Đang tải... (xem toàn văn)
Một số vấn đề về luỹ thừa của các iđêan đơn thức
[...]... với mọi n 0 Trong mỗi trường hợp, hệ số đầu của mỗi hàm tuyến tính tương ứng là một trong các số d1 , , ds 15 Chương 3 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của tổng các luỹ thừa các iđêan đơn thức Khác với các luỹ thừa của một iđêan, tổng các luỹ thừa của các iđêan phức tạp hơn nhiều Chẳng hạn ngay cả trường hợp đơn giản là các iđêan đều là đơn thức thì chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford không... iđêan đơn thức I = (X1 X2 , X1 X3 , X2 X3 ) R = K[X1 , X2 , X3 ] thoả mãn các điều kiện của Bổ đề 1.3.1, ta có m Ass(R/I) Tuy nhiên điều kiện cần này / "gần như" đủ Cụ thể, Bổ đề 1.3.2 Cho iđêan đơn thức nhất của các đơn thức trong tập chỉ số I của vành đa thức R Gọi d(I) là bậc lớn G(I) Đặt = r2r1 [d(I)]r2 Nếu có một i sao cho ai > 0, thì m Ass(R/I n ) với mọi n Sử dụng các Bổ đề 1.2.8, Bổ đề. .. dụ 3.5.8) Tuy nhiên đối với các iđêan đơn thức, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của tổng các luỹ thừa của các iđêan bị chặn bởi một hàm tuyến tính là một hệ quả dễ dàng của kết quả chính trong [9] Vì vậy, dáng điệu tiệm cận tựa tuyến tính của các bất biến ai và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford (Định lý 3.3.2 và Định lý 3.3.4) là một tính chất tối ưu có thể chờ đợi Các kết này chưa được công... bảo của thầy về tri thức toán học, về phương pháp nghiên cứu, về cách thức ứng xử của một người làm toán đã làm thay đổi dần dần trong tôi quan niệm về toán học và cách thức sống của một con người theo đuổi khoa học Tác giả xin trân trọng cảm ơn Viện Toán học, các phòng chức năng, Trung tâm Đào tạo sau đại học của Viện Toán học đã tạo điều kiện tốt nhất giúp tôi học tập, nghiên cứu và tham gia một cách... tính của n khi n đủ lớn Hơn nữa, nếu 1 = ã ã ã = s = 1 và trong vế phải của đẳng thức trên, tử số không chia hết cho mẫu số thì deg Pn (x) là hàm tuyến tính của n khi n đủ lớn và hệ số đầu của hàm này là một trong các hệ số i 14 2.3 Tính tuyến tính tiệm cận của ri(I n M ) Kết quả chính của chương này là định lý sau đây I Định lý 2.3.1 Cho chuẩn hữu hạn sinh là một iđêan thuần nhất của một đại số phân... đủ lớn Nón lồi đa diện Newton cho hệ iđêan đơn thức n n ad (R/I + I1 + ã ã ã + Ip ) Định lý 3.3.2 nói về sự tồn tại của giới hạn limn n Mục đích chính của phần còn lại của luận án là phát triển một kỹ thuật để tính giới hạn đó khi d = 0 Mục này sẽ đưa vào một công cụ tổ hợp giúp chúng ta giải quyết vấn đề đó Cho hệ iđêan đơn thức I1 , , Ip của vành đa thức là iđêan R có tổng I1 + ã ã ã + Ip m-nguyên... định r 4 và cho d r Trong Mệnh đề 1.4.1, ta có n(I) = O([d(I)]r2 ) Điều này chứng tỏ chặn n(I) trong Định lý 1.3.4 gần với giá trị đúng của n(I) 11 Chương 2 Chỉ số chính quy của hàm Hilbert của luỹ thừa các iđêan Mục đích của chương này là chứng minh tính tuyến tính tiệm cận của chỉ số chính quy của hàm Hilbert Kết quả trình bày ở đây chủ yếu là trong [19] Chỉ số chính quy của hàm Hilbert 2.1 Trong chương... [11] Các mục còn lại chúng tôi sẽ phát triển một kỹ thuật để tính hệ số đầu của hàm tựa tuyến tính n n reg(I1 + + Ip ) trong trường hợp chiều không Các kết quả này được trình bày trong [10] Cho R = K[X1 , , Xr ] là vành đa thức r biến trên trường K , và m = (X1 , , Xr ) là iđêan thuần nhất cực đại của R 16 3.1 Chuỗi Hilbert-Poincare của hệ các iđêan đơn thức Trong mục này, chúng ta có bổ đề. .. mọi số nguyên 0 và với mọi iđêan đơn thức I R, ta i có ai (R/I) = max{a(M(F, , I)) |F | | (F, ) Bi (I)} 3.3 Dáng điệu tiệm cận của các bất biến n n ai (R/I + I1 + ã ã ã + Ip ) Trước hết chúng ta có một bổ đề kỹ thuật sau Bổ đề 3.3.1 Cho hệ iđêan đơn thức K[X1 , , Xr ] trên trường n n I + I1 + ã ã ã + Ip K I, I1 , , Ip của vành đa thức Với mỗi số nguyên Cho số nguyên i 0 và cặp n 0, đặt R =... đề 1.2.8, Bổ đề 1.2.12, Bổ đề 1.3.1, Bổ đề 1.3.2 và bằng quy nạp theo r , ta nhận được kết quả chính của chương này: Định lý 1.3.4 Cho iđêan đơn thức I của vành đa thức 1 n0 := r2r1 [d(I)]r2 Khi đó với mọi 1.4 R Đặt nếu r 2, nếu r > 2 n0 , ta có Ass(R/I n ) = Ass(R/I n0 ) n Tính tối ưu của chặn trên Cho iđêan đơn thức I của R Từ Định lý 1.3.4, ta có n(I) r2r1 d(I)r2 Các ví dụ sau đây chỉ ra rằng,