www.VNMATH.com MỤC LỤC Trang Mục lục: Đặt vấn đề .3 Giải vấn đề .3 Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn .3 2.1 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 2.1.1 hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b 2.1.2.Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.1.3 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hoành .5 2.1.4 Diện tích hình trịn, hình elip 2.1.4.1.Diện tích hình trịn 2.1.4.2.Diện tích elip 2.2 HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 10 2.2.1.Cách tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị hàm số 10 2.2.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tìm hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số 10 2.2.3.Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số 10 2.3.HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 14 Giải pháp thực 14 Kết thực nghiệm 14 KẾT LUẬN .15 TÀI LIỆU THAM KHẢO .16 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN www.VNMATH.com Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN www.VNMATH.com ĐẶT VẤN ĐỀ Chủ đề ứng dụng tích phân kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học tích phân, đặc biệt tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số,tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục hồnh trục tung Đây nội dung thường gặp đề thi học kì II, đề thi TN THPT, đề thi CĐ,ĐH Nhìn chung học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể học sinh giỏi ) thường gặp khó khăn, sai lầm sau: ­ Nếu khơng có hình vẽ thi học sinh thường khơng hình dung hình phẳng (hay vật thể trịn xoay ) ­ Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập cịn “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng Từ học sinh chưa thấy gần gũi thấy tính thực tế hình phẳng, vật trịn xoay học ­ Học sinh chưa thực hứng thú có cảm giác nhẹ nhàng học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề,khó hiểu ­ Học sinh thường nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật trịn xoay ) cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt kỹ đọc đồ thị để xét dấu biểu thức, kỹ “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ cộng, trừ diện tích; cộng, trừ thể tích Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải Do tơi chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng” Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN www.VNMATH.com GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận + Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn a ; b để suy dấu f(x) đoạn  Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hồnh f ( x)  , x  a ; b  Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hồnh f ( x)  , x  a ; b + Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) y  g (x) đoạn a ; b để suy dấu f(x)g(x) đoạn  Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” đồ thị hàm số y=g(x) f ( x)  g ( x)  , x  a ; b  Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” đồ thị hàm số y=g(x) f ( x)  g ( x)  , x  a ; b Cơ sở thực tiễn: ­ Qua tốn tính diện tích hình phẳng chương trình sách giáo khoa 12 bản, tơi nhận thấy học sinh khơng cần vẽ hình Tuy nhiên học sinh vẽ hình tốn đực giải nhanh trực quan ­ Đối với hình phẳng giới hạn ba đồ thị hàm số trở lên học sinh buộc phải vẽ hình làm xác được.(Có đề thi đại học cao đẳng) Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN www.VNMATH.