Bất phương trình mũ và logarit ôn thi đại học và cao đẳng

63 847 3
Bất phương trình mũ và logarit ôn thi đại học và cao đẳng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

121 VAN ẹE 6 BAT PHệễNG TRèNH LOGARIT- MUế VAỉ HE BAT PHệễNG TRèNH LOGARIT-MUế 122 Vấn đề 6 Bất phương trình Logarit-Mũ hệ bất phương trình Logarit-Mũ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Giả sử f(x) g(x) là hai hàm số xác đònh trên một tập con D của R, khi đó : a) Nếu a > 1 thì bất phương trình log a f(x) > log a g(x) (1) tương đương với hệ bất phương trình ( ) () () () 0gx f xgx xD >⎧ ⎪ > ⎨ ⎪ ∈ ⎩ b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình (1) tương đương với hệ bất phương trình : () () () () 0fx f xgx xD >⎧ ⎪ < ⎨ ⎪ ∈ ⎩ II. Giả sữ f(x) , g(x) α(x) là hững hàm số trên một tập hợp con D của R .Khi đó bất phương trình log α(x) f(x) > log α(x) g(x) tương đương với 2 hệ bất phương trình : () () () () () 1 0 x gx f xgx xD α >⎧ ⎪ > ⎪ ⎨ > ⎪ ⎪ ∈ ⎩ hay ( ) () () () () 01 0 x fx f xgx xD α < <⎧ ⎪ > ⎪ ⎨ < ⎪ ⎪ ∈ ⎩ 123 B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI . Bài 1 Giải bất phương trình sau : () ( ) 3 3log3log xx x ≤ Giải Điều kiện x > 0 x ≠ 1 Bpt ⇔ () () [] ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≥ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < (2) )3(log3log 03log (1) 03xlog 0log3x 2 2 3 xx x xx x Giải (1) ⇔ () ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < 1log3log 1log3log 3 x xx x x ⇔ ( ) ( ) () () ⎩ ⎨ ⎧ <−− <−− 0131 0131 3 xx xx ⇔ x > 3 3 1 (a) Giải (2) ⇔ ()( ) () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤+ >−− > (*) 33log13log 0231 0 2 xx xx x (*) ⇔ 023log3log 2 ≤−+ xx ⇔ -2 ≤ log x ≤ 1 (2) ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤− >∨<< 13log2 1 3 1 0 x xx ⇔ () () ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ ≤< ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ > ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥≥ << ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− > ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤− << c 3 b 3 1 0 3 1 1 3 1 3 1 x0 13log2 1 13log2 3 1 0 2 2 x x x x x x x x x x x Hợp (a) (b) (c) ta có x > 0 Bài 2 124 Giải bất phương trình sau : log 2 (1 + 9 1 log x – log 9 x) < 1 Giải Điều kiện : x > 0 ⇔ 1 – log 9 x – log 9 x < 1 (với x > 0) ⇔ 1 – 2log 9 x < 1 ⇔ log 9 x > 2 1 − ⇔ log 9 x > 2 1 − log 3 3 ⇔ x > 3 1 Bài 3 Giải bất phương trình sau : 233 5lg2lg 2 −< ++ xx (1) Giải Điều kiện : x > 0 (1) ⇔ 3 lgx .9 < 3 2lgx .3 5 – 2 (với x > 0) đặt t = 3 lgx bpt ⇔ 9t < 243t 2 – 2 ⇔ 243t 2 – 9t – 2 > 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −< > 27 2 9 1 t t • Với t > 9 1 : 3 lgx > 9 1 ⇔ ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2lg 3 1 3 1 x -lgx < 2 ⇔ lgx > -2 = -2lg10 ⇔ x > 10 -2 ⇔ x > 100 1 • Với t < 27 2 − : 3 lgx < 27 2 − : bất phương trình vô nghiệm KL : nghiệm cuả bất phương trình là : x > 100 1 157 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 53 2 53 = 1 . Vậy ta có BPT : t 2 + 2at + 2a + 1 < 0. Vậy ta có f(t) = t 2 + 2at + 2a + 1 < 0 với mọi t ( ] 1;0 ∈ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ 0)1(f 0)0(f ⇔ a < 2 1 − . Bài 49 Giải bất phương trình : 06xlog)5x2(xlog)1x( 2 1 2 2 1 ≥++++ Giải TXĐ : x > 0 06xlog)5x2(xlog)1x( 2 1 2 2 1 ≥++++ ⇔ 06xlog)5x2(xlog)1x( 2 2 2 ≥++−+ (3) Coi (3) là bậc hai đối với t = log 2 x ∆ = (2x + 5) 2 – 4.6(x + 1) = 4x 2 – 4x + 1 = (2x – 1) 2 t 1 , t 2 = )1x(2 )1x2(5x2 + − ±+ ⇒ t 1 = 2 , t 2 = 1x 3 + Để biết vò trí của t 1 t 2 ta cần biết dấu của hiệu số của chúng . Do đó ⇒ • Xét hiệu t 1 – t 2 = 1x 1x2 1x 3 2 + − = + − (x > 0) Nếu 0 < x ≤ 2 1 thì t 1 ≤ t 2 BPT (3) dẫn tới ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ≥ ≤ ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ ≥= ≤= 1x 3 xlog 2xlog txlogt txlogt 2 2 22 12 )5( )4( Khi 0 < x ≤ 2 1 thì (4) thoả , (5) vô nghiệm . Suy ra 0 < x ≤ 2 1 là nghiệm của (3) . 126 Bài 7 Với giá trò nào của m thì : y = () [ ] mmx2x1mlog 2 2 2 −−+ có tập nghiệm xác đònh là R. Giải Yêu cầu đầu bài cho ta (m + 1)x 2 – 2mx – m > 0 (*) , ∀x ∈ R • m = -1 : 0.x 2 + 2x + 1 > 0 ⇔ x > - 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∞− , 2 1 ⊂ R nên không thỏa yêu cầu (*) đúng ∀x ∈ R. • m ≠ -1 (*) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ >+ <∆ 01m 0' ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −> <++ 1m 01mm 2 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ −> ∅∈ 1m m ⇔ m ∈ ∅ Kết luận : m ∈ ∅ Bài 8 Giải bất phương trình : ( ) 8exxe8x 1x21x4 −>− −− (Đại Học Xây Dựng 2001) Giải ( ) 8exxe8x 1x21x4 −>− −− ⇔ x(x 3 + 8) – e x-1 (x 3 + 8) > 0 ⇔ (x 3 + 8) (x – e x-1 ) > 0 (*) Xét hàm số : f(x) = x – e x-1 f’(x) = 1 – e x-1 = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên : x -∞ 1 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 0 - ∞ +∞ Bảng biến thiên cho : f(x) ≤ 0 ; ∀x ∈ R (f(x)=0⇔x=1) Dể thấy x = 1 không thỏa (*) Vậy : f(x) < 0 ∀x ≠ 1 . Khi đó : (*) ⇔ x 3 + 8 < 0 ⇔ x < -2 127 Bài 9 Tìm m sao cho bất phương trình sau đây được nghiệm đúng với mọi x log m (x 2 – 2x + m + 1) > 0 (Đại học Đà Nẳng ) Giải Ta có : Log m (x 2 – 2x + m + 1) > 0 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ <++− > ⎩ ⎨ ⎧ <++− << 11mx2x 1m 11mx2x 1m0 2 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ >+− > ⎩ ⎨ ⎧ <+− << )2( 0mx2x 1m )1( 0mx2x 1m0 2 2 Xét (1) : ta thấy x 2 –2x +m < 0 không thể xảy ra vơi mọi x Xét (2) :x 2 – 2x + m > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R ⇔ '∆ < 0 ⇔ 1 – m < 0 ⇔ m >1 Vậy: m > 1 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. Bài 10 Tìm tất cả các giá trò của x thoả x > 1 nghiệm đúng bất phương trình sau : 2 2( ) log ( 1) 1 xx m xm + +−<với mọi giá trò của m : 0 < m ≤ 4 (Đại học Giao thông vận tải ) Giải Vì x > 1 ⇒ 2(x 2 + x) > 4 ; cùng với 0 < m ≤ 4 ⇒ m )xx(2 2 + > 1 x + m – 1 > 0. Bất phương trình đã cho được viết thành : 128 x+ m –1 < m )xx(2 2 ++ ⇔ 2x 2 + (2 – m) x – m 2 + m > 0 ⇔ (x – m + 1) (2x + m) > 0 ⇔ x > m – 1 ( vì 2x + m > 0) Vì x > 1 0 < m ≤ 4 ⇒ x > 3 Bài 10 Giải bất phương trình : 2 x + 2 3-x ≤ 9 (Đại học Kỹ thuật công nghệ thành phố Hồ Chí Minh , khối A năm1998 – 1999) Giải Đặt t = 2 x với t > 0 ta được : t 2 – 9t + 8 = 0 Tam thức bậc hai theo t ấy có 2 nghiệm là 1 8 .Tam thức ấy âm khi chỉ khi 1 ≤ t ≤ 8 Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là 0 ≤ x ≤ 3 Bài 11 a) Giải bất phương trình 2 2x+1 – 9.2 x + 4 ≤ 0 (1) b) Đònh m để mọi nghiệm của bất phương trình (1) cũng là nghiệm của bất phương trình : (m 2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối G năm 1998 – 1999) Giải a) Ta có : 2 2x+1 – 9.2 x + 4 ≤ 0 (1) ⇔ 2.2 2x = 9.2 x + 4 ≤ 0 Đặt t = 2 x > 0 , ta sẽ có : (1) ⇔ 2t 2 – 9t + 4 ≤ 0 Nghiệm của tam thức theo t là 2 1 4. Tam thức âm hoặc bằng 0 khi : 2 1 ≤ t ≤ 4 Do đó ta có : 2 1 ≤ 2 x ≤ 4 hay 2 -1 ≤ 2 x ≤ 2 2 Đáp số : –1 ≤ x ≤ 2 b) (m 2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 (2) 129 ⇔ (m 2 + m + 1)x + 3m + 1 > 0 Đặt f(x) = (m 2 + m + 1)x + 3m + 1 Mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) khi chỉ khi f(x) > 0, ∀x ∈ [-1 , 2] ⇔ ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ > >− 02 01 f f ⇔ 0 < m < 2 Đáp số : 0 < m < 2 Bài 12 Giải bất phương trình : 3 1 6 5 log 3 −≥ − x x x (Đại học An ninh – Đại học cảnh sát , khối A năm 1998 – 1999) Giải Ta phải có điều kiện x > 0 x ≠ 1 3 1 6 5 log 3 −≥ − x x x = x x 1 log 3 (1) Trường hợp 0 < x < 1 (1) ⇔ xx x 1 6 5 ≤ − ⇔ ⏐5 - x⏐ ≤ 6 ⇔ x ≥ -1 ⇔ 0 < x < 1 (vì 0 < x ≠ 1) Trường hợp x > 1 (1) ⇔ ⏐x - 5⏐ ≥ 6 ⇔ ⎢ ⎣ ⎡ ≥ −≤ 11 1 x x Do đó ta có 0 < x < 1 hay x ≥ 11 Bài 13 Tìm tham số a sao cho 2 bất phương trình sau đây tương đương : ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ >+−+ >+−− 021 031 axa axa (Cao đẳng Hải quan năm 1998) Giải Xét a = -1. Hai bất phương trình đã cho sẽ có dạng –2x > -4 ; Ox > -3 . Hai bất phương trình ấy không tương đương 175 11) 34 1/31/4 4x 1 x 1 log log log log ; x1 4x1 −+ < +− 12) 2 1/7 1/7 log (3x 8) log (x 4) 0; 10 x −− + ≥ − 13) 55 log x 7 log (x 1);+> + 14) 22 1/log (x 1) 1/log x 1; − <+ 15) 1/2 1/2 1/log x 3 1/log (x 1);+≤ + 16) 2 33 3 log (x 2) log x 1 ; 2 ⎛⎞ −< − ⎜⎟ ⎝⎠ 17) 2 1/3 1/3 log (3 x ) log (4 x 2).−< − 25. 1) 22 log (3x 1) log (2 x);+< − 2) 77 log (7x 3) log (1 2x); − ≥− 3) 1/2 1/ 2 log(3x1)log(3x);−≤ − 4) 0,7 0,7 log (x2)log (3x4); − >− 5) 22 1/2 1/2 log (x 5) log (3x 1) ;+> − 6) 2 33 log (x 10x 24) log (6x 36);++≤ + 7) 2 1/2 1/2 log (x 3x 4) log (2x 2);−+< − 8) 2 1/3 1/3 log (3x 4) log (x 2);+> + 9) 2 33 log (x 4) log (x 2x 2); + <+− 10) 2 77 log (x 6) log x ;−≤ 11) 2 lg x 3x 4 lg x 1; − +> + 12) 23 0,50,(3) x1 x1 log log log log ; x1 x1 −+ < +− 13) 4 4 11 ; x1 log (x 3) log x2 > + + + 14) 0,4 0,4 x7 log log (5 x); 2x 3 + <− + 15) 2 0,1 0,1 1 36 x log (x 1) log 0; 2x ⎛⎞ −+−≥ ⎜⎟ − ⎝⎠ 16) 22 1/4 7 4 1/ 7 log log ( x 1 x ) log log ( x 1 x);++ < +− 17) 2 0,7 0,7 log (4 x ) log (6 x 3);−> − 18) 2 44 7 log (x 5) log x 3 . 3 ⎛⎞ −< − ⎜⎟ ⎝⎠ 26. 1) 0,5 3 log x log x 1;+> 2) 31/3 3 log x log x log x 6; + +< 3) 0,5 0,5 log (x 0,5) log x 1;++ ≥ 4) 1/9 3 12log (x 2) log(x3); − +> − [...]... 35 Cho bất phương trình : x 2 − (3 + m) x + 3m ≤ ( x − m) log 1 x 2 1 Chứng minh rằng với m = 2 thì bất phương trình vô nghiệm 2 Giải biện luận bất phương trình theo m (Đề Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội ) Giải 1-\ Với m = 2 , bất phương trìnhdạng : x 2 − 5x + 6 < ( x − 2) log 1 x 2 ⇔ (x – 2)( x – 3) < (x – 2) log 1 x ⇔ (x – 2)(x + log2 – 3) < 0 2 * Nếu x – 2 = 0 ⇔ x = 2 bất phương trình vô... Đặt t = ⎜ ⎟ > 0 thay vào bất phương trình ta được : ⎝2⎠ f(t) = t2 – 5mt + 3m > 0 ∀t > 0 12 ⎡ 2 ⎢(I ) : ∆ = 25m − 12m < 0 ⇔ 0 < m < 25 ⎢ ⇔ ⎢ ⎧ f (0 ) ≥ 0 ⎧3m ≥ 0 ⎢(II ) : ⎪ b 5m ⇔⎨ ⇔m=0 ⎨ ⎢ − = ≤0 ⎩5m ≤ 0 ⎪ 2a 2 ⎩ ⎣ 12 Hợp (1) (2) ta có : 0 < m < 25 154 Bài 45 ( 10 + 3) Giải bất phương trình x −3 x −1 < ( 10 − 3) x +1 x +3 (Đại học Giao thông vận tải , năm 1998) Giải Bất phương trình (1) ⇔ ( 10... 5 Bài 46 Cho bất phương trình : 9x – 2(m + 1).3x – 2m – 3 > 0 (1) , trong đó m là tham số thực Tìm tất cả giá trò của m để bất phương trình (1) luôn nghiệm đúng ∀x (Đại học Mỏ – Đòa chất , năm 1998) Giải x x 9 – 2(m + 1)3 – 2m – 3 > 0 ⇔ (3x)2 – 2(m + 1)3x – 2m – 3 > 0 ⇔ (3x + 1)(3x – 2m – 3) > 0 ⇔ 3x – 2m – 3 > 0 ⇔ 3x > 2m + 3 Do đó bất phương trình (1) luôn luôn đúng với mọi số x khi chỉ khi 2m... phương trình : 214x + 349x – 4x ≥ 0 (Đề Đại Học Giao Thông Vận Tải ) Giải x x ⎛ 4 ⎞ ⎛2⎞ Bất phương trình được viết thành : ⎜ ⎟ − 2⎜ ⎟ − 3 ≤ 0 ⎝ 49 ⎠ ⎝7⎠ x ⎛2⎞ Đặt ⎜ ⎟ = t > 0 , ta có bất phương trình : t2 –2t – 3 ≤ 0 ⎝7⎠ ⇔ − 1 ≤ t ≤ 3 ; vì t > 0 nên ta lấy : 0 < t ≤ 3 x ⎛2⎞ Chuyển về x , ta có 0 < ⎜ ⎟ ≤ 3 ⇔ x ≥ log 2 3 ⎝7⎠ 7 141 Bài 30 Cho bất phương trình : (m − 1)4 x + 2 x +1 + m + 1 > 0 (1) 1-\ Giải bất. .. Giải bất phương trình : log 2 ( x 2 − 9x + 8) < 2 log 2 (3 − x ) (Đề Đại Học Tổng Hợp (KHTN) TP HCM ) Giải ⎧1 ≠ (3 − x ) > 0 Điều kiện : ⎨ 2 ⇔ x 0 Khi đó : log2 (3 – x) > log2 (3 – 1) > 0 Phương trình đã cho ⇔ log 2 ( x 2 − 9x + 8 ) < 2log2 (3 – x) 1 ⇔ x2 –9x +8 < (3 – x)2 ⇔ x > − 3 1 Đáp số : − < x < 1 3 150 Bài 42 Cho bất phương trình (a + 2) x − a ≥ x + 1 (1) 1 Giải bất phương trình. .. luận : nghiệm bất phương trình là : 0 < x < ; 1 < x < ; x > 5 2 2 Bài 36 t2 −1 ≥ t – m (1) t+2 1 Giải bất phng trình khi m = 1 2 Tìm m để bất phng trình (1) nghiệm đúng với mọi t ≥ 0 (Đề Đại Học Quốc Gia TP HC M ) Giải 1 Bất phng trìnhdạng : t2 −1 ⎛ t +1 ⎞ ≥ t–1⇔ (t–1)⇔ ⎜ − 1⎟ ≥ 0 t+2 ⎝t+2 ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⇔ ( t − 1)⎜ ⎟ ≥ 0 ⇔ −2 0 ⎪m > 2 ⎩ ⎩ Bài 38 2 Giải bất phương trình : 5 (log5 x ) + x log5 x ≤ 10 (Đề Đại Học Mỏ Đòa Chất ) Giải Điều kiện : x > 0 2 2 Đặt y = x log 5 x ⇒ log5y = log 5 x ⇒ y = 5 log5 x 2 2 Vậy bất phương trìnhdạng : 5 log5 x + 5 log 5 x ≤ 10 2 2 ⇔ 5 log5 x ≤ 5 ⇔ log 5 x ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ log 5 x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x≤ 5 5 Bài 39 Giải bất phương trình : 2 < x x 32 +1 (Đề Đại Học Ngoại Thương) Giải x x x ⎛ 3⎞ ⎟... y + 1 = 0 ⇔ ⎢ y = 2 + 1 ⇔ ⎡m = 2 ⎣ ⎣ y = 2 − 1 ⎢ m = −2 ⇔ y+ 1 =2 2 y 151 Bài 43 4 4 a) Giải bất phương trình : 8.3 x + x + 9 x +1 ≥ 9 x (1) b) Tìm các giá trò của m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình trên cũng là nghiệm của bất phương trình sau : 1 + log5(x2 + 1) + log 1 (x2 + 4x + 2m) > 0 (2) 5 (Đại học tài chính kế toán Hà Nội , năm 1998 – 1999) Giải a) Điều kiện x ≥ 0 x +4 x Ta có : (1) ⇔... [1 , 4] g(x) = 4x2 – 4x + (5 – 2m) có g’(x) = 8x – 4 > 0 ∀x ∈ [1 , 4] Nên f(x) g(x) tăng ngặt trên [1 , 4] ⎧ f (1) = 5 + 2m ≥ 0 5 5 ⇔ − ≤m≤ 2 2 ⎩ g (1) = 5 − 2m ≥ 0 ⇒ (4) ⇔ ⎨ ⎡ 5 5⎤ ; , mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (3) ⎣ 2 2⎥ ⎦ Vậy với m ∈ ⎢− 153 Bài 45 Cho bất phương trình 9x – 5m.6x + 3m.4x > 0 a) Giải bất phương trình trên khi m = 2 b) Với giá trò nào của m thì bất phương trình nghiệm... x − 2) log 2 4( x − 2 ) = 2 α ( x − 2) 3 Cho phương trình : 1 Giải phương trình với α = 2 2 Xác đònh α để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn : 5 5 ≤ x 1 ≤ 1 ≤ x2 ≤1 2 2 (Đề Đại Học Kiến Trúc Hà N ội ) Giải log 2 4 ( x − 2 ) α 3 ( x − 2) = 2 ( x − 2) (1) 1 Khi α = 2 : (1) ⇔ ( x − 2) log 2 4( x − 2 ) = 4(x – 2)3 x – 2 = 1 hay x = 3 không phải là nghiệm nên lấy log2 hai vế được:

Ngày đăng: 05/04/2014, 00:51

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan