Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng môn học chuyên đề thi công
Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 1 - Chương Mở đầu TỐI ƯU HÓA I/ KHÁI NIỆM: 1.1 Đònh nghóa: Bài toán tối ưu hóa là bài toán tìm giá trò cực tiểu (hay cực đại) của một hàm số phụ thuộc nhiều biến số tên tập hợp các biến số thỏa mãn những điều kiện nhất đònh. Các mô hình và phương pháp tối ưu có nhiều ứng dụng rộng rãi và đa dạng trong thực tiễn, đặc biệt trong kinh tế và kỹ thuật. Trong các bài toán tối ưu thì quan trọng nhất và đáng chú ý trước nhất là các bài toán tối ưu tuyến tính, hay còn gọi là bài toán qui hoạch tuyến tính, tức là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm tuyến tính với các biến số thỏa mãn các phương trình hoặc bất phương trình tính toán. Qui hoạch tuyến tính là bài toán tối ưu đơn giản nhất, được ứng dụng rộng rãi nhất trong nhiều lónh vực khác nhau của kinh tế, đời sống và quốc phòng. Đây cũng là lớp bài toán được nghiên cứu đây đủ và hoàn chỉnh nhất, cả về mặt lý thuyết tổng quát và về mặt tính toán. Hơn nữa qui hoạch tuyến tính còn được sử dụng trong nhiều bài toán tối ưu khác, với tư cách như một bài toán con (subroutine). 1.2 Bài toán tối ưu tổng quát: Bài toán tối ưu tổng quát có dạng như sau: Tìm tập hợp các biến số x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n thỏa mãn f(x) = f(x 1 , x 2 , , x n ) → min (hay max) (1.1) với các điều kiện: g i (x 1 , x 2 , , x n ) ≤ 0, i = 1, 2, , m, (1.2) h j (x 1 , x 2 , , x n ) ≤ 0, j = 1, 2, , p, (1.3) x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ X ⊂ R n , (1.4) trong đó f, các g i (i = 1, , m), h j (j = 1, , p) là những hàm số cho trước, X là tập hợp cho trước nào đó. Chẳng hạn, X ≡ n R + = { x ∈ R n : x ≥ 0} hoặc X = Z n (tập hợp các điểm nguyên tong R n ). Bài toán (1.1) - (1.4) còn được gọi là bài toán qui hoạch toán học. Hàm f(x) được gọi là hàm mục tiêu, các hàm g i (i = 1, , m) và h j (j = 1, , p) được gọi là các hàm ràng buộc, mỗi ràng buộc (1.3) là ràng buộc đẳng thức. Tập hợp D = {x ∈ X : g i (x) ≤ 0, i = 1, , m; h j (x) = 0, j = 1, , p} (1.5) được gọi là miền ràng buộc hay miền chấp nhận được. Một phương án x ∈ D được gọi là một phương án hay một điểm chấp nhận được. Một phương án x * ∈ D đạt cực tiểu (hay cực đại) của hàm mục tiêu, cụ thể là f(x * ) ≤ f(x), ∀x ∈ D đối với bài toán min, f(x * ) ≥ f(x), ∀x ∈ D đối với bài toán max, được gọi là một phương án tối ưu hay lời giải của bài toán. Khi đó f( x * ) được gọi là giá trò tối ưu của bài toán. Đối với mỗi bài toán tối ưu (1.1) - (1.4) có thể xảy ra 3 khả năng loại trừ sau đây: a) miền ràng buộc của bài toán là rỗng : D = ∅; b) cực tiểu (cực đại) của f trên D bằng -∞ (+∞); c) f đạt cực tiểu (cực đại) hữu hạn trên D. { Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 2 - 1.3 Phân loại các bài toán tối ưu: Để tiện cho việc nghiên cứu (dựa vào tính chất của hàm mục tiêu, các hàm ràng buộc, các hệ số, các biến số ), người ta thường chia ra một số lớp bài toán tối ưu sau đây: • Qui hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục tiêu f(x) và tất cả các hàm ràng buộc g i (x), i = 1, , m; h j (x) = 0, j = 1, , p, đều là tuyến tính và X là một tập hợp lồi đa diện. Một số trường hợp riêng quan trọng của bài toán qui hoạch tuyến tính là bài toán vận tải, bài toán sản xuất đồng bộ • Qui hoạch tham số nếu các hệ số trong biểu thức của hàm mục tiêu hay trong các hàm ràng buộc phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Đơn giản nhất là bài toán qui hoạch tuyến tính tham số với các hệ số ở hàm mục tiêu hay ở vế phải các ràng buộc phụ thuộc nào một tham số. • Qui hoạch động nếu đối tượng được xét là các quá trình có thể chia ra thành nhiều giai đoạn hoặc các quá trình phát triển theo thời gian. Trong nhiều trường hợp bài toán qui hoạch động lại có thể diễn đạt như một bài toán tónh và thường được đưa về dạng bài toán qui hoạch tuyến tính với kích thước lớn. • Qui hoạch phi tuyến nếu hàm mục tiêu f(x) là một trong các hàm ràng buộc g i (x), h j (x) không phải là tuyến tính hay X không phải là một tập hợp lồi đa diện (Chẳng hạn khi X là tập hợp các điểm rời rạc hay X là một tập hợp không lồi). • Qui hoạch lồi nếu hàm mục tiêu cần tìm cực tiểu là lồi (hay hàm cần tìm cực tiểu là lõm) và miền ràng buộc D là một tập lồi. Đây là lớp bài toán qui hoạch phi tuyến được nghiên cứu nhiều nhất. Một trường hợp riêng quan trọng của qui hoạch lồi là qui hoạch toán phương, trong đó xét bài toán tìm cực tiểu của một hàm lồi bậc hai với các ràng buộc tuyến tính. • Qui hoạch lõm nếu hàm mục tiêu cần tìm cực tiểu là lõm và miền ràng buộc D là một tập lồi. Đây là lớp bài toán điển hình trong lớp các bài toán qui hoạch phi tuyến không lồi đã được nghiên cứu khá kỹ. Đơn giản nhất là bài toán tìm cực tiểu của một hàm lõm với các ràng buộc tuyến tính. • Qui hoạch phân thức nếu hàm mục tiêu là thương của hai hàm số cho trước và miền ràng buộc D là một tập lồi. Trường hợp riêng đáng chú ý là qui hoạch phân tuyến tính khi hàm mục tiêu là thương của hai hàm tuyến tính afin. • Qui hoạch rời rạc nếu miền ràng buộc D là một tập hợp rời rạc. Trường hợp các biến chỉ nhận giá trò nguyên, ta có một qui hoạch nguyên. Một số trường hợp quan trọng của qui hoạch nguyên là qui hoạch với biến Boole khi các biến số chỉ nhận giá trò 0 hay 1, và qui hoạch tuyến tính nguyên, đó là bài toán qui hoạch tuyến tính với các biến số chỉ lấy giá trò nguyên. • Qui hoạch đa mục tiêu nếu trên cùng một miền ràng buộc D ta xét hai hay nhiều mục tiêu khác nhau (tuyến tính hoặc không tuyến tính). • Ngoài ra còn có qui hoạch ngẫu nhiên khi các tham số trong bài toán không có giá trò xác đònh mà được mô tả bởi các phân phối xác suất, qui hoạch lồi đảo khi miền ràng buộc là hiệu của hai tập hợp lồi, qui hoạch d.c khi hàm mục tiêu hay hàm ràng buộc là hiệu của hai hàm lồi, qui hoạch Lipschitz với các hàm tong bài toán Lipschitz Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 3 - 22 2 2 1 n xAxx +++ II/ CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI: 2.1 Không gian tuyến tính n chiều R n : Một bộ số thực được xếp theo một thứ tự xác đònh x = (x 1 , x 2 , , x n ) được gọi là một véctơ n chiều. Các số x i (i = 1, , n) gọi là 2 thành phần của véctơ x. Ví dụ: x = (1, -2, 0, 3) là véctơ 4 chiều. Xét hai véctơ x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ), và một số thực α. • Hai véctơ x, y được gọi là bằng nhau, ta viết x = y, nếu x n = y n , ∀i = 1, 2, , n. • Phép toán cộng các véctơ x, y và nhân véctơ x với số α được đònh nghóa như sau: x+y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ), αx = (αx 1 , αx 2 , , αx n ). • Tập hợp tất cả các véctơ n chiều, với các phép toán cộng các véc tơ và nhân véctơ với một số thực xác đònh như trên, gọi là không gian tuyến tính n chiều R n . Các véctơ n chiều cũng được gọi là các điểm của R n . • Một véctơ x có dạng x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α k x k (α i ∈ R) gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ x 1 , x 2 , , x k . Hơn nữa, nếu α i ≥ 0, ∀i = 1, 2, , k và α 1 + α 2 + + α k = 1 thì x gọi là một tổ hợp lồi của các véctơ x 1 , x 2 , , x k . • Hệ véctơ { x 1 , , x n } được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = 0 chỉ xảy ra khi α 1 = = α n = 0. • Hệ véctơ { x 1 , , x n } được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính. Nếu hệ véctơ { x 1 , , x n } độc lập (hoặc phụ thuộc) tuyến tính, ta cũng nói các véctơ x 1 , x 2 , , x n độc lập (hoặc phụ thuộc) tuyến tính. Trong R n số véctơ độc lập tối đa là n. Mỗi hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính của R n gọi là một cơ sở của nó. Giả sử { a 1 , a 2 , , a n } là một cơ sở của R n thì bất kỳ véctơ x ∈ R n đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ a 1 , a 2 , , a n . Nếu m < n thì R m gọi là không gian con của R n . 2.2 Tôpô trong R n : Độ dài hay chuẩn của một véctơ x ∈ R n là số thực không âm ||x|| = Khoảng cách giữa hai điểm x, y là số ||x - y||. Một dãy {x k } ⊂ R n gọi là hội tụ tới x 0 (khi k→∞): , nếu khoảng cách từ x k tới x 0 dần tới 0, nghóa là ||x k - x 0 ||→ 0. Hình cầu tâm a R n bán kính r là tập hợp các điểm x ∈ R n cách a không quá r. Ta ký hiệu nó là S ={x : ||x - a|| ≤ r}. Hình cầu này tạo nên một r lân cận của điểm a. Một điểm x ∈ C ⊂ R n gọi là điểm trong của C nếu một r lân cận nào đó của x nằm trọn trong C. Nếu trong lân cận bất kỳ của x đều có các điểm thuộc C và các điểm không thuộc C thì X gọi là điểm biên của C. Tập hợp tất cả các điểm biên của C gọi là biên của C. Một tập hợp C ⊂ R n gọi là giới nội nếu nó chứa trong một hình cầu tâm O nào đó, tức là tồn tại số r đủ lớn để cho ||x|| ≤ r, ∀x ∈ C. 0 lim xx k k = ∞→ Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 4 - >< xx, Một tập hợp C ⊂ R n gọi là mở nếu với mọi x ∈ C đều tồn tại một hình cầu tâm x nằm trọn trong C. Một tập hợp F ⊂ R n gọi là đóng với mọi dãy hội tụ {x k } ⊂ F ta đều có ∈ F. Tập hợp F là đóng khi và chỉ khi tập hợp C = R n \F là mở hay khi và chỉ khi F chứa mọi điểm biên của nó. Cho trước một tập hợp tuỳ ý C ⊂ R n , bao giờ cũng tồn tại một tập hợp đóng nhỏ nhất chứa C (giao của tất cả các tập hợp đóng chứa C), đó là tập hợp các điểm x sao cho x = với {x k } ⊂ C. Tập hợp này gọi là bao đóng của C và được ký hiệu C hay cl C. Một tập hợp C được gọi là compac nếu mọi dãy vô hạn {x k }⊂ C đều chứa một dãy con {x kv } hội tụ tới một phần tư của C. Tập hợp C ⊂ R n là compac khi và chỉ khi C đóng và giới nội (Đònh lý Bolzano - Weierstrass). Ta gọi tích vô hướng của hai véctơ x, y ∈ R n , ký hiệu < x, y >, là số thực <x,y> = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n . <x,y> = 0 thì ta nói hai véctơ x, y là trực giao nhau. Các tính chất của tích vô hướng: (a) <x,y> = <y,x> giao hoán (b) <x 1 + x 2 ,y> = <x 1 ,y> + <x 2 ,y> phân phối đối với phép cộng (c) <λx,y> = <x,λy> = λ <x,y> (d) <x,x> ≥ 0 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Dễ thấy rằng ||x|| = 2.3 Đường thẳng, đoạn thẳng và siêu phẳng: 1. Đường thẳng, đoạn thẳng: Cho hai điểm a, b ∈ R n . Ta gọi đường thẳng đi qua a, b là tập hợp điểm có dạng {x k ∈ R n : x =λa + (1-λ)b, λ ∈ R n }. Nếu buộc 0 ≤ λ ≤ 1 thì ta có đoạn thẳng [a, b]. Trong không gian 2 chiều, một phương trình bậc nhất ax + by = c xác đònh một đường thẳng, một bất phương trình bậc nhất ax + by ≤ c xác đònh một nữa mặt phẳng. Trong không gian 3 chiều, một phương trình bậc nhất ax + by + cz = d xác đònh một mặt phẳng, một bất phương trình bậc nhất ax + by + cz ≤ d xác đònh một nữa không gian. 2 Siêu phẳng: Cho c = (c 1 , c 2 , , c n ) ∈ R n (c ≠ 0) và α ∈ R. Tập hợp tất cả các điểm x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n thoả mãn phương trình bậc nhất (tuyến tính) c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n = α được gọi là một siêu phẳng trong R n , ký hiệu H(c, α ). Siêu phẳng H(c, α) là giao của hai tập hợp {x ∈ R n : <a, x> ≤ α}và{x ∈ R n : <a, x> ≥ α}, ký hiệu lần lượt là H - (c, α), H + (c, α). H - (c, α) và H + (c, α) gọi là các nữa không gian đóng. Các tập hợp {x ∈ R n : <a, x> < α} và{x ∈ R n : <a, x> > α} gọi là các nữa không gia mở. Ví dụ: Đường thẳng x 1 + 2x 2 = 2 là một siêu phẳng trong R 2 . 2.4 Tập hợp lồi: Một tập hợp C ⊂ R n gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1 → λx + (1-λ)y ∈ C, tức là nếu C chứa hai điểm nào đó thì nó chứa cả đoạn thẳng nối hai điểm ấy. k k x lim ∞→ k k x lim ∞→ Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 5 - y x x y y x Đa diện lồi Khúc lồi không giới nội Các tập hợp lồi Các tập hợp không lồi Cho trước một tập hợp tuỳ ý C ⊂ R n , bao giờ cũng tồn tại một tập hợp lồi nhỏ nhất bao hàm C ( giao của tất cả các tập hợp lồi bao hàm C), đó là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc C. Tập hợp này được gọi là bao lồi của C và được ký hiệu là convC. Ví dụ: khi C là 8 đỉnh của một hình lập phương thì convC là toàn bộ hình lập phương đó. 2.5 Tập hợp lồi đa diện hay khúc lồi: Một tập hợp lồi mà nó là giao của một số hữu hạn nữa không gian đóng gọi là một tập hợp lồi đa diện hay một khúc lồi. Nói cụ thể hơn, đó là tập hợp các điểm x ∈ R n nghiệm đúng Ax < b, trong đó A là một tam trận mxn và b ∈ R m . Một khúc lồi có thể không giới nội. Một khúc lồi giới nội còn được gọi là một đa diện lồi. Các đa giác lồi theo nghóa thông thường trong R 2 là những ví dụ hiển nhiên về đa diện lồi. Ta có đònh lý biểu diễn sau đây đối với các tập hợp lồi đa diện (khúc lồi). Đònh lý 2.1: a) Bất kỳ điểm x thuộc đa diện lồi C đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của một số hữu hạn điểm cực biên của C, tức là: x ∈ C → x = ∑ = p i i i u 1 λ với λ i ≥ 0, ∑λ i = 1, u i (i = 1, , p) là các đỉnh của C. b) Với khúc lồi C không giới nội, mỗi x ∈ C có thể biểu diễn dưới dạng một tập hợp lồi của các đỉnh của C cộng với một tổ hợp tuyến tính không âm của các phương cực biên của C, nghóa là : x ∈ C → x = j Jj j Ii i i u νμλ ∑∑ ∈∈ + với λ i ≥ 0, ∑λ i = 1, μ j ≥ 0, I và J hữu hạn, u i là các đỉnh của C (i ∈ I), ν j (j ∈ J) là phương của các cạnh vô hạn của C. 2.6 Hàm tuyến tính và hàm tuyến tính afin: Một hàm tuyến tính (hay dạng tuyến tính) trong R n là một hàm số có dạng f(x) = <c,x> = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n , Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 6 - trong đó c = (c 1 + c 2 + + c n) ∈ R n cho trước tuỳ ý. Dó nhiên, với mọi x, y ∈ R n và mọi số thực λ ta có f(x+y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x). Một hàm tuyến tính afin là một hàm số có dạng f(x) = <c,x> + α, trong đó c = (c 1 + c 2 + + c n) ∈ R n , α∈R cho trước tuỳ ý. Nếu f(x) là hàm tuyến tính afin thì với mỗi x, y ∈ R n và mọi số thực λ, μ sao cho ta có λ + μ = 1 ta có f(λx+μy) = λf(x) + μf(y). 2.7 Hàm lồi và hàm lõm: Một hàm f(x) xác đònh trên một tập hợp lồi C ⊂ R n gọi là lồi trên C nếu như với mọi x, y ∈ C và mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta có f[λx+(1-λ)y] ≤ λf(x) + (1-λ)f(y). Nếu bất đẳng thức trên thỏa mãn với dấu < với mọi x ≠ y và 0 ≤ λ ≤ 1 thì hàm f(x) gọi là lồi chặt. Hàm f(x) gọi là lõm (lõm chặt) nếu -f(x) là lồi (lồi chặt). Rõ ràng hàm tuyến tính afin f(x) = <c,x> + α là vừa lồi vừa lõm, vì với mọi x, y ∈ R n và mọi số thực x, y ∈ R n ta có f[λx+(1-λ)y] ≤ λf(x) + (1-λ)f(y). Tuy nhiên, hàm đó không phải hàm lồi chặt hay lõm chặt. Cho hàm số thực f(x) xác đònh trên một tập khác rỗng C ⊂ R n . Ta nói điểm x 0 ∈ C là điểm cực tiểu tuyệt đối (hay cực tiểu toàn cục) của f trên C nếu f(x 0 ) ≤ f(x), với mọi x ∈ C. Điểm x 0 ∈ C gọi là điểm cực tiểu đòa phương của f nếu tồn tại số ε > 0 sao cho f(x 0 ) ≤ f(x), với mọi x ∈ C thỏa mãn ||x - x 0 || < ε. Các khái niệm điểm cực đại đòa phương và cực đại tuyệt đối (hay cực đại toàn cục) được đònh nghóa tương tự. Đònh lý sau đây nói lên một tính chất rất đáng chú ý là: bất kỳ điểm cực tiểu đòa phương nào của một hàm lồi trên một tập hợp lồi cũng là điểm cực tiểu tuyệt đối. Đònh lý 2.2: Cho f(x) là một hàm lồi xác đònh trên một tập hợp lồi C. Nếu x 0 ∈ C là một điểm cực tiểu đòa phương của f thì x 0 cũng là điểm cực tiểu toàn cục của f trên C. Hệ quả: Bất cứ điểm cực đại đòa phương nào của một hàm lõm trên một tập hợp lồi cũng là điểm cực đại tuyệt đối. Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 7 - CHƯƠNG 1 KẾ HOẠCH SẢN XUẤT I/ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (LP: Linear Programming) Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) khai sinh lòch sử phát triển của mình từ năm 1939, khi nhà toán học Nga nổi tiếng, viện só L. V. Kantorovich đề xuất những thuật toán đầu tiên để giải nó trong một loạt công trình nghiên cứu về kế hoạch hoá sản xuất, và nó thật sự phát triển mạnh mẽ kể từ khi nhà toán học người Mỹ G.B. Dantzig đề xuất phương pháp đơn hình (simplex method) giải qui hoạch tuyến tính vào năm 1947 để giải các bài toán xuất phát từ việc lập kế hoạch cho không quân Mỹ. Vậy có thể nói là, cũng như phép tính vi tích phân hình thành vào thế kỷ thứ 17 từ việc giải các bài toán cơ học, qui hoạch tuyến tính hình thành vào giữa thế kỷ thứ 20 do nhu cầu của các bài toán quản lý. Qui hoạch tuyến tính ngay từ khi ra đời đã chiếm một vò trí hết sức quan trọng tron gtối ưu hoá. Trước hết mô hình tuyến tính là mô hình rất phổ biến trong thực tế, vì tính đơn giản dễ hiểu của nó. Mặt khác, về mặt lý thuyết, có thể xấp xó với độ chính xác cao các bài toán tối ưu phi tuyến bởi dãy các bài toán qui hoạch tuyến tính. I.1/ Cực đại hóa hàm mục tiêu Ví dụ 1: Một lò gốm hàng ngày sản xuất hai mặt hàng: bình bông (B) và đôn sứ (Đ), sản lượng bò giới hạn bởi nguyên liệu là đất sét trắng và số thợ lành nghề (tính theo giờ công lao động). Số đất sét trắng hàng ngày được cung cấp: 120kg. Số lao động hành nghề hàng ngày: 5 người x 8 giờ = 40 giờ. Các loại sản phẩm Nhân tài vật lực B (Bình bông) Đ (Đôn sứ) Vật liệu kg/chiếc 4 3 120 kg Lao động h/chiếc 1 2 40 h Tiền lời đồng 4 5 Sản lượng Chiếc x 1 x 2 Vậy mỗi ngày nên sản xuất bao nhiêu đôn sứ và bao nhiêu bình bông để tiền lời cao nhất. Giải a. Đặt tên biến: Gọi x 1 là số lượng bình bông Gọi x 2 là số lượng đôn sứ b. Hàm mục tiêu: MaxZ = 4x 1 + 5x 2 c. Các ràng buộc: 4x 1 + 3x 2 ≤ 120 1x 1 + 2x 2 ≤ 40 Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 8 - Có 3 vùng sau: R: Đủ cả vật liệu + lao động S: Đủ vật liệu, thiếu lao động T: Thiếu cả vật liệu + lao động Ta có: 4 x 1 +3 x 2 = 120 (1) 1x 1 +2 x 2 = 40 (2) Hàm mục tiêu: Z = 80 = 4x 1 + 5x 2 → (x 1 = 0 ; x 2 = 16) ; (x 1 = 20 ; x 2 = 0) Z = 160 = 4x 1 + 5x 2 → (x 1 = 0 ; x 2 = 32) ; (x 1 = 40 ; x 2 = 0) Z = 120 = 4x 1 + 5x 2 → (x 1 = 0 ; x 2 = 24) ; (x 1 = 30 ; x 2 = 0) Tại B(24,8) → MaxZ = 4x 1 + 5x 2 = 4.24 + 5.8 =136đ - Xét phương pháp đơn hình: Ràng buộc: (1) 4x 1 + 3x 2 ≤ 120 → 4x 1 + 3x 2 + s 1 = 120 (2) 1x 1 + 2x 2 ≤ 40 → 1x 1 + 2x 2 + s 2 = 40 x 1 ,x 2 ≥ 0 s 1 ,s 2 : biến bổ sung (Slack Variable) Thử dần tìm được x 1 = 5B ; x 2 = 10Đ (1) 4.5 + 3.10 + s 1 = 120 → Số đất sét dư s 1 = 120 - 50 = 70 kg (2) 1.5 + 2.10 + s 2 = 40 → Số giờ lao động dư s 2 = 40-25 = 15 h Nếu s 1 = 0, s 2 = 0 → x 1 = 24B ; x 2 = 8Đ Nếu x 1 = 20B ; x 2 = 0Đ → (1) 4.20 + 3.0 + s 1 = 120 s 1 = 120 - 80 = 40 kg đất sét → (2) 1.20 + 2.0 + s 2 = 40 s 2 = 40 - 20 = 20 h lao động Lời giải ứng với 3 điểm A, B, C: 20 0 16 (2) (1) A 10 40 32 30 50 504020 30 24 B z = 120 z = 160 z = 80 10 x 2 (Đ) Đôn sứ x 1 (B) Bình bông C .S .T .R Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 9 - Nhận xét: 1. Lời giải tối ưu thường rơi vào một trong những điểm góc A, B, C của vùng lời giải chấp nhận được OABC.(Feasible solution) 2. Các đường thẳng của hàm mục tiêu Z đều song song nhau. 3. Cần chọn đường thẳng Z xa nhất đối với điểm O và song song các đường thẳng Z khác. 4. MaxZ đi qua điểm B (điểm giao của 2 đường thẳng (1) và (2)). HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH QSB + BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (LP) – PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Chương trình này giải những bài toán quy hoạch tuyến tính. Độ lớn của bài toán phụ thuộc vào bộ nhớ máy tính của bạn. Bạn có thể xác đònh bài toán bằng cách dùng dạng thức như sau để vào số liệu: Hàm mục tiêu Max 4X 1 + 5X 2 Ràng buộc (1) 4X 1 + 3X 2 < 120 (2) 1X 1 + 2X 2 < 40 (biến số được giả thiết là số không âm) Bạn có thể đònh dạng bài toán theo dạng chuẩn hay tự do khi đưa vào các công thức và điều kiện biên. Bạn có thể đặt tên biến đến 8 chữ số. Biến mặc đònh là X 1 , X 2 , …, X n . Bài toán có thể cất hoặc đọc từ đóa. Bạn cũng có thể xem hay hiệu chỉnh bài toán khi cần thiết. Hơn nữa bạn có thể xem cách giải bài toán bằng phương pháp đơn hình theo từng bước. Cách giải bài toán bằng phương pháp đồ thò cũng có thể dùng được nếu như máy tính của bạn có thể xem được đồ thò. Bạn cũng có thể in kết quả ra và phân tích cảm biến. Nhấn nút F8 để có thể in được phần xuất hiện trên màn hình, nhấn F9 để trở về Function Menu, và F10 để thoát khỏi QSB + (Overview of LP Decision support System). Sau khi chọn số 1 trong Program Menu để vào Bài toán qui hoạch tuyến tính (LP), màn hình xuất hiện Function Menu. Chọn số 2 để nhập số liệu cho bài toán mới. Xuất hiện câu hỏi về tên bài toán. Please name your problem using up to 20 characters ? vidu1 A B C x 1 = 0 24 30 x 2 = 20 8 0 s 1 = 60 0 0 s 2 = 0 0 0 Z = 100 MaxZ=136 120 0 5040 20 30 40 x 2 (Đ) Đôn sứ 30 10 10 B 8 24 20 giờ công Đất sét A C x 1 (B) Bình bông Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 10 - Xuất hiện một số hướng dẫn về phần nhập liệu và các câu hỏi cần phải trả lời cho bài toán: LP Model Entry for vidu1 Please observe the following conventions when entering a problem: (1) You may choose a free or fixed format to enter your data. Bound constraints can be entered separately. (2) For the fixed format entry, you may correct errors by pressing the BACKSPACE key to move the cursor to the correct position and follow the instruction at the bottom of screen to proceed to the previous/next page. Scientific numeric notation is allowed for the fixed format such that 100, 100.0, +100, and 1.0E+2 are the same. >=, >, =>, and ≥ are the same; and <=, <, =<, and ≤ are the same for constraint directions. (3) For the free format entry, refer to the help information for direction. (4) You can modify the entered problem using option 7 of the function menu. Maximize (1) or minimize (2) the objective? (Enter 1 or 2) < 1 > Number of variables (excluding slacks/artificials): < 2 > Number of constraints (excluding bounds): < 2 > Approximate percentage of non-zeros (default 5%): < - > Use the default variable names (X1, ,Xn) (1(Yes), 0(No)): < 1 > Use the free format to enter data (1(Yes), 0(No)): < 0 > Use the fixed format to enter bounds/integrality (1(Yes), 0(No)): < 1 > Press the SPACE BAR to continue if your entries are correct • Cực đại số (1) hay cực tiểu (2) hàm mục tiêu (ENTER 1 trong 2) • Số biến (không kể biến bổ sung và biến nhân tạo) • Số lượng các ràng buộc (không kể điều kiện biên) • Phần trăm xấp xỉ của những số khác không (mặc đònh 5%) • Dùng tên biến mặc đònh là X1, X2, …, Xn (1 (Yes), 2 (No)) • Dùng đònh dạng tự do để nhập số liệu (1 (Yes), 2 (No)) • Dùng đònh dạng cố đònh để nhập điều kiện biên và tính nguyên của các biến (1 (Yes), 2 (No)) Màn hình xuất hiện bảng nhập số liệu (hệ số được nhập gồm các hệ số trong hàm mục tiêu và trong các ràng buộc) Enter the Coefficients of the LP Model Page: 1 Max 4_______X1 5_______X2 Subject to (1) 4_______X1 3_______X2 ≤ 120_____ (2) 1_______X1 2_______X2 ≤ 40______ Màn hình bảng xác nhận điều kiện biên và tính nguyên của các biến số Integrality and Bounds Page: 1 Var. no. Name Integrality(C/I/B) Lower bound Upper bound 1 X1 < C > <+0 > <+1.0E+30> 2 X2 < C > <+0 > <+1.0E+30> [...]... Th.S Nguyễn Việt Tuấn (1) (2) (3) Trang - 31 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công x ∈ I Dùng ILP → Đáp số: x1 = 2; x3 = 2; x4 = 1 → x5 = 4 bộ Có 2 tấm nguyên pha cắt theo phương án 1 2 tấm nguyên pha cắt theo phương án 3 1 tấm nguyên pha cắt theo phương án 4 Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 32 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN VẬN TẢI ( TRANSPORTATION PROBLEM ) Sơ... Trang - 18 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Nhận xét: Từ B sang B’’: Tổng số công từ 40 → 48 tăng 8 công, mà giá đối ngẫu y1 = 20 đ /công → Hàm mục tiêu tăng: 20 đ /công x 8 công = 160 đ (từ 2240đ tăng lên 2400đ) Điều kiện giới hạn thay đổi của bi: Phần mềm cho các thông tin: bmin < bi < bmax 32 ≤ b1 ≤ 48 180 ≤ b2 ≤ 240 Chưa ảnh hưởng đến đường CD HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CHƯƠNG TRÌNH QSB+ BÀI TOÁN QUY... Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 13 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Đáp số: x1 = 300 nhà A x2 = 0 nhà B s1 = 0 (Không dư ca máy đào) s2 = 300 (Dư 300 ca cần trục) 2/ Nếu công ty xây lắp muốn tận dụng hết khả năng của xe máy thi công đã đưa đến hiện trường thì công ty xây lắp có thể xây dựng được bao nhiêu căn nhà mỗi kiễu A & B? (nếu máy nào thi u thì có thể làm 2 ca/ngày) Giải a Đặt tên... 150 (Thi u 150 ca máy đào, cần bổ sung 1 máy đào s2 = 0 (Tận dụng hết số ca cần trục) MinZ = 45x1 + 40x2 = 15.000 triệu = 15 tỷ Ví dụ 4: Một xưởng mộc đònh nhận hợp đồng đóng 30 chiếc bàn và tủ trong thời hạn nhất đònh một tuần Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 14 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Tủ Bàn Đã có 3m2 4m2 100m2 5 công 3 công ≤ 120 công 400 đ/ chiếc 200 đ/ chiếc Gỗ xẽ Công. .. Tuấn 2x1 + 4x2 = 40 14 16 18 20 x1 (bàn) Trang - 17 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Khảo sát sự thay đổi c1, c2; b1, b2, b3 1/ Xét khi c1, c2 thay đổi (Giá bán thay đổi) Điểm C Điểm B x1 = 8 bàn x1 = 4 bàn x2 = 4 tủ x2 = 8 tủ Z = 2240 đ Z = 2800 đ s1 = 8 công s1 = 0 công 3 s2 = 0 dm3 s2 = 0 dm s3 = 0 m2 s3 = 4.8 m2 y1 = 0 đ /công y1 = 20 đ /công 3 y2 = 8.33đ/dm3 y2 = 6.06 đ/dm y3 = 0 đ/m2 y3 =... Nguyễn Việt Tuấn Trang - 33 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công Trong thực tế nếu từ Ai đến Bj nào đó không có đường vận chuyển, nghóa là không thể chuyển hàng hóa từ trạm phát Ai đến trạm nhận Bj, ta sẽ diễn đạt vấn đề trên bằng ngôn ngữ toán học như sau: Cij bằng một số dương lớn tùy ý (thường ký hiệu là M) & Xij = 0 II.2/ Hai dạng cơ bản của bài toán vận tải : a/ Bài toán vận tải kín : ∑ ai =... nghóa: Bài toán đối ngẫu cung cấp những thông tin về tài nguyên cho các nhà quản lý khi cần phải đưa ra quyết đònh, nhiều khi không phải tiền lời hay doanh thu làm nhà quản lý bận tâm mà chính các tài nguyên hàng ngày mới là mối bận tâm của các nhà Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 16 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công quản lý (công nhân đau bệnh xin nghỉ việc, vật liệu xấu hao hụt, thi t... trình bày trong bảng sau: Tài nguyên Lao động (công) Gỗ (dm3) Mặt bằng (m2) Nhu cầu của Bàn 2 18 2,4 Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Tủ 4 18 1,2 Lượng tài nguyên cung cấp hàng ngày 40 216 24 Trang - 15 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công a/ Giá bán 160.000 đ/bàn và 200.000 đ/tủ Mỗi ngày nên sản xuất bao nhiêu bàn và tủ để có doanh thu lớn nhất? (Bài toán thuận) b/ Do hai mặt hàng bàn và tủ bán... +250.00000 Trang - 26 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công CHƯƠNG 2 PHA CẮT VẬT LIỆU I/ ĐẶT VẤN ĐỀ: 1/ Trong kết cấu BTCT: Trong bảng thống kê gồm: φ, l, số lượng, tổng chiều dài l … ta cần cắt thép sao cho tốn ít thanh nguyên nhất hay sốâ đoạn dư ra phải ít nhất 2/ Trong kết cấu thép: Gồm: - Thép thanh - Bản mắt 3/ Trong sản xuất khác: Thép tấm, ván ép 1.2 - 1.22 m 2 - 2.44 m II/ BÀI TOÁN: Ví dụ 1:... giải bài toán dạng này ta phải thê một trạm phát ảo với khả năng phát hàng là: ∑ bj - ∑ ai & chi phí = 0 Ví dụ 2: Công ty Gạch men Victoria có 3 kho chứa gạch và đang có 3 cửa hàng bán lẻ ở ba nơi khác nhau Chi phí vận chuyển cho mỗi m2 gạch và khả năng tiêu thụ của các cửa hàng trong tháng được cho trong bảng sau: Biên soạn: Th.S Nguyễn Việt Tuấn Trang - 34 - Bài giảng môn học: Chuyên Đề Thi Công