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG 2.1 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 2.1.1 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục đoạn a ; b Khi hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích S tính theo cơng thức: b S  f ( x ) dx (1) a Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối b b  Nếu f ( x)  , x  a ; b S   f ( x) dx   f ( x)dx a a b b  Nếu f ( x)  , x  a ; b S   f ( x) dx    f ( x) dx a a Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu biểu thức f(x) Thường có hai cách làm sau: -Cách 1: Dùng định lí “dấu nhị thức bật nhất”, định lí “dấu tam thức bậc hai” để xét dấu biểu thức f(x); đơi phải giải bất phương trình f(x) ≥ , f(x) ≤ đoạn a ; b ­Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn a ; b để suy dấu f(x) đoạn  Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hồnh f ( x)  , x  a ; b   Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hồnh f ( x)  , x  a ; b b -Cách 3: Nếu f(x) khơng đổi dấu [a; b] ta có: S   f ( x) dx  a b  f ( x)dx a 2.1.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tính I   x  dx 2 Xét dấu nhị thức bậc f(x) = 2x + x ­∞ f(x)=2x + ­ Suy x   , x  ­ 2;0 Do I   x  dx   (2 x  4)dx  ( x  x ) 2 2 ­2 0 2 +   +∞ +    (2)  4(2)  Ví dụ 2: K   x  x  dx Cách 1: Xét dấu tam thức f(x) = x2 – 3x + 2, có a = > 0; x  x  3x     x  Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN www.VNMATH.com x ­∞ +∞ f(x)= x2 ­ 3x + + + Suy f ( x)  , x  0;1 f ( x)  , x  1;2 + 2 ­ Do đó: K   x  x  dx   ( x  x  2)dx   ( x  x  2)dx 2 0 2 x x 3x 3x (   x)  (   x) = ­ ( ) =1 3 2 Cách K   x  x  dx   ( x  x  2)dx   ( x  x  2)dx  0 1  1 6 2.1.3 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hồnh Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = x2, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = y f x = x2 O -2 A x 1B Hình Giải Cách 1: Diện tích S hình phẳng S   x dx Vì x  , x  0;2 2 S   x dx   x dx  ( 0 x 23 03 )    3 3 (đvdt) Cách 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = 2.(phần tô màu) Dựa vào đồ thị ta có: S   x dx  Bài tốn Hình thang sau giới hạn đường thẳng y = -x – , y = 0, x = x = Hãy tính diện tích hình thang Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN www.VNMATH.com y -2 -1 A O B x f x  = -x-2 -4 Hình Giải Diện tích S hình phẳng S    x  dx Từ hình vẽ, suy  x   , x  0;3 3 S    x  dx   ( x  2)dx  ( 0 32 02  x2 21  x)   2.3    2.0    2 2  (đvdt) Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x)   x  , trục x 1 hoành đường thẳng x = ­1; x = y f x = -x-2 x-1 x B -2 -1 A O -4 Hình Giải Diện tích S hình phẳng S  Từ hình vẽ, suy S  x2 dx x 1 1  x2  , x  ­ 1;0 x 1 0 x2  x2  ( x  1)  3 1 x  dx  1( x  )dx  1 x  )dx  1(1  x  1)dx   ( x  ln x  )  (0  ln 1)  (1  ln 2)  0  ln   ln  ln  (đvdt) 1 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN www.VNMATH.com Ghi nhớ: Nếu phương trình f(x) = có k nghiệm phân biệt x1, x2, …, x k thuộc (a; b) khoảng (a; x1 ), (x 1; x2), …, (xk; b) biểu thức f(x) có dấu khơng đổi b Khi để tính tích phân S   f ( x) dx ta tính sau: a x1 b \S   f ( x) dx  a x2 f ( x)dx   a  b f ( x) dx   x1  f ( x)dx xk Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 ­ 3x2 + có đồ thị (C ) (Hình 12) y f x =  x 3-3x2 +2 A -2 -1 O1 B x (C) Hình Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ), trục hoành, trục tung đường thẳng x = Giải Trục tung có phương trình x = Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C ), trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = tính công thức: S   x  3x  dx Cách Dựa vào đồ thị, suy đoạn [ 0; ] đồ thị (C ) cắt trục hoành điểm có hồnh độ x = Hơn x3 ­3x2 + ≥  x  [ 0; ] x3 ­3x2 + ≤ x [ 1; ] 2 Do S   x  3x  dx   ( x  3x  2)dx   ( x  3x  2)dx 0 (  24  x x  x  x)  (  x  x)         2.2  (   2)  4 4 4  1 1    1  4 Cách  (đvdt) 2 S   x  x  dx   ( x  3x  2)dx   ( x  3x  2)dx ( 5 5 x x  x  x)  (  x  x)      4 4 4 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (đvdt) www.VNMATH.com Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành, trục tung đường thẳng x = e y Gi aoDiem f x = xln x  A O x e Hình Giải Trục tung có phương trình x = Từ hình vẽ ta có: e Diện tích S cần tìm S   x ln xdx 1  du  x dx u  ln x  Đặt   dv  xdx v  x   e e e e e x2 x2 e2 x e e2 1 x (đvdt) Do S   x ln xdx  ln x   d x  ln x   xdx    1 1 x 2 4 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  3x  , trục hoành , trục tung đường thẳng x = y f x  =  x2-3x +2 (C) x -2 -1 O Hình Giải Ta có S   x  x  dx Vì x  3x   x   ;1  2; x  3x    x  1;2 3 S   x  x  dx   x  x  dx   ( x  x  2)dx   ( x  x  2)dx   ( x  x  2)dx 0 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN www.VNMATH.com   11 (đvdt)    6 6 2.1.4.Diện tích hình trịn, hình elip: 2.1.4.1.Diện tích hình trịn: Trong hệ toạ độ Oxy cho đường trịn có phương x2 + y2 = r2 ( r > 0) Khi hình trịn có diện tích là: S  r 2 2 2 Giải: Ta có x  y  r  y   r  x y (P) x -2 -r -1 O r -1 Hình r  x có đồ thị nửa đường trịn phía trục hồnh Với y ≥ ta có: y  r Và có diện tích S1  r  r  x dx   r  x dx  r  r 2 Do S  S1   r 2.1.4.2.Diện tích elip Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình: x2 y2  1 ,  b  a a2 b2 y b (P) x -a -2 -1 O a r -1 -b Hình Chứng minh tương tự ta có diện tích elip là: S  a.b Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (đvdt) 10 www.VNMATH.com 3 Suy diện tích hình phẳng là: S   x  3x   ( x  1) dx   x  x  dx 1 Cách 1: Dựa vào đồ thị ta có x – 3x + ≤ x –  x  [1; ] Do x2 – 4x + ≤  x  [1; 3] S    ( x  x  3)dx  ( x3 4 (đvdt)  x  x)    3 Cách 2: Xét dấu tam thức x2 - 4x + ta có: x ­∞ x – 4x + + Do x – 4x + ≤  x  [1; 3] S    ( x  x  3)dx  ( ­ +∞ + x3 4  x  x)    3 3 Cách 3: S   x  x  dx   ( x  x  3)dx  ( 1 x3  x  x)  4  3 Bài toán 11 Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C ) a/ Viết phương trình tiếp tuyến  đồ thị (C ) điểm có hồnh độ b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ), đường thẳng x = tiếp tuyến  y (C) -3 -2 x -1 -1 O -2 -3 -5 H i Hình 11 Giải: a/ y = x3 – 3x + Khi x = ta có y(2) = – + = y’ = 3x2 ­ y’(2) = 12 – = Phương trình tiếp tuyến (C ) điểm (2; ) y = 9(x ­2) + hay y = 9x ­ 14 b/ Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2 S   x  x   (9 x  14) dx   x  12 x  16 dx   ( x  12 x  16)dx  1 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 13 www.VNMATH.com Bài tốn 12: Cho hàm số y  x2  x 1 có đồ thị (C ) x 1 a/ Tìm tiệm cận xiên  đồ thị hàm số b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ), tiệm cận xiên  đường thẳng x = , x = y x O -3 d -2 -1 -1 -2 -3 (C) Hình 12 Giải: x  x  x( x  1)  1  x  x 1 x 1 x 1 1 )0 lim ( y  x)  lim ( x   x)  lim ( x  x x  x 1 x 1 a/ Ta có y  Đồ thị (C ) có tiệm cận xiên đường thẳng y = x 3 b/Diện tích hình phẳng cần tìm là: S   y  x dx      (ln x  ) dx  x 1 1  x  dx   ln  ln   ln   ln (đvdt) Hoặc dựa vào đồ thị ta có kết Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 14 www.VNMATH.com 2.3 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ Bài tốn 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  3, y  x , y  [ 2;3] y x Hình 13 Như nhìn vào đồ thị ta nhận thấy: Trong đoạn [­2;3] ta để đồ thị chưa tính Ở phải chia đồ thị thành phần ứng với [­2;­1] [­1;3] 1 2 1 Dựa vào đồ thị ta có: S   ( x  x  3)dx   ( x  x  3)dx x3 x3  (  x  x) | 1  (  x  x) | 31 2  3 5 Bài toán 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  2, y  x , y   x  Hình 14 Bài tốn ta khơng vẽ đồ thị giải phức tạp Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 15 www.VNMATH.com Nhìn vào đồ thị ta thấy để ngun đồ thị ta chưa tính Ở ta phải chia đồ thị thành phần Dựa vào đồ thị ta có: S   1 ( x  x  2)dx   (  x  x  2)dx Trên số toán tính diện tích hình phẳng Học sinh thường thường sử dụng phương pháp phá dấu giá trị tuyệt đối Nhưng ta sử dụng bẳng phương pháp đồ thị ta thấy giải rõ ràng dễ hiểu trực quan Nhiều tốn khó giải dễ dàng Giải pháp thực hiên: ­ Giúp học thành thạo kỹ vẽ đồ thị hàm số ­ Đưa nhiều tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy dạy trái buổi để học sinh tham khảo Qua rèn luyện cho học sinh kỹ đọc đồ thị vận dụng vào giải tốn Giúp học có hình ảnh trực quan hình phẳng Kết thực nghiệm Sau thời gian thực Lớp thực hiện: 12B4 Lớp đối chứng: 12B5 Tôi thấy tỉ lệ % học sinh yếu kém, trung bình lớp thực nghiệm thấp so với lớp đối chứng Tỉ lệ % học sinh đạt giỏi lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng, chứng tỏ lớp thực nghiệm với đổi phương pháp học sinh hiểu vận dụng kiến thức để giải tập tốt lớp đối chứng KẾT LUẬN Qua trình giảng dạy thời gian vừa qua tơi nhận thấy việc sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng giúp tơi thu nhiều kết khả quan Học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp tốn tính diện tích hình phẳng chương trình giải tích 12 Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Từ đó, em học sinh thích thú học tốt vấn đề Chắc chắn cịn có nhiều tốn mà ta giới thiệu cho học sinh, điều kiện kinh nghiệm chưa nhiều nên đưa số ví dụ mà q trình giảng dạy tơi giới thiệu cho học sinh Vì mong đóng góp đồng nghiệp đề tài tơi thêm hồn chỉnh ứng dụng cho năm học sau Tôi xin chân thành cảm ơn! Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 16 www.VNMATH.com D TÀI LIỆU THAM KHẢO ­ ­ Các giảng luyện thi mơn Tốn­ NXB Giáo Dục Đại số sơ cấp –Trần phương Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DNG CA TCH PHN 17 www.VNMATH.com Trang Aư Đặt vÊn ®Ị B- Gi¶i quyÕt vÊn ®Ị I HƯỚNG KHẮC PHỤC II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG II.1 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH II.1.1 hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b ……………………………………………………………………… … II.1.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối II.1.3 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hoành II.1.4 Diện tích hình trịn, hình elip: II.1.4.1.Diện tích hình trịn: II.1.4.2.Diện tích elip .7 II.1.4.3 Bài tập tương tự: II HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ .9 II.2.1Cách tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị hàm số II.2.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tìm hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số II.2.3.Bài tập tương tự: 12 C KẾT LUẬN 13 D TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ MỤC LỤC 13 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TCH PHN 18 www.VNMATH.com Phương pháp đưa vÒ hai luü thõa cïng bËc 10 Phương pháp dùng hệ số bất ®Þnh .11 Phương pháp đánh giá 12 III C¸c biƯn ph¸p tỉ chøc thùc hiÖn 13 C­ kÕt luËn 18 D­ Tµi liệu tham khảo mục lục 19 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 19 www.VNMATH.com B Gi¶i qut vÊn ®Ị I HƯỚNG KHẮC PHỤC II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG II.1 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HỒNH II.1.1 hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b II.1.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối II.1.3 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hồnh II.1.4 Diện tích hình trịn, hình elip: II.1.4.1.Diện tích hình trịn: II.1.4.2.Diện tích elip II.1.4.3 Bài tập tương tự: II HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ II.2.1Cách tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị hàm số II.2.2 Một vài ví dụ minh hoạ cách tìm hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số II.2.3.Bài tập tương tự: 12 C KẾT LUẬN 13 D TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ MỤC LỤC Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 20 www.VNMATH.com III THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY I Cơng thức tính vật thể trịn xoay / Vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục hồnh Chú ý  Giả sử (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b, ( a < b) Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta vật thể trịn xoay Thể tích vật thể tính theo cơng thức: b V     f ( x) dx a Bài tốn 37 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y  ln x , y = , x = , x = e e e V    (ln x) dx    ln xdx (đvtt) 1  du  ln x dx  x dv  dx v  x  u  ln x Đặt  e e e e e e Do  ln xdx  uv   vdu  x ln x ­  x2lnx dx  e ln e  ln   ln xdx  e  I 1 1 x e I   ln xdx 1  u  ln x du  dx  x dv  dx v  x  e e e e I   ln x  ( x ln x)   dx  e ln e  ln  ( x)  e  (e  1)  1 1 Đặt  e e Suy V    (ln x) dx    ln xdx = (e – 2) (đvtt) Bài tốn 39 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y  x  , y = 2x ­4 , x = , x = Giải Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 21 www.VNMATH.com y (C) -3 -2 -1 x O -1 -2 -3 -4 d Hình 42 Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = 2x ­ , y = , x = , x = quanh trục hoành Ox 2 32 4x3 (đvtt) V1    ( x  4) dx    ( x  16 x  16) dx   (  x  16 x)  0 Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = x2 – , y = , x = x = quanh trục hoành Ox 2 256 2 (đvtt) V2    ( x  4) dx    ( x  x  16) dx  15 0 Thể tích vật thể trịn xoay cần tính là: V  V2  V1  256 32 32   15 (đvtt) Bài toán 40 Gọi (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = –x2 , trục hoành đường thẳng y = x + y (C) d -3 x -2 -1 O -1 -2 Hình 43 Giải Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = x + , y = , x = ­2 , x = quanh trục hoành Ox 1 V1    ( x  2) dx    ( x  x  4)dx   ( 2 2 x3  x  x)  9 2 Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (đvtt) 22 www.VNMATH.com Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = 4­ x2 , y = , x = x = quanh trục hoành Ox 2 53 (đvtt) V2    (4  x ) dx    (16  x  x )dx  1 15 Thể tích vật thể trịn xoay cần tính là: V  V2  V1  53 188  9  15 15 (đvtt) Bài tập tương tự Bài Cho hình phẳng sau giới hạn parabol (P) đường thẳng d a/ Viết phương trình parabol (P) đường thẳng d b/ Tính diện tích hình phẳng c/ Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng quanh trục hồnh Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng sau quanh trục hồnh Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay, sinh hình phẳng giới đường sau quanh trục Ox: a/ y = 0, y = 2x ­ x2 b/ y = sin2x , y = 0, x = , x = Bài Cho hàm số y  x2  x 1 có đồ thị (C ) x 1 Hình phẳng sau giới hạn đồ thị (C ), tiệm cận xiên  đường thẳng x = , x = Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng quanh trục hoành Bài Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C ) a/ Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b/ Viết phương trình tiếp tuyến  đồ thị (C ) điểm có hồnh độ c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ), đường thẳng x = tiếp tuyến  d/ T ính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng quanh trục hồnh 2/ Vật thể trịn xoay quanh hình phẳng quanh trục tung  Giả sử (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y), trục tung hai đường thẳng y = m , y = n, ( m < n) Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta vật thể trịn xoay Thể tích vật thể tính theo cơng thức: n V    g ( y ) dy m Bài tốn 42 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C ): x  y  , trục tung, hai đường thẳng x = , y = Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục tung Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 23 www.VNMATH.com y (E) -2 O x Hình 48 Giải Ta có (C ) : x  y   y   x  y   x2 ,y0 Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn nửa elip (E ), trục tung hai đường y = , y = quanh trục tung 1   11 11 V1    (  x ) dx   (4  x )dx   40 12 (đvtt) Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y = 2, trục tung hai đường y = , y = quanh trục tung 2 V    dx    4dx  8 (đvtt) 11 85  (đvtt) 12 12 3/ Thể tích khối cầu, khối trụ,khối nón, khối nón cụt a/ Thể tích khối cầu Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường trịn có phương trình (P ): x2 + y2 = r2 với r > y ≥ (hình 49) Quay nửa hình trịn quanh trục hồnh ta mặt cầu có bán hính r Thể tích vật thể cần tính là: V  V2  V1  8  Thể tích mặt cầu là: V   r (đvtt) Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 24 www.VNMATH.com y (P) x -2 -r -1 O r -1 Hinh 49 Thật vậy: Giải: Ta có x  y  r  y   r  x Với y ≥ ta có: y  r  x có đồ thị nửa đường trịn phía trục hồnh r r 2 Và có diện tích V    ( r  x ) dx  2  (r  x )dx  2 (r x  r x3 r ) 3 r 4 r ) (đvtt) 3 b/ Thể tích khối trụ: Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành đường thẳng x = 0; x = h ( h > 0) Quay hình phẳng quanh trục hồnh ta khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h Thể tích vật thể tròn xoay ( khối trụ )này là: h h V    r dx  ( r x)   r h   r   r h (đvtt) 0  2 (r  c/ Thể tích khối nón trịn xoay Cho hình phẳng (H) ( tam giác vng ) giới hạn đồ thị hàm số y  r x (r  , h  0) ; h trục hoành hai đường thẳng x = ; x = h (hình 50) Quay hình phẳng (H ) quanh trục hồnh ta khối nón có bán kính đáy r chiều cao h Khi thể tích khối nón là: h h r r2 r x h  r h  r h V    ( x) dx    x  (  )   h 3 h h 3.h Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (đvtt) 25 www.VNMATH.com y (d) r x O h Hình 50 d/ Thể tích khối nón cụt y (d) R r x O a b Hình 51 Cho hình thang vng giới hạn đồ thị hàm số y  r x , trục hoành hai đường thẳng a x = a; x = b ( b > a > 0; R > r > ) Hình 51 Quay hình thang vng quanh trục hồnh ta khối nón cụt có bán kính đáy lớn R, bán kính đáy nhỏ r chiều cao h = b – a Thể tích khối nón cụt tạo thành là: b r  r V    ( x) dx  a a a  x dx  (  r x b a  r 3 )  (b  a )  (b  a ).(b  ab  a ) 2 a 3a 3a b a Vì x = a ta có y = r x = b ta có y  r  R  Do V    h  r 3a ( R  R.r  r )  r h.(b  ab  a )   r h b ( a2  R b  r a  r h R R b  1)  (   1) a r r ( đvtt) Chú ý: V   R b   r a Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN   ( R 2b  r a) 26 www.VNMATH.com KẾT LUẬN Qua trình giảng dạy thời gian vừa qua nhận thấy rằng, tài liệu “Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng tích phân” giúp thu nhiều kết khả quan.Học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp tốn tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể trịn xoay chương trình giải tích 12 Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan,cũng đẩy mạnh ứng dụng cơng nghệ thơng tin dạy học Từ đó, em học sinh rât thích thú học tốt vấn đề Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 27 ... diện tích; cộng, trừ thể tích Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải Do tơi chọn đề tài: ? ?Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng? ?? Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG... đổi phương pháp học sinh hiểu vận dụng kiến thức để giải tập tốt lớp đối chứng KẾT LUẬN Qua trình giảng dạy thời gian vừa qua nhận thấy việc sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng. .. CỦA TÍCH PHÂN 14 www.VNMATH.com 2.3 HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ Bài tốn 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  3, y  x , y  [ 2;3] y x Hình 13 Như nhìn vào đồ thị