai điểm di động trên , AB AC sao cho   DMN luôn vuông góc với   ABC .Xác đònh vò trí của M và N để tứ diện ADMN có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất. 6. Cho   d và  là hai đường thẳng chéo nhau. Gọi , A B là hai điểm cố đònh trên   d và 1 CD  (không đổi) di động trên  . Hãy tìm vò trí của CD để diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là nhỏ nhất. 7. Xét tất cả các ABC  trong không gian. a) Với điều kiện nào của các góc , , A B C trong ABC  thì sẽ tồn tại điểm P trong không gian mà các góc    , , APB BPC CPA là các góc vuông. b) Giả sử tồn tại điểm P thoả mãn tính chất ở câu a); gọi   d là độ dài lớn nhất trong ba đoạn thẳng , , PA PB PC và h là độ dài đường cao lớn nhất trong ABC  . Chứng minh rằng: 6 3 h d h   . Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm 8. Cho tứ diện SABC có , , SA SB SC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi , H O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC  Chứng minh rằng: 2 2 1 2 4 cos cos cos OH A B C SH   . 9. Mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện ABCD . Giả sử O nằm trong tứ diện và diện tích của các mặt tứ diện ABCD đối diện với các đỉnh , , , A B C D lần lượt là 1 2 3 4 , , , S S S S .Bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác , , , BCD CDA DAB ABC lần lượt là 1 2 3 4 , , , R R R R .Khoảng cách từ tâm các đường tròn các đường tròn ngoại tiếp các tam giác , , , BCD CDA DAB ABC theo thứ tự đến các đỉnh , , , A B C D lần lượt là 1 2 3 4 , , , d d d d .Độ dài các đường cao của tứ diện xuất phát từ , , , A B C D lần lượt là 1 2 3 4 , , , h h h h .Chứng minh: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 31 1 2 2 4 4 2 2 2 2 1 2 3 4 2 d Rd R d R d R h h h h        ; b) 4 2 2 2 1 1 1 [ ( )] 3 2 i i i i V S d R     10. Cho tứ diện ABCD có mặt cầu nội tiếp và bán kính r không đổi. Gọi , , , A B C D R R R R lần lượt là bán kính mặt cầu bàng tiếp với đỉnh , , , A B C D của tứ diện ABCD . Hãy xác đònh tứ diện ấy để A B C D R R R R    có giá trò nhỏ nhất. 11. Cho hình lập phương . ABCD A B C D     cạnh a . Điểm M thuộc đoạn BC  , điểm N thuộc đoạn AB  . MN tạo với   ABCD một góc  . Chứng minh rằng: 2 cos sin MN a     . 12. Trong không gian cho bốn tia , , , Ox Oy Oz Ot sao cho các góc tạo bởi hai tia bất kì bằng nhau. Trên các tia , , , Ox Oy Oz Ot lần lượt lấy các điểm , , , A B C D . Chứng minh rằng với mọi điểm M trong không gian ta có: OA OB OC MA MB MC MD OD        . 13. Cho hình chóp tam giác đều . S ABC . Gọi a là góc hợp bởi SA với   ABC ; b là góc hợp bởi   SBC và   ABC ; c là góc hợp bởi   SAB và   SBC với 2 , 0, ; a b c         . Giả sử , , a b c thay đổi sao cho 2 a c b   đồng thời dựng thiết diện qua BC và vuông góc với SA tại D . Chứng minh rằng: SBCD ABCD V V đạt giá trò lớn nhất , , a b c  là một cấp số cộng. 14. (Mathematics and Youth Magazine 10/275). Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm Trên mặt phẳng   P cho đường tròn đường kính AB . Lấy điểm C trên tia AB sao cho 2 AC AB  . Một đường thẳng qua C cắt đường tròn tại M và N . Dựng điểm D sao cho DB AB  và DB vuông góc với mặt phẳng   P . Chứng minh rằng:   2 2 1 sin sin 2 BDM BDN   . 15. (Mathematics and Youth Magazine 8/271). Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD . Chứng minh bất đẳng thức sau:         2 2 2 2 1 2 3 2 AB AC AD S BC CD CD DB DB BC                . 16. (Mathematics and Youth Magazine 10/273). Cho hình trụ 1 T . Ta gọi hình trụ 2 T là nội tiếp ngang 1 T nếu mỗi đáy của 1 T chứa đúng một đường sinh của 2 T và mặt xung quanh của 1 T chứa bốn điểm của đường tròn đáy của 2 T . Hình trụ 1 T phải thỏa mãn điều kiện gì để có vô hạn hình trụ 1 2 , , , , n T T T mà mỗi hình trụ đứng sau nội tiếp ngang hình trụ trước. 17. (Mathematics and Youth Magazine 8/272). Xét tứ diện 1 2 3 4 A A A A cùng ngoại tiếp một mặt cầu cho trước. Mỗi tiếp diện của mặt cầu song song với một mặt của tứ diện này, cắt ra khỏi tứ diện đó một tứ diện nhỏ. Gọi   1,2,3,4 i v i  là thể tích của tứ diện nhỏ có đỉnh i A và V là thể tích của tứ diện 1 2 3 4 A A A A . Tìm giá trò nhỏ nhất của 1 2 3 4 v v v v V    và xác đònh dạng của những tứ diện 1 2 3 4 A A A A như thế. 18. (Mathematics and Youth Magazine 8/263). Tìm điều kiện cần và đủ đối với tứ diện ABCD sao cho tổng khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm trong tứ diện đến các mặt của nó là không đổi. 19. (Mathematics and Youth Magazine 10/285). Cho năm điểm phân biệt 1 2 3 4 5 , , , , A A A A A không đồng phẳng nhưng cùng nằm trên một mặt cầu. Chứng minh rằng các mặt phẳng, mỗi mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác có các đỉnh là ba trong năm đỉnh nói trên và vuông góc với đường thẳng nối hai điểm còn lại thì đồng quy. 20. (Mathematics and Youth Magazine 10/280). Cho tứ diện ABCD có bốn đường cao cắt nhau tại một điểm H . Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm M trong không gian thỏa mãn 1 2 3 4 HG HG HG HG    trong đó 1 2 3 4 , , , G G G G lần lượt là trọng tâm của các tứ diện , , , MBCD MCDA MDAB MABC . Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm 21.(Mathematics and Youth Magazine 10/287). Giả sử M là một điểm nằm bên trong tứ diện ABCD . Các đường thẳng , , , AM BM CM DM theo thứ tự cắt các mặt phẳng         , , , BCD CDA DAB ABC tại , , , A B C D     . Mặt phẳng    qua M , song song với mặt phẳng   BCD lần lượt cắt , , A B A C A D       tại , , X Y Z . Chứng minh rằng: M là trọng tâm của XYZ  . 22. (Mathematics and Youth Magazine 10/284). Cho hình chóp . S ABC . Chứng minh rằng nếu các trung tuyến của các tam giác , , SAB SBC SCA kẻ từ đỉnh S tạo với các cạnh đáy , , AB BC CA những góc không tù bằng nhau thì diện tích của mỗi mặt bên nhỏ hơn tổng diện tích các mặt bên còn lại. 23. (Mathematics and Youth Magazine 10/286). Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau. Gọi E là tiếp điểm của các mặt   BCD và mặt cầu tâm O nội tiếp tứ diện. Gọi K là tiếp điểm của mặt   BCD và mặt cầu bàng tiếp tứ diện ứng với đỉnh A . Chứng minh rằng: a) K là trực tâm của BCD  b) 2 FA EF  với F là giao điểm của AE và KO . 24. (Mathematics and Youth Magazine 8/261). Giả sử một tứ diện đều được phân chia thành một số tứ diện nhỏ sao cho tổng thể tích các hình cầu ngoại tiếp các tứ diện nhỏ bằng thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ban đầu. Chứng minh rằng các tứ diện nhỏ là tứ diện đều. 25. (Mathematics and Youth Magazine 10/257). Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G .Lấy M là một điểm bất kì trong không gian, N là điểm thỏa mãn điều kiện: 4 MN MG    . Chứng minh rằng: 2 MN MA MB NA NB NC C M D D N M         . Dấu “=” xảy ra khi nào? 26. (Mathematics and Youth Magazine 10/264). Trên cạnh CD của hình tứ diện ABCD lấy điểm   , N N C D  . Ký hiệu   p XYZ là chu vi XYZ  . Chứng minh rằng: a)       . . . NC p DAB ND p CAB CD p NAB   b) 2 2 2 2 NC CA CB ND DA DB    khi NA NB  . 27. (Mathematics and Youth Magazine 10/244). Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm Gọi , l R lần lượt là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Hỏi trong số các tứ diện, tứ diện nào có tỉ số l R đạt giá trò lớn nhất? Tìm giá trò lớn nhất đó. 28. (Mathematics and Youth Magazine 10/252). Cho tứ diện ABCD và điểm M thỏa mãn điều kiện: 0 MA MB MC MD              . Đường thẳng  bất kì qua M , cắt các mặt phẳng         , , , BCD CDA DAB ABC theo thứ tự tại 1 1 1 1 , , , A B C D . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 0 MA MB MC MD         . 29. (Mathematics and Youth Magazine 10/253). Cho tứ diện ABCD , trọng tâm G , tâm mặt cầu ngoại tiếp O . Gọi I là điểm đối xứng của O qua G . Biết O nằm trong tứ diện. Chứng minh rằng I cũng nằm trong tứ diện. 30. Cho mặt cầu   S có bán kính R không đổi. Một hình hộp . ABCD A B C D     ngoại tiếp mặt cầu   S . Giả sử góc giữa hai mặt phẳng   AA D D   và   CC D D   bằng x . Chứng minh rằng: 2 8 sin R x V  . Bài tập Hình học không gian dành cho HSG thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm . Bài tập Hình học khơng gian dành cho HSG thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN, BỒI DƯỠNG HSG THI QUỐC GIA. M trong không gian thỏa mãn 1 2 3 4 HG HG HG HG    trong đó 1 2 3 4 , , , G G G G lần lượt là trọng tâm của các tứ diện , , , MBCD MCDA MDAB MABC . Bài tập Hình học khơng gian dành. D   bằng x . Chứng minh rằng: 2 8 sin R x V  . Bài tập Hình học không gian dành cho HSG thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV.Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm

Ngày đăng: 08/04/2014, 10:41

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan