SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌC CHUYÊN VĨNH PHÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Người thực hiện : Đào Chí Thanh Tổ : Toán Tin Mã : 55 Số điện thoại : 0985 852 684 Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn Năm 2012- 2013 ebooktoan.com Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 2 MỤC LỤC Trang Më ®Çu 3 PHẦN I : SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Dạng 1 : Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản 6 Bài tập tự luyện 11 Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung 12 Bài tập tự luyện 15 Dạng 3: Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng 16 Bài tập tự luyện 20 Dạng 4:Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác 21 Bài tập tự luyện 23 PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 25 Tài liệu tham khảo 27 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Trong giai đoạn hiện nay, việc cấp bách để tránh đất nước có nguy cơ tụt hậu về kinh tế, khoa học kỹ thuật là phải nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi căn bản phương pháp dạy học.Học sinh phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư duy sáng tạo, bồi dưỡng phương pháp tự học học sinh. Bên cạnh đó, hàm số lượng giác và phương trình lương giác là khái niệm khó, trừu tượng đối với học sinh THPT, phân phối thời gian giảng dạy và học tập chiếm thời gian rất ít vì vậy để giải các bài tập lượng giác đối với nhiều học sinh là khá khó khăn. Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh đối với môn toán, giúp các em thấy được các mối liên quan giữa các phần được học trong bộ môn toán với nhau tôi đã tổng hợp , phân loại một số bài toán đại số có thể giải bằng các kiến thức lượng giác nhằm giúp các em có cách nhìn mới , phướng pháp mới để giải một số bài tập đại số. Mặt khác nhằm giúp các em ôn luyện các kiến thức đã học ở chương hàm số và phương trình lượng giác 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của bản sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu một số bài toán đại số được giải bằng phương pháp khác nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh . 3. Giả thuyết khoa học Sử dụng các kiến thức lượng giác để giải một số bài tập đại số nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh , góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông trung học ebooktoan.com Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 4 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập đại số phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa, các bài tập nâng cao. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 5 SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Dạng 1: Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản Ta đã biết một số hệ thức lượng cơ bản học sinh đã dược học từ lớp 9, song vận dụng các kiến thức này còn hạn chế. Để thấy được vai trò của các hệ thức cơ bản của lương giác trong toán học tôi đã phân loại ra một số bài tập sau. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1/ 2 2 sin cos 1    2/ sin tg cos     3/ cos cot g sin     4/ 2 2 1 1 tg cos     5/ 2 2 1 1 cot g sin     6/ tg .cot g 1   Sau đây là một số bài tập minh họa Bài 1 : Cho a 2 + b 2 = c 2 +d 2 = 1 Chúng minh rằng : 1 ac bd   Bài giải : Do a 2 + b 2 = 1 nên đặt sin  = a; cos  = b; Do c 2 + d 2 = 1 nên đặt sin  = c; cos  = d; Thay vào ac + bd thì ta có sin  .sin  +cos  .cos  = cos(  -  ) Lại có cos 1 x  nên ta có 1 ac bd   Bài 2 : Cho x;y thỏa mãn     2 2 3 3 3 x x y y      (1).Tính x + y Bài giải Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 6 Từ (1) chia hai vế cho 3 ta có 2 2 3 3 1 3 3 3 3 x x y y                  Từ biểu thức đã cho ta thấy x>0,y>0 Với a 0; 2         nên ta có thể đặt: 2 2 2 2 ( ) 1 tan ( ) 1 tan (2) 3 3 3 3 ( ) 1 cot ( ) 1 cot (3) 3 3 3 3 x x x x a a y y y y a a                           Bình phương hai vế của (2) và (3) ta có 2 2 2 2 2 2 1 tan 2 tan 3 3 3 1 cot 2 cot 3 3 3 x x x a a y y y a a         Hay 2 2 2 2 tan 1 1 tan 2 tan 2 tan cot (4) tan 3 3 cot 1 1 cot 2 cot 2 cot tan (5) cot 3 3 x x a a a a a a y y a a a a a a               Cộng (4) và (5) ta có: x+ y = 0 (Đpcm). Bài 3: Cho x;y;z đôi một khác nhau thỏa mãn : (x+ z)(z + y) = 1 Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 4 ( ) ( ) ( )x y z x z y       Bài giải : Do (x+ z)(z + y) = 1 Với 4 a k   ta đặt : x + y = tan a; y + z = cot a nên x – y = tan a – cot a. Do đó ta cần chứng minh : Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 7 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 tan cot 4 (tan cot ) tan cot tan cot 2 a a a a a a a a           2 2 2 2 1 tan cot 2 2 (2) tan cot 2 a a a a        Ta thấy (2) đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Bài 4: Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) (1) Chứng minh rằng : 2 2 2 3 4 x y z    (2) Bài giải : Từ giả thiết : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) ta có : 1 1 1 . . 1 x y z x y z     Với a;b;c 0; 4         Ta đặt : 1 1 tan . cot 1 .tan cot 1 tan cot 1 1 cot . cot 1 .cot cot 1 cot cot 1 1 tan . 1 .tan 1 tan x a b x x a b x x a b y a b y y a b y y a b z b z z b z z b                         Vậy Bất đẳng thức (2) tương đương: 2 2 2 1 1 1 3 (1 tan ) 4 (1 tan . cot ) (1 cot . cot ) b a b a b       Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:     2 2 2 2 1 tan cot (1 tan )(1 cot ) ; 1 cot cot (1 cot )(1 cot )a b a b a b a b         Điều phải chứng minh tương đương : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (1 tan ) (1 tan . cot ) (1 cot . cot ) 2 tan cot 1 1 cot cot cot 1 (1 tan )(1 cot )(1 cot ) (1 tan ) 1 cot 1 cot (1 cot ) b a b a b a a b b b a a b b b b b                      Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 8 Ta chứng minh : 2 2 2 2 2 cot cot 1 3 4(cot cot 1) 3(1 cot ) (1 cot ) 0 (1 cot ) 4 b b b b b b b             Đúng Bài 5 : Cho : a 2 + b 2 – 2a – 4b+ 4 = 0 (*) Chứng minh rằng : 2 2 2 3 2(1 2 3) (4 2 3) 4 3 3 2 A a b ab a b           Bài giải : Từ (*) ta có ( a – 1 ) 2 + (b – 2 ) 2 =1 Ta đặt a = 1+ sin x; b = 2 + cos x Thay vào A ta có : 2 2 sin cos 2 3sin .cos 3sin 2 cos2 2 A x x x x x x       (Đpcm) Bài 6 : Chứng minh rằng : 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 x x x       Bài giải :Từ ĐK bài toán ta có 1 sin 2 2 x x a a               Thay vào : 2 2 2 0 1 cos2 1 3 1 3sin sin .cos 3 sin 2 2 2 3 1 3 ( 3cos2 sin 2 ) cos(30 2 ) 2 2 2 a x x x a a a a a a a              Ta có - 1  cos(30 0 + 2a )  1 nên 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 x x x       Bài7: Cho 1  a  3 Chứng minh rằng : 3 2 4 24 45 26 1 S a a a      Bài giải : Ta có : -1  a – 2  1 Nên ta đặt : a – 2 = cos x (0  x   ) Thay vào biều thức S ta có 3 2 4(2 cos ) 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26 cos3 1 S x x x x          (đpcm) Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 9 Bài 8: Chứng minh rằng : 2 1 3 2 ( ; 1) a A a a a       Bài giải : Đặt 1 cos a x  ( 0 ; 2 x x      ) Ta có : 2 2 1 1 3 cos 1 cos 3.cos sin 3.cos 2 1 cos x A x x x x x          Bài 9 : Chứng minh rằng :   3 3 2 2 3 4 1 ( ) 1 1 x x S x x x       Bài giải : Đặt x = tan a ( 2 2 a      ) Khi đó 3 3 3 2 2 3 3 3tan tan 4 3tan .cos 4.tan .cos 1 tan (1 tan ) 3sin 4sin sin3 1 a a S a a a a a a a a a           Bài10 : Chứng minh rằng : 2 2 ( )(1 ) 1 ( ; ) (1 )(1 ) 2 a b ab a b a b       Bài giải :Đặt a = tan x; b = tan y với x; y ; 2 2           thì ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) (tan tan )(1 tan .tan ) (1 )(1 ) (1 tan )(1 tan ) sin( ).cos( ) cos .cos . cos .cos 1 1 sin( ).cos( ) sin 2( ) ( ; ) 2 2 a b ab x y x y a b x y x y x y x y x y x y x y x y x y                    Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 10 Một số bài tập tự luyện Bài 1/Chứng minh rằng : 2 2 1 1 ) 1 ( , 1; 1) . ) ( )( ) ( ; ; ; 0) a b a a b a b a b b ab cd a c b d a b c d              Bài 2 : Cho a 2 +b 2 = c 2 + d 2 =1 Chứng minh rằng: 2 a(c d) b(c d) 2       Bài 3 :Cho a 2 + b 2 = 1 : Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 25 a b a b 2                 Bài 4 :Chứng minh rằng: 2 2 3 2 3 2 3x x 1 x 2 2       ( 1  x  -1) Bài 5: Chứng minh rằng:       3 3 2 2 1 1 a 1 a 1 a 2 2 2 2a         (1  a  -1 Bài 6 : Chứng minh rằng: 2 2a a 3a 3 2    ( 2  a  0 ) Bài 7 : Chứng minh rằng:   3 2 4a 24a 45a 26 1 a 1;3      Bài 8 : Cho x 2 + y 2 = 1 . CMR : 5 5 3 3 16( ) 20( ) 5( ) 2 x y x y x y      Bài 9 Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 12 x y z    Bài 10 Cho x;y thỏa mãn     2 2 4 4 4 x x y y      .Tính x + y [...]... bất kỳ Chứng minh rằng x y 1  x2 1  y 2  yz 1 z2 1 y2  zx 1  x2 1  z 2 Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 14 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Dạng 3 Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng: Một số bài toán sử dụng các kết quả của tam giác lượng : Ta có một số kết quả sau Kết quả 1 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì tồn tại ∆ ABC... Cmr x y z x 1  y 1  z 1  x2  y2  z2 Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 19 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Dạng 4 :Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác Một số phương trình, bất phương trình trong phân môn đại số ngoài cách giải đại số thông thường còn có cách giải lượng giác, mà nhờ nó bài toán được giải nhanh gọn hơn Sau đây là một số ví dụ Bài 1: Giải... 23 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 1.Kết luận: Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi rút ra được một số kết quả sau: Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận toán học cho học sinh THPH.Bên cạnh đó sáng kiến này cũng giúp cho giáo viên, học sinh luyện tập kỹ năng giải các bài toán đại số và các phép biến. .. sin 2a Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 11 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 5 Công thức hạ bậc ba: 1/ sin 3 a  1 3 sin a  s in3a  4 2/ cos3 a  1 3 cos a  cos 3a  4 x 2 6 Công thức biểu diễn sin x, cos x, tgx qua t  tan : 1/ sin x  2t 1  t2 2/ cos x  1  t2 1  t2 1  t2 4/ cot gx  2t 2t 3/ tgx  1  t2 7 Công thức biến đổi tích thành tổng: 1/ cos a cos b  1 cos.. .Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung Một số bài toán sử dụng các công thức cộng cung và các công thức biến đổi khác Ta nêu lại các công thức đã học sau : 1 Công thức cộng - trừ: 1/ sin a  b  sin a cos b  sin b cos a 2/... nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em không cảm thấy áp lực trong học tập Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tư ng học sinh Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 24 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác  Học sinh: Khả... 3z  z 3 3x  x3 3 y  y 3 3z  z 3    1  3 x 2 1  3 y 2 1  3z 2 1  3x 2 1  3 y 2 1  3z 2 Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 12 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 3x  x3 Bài giải :Từ giả thiết x+ y + z = xyz và biểu thức ta thấy nó tư ng 1  3x 2 tự như công thức nhân ba, nên ta đặt x = tan a, y = tan b; z = tan c       với a; b;c    ;  \   thay vao giả... 2   Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 21 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác  7 31 55 11 35 59  ; ; ; ; ;  6 6 6 6   6 6  Theo ĐK bài toán ta có     7 31 55 11 35 59  ; ; ; ; ;  6 6 6 6   6 6  Vậy nghiệm (x; y) = (sin  ; cos  ) với    Bài 5 : 2 y  x(1  y 2 )  Giải hệ phương trình sau :  (HSG _ Quảng Bình) 3 2 3 x  x  y (1  3 x )... Bài3:Cho x, y, z > 0 , thỏa mãn : xy +yz + zx = 1 Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 16 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Tính : S  x (1  y 2 )(1  z 2 ) (1  x 2 )(1  z 2 ) (1  y 2 )(1  x 2 ) y z 1  x2 1 y2 1 z2 Bài giải : Từ giả thiết xy +yz + zx = 1 ;x, y, z > 0 ta thấy biểu thức trên tư ng tự như đẳng thức trong ∆ ABC : tan Vì vậy đặt x  tan Sx A B B C C A tan  tan... ABC nhọn có các góc thỏa mãn a = tan c = tan A B ; b = tan ; 2 2 C 2a 2b 2c Nên tan A = ; tanB = ; tan C = 2 1  a2 1  b2 1  c2 Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 18 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Vậy đpcm tư ng đương với : tanA + tanB + tan C  3 3 Đây là BĐT cơ bản Một số bài tập tự luyện: Bài 1 Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca =1  1  1  a2 Chứng . cùng một lớp đối tư ng. Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 5 SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT. dụng lượng giác 21 Bài tập tự luyện 23 PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 25 Tài liệu tham khảo 27 Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác. 2013 ebooktoan.com Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 2 MỤC LỤC Trang Më ®Çu 3 PHẦN I : SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