Trần Duy Thái http://www.vnmath.com Tuyển tập Bất đẳng thức PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +   ≥  ÷   3 3 3 a b a b 2 2 2. Chứng minh: + + ≤ 2 2 a b a b 2 2 3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: + + ≥ 3 3 3 a b a b 2 2 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ + a b a b b a 5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ + + + 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b 6. Chứng minh: ( ) + + + ≥ + + 2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c ∈ R 7. Chứng minh: ( ) + + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e 8. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 2 x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 b. Chứng minh: + + + +   ≥  ÷   2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 11. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 a b 1 ab a b 12. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 13. Chứng minh: + + + ≥ − + + 4 4 2 2 x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: + ≥ 3 3 1 a b 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 1 Tuyển tập Bất đẳng thức http://www.vnmath.com Trần Duy Thái II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 2. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ 2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 3. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + ≥ + 3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c ≥ 0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +     + + + ≥  ÷  ÷     m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m ∈ Z + 5. Chứng minh: + + ≥ + + ≥ bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c 6. Chứng minh: + ≥ − ≥ 6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 7. Chứng minh: + ≥ − + 4 2 2 1 2a 3a 1 1 a . 8. Chứng minh: ( ) > − 1995 a 1995 a 1 , a > 0 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:   + + ≤ + +  ÷   + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ≥ − + −ab a b 1 b a 1 . 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( ) ( ) ≥ − − 3 a 3 a b b c c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc c)     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ≥ − 1 x 3 x y y 16. Chứng minh: a) + ≥ + 2 2 x 2 2 x 1 ,∀x ∈ R b) + ≥ − x 8 6 x 1 , ∀x > 1 c) + ≥ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + + + + ≤ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 18. Chứng minh: + ≤ + + 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , ∀x , y ∈ R 19. Chứng minh: + + ≥ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 2 Trần Duy Thái http://www.vnmath.com Tuyển tập Bất đẳng thức 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + ≤ + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. + + + ≥ 4 a b c d 4 abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số) b. + + ≥ 3 a b c 3 abc với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số ) 22. Chứng minh: + + ≥ + + 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: + + ≥ 3 9 4 2 a 3 b 4 c 9 abc 24. Cho = + x 18 y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 25. Cho = + > − x 2 y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 26. Cho = + > − + 3x 1 y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 27. Cho = + > − x 5 1 y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. 28. Cho = + − x 5 y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 29. Cho + = 3 2 x 1 y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN của + + = 2 x 4x 4 f(x) x , x > 0. 31. Tìm GTNN của = + 2 3 2 f(x) x x , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ ≤ 5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − 1 2 ≤ x ≤ 5 2 . Định x để y đạt GTLN 37. Cho = + 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN 38. Cho ( ) = + 2 3 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN 3 Tuyển tập Bất đẳng thức http://www.vnmath.com Trần Duy Thái III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: + ≤sinx cosx 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2 ≥ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2 ≥ 725 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2 ≥ 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4 ≥ 2. 7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh: + ≥ 2 2 1 a b 2 Lời giải : I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +   ≥  ÷   3 3 3 a b a b 2 2 (*) (*) ⇔ + +   − ≥  ÷   3 3 3 a b a b 0 2 2 ⇔ ( ) ( ) + − ≥ 2 3 a b a b 0 8 . ĐPCM. 2. Chứng minh: + + ≤ 2 2 a b a b 2 2 ()  a + b ≤ 0 , () luôn đúng.  a + b > 0 , () ⇔ + + + − ≤ 2 2 2 2 a b 2ab a b 0 4 2 ⇔ ( ) − ≥ 2 a b 0 4 , đúng. Vậy: + + ≤ 2 2 a b a b 2 2 . 3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: + + ≥ 3 3 3 a b a b 2 2 ⇔ ( ) + + ≤ 3 3 3 a b a b 8 2 ⇔ ( ) ( ) − − ≤ 2 2 3 b a a b 0 ⇔ ( ) ( ) − − + ≤ 2 3 b a a b 0 , ĐPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ + a b a b b a () () ⇔ + ≥ +a a b b a b b a ⇔ ( ) ( ) − − − ≥a b a a b b 0 ⇔ ( ) ( ) − − ≥a b a b 0 ⇔ ( ) ( ) − + ≥ 2 a b a b 0 , ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ + + + 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b () 4 Trần Duy Thái http://www.vnmath.com Tuyển tập Bất đẳng thức ⇔ + − − ≥ + + + + 2 2 1 1 1 1 0 1 ab 1 ab 1 a 1 b ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) − − + ≥ + + + + 2 2 2 2 ab a ab b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − + ≥ + + + + 2 2 a b a b a b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab ⇔ −   − ≥  ÷ + + +   2 2 b a a b 0 1 ab 1 a 1 b ⇔ ( ) ( )   − + − − ≥  ÷  ÷ + + +   2 2 2 2 b a a ab b ba 0 1 ab 1 a 1 b ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − ≥ + + + 2 2 2 b a ab 1 0 1 ab 1 a 1 b , ĐPCM.  Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0. 6. Chứng minh: ( ) + + + ≥ + + 2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c ∈ R ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh: ( ) + + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e ⇔ − + + − + + − + + − + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4 ⇔         − + − + − + − ≥  ÷  ÷  ÷  ÷         2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 . ĐPCM 8. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 2 x y z xy yz zx ⇔ + + − − − ≥ 2 2 2 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 x y x z y z 0 9. a. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3  + + ≥ + + 2 2 2 a b c ab bc ca  + + + + + + + + +   = ≥  ÷   2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 3 9 3 ⇔ + + + + ≥ a b c ab bc ca 3 3 b. Chứng minh: + + + +   ≥  ÷   2 2 2 2 a b c a b c 3 3  ( ) ( ) + + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c 2 a b c ( ) ( ) ≥ + + + + + = + + 2 2 2 2 a b c 2 ab bc ca a b c ⇒ + + + +   ≥  ÷   2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 5 Tuyển tập Bất đẳng thức http://www.vnmath.com Trần Duy Thái ⇔ ( ) − − + + − ≥ 2 2 2 a a b c b c 2bc 0 4 ⇔ ( )   − − ≥  ÷   2 a b c 0 2 . 11. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 a b 1 ab a b ⇔ + + − − − ≥ 2 2 2a 2b 2 2ab 2a 2b 0 ⇔ − + + + + + + + ≥ 2 2 2 2 a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 a b a 1 b 1 0 . 12. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz ⇔ + + − + − ≥ 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 0 ⇔ (x – y + z) 2 ≥ 0. 13. Chứng minh: + + + ≥ − + + 4 4 2 2 x y z 1 2x(xy x z 1) ⇔ + + + − + − − ≥ 4 4 2 2 2 2 x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 2 2 x y x z x 1 0 . 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: + ≥ 3 3 1 a b 4 ° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b 3 = (1 – a) 3 = 1 – a + a 2 – a 3 ⇒ a 3 + b 3 =   − + ≥  ÷   2 1 1 1 3 a 2 4 4 . 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca).  ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 ⇔ (a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2  > − > − > −a b c , b a c , c a b ⇒ > − + 2 2 2 a b 2bc c , > − + 2 2 2 b a 2ac c , > − + 2 2 2 c a 2ab b ⇒ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)  ( ) > − − 2 2 2 a a b c ⇒ ( ) ( ) > + − + − 2 a a c b a b c  ( ) > − − 2 2 2 b b a c ⇒ ( ) ( ) > + − + − 2 b b c a a b c  ( ) > − − 2 2 2 c c a b ⇒ ( ) ( ) > + − + − 2 c b c a a c b ⇒ ( ) ( ) ( ) > + − + − + − 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a c b b c a ⇔ ( ) ( ) ( ) > + − + − + −abc a b c a c b b c a c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 ⇔ 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – a 4 – b 4 – 2a 2 b 2 – c 4 > 0 ⇔ 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – (a 2 + b 2 ) 2 – c 4 > 0 ⇔ (2ab) 2 – [(a 2 + b 2 ) – c 2 ] 2 > 0 ⇔ [c 2 – (a – b) 2 ][(a + b) 2 – c 2 ] > 0 ⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác ⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. 6 Trần Duy Thái http://www.vnmath.com Tuyển tập Bất đẳng thức II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: ⇒ + ≥a b 2 ab , + ≥b c 2 bc , + ≥a c 2 ac ⇒ ( ) ( ) ( ) + + + ≥ = 2 2 2 a b b c a c 8 a b c 8abc . 2. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ 2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ⇒ + + ≥ 3 a b c 3 abc , + + ≥ 3 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b c ⇒ ( ) ( ) + + + + ≥ = 3 2 2 2 3 3 3 a b c a b c 9 a b c 9abc . 3. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) + + + ≥ + 3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c ≥ 0.  ( ) ( ) ( ) + + + = + + + + + + + 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.  + + ≥ 3 a b c 3 abc , + + ≥ 3 2 2 2 ab ac bc 3 a b c  ( ) ( ) ( ) ( ) + + + ≥ + + + = + 3 3 2 2 2 3 3 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +     + + + ≥  ÷  ÷     m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m ∈ Z +  +           + + + ≥ + + = + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           ≥ = m m m m m m m 1 a b a b b a 1 1 2 1 . 1 2 2 b a b a a b 2 4 2 5. Chứng minh: + + ≥ + + > bc ca ab a b c ; a, b, c 0 a b c  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: + ≥ = 2 bc ca abc 2 2c a b ab , + ≥ = 2 bc ba b ac 2 2b a c ac , + ≥ = 2 ca ab a bc 2 2a b c bc ⇒ + + ≥ + + bc ca ab a b c a b c . 6. Chứng minh: + ≥ − ≥ 6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 () () ⇔ + + ≥ 6 9 2 3 x y 64 12x y ⇔ ( ) ( ) + + ≥ 3 3 2 3 3 2 3 x y 4 12x y Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ( ) ( ) + + ≥ = 3 3 2 3 3 2 3 2 3 x y 4 3x y 4 12x y . 7 Tuyển tập Bất đẳng thức http://www.vnmath.com Trần Duy Thái 7. Chứng minh: + ≥ − + 4 2 2 1 2a 3a 1 1 a () () ⇔ + + + + ≥ + 4 4 2 2 2 1 a a a 1 4a 1 a . Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: + + 4 4 2 2 1 a , a , a 1, 1 a ( ) + + + + ≥ + = + + 4 4 2 4 4 2 2 4 2 2 1 1 a a a 1 4 a a a 1 4a 1 a 1 a 8. Chứng minh: ( ) > − 1995 a 1995 a 1 () , a > 0 () ⇔ > − ⇔ + > 1995 1995 a 1995a 1995 a 1995 1995a + > + = + + + + ≥ = 1 4 2 4 3 1995 1995 1995 1995 1995 1994 soá a 1995 a 1994 a 1 1 1 1995 a 1995a 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . ° ( ) ( ) ( ) + + + + + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm: ° + + + + + ≥ = 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 a a b b b c c c a 6 a b c 6abc 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:   + + ≤ + +  ÷   + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c ° ≤ = + 2 2 a a 1 2ab 2b a b , ≤ = + 2 2 b b 1 2bc 2c b c , ≤ = + 2 2 c c 1 2ac 2a a c ° Vậy:   + + ≤ + +  ÷   + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ≥ − + −ab a b 1 b a 1 . ° ( ) ( ) = − + ≥ − = − + ≥ −a a 1 1 2 a 1, b b 1 1 2 b 1 ° ≥ − ≥ −ab 2b a 1, ab 2a b 1 ° ≥ − + −ab a b 1 b a 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° ( ) ( ) = − + = − + + + −x x 1 1 x 1 x y z 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + − + − ≥ − − − 2 4 x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1 Tương tự: ( ) ( ) ( ) ≥ − − − 2 4 y 4 x 1 y 1 z 1 ; ( ) ( ) ( ) ≥ − − − 2 4 z 4 x 1 y 1 z 1 ⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( ) ( ) ≥ − − 3 a 3 a b b c c . ° ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + ≥ − − 3 a a b b c c 3 a b b c c 8 Trần Duy Thái http://www.vnmath.com Tuyển tập Bất đẳng thức 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc. ° +   ≥  ÷   2 b c bc 2 ⇔ ( ) + −     ≤ = = −  ÷  ÷     2 2 2 b c 1 a 16abc 16a 16a 4a 1 a 2 2 ° ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   − = − − = − − − ≤ − = +   2 2 2 4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ =2 bc.2 ac.2 ab 8abc c)     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     1 1 1 1 1 1 64 a b c ° + + +     + = ≥  ÷  ÷     4 2 1 a a b c 4 a bc 1 a a a ° + ≥ 4 2 1 4 ab c 1 b b ° + ≥ 4 2 1 4 abc 1 c c      + + + ≥  ÷ ÷ ÷     1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ≥ − 1 x 3 x y y  ( ) ( ) ( ) ( ) − = − + + ≥ = − − 3 x y y 1 VT x y y 3 3 x y y x y y 16. Chứng minh: a) + ≥ + 2 2 x 2 2 x 1 ⇔ + ≥ + 2 2 x 2 2 x 1 ⇔ + + ≥ + 2 2 x 1 1 2 x 1 b) + − x 8 x 1 = − + = − + ≥ − = − − − x 1 9 9 9 x 1 2 x 1 6 x 1 x 1 x 1 c. ( ) ( ) + + ≥ + = + 2 2 2 a 1 4 2 4 a 1 4 a 1 ⇔ + ≥ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + + + + ≤ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 ° Vì : + ≥a b 2 ab ⇒ ≤ = + ab ab ab a b 2 2 ab , ≤ = + bc bc bc b c 2 2 bc , ≤ = + ac ac ac a c 2 2 ac ° + + ≥ + +a b c ab bc ca , dựa vào: + + ≥ + + 2 2 2 a b c ab bc ca . ° + + + + + + ≤ ≤ + + + ab bc ca ab bc ac a b c a b b c c a 2 2 9 Tuyển tập Bất đẳng thức http://www.vnmath.com Trần Duy Thái 18. Chứng minh: + ≤ + + 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , ∀x , y ∈ R ° ( ) = ≤ = + + 2 2 2 4 2 2 x x x 1 8 1 16x 2.4x 1 4x ° ( ) = ≤ = + + 2 2 2 4 2 2 y y y 1 8 1 16y 2.4y 1 4y  + ≤ + + 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y 19. Chứng minh: + + ≥ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. ° a + b + c = 1 2 (X + Y + Z) ° + − + − + − = = = Y Z X Z X Y X Y Z a , b , c 2 2 2 °         + + = + + + + + −  ÷  ÷  ÷   + + +         a b c 1 Y X Z X Z Y 3 b c a c a b 2 X Y X Z Y Z [ ] ≥ + + − = 1 3 2 2 2 3 2 2 . Cách khác: °       + + = + + + + + −  ÷  ÷  ÷ + + + + + +       a b c a b c 1 1 1 3 b c a c a b b c a c a b ( ) ( ) ( ) [ ]   = + + + + + + + −  ÷ + + +   1 1 1 1 a b b c c a 3 2 b c a c a b  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: ° ( ) ( ) ( ) [ ]   + + + + + + + ≥ − =  ÷ + + +   1 1 1 1 9 3 a b b c c a 3 2 b c a c a b 2 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + ≤ + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc ° ( ) ( ) ( ) + = + − + ≥ + 3 3 2 2 a b a b a ab a a b ab ⇒ ( ) ( ) + + ≥ + + = + + 3 3 a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự ° ( ) ( ) + + ≥ + + = + + 3 3 b c abc b c bc abc bc a b c ° ( ) ( ) + + ≥ + + = + + 3 3 c a abc c a ca abc ca a b c  ( ) ( ) ( ) + +   ≤ + + =  ÷ + + + + + + + +   1 1 1 1 a b c VT ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc 10 [...]... http://www.vnmath.com Tuyển tập Bất đẳng thức 1 1 1 + + ≤1 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 43 (Đại học khối B 2005) Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có: Chứng minh rằng: x x x  12   15   20  x x x  5 ÷ + 4 ÷ + 3 ÷ ≥ 3 +4 +5       Khi nào đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005) Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng: 1+ x 3 + y 3 1+ y3 + z3 1 + z3 + x 3 + + ≥3 3 xy yz zx Khi nào đẳng thức. .. x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 x 2 ,x > 1 Định x để y đạt GTNN 25 Cho y = + 2 x −1 x −1 2 1 + +  y= 2 x −1 2 x −1 2 ,  Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm : 2 x −1 ° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ y= x −1 2 1 x −1 2 1 5 + + ≥2 + = 2 x −1 2 2 x −1 2 2 11 Tuyển tập Bất đẳng thức ° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ http://www.vnmath.com Trần Duy Thái x −1 2 2 = ⇔ ( x − 1) = 4 ⇔ 2 x −1 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng... (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) • Cách 1: Theo BĐT Cơsi: 1 ≥ x + y + z ≥ 3 3 xyz > 0 1 1 1 + + ≥ x y z Từ đó: Đặt: t = A ≥ 3 3 xyz + 3 xyz 3 3 xyz , điều kiện: 0 < t ≤ Xét hàm số f(t) = 3t + 3 3 xyz 1 3 1 3 với 0 < t ≤ 3 t 22 Trần Duy Thái http://www.vnmath.com f′(t) = 3 – 3 t 2 2 = 3(t − 1) t 2 Tuyển tập Bất đẳng thức  1 < 0, ∀t ∈  0;   3... y r r r r r r r r r Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a + b + c ≥ a + b + c ≥ a + b + c 2 Vậy P = x + 1 x 2 + y2 + 1 y 2 + z2 + 2 1 z ≥ 2  1 1 1 (x + y + z)2 +  + + ÷  x y z • Cách 1: 2  1 1 1 Ta có: P≥ (x + y + z)2 +  + + ÷ ≥  x y z 2 ( 33 xyz 1  x+ y+ z với t = (3 xyz)2 ⇒ 0 < t ≤  ÷ ≤9 3   35 ) 2 2  9 1  = 9t + +  33  xyz ÷ ÷ t   Tuyển tập Bất đẳng thức Đặt Q(t) = 9t + http://www.vnmath.com... thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 – xy 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 3 + 3 x y 51 (Đại học khối B 2006) Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= ( x − 1) 2 + y2 + ( x + 1) 2 + y2 + y − 2 21 Tuyển tập Bất đẳng thức http://www.vnmath.com Trần Duy Thái LỜI GIẢI 1 (CĐGT II 2003 dự bị) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:... 3 a3 + b3  a + b  ≥ ÷ 2  2  Trần Duy Thái http://www.vnmath.com Tuyển tập Bất đẳng thức Cho 3 số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nơng nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của bc ca ab + 2 + 2 biểu thức: P = 2 2 2 a b + a c b c + b a c a + c 2b 25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000)... + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c)2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra ⇔ 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c ⇔ a = b = c = 1 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 2 a b a b + = 1 ⇒ 0 < , < 1 ⇒  a 3 +  b 3 > a + b = 1 Từ giả thiết ta có: c÷ c÷ c c c c c c     28 Trần Duy Thái Từ đó suy ra: http://www.vnmath.com 2 a3 2 + b3 Tuyển tập Bất đẳng thức 2 c3 > 20 (ĐHQG HN khối A 2000) Đặt x = 2a, y = 2b, z... khối DE 2000) a) a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c b) (ab + bc + ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nơng nghiệp I khối A 2000) 29 Ta có: Tuyển tập Bất đẳng thức http://www.vnmath.com Trần Duy Thái 1 1 a2 = = = Ta có: 2 a b + a2c a2 (b + c) a2  1 +... abc = 1+ 3 abc ) 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 26 (ĐH Y HN 2000) ( 2+ 3 ) 2 ⇒x+y≥ ( Giá trị ( 2  2   2 3 3 = x+ y ÷ ≤  + ÷(x + y) = 6(x + y)  x ÷ x y y   2+ 3 6 2+ 3 6 ) Vậy min(x + y) = 2 ) 2  2 3  : x= : y  x = y  x  đạt được ⇔  ⇔ 2   2+ 3 x + y = y =  6  ( 5+ 2 6 6 30 ) 2( 2 + 3) 6 3( 2 + 3) 6 Trần Duy Thái http://www.vnmath.com Tuyển tập Bất đẳng thức 27 (ĐH An Giang... Thái http://www.vnmath.com Tuyển tập Bất đẳng thức PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1 (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z CMR: x 2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ≥ y2 + yz+z2 2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z 3 (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 1 1 thức: A=x+y+z+ + + x y z 4 (CĐSPHCM