Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình lượng giác
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 61 - 1, Giải phương trình: 4 2 sin(3 ).cos2 (2cos3 sin3 2) cot .cos 2cos2 .si n 4 x x x x x x x x Giải: Điều kiện: sin 0 x . Khi đó, phương trình đã cho tương đương với: 2 cos 4cos2 (sin3 cos3 ) 2cos3 sin3 2 (sin3 sin ) 0 sin x x x x x x x x x 2 cos (4cos2 2)(sin3 cos3 ) sin 2 0 sin x x x x x x 1 (4cos2 2)(sin3 cos3 ) 2 0 sin x x x x (4sin cos2 2sin )(sin3 cos3 ) 1 2 sin 0 x x x x x x 2sin3 (sin3 cos3 ) 1 2 sin 0 x x x x sin6 cos6 2 sin x x x sin 6 sin 4 x x 2, Giải phương trình: 3 0 8cos ( 60 ) cos3 x x Gợi ý: Đặt 0 60 x t , Ta có: 3 0 3 0 3 3 3 3 8cos cos3( 60 ) 8cos cos(3 180 ) 8cos cos3 8cos 3cos 4cos 4cos cos 0 t t t t t t t t t t t 3, Giải phương trình sau : 3 3 17 8cos 6 2 sin 2 3 2 cos 4 cos2 16cos 2 x x x x x Giải: Ta có: 17 cos( 4 ) sin 4 2sin 2 cos2 2 x x x x Chuyên đề II: PT Lượng giác, PT-Hệ PT Phần 1: Phương Trình Lượng Giác Coppy right ©: Mobile_lam Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 62 - 3 3 3 3 2 3 17 8cos 6 2 sin 2 3 2 cos 4 cos 2 16cos 2 8cos 6 2 sin 2 6 2 sin2 cos 2 16cos 8cos 12 2 sin .cos 16cos x x x x x x x x x x x x x x 4, Giải phương trình: 3 3 sin sin 3 cos 3 cos 0 4 4 x x x x Giải: Trước hết, ta thấy rằng cos 0 x hoặc sin 3 0 x không thỏa mãn phương trình. Xét: cos .sin3 0 x x . 3 3 sin( ).sin (3 ) cos(3 ).cos 0 4 4 x x x x 3 3 (sin cos ).sin (3 ) (cos3 sin3 ).cos 0 x x x x x x 3 3 (sin cos ) (sin3 cos3 ) cos sin 3 x x x x x x 3 3 (sin cos ) sin( 3 ) cos( 3 ) cos sin ( 3 ) x x x x x x 2 2 (tan 1)(1 tan ) (cot( 3 ) 1)(1 cot ( 3 )) x x x x Xét hàm số: 2 3 2 2 ( ) ( 1)( 1) 1, ( ) 3 2 1 0, f t t t t t t t f t t t t nên đây là hàm đồng biến. Từ đề bài, suy ra: (tan ) (cot( 3 )) tan cot( 3 ) f x f x x x ( Tính chất hàm số của lớp 12) tan tan(3 ) 2 x x 3 . . , 2 4 2 x x k x k k 5, Giải phương trình : (1 3)cos2 ( 3 1)sin 2 3 1 4 2 sin 4 x x x Giải: Ta có: 1 3 cos2 3 1 sin 2 3 1 4 2 sin 4 x x x 1 3 (sin cos )(cos sin ) 4(sin cos ) 3 1 (sin 2 1) 0 x x x x x x x 2 1 3 (sin cos )(cos sin ) 4(sin cos ) 3 1 (sin cos ) 0 x x x x x x x x (sin cos ) 1 3 (cos sin ) 3 1 (sin cos ) 4 0 x x x x x x 2(sin cos )( 3cos sin 2) 0 x x x x 6, Giải phương trình: sin sin3 sin9 0 cos3 cos9 cos27 x x x x x x Giải: Ta thấy biểu thức: sin cos3 x x có xuất hiện cos3 x ở dưới mẫu, nên ta nghĩ sẽ xuất hiện tan3 x . Giống như trường hợp trên là có sin 2 x dưới mẫu thì có cot2 x ở phía trước kìa. Tới đây ta thử cái xem. Ta xét hiệu sau: tan3 tan H x ax Vì ta chưa rõ a là số mấy nên ta để như vậy rồi dùng hệ số bất định tìm a . Ta có: Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 63 - sin3 sin sin3 .cos sin .cos3 sin(3 ) tan3 tan cos2 cos cos .cos3 cos .cos3 x ax x ax ax x a x H x ax x ax ax x ax x Chúng ta đồng nhất lại với nhau xem sao nhé: sin(3 ) sin sin(3 ) . . sin cos .cos3 cos3 cos a x x a x k k x ax x x ax Chúng ta cần thêm k để có thể giản ước khi cần thiết vì đôi khi chúng chỉ giống nhau một phần thôi. Chúng ta thấy rằng chúng ta cần khử cos ax mà giữ lại sin x khiến chúng ta liên tưởng tới góc nhân đôi. Mà bên kia là sin x nên bên này phải là sin 2 x . Vậy ta sẽ thử với: 1 a , suy ra: .sin 2 1 sin 2 .sin sin cos 2 k x x k x x k x Từ những phân tích đó ta có biểu thức sau: sin sin tan3 tan 2(tan3 tan ) 2.cos3 cos3 x x x x x x x x Từ đó ta có lởi giải như sau: Điều kiện: cos3 0 cos9 0 cos27 0 cos27 0 x x x x Bằng khai triển ta dễ dàng có biểu thức sau: sin 2(tan3 tan ) cos3 x x x x Tương tự cho các biểu thức còn lại, sau đó cộng lại ta có phương trình đã cho tương đương với: 2(tan3 tan ) 2(tan9 tan3 ) 2(tan 27 tan9 ) 0 tan 27 t an 0 x x x x x x x x . tan 27 tan 27 . 26 k x x x x k x Bài toán được giải quyết. 7, Giải phương trình : 11 5cos 2 9 4sin 6 12 x x Giải: Cách 1: Ta có: 11 sin sin 12 12 x x Từ đó chuyển về phương trình bậc hai là: 2 10sin 4sin 14 0 12 12 x x Cách 2: Đặt 11 12 t x , khi đó ta có phương trình: 2 5cos2 9 4sin 5sin 2sin 7 0 t t t t . Từ đó ta tìm được sin 1 t . Dễ dàng tìm được nghiệm 5 2 , 12 x k k 8, Giải phương trình: 1 1 1 0 sin sin 2 sin 4 x x x Giải: ĐK: sin sin 2 sin 4 0 x x x (1) Theo (1) ta có: 1 1 1 0 sin sin 2 sin 4 x x x 1 sin2 sin 4 sin sin 2 sin 4 x x x x x Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 64 - 1 2sin3 cos sin sin 2 sin 4 x x x x x sin 2 sin 4 sin3 sin 2 x x x x sin 2 sin 4 sin3 0 x x x sin 4 sin3 0 x x 9, Giải phương trình: 3 3 3sin (1 sin ) cos (1 3cos ) sin 2 x x x x x Giải: Phương trình đã cho tương đương: 4 4 3sin cos 3 sin cos sin 2 x x x x x 3sin cos sin 2 3 cos2 x x x x sin( ) sin 2 3 6 x x 10, Giải phương trình: 2 2cos2 4sin .sin 2(1 sin ) 2 1 cot x x x x x Giải: Ta để ý trong bài toán có chứa hai đại lương cos2 x và 1 cot x thì ta liên tưởng đến ngay đại lượng rút gọn được chính là sin cos x x .Mặt khác có đại lượng 2 sin 2 x mà bài toán toàn chứa cung x nên việc hạ bậc là phải tính đến.Quan sát vế trái phương trình sau khi tiến hành các bước trên ta bắt được nhân tử chung sin x nên việc giải quyết bài toán là khá đơn giản. Nhưng trước hết ta cần chú ý tới điều kiện của phương trình. Điều kiện : cot 1 sin 0 x x . Với điều kiện này phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2(sin cos )(cos )sin 2(1 cos )sin 2(1 sin ) sin cos x x x sinx x x x x x x 2(1 cos )sin 2(cos sin )sin 2(1 sin ) x x x x x x 2sin (1 sin ) 2(1 sin ) x x x (1 sin )(2sin 2) 0 x x 11, Giải phương trình: 2 cos cos 2 2 sin .sin 2 2 4 x x x x Giải: Điều kiện: cos 0 x Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 2 cos cos 2sin (sin cos ) cos cos 2sin 2sin cos 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x 2 2 cos cos 1 cos sin cos cos 1 cos sin x x x x x x x x 2 cos cos sin sin x x x x Ta có: +) Với sin 0 x thì 2 2 sin sin sin sin 0 x x x x Mà ta luôn có: VT>0, nên trong trường hợp này vô nghiệm. +) Với sin 0 x , thì ta khảo sát hàm số: Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 65 - 2 ( ) , 0 f t t t t Ta có: ( ) 2 1 0 f t t Suy ra: 2 0 sin 1 ( cos ) (sin ) cos sin cos sin x f x f x x x x x 12, Giải phương trình: cos2 cos3 sin cos4 sin6 x x x x x Giải: cos2 cos3 sin cos4 sin6 x x x x x cos2 cos4 sin cos3 sin 6 0 x x x x x 2sin sin 3 sin cos3 2sin 3 cos3 0 x x x x x x sin 2sin3 1 cos3 2sin3 1 0 x x x x sin cos3 2sin3 1 0 x x x 13, Giải phương trình : 5 2sin(2 ) 2 2 sin( ) 1 0 3 12 x x . Giải: Chúng ta tinh ý thấy rằng: 5 2 sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) 12 6 4 2 6 6 x x x x Phương trình đã cho tương đương với: 2sin(2 ) 2 sin( ) cos( ) 1 0 3 6 6 x x x 4sin( )cos( ) 2 sin( ) cos( ) 1 0 6 6 6 6 x x x x Tới đây ta đặt: sin( ) cos( ) 6 6 t x x , thì: 2 2sin( )cos( ) 1 6 6 x x t Thay vào phương trình trên ta được: 2 2 2(1 ) 2 1 0 2 2 1 0 0 t t t t Tới đó thì ổn rồi. Bài này nếu để là 5 :sin(2 ) 2 2 sin( ) 1 0 3 12 x x , thì kết quả đẹp hơn nhiều mà cũng không ảnh hưởng gì tới hướng đi của bài toán. Các bạn thử làm nhé. 14, Giải phương trình : 2 cos4 2 2(1 cos cos3 ) 3 2cos 1 8 x x x x Giải: Điều kiện: 2 3 3 cos 1 0 cos(2 ) 0 8 4 x x Phương trình đã cho tương đương với: (cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 ) 2 2(1 cos cos3 ) 3 cos(2 ) 4 2(cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 ) 2 2(1 cos cos3 ) sin 2 cos2 x x x x x x x x x x x x x x x 2 2cos cos3 cos2 sin 2 2 cos 4 cos2 cos2 sin 2 x x x x x x x x Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 66 - 2 cos4 sin 2 2 0 2sin 2 sin 2 1 0 x x x x Phương trình vô nghiệm. (Có sai ở đâu không nhỉ???) 15, Giải phương trình: 2 1 7 (1 sin )(1 cos ) 2sin sin 2 3 2 4 6 cos tan 1 2 x x x x x x Giải: Điều kiện: tan 1 0 cos 0 x x Ta sẽ biến đổi cái tử trước. Ta có: 2 1 7 5 1 (1 sin )(1 cos ) 2sin sin 2 (sin cos ) sin 2 2 4 6 2 3 x x x x x x x Ta có: 2 1 7 (1 sin )(1 cos ) 2sin sin 2 3 2 4 6 cos tan 1 2 x x x x x x 5 1 3 (sin cos ) sin 2 (sin cos ) 2sin 2 15(sin cos ) 15 0 2 3 2 x x x x x x x x Tới đó thì đưa về dạng cơ bản rồi. 16, Giải phương trình: 3 2cos13 3cos3 8cos .cos 4 3cos5 x x x x x Giải: Phương trình 2cos13 3cos3 3cos5 2cos (cos12 3cos4 ) x x x x x x 2cos13 3cos3 3cos5 cos13 cos11 3cos5 3cos3 x x x x x x x cos13 cos11 x x Đến đây thì Ok rùi 17, Giải phương trình: 2 cos2 2 sin3 sin5 x x x Giải: Điều kiện: sin 5 sin3 x x Ta có: 2 cos2 2 2 cos2 2(sin3 sin5 ) sin3 sin5 x x x x x x 2 2sin 2 2 cos4 sin 1 0 x x x Để phương trình trên có nghiệm thì: 2 2 0 2cos 4 2 0 cos 4 1 x x 2 cos 4 1 x 18, Giải phương trình sau: cos2 cos6 4(sin 2 1) 0 x x x Giải Phương trình đã cho tương đương với : 3 2 cos2 4cos 2 3cos2 4(cos sin ) 0 x x x x x 2 2 cos2 ( cos 2 1) (cos sin ) 0 x x x x 2 (cos sin )[(cos sin )( cos 2 1) (cos sin )] 0 x x x x x x x Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 67 - 19, Tìm điều kiện để phương trình sin 2 sin 2 cos x m x m x có đúng 2 nghiệm thuộc 3 0, 4 Giải: Ta sẽ biến đổi phương trình trên về dạng tích, một kinh nghiệm đối với nhưng bài như thế này là ta đi "cô lập" thằng m ra, ta viết phương trình dưới dạng: 2sin .cos sin (1 2cos ) 0 1 cos (2cos 1)(sin ) 0 2 sin x x x m x x x x m x m Trên đoạn 3 0, 4 ta thấy phương trình 1 cos 2 x có nghiệm duy nhất 3 x nên yều cầu của bài toán trở thành: Tìm m sao cho phương trình sin x m có đúng một nghiệm thuộc 3 0, 4 hoặc nó có hai nghiệm nhưng một nghiệm là 3 . Công việc này khá đơn giản, phần này mình xin dành cho bạn đọc! Các bạn có thể dùng đồ thị, đường tròn lượng giác, Kết quả cuối cùng sẽ là: 2 3 1, 0 , 2 2 m m m 20, Giải phương trình: 4 16cos 4 3cos2 5 0 4 x x (Đề thi thử số 1 của Boxmath.vn) Giải: 2 2 4 2cos ( ) 4 3cos2 5 0 4 x x 2 4 1 cos(2 ) 4 3cos2 5 0 2 x x 2 2 4(1 sin2 ) 4 3cos 2 5 0 4 8sin 2 4sin 2 4 3cos2 5 0 x x x x x 2 2 3cos 2 4 3cos2 sin 2 8sin 2 12 0 x x x x ( 3cos 2 sin 2 6)( 3 cos2 sin 2 2) 0 x x x x 21, Giải phương trình: 2 2 3cot 2 2 sin (2 3 2)cos x x x Giải: Điều kiện: x k Phương trình 2 2 2 3cos 2 2 sin (2 3 2)cos sin x x x x 2 2 4 2 3cos 3 2sin .cos 2 2 sin 2sin cos 0 x x x x x x 2 2 (cos 2 sin )(3cos 2sin ) 0 x x x x 22, Giải phương trình: sin 3 sin 2 3cos2 6 x x x cosx Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 68 - Giải: sin 3 sin 2 3cos2 6 x x x cosx sin 3 cos 3cos 2 sin 2 6 x x x x 3 1 sin 3 sin 2 cos2 sin 2 6 2 2 2 x x x x 2cos sin 2 2sin 2 6 3 3 x x x 23, Giải phương trình lượng giác: 2012 2012 1005 1 sin cos 2 x x Giải: Đây là bài phương trình lượng giác trong đề thi HSG tỉnh Hải Dương. Mình có một lời giải như sau. Mong các bạn đóng góp thêm các lời giải khác hay hơn. Phương trình đã cho tương đương với: 2012 2 1006 1005 1 sin (1 sin ) 2 x x Đặt: 2 sin (0 1) t x t Phương trình đã cho tương đương với: 1006 1006 1005 1 (1 ) 2 t t Với số mũ lớn nhu thế này thì rất khó để biến đổi khiến ta liên tưởng tới phương pháp đánh giá, nhưng đánh giá như thế nào? Ta sẽ dùng hàm số vì đó có lẽ là hướng đi đơn giản nhất. Ta đặt: 1006 1006 ( ) (1 ) f t t t Ta có: 1005 1005 ( ) 1006 1006(1 ) f t t t 1005 1005 1 ( ) 0 (1 ) 1 2 f t t t t t t Từ đó ta có: 1005 1 1 1 min ( ) min (0) ; ; (1) 2 2 2 f t f f f f Từ đó suy ra chi có: 1 2 t , thoả mãn. 24, Giải phương trình: 8 8 2 1 1 sin cos cos 2 cos2 2 2 x x x x Giải: Bài toán này được giải dựa trên các công thức quen thuộc sau: 8 8 4 4 4 4 4 4 2 2 sin cos (sin cos )(sin cos ) ; sin cos sin cos cos2 x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 3 cos4 sin cos 1 2sin cos 4 x x x x x Khi đó phương trình đã cho sẽ trở thành phương trình: Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 69 - 2 1 1 cos2 (3 cos4 ) cos2 (cos2 1) 2cos2 (cos2 1) cos2 (3 2cos 2 1) 0 4 2 x x x x x x x x 2 cos2 (2cos2 2 2cos 2 2) 0 cos2 (cos2 1) 0 x x x x x 25, Giải phương trình: sin3 cos3 2 2 cos 1 4 x x x Giải: Phương trình đã cho tương đương với: 1 1 1 1 cos3 sin3 2cos 0 cos 3 2cos 0 4 4 4 2 2 2 2 x x x x x Đặt: 3 3 4 4 t x x t Phương trình trên trở thành: 3 1 1 1 cos(3 ) 2cos 0 cos3 2cos 0 4cos cos 0 2 2 2 t t t t t t 2 2 1 1 4 cos 4cos 2 2 cos 1 0 cos 2 2 2 4 t k t t t t t k 26, Giải phương trình: 2 2sin 3sin 2 1 3 cos 3sin x x x x Giải: 2 2sin 3sin 2 1 3 cos 3sin x x x x 2 cos 2 3sin 2 3(cos 3sin ) x x x x 1 sin 2 3sin 6 6 x x 2 1 cos 2 3sin 3 6 x x 2 2cos 3cos 3 3 x x 27, Giải phương trình : 3 3 cos sin 2cos2 cos sin x x x x x Giải: Điều kiện của bài toán là : sin 0 . cos 0 x x Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với phương trình: 3 3 2 2 cos sin 2(cos sin )( sin cos ) x x x x x x (cos sin )(1 sin cos ) 2(cos sin )(cos sin )( sin co s ) x x x x x x x x x x Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com : 01645362939 - 70 - cos sin 0 1 sin cos 2(cos sin )( sin cos ) (1) x x x x x x x x Đối với phương trình (1) ta chú ý từ điều kiện ta có đánh giá : 2 2 sin sin sin sin cos 1 2(cos sin )( sin cos ) 2 sin cos 1 cos cos cos x x x x x x x x x x x x x x Mặt khác ta có 1 3 1 sin cos 1 sin 2 2 2 x x x Từ hai đánh giá trên ta có phương trình (1) vô nghiệm hay phương trình đã cho chỉ có nghiệm cos sin 0 tan 1 , 4 x x x x k k Kết hợp với điều kiện của bài toán ta đi đến kết luận cuối cùng nghiệm của phương trình là 2 , 4 x k k 28, Giải phương trình: 1 sin 2 .cot 2sin sin cos 2 2 x x x x x Giải: Điều kiện của bài toán là sin cos 0 sin 0 x x x Từ điều kiện này ta biến đổi phương trình đã cho thành 2 cos 2sin cos 2cos 2 sin sin cos x x x x x x x 2 2sin cos . 2 0 2sin sin cos x x x x x cos . 2(sin cos ) 4sin cos 0 x x x x x 29, Giải phương trình: 3 6sin 2cos 5sin2 .cos . x x x x Giải: Dễ dàng nhận ra rằng phương trình trên là phương trình đẳng cấp bậc 3. Ta có phương trình đã cho tương đương với: 2 2 3 2 3 2 3 6sin (sin cos ) 2cos 10sin cos cos 4sin cos 6sin 0 x x x x x x x x x x Ta xét 2 TH: Với: sin 0 x , thay vào phương trình dễ thấy không thỏa mãn. Với: sin 0 x , ta chia cả 2 vế cho 3 sin x ta sẽ thu được phương trình: 3 2 2cot 4cot 6 0 x x Đặt: cot t x , ta sẽ có được phương trình đại số bậc 3: 3 2 2 4 6 0 t t 30, Giải phương trình: 2 sin5 sin 2sin 1 x x x Giải: Ở bài toán này sự xuất hiện của các cung lượng giác 5 ; x x hình như nó có mối liên quan với nhau. Đặc biệt rằng các bạn chú ý 2 1 2sin cos2 x x . Tới đây thì bài toán lại trở nên thú vị khi có ba đại lượng cung 5 ; ; 2 x x x và đặc biệt các bạn hãy chú ý đến sự kì vọng sau 5 5 2 ; 3 2 2 x x x x x x nên ta xem như những kết quả đạt được đã hoàn toàn mỉ mãn. Bây giờ ta thấy ngay để kéo được những ý tưởng ấy lại gần nhau ta chỉ còn hai phép biến đổi căn bản đó là " công thức nhân đôi và biến tổng thành tích". Cụ thể ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình [...]... phương trình sin x 0 (1) và cos sin sin x 1 (2) 2 2 x x Với phương trình (2), ta xử lý nó bằng cách sử dụng các công thức sin x 2 sin cos và 2 2 x x x sin 2 1 cos 2 quy về phương trình một ẩn theo cos 2 2 2 39, Giải phương trình: 2cos 2 cos 2 x 1 cos sin 2 x (Đề thi thử số 2 - VMF) 2 Giải: Từ phương trình đã cho ta biến đổi thành phương trình 2cos 2 cos 2 x ... x) sin x(1 2 cos 2 x) Thay vào phương trình ta suy ra: 2cos2 2 x cos 2 x 1 0 Phương trình đã cho tương đương với: 114, Giải phương trình: 2sin x 4 cos x 1 3cos 2 x Giải: Phương trình tương đương với: 2sin x 4 cos x 1 3(cos x ) 2 (sin x ) 2 ) ( 3 cos x 2 2 1 2 ) ( 3 sin x ) 0 3 3 4 sin x 3 cos x 4 3 sin x cos x 3 115, Giải phương trình: 4 cos 2 x 1 1 Giải:... 3x Sử dụng công thức tan x tan 2 x cos x cos 2 x Chứng minh 1 cos x cos 2 2 x 0 35, Giải phương trình: (cos 2 x cos 4 x) 2 6 2 sin 3x Giải: Đây là phương trình lượng giác giải bằng phương pháp đánh giá Thật vậy ta có đánh giá: (cos 2 x cos 4 x) 2 4 và 6 2sin 3 x 4 Do đó từ phương trình đã cho ta suy ra được (cos 2 x cos 4 x)2 4 6 2 sin 3x 4 ( 2sin 3x sin( x)) 2... nghiệm của phương trình là x k 8 2 Cách 2: Điều kiện: x k , k Ta có phương trình đã cho tương đương với 1 1 16 sin x cos x 2 16 sin 2 x cos 2 2 x, hay 8sin 2 x 2 8sin 2 x cos 2 2 x Rõ ràng phương trình sin x sin x này không có nghiệm nào thỏa mãn cos x 0, do vậy ta chỉ cần xét cos x 0 là đủ Khi đó, đặt 2 2 16t t 2 1 t2 1 t2 t tan x (t 0), ta viết được phương trình trên... (t/m) 2 4 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x k 2 4 43, Giải phương trình: (8 cos 3 x 1)3 162 cos x 27 Giải: Cách 1: Bài này bản chất là giải phương trình một biến (8t 3 1)3 162t 27 Gợi ý Đặt 6t 1 8 y 3 , ta sẽ có (8t 3 1)3 162t 27 27(6t 1) 27·8 y 3 , tức là 8t 3 1 6 y Và như thế, bài toán được đưa về 6t 8 y 3 1 giải hệ phương trình đối xứng 3 6... x 1 cos sin 2 x Sau đó 2 2 sử dụng công thức nhân đôi cos 2 x 2cos x 1 Ta đưa phương trình vừa biến đổi về phương trình 1 cos 2 x cos 2 cos 2 x cos( sin 2 x) Tiếp tục áp dụng công thức hạ bậc cos 2 x Lúc này ta 2 2 đưa phương trình biến đổi tiếp theo thành phương trình 1 cos 2 x cos 2 cos( sin 2 x) cos (1 cos 2 x) cos( sin... x , thay vào phương trình trên ta được: 2 cos x cos x.sin 2 x sin x.cos x.sin 3 x 2sin x 2(cos x sin x) cos x.sin x (sin 3 x sin x) 0 2(cos x sin x ) 2 cos 2 x.sin 2 x.cos x 0 (cos x sin x )[1 sin 2 x cos x (sin x cos x )] 0 Khi: k (Thoa mãn) 4 Khi: 1 sin 2 x cos x(sin x cos x ) 0 , ta dễ dàng chứng minh được phương trình này vô nghiệm Ta viết phương trình. .. VT 0 , đẳng thức xảy ra khi: (Vô nghi?m) 4 1 sin x 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x k 4 sin x cos x x 106, Giải phương trình: 2cos 3x (2cos 2 x 1) 1 Giải: 2 Phương trình tương đương với : 2 cos 3 x(4 cos x 1) 1 2 cos 3x(3 4 sin 2 x) 1 (1) Dễ thấy, khi : sin x 0 thì không thỏa mãn phương trình (1) Xét sin x 0 Khi đó nhân cả hai vế của (1) với sin x ta thu... tiếp 68, Giải phương trình: cos 2 x 3sin 2 x 5sin x 3cos x 3 Email: Mobile_lam@yahoo.com - 81 - : 01645362939 Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 Giải: Phương trình có thể được viết lại thành: 3cosx (2 sinx 1) 2 sin 2 x 5sinx 2 3cosx (2 sinx 1) (2 sinx 1)( sinx 2) 69, Giải phương trình: tan 2 x cot 2 x 1 3 sin 2 x Giải: Cách 1: ĐK sin x cos x 0 Phương trình được... x ;k Z 3 15 5 k 4 2k Vậy nhiệm phương trình là: x 6 Email: Mobile_lam@yahoo.com 3 ;x 15 5 - 89 - (k Z ) : 01645362939 Vũ Tùng Lâm 93, Giải phương trình: II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3 3sin 3x cos 5 x 3 4 sin x 1 cos x Giải: Điều kiện: cos x 0 Ta có phương trình đã cho tương đương với 3sin 3x cos 5 x 3 2sin 2 x cos x, hay 3(sin 3x 1) 2sin 2 x (cos 5 x cos . 23, Giải phương trình lượng giác: 2012 2012 1005 1 sin cos 2 x x Giải: Đây là bài phương trình lượng giác trong đề thi HSG tỉnh Hải Dương. Mình có một. x x 29, Giải phương trình: 3 6sin 2cos 5sin2 .cos . x x x x Giải: Dễ dàng nhận ra rằng phương trình trên là phương trình đẳng cấp bậc 3. Ta có phương trình đã cho tương đương. x Giải: Đây là phương trình lượng giác giải bằng phương pháp đánh giá. Thật vậy ta có đánh giá: 2 (cos2 cos4 ) 4 và 6 2sin3 4 x x x Do đó từ phương trình đã cho ta suy ra được