ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Câu 2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (x + 1)e TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH − x2 TP HCM — 2013 / 22 Câu 2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = (x + 1)e − x2 Tập xác định D = R x2 x2 x2 y = 2x.e − + (x + 1)(−x)e − = e − x(1 − x 2)  x =0 y = ⇔ x(1 − x 2) = ⇔  x = x = −1 x2 y = e − (−x 2(1 − x 2) + − 3x 2) = − x2 e (x − 4x + 1) √ y =0⇔x =± 2− 3∨x =± TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2+ √ TP HCM — 2013 / 22 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Khơng có Tiệm cận đứng Tiệm cận ngang y = lim (x + 1)e x→∞ − x2 = lim x→∞ x2 + x2 =0 e Khơng có tiệm cận xiên có tiệm cận ngang phía TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Câu Tính thể tích vật thể tạo quay miền D giới hạn y = −1, y = x + 2x, x = 0, x = quanh trục Oy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Câu Tính thể tích vật thể tạo quay miền D giới hạn y = −1, y = x + 2x, x = 0, x = quanh trục Oy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Thể tích vật thể tạo quay miền D giới hạn y = −1, y = x + 2x, x = 0, x = quanh trục Oy x[x + 2x − (−1)]dx = VOy = 2π x3 x2 x4 +2 + = 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH = 171π TP HCM — 2013 / 22 Câu +∞ dx √ (x m − 1) 2x − 5x + 2 Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m = Cho tích phân I = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 Câu Giải phương trình arcsin x + x xy = y − − x2 − x2 y − 2y − 8y = 3e 4x TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 11 / 22 Câu Giải phương trình arcsin x + x xy = y − − x2 − x2 y − 2y − 8y = 3e 4x Đây phương trình tuyến tính cấp với x arcsin x + x P(x) = , Q(x) = Nghiệm x −1 − x2 phương trình cho y = e− P(x)dx TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) e P(x)dx Q(x)dx + C ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 11 / 22 y =e − x dx x −1 e =√ − x2 arcsin x + x dx + C − x2 |x − 1|1/2 − x2 arcsin xd(arcsin x) − =√ − x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) arcsin x + x dx + C − x2 arcsin x + x √ dx + C − x2 = |x 2−1|−1/2 =√ x dx x −1 (1 − x )−1/2 d(1 − x ) + C arcsin2 x √ − − x2 + C ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 12 / 22 Giải phương trình y − 2y − 8y = 3e 4x Phương trình y − 2y − 8y = Phương trình đặc trưng k − 2k − = ⇔ k1 = −2, k2 = Nghiệm ytn = C1e −2x + C2e 4x Nghiệm riêng phương trình không y − 2y − 8y = 3e 4x có dạng yr = x s e 4x A Vì α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng nên s = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 13 / 22 −8 yr = Axe 4x Ae 4x + 4Axe 4x −2 yr = yr = 4Ae 4x + 4Ae 4x + 16Axe 4x yr −2yr −8yr = 6Ae 4x = 3e 4x 1 ⇒ yr = xe 4x 2 Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cho ytq = ytn + yr = C1e −2x + C2e 4x + xe 4x ⇒A= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 14 / 22 Câu Cách Phương pháp khử Giải hệ phương trình x (t) = 3x − 3y + 4e t + 12t (1) y (t) = 4x − 5y + 8e t + 8t (2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 15 / 22 Câu Cách Phương pháp khử Giải hệ phương trình x (t) = 3x − 3y + 4e t + 12t (1) y (t) = 4x − 5y + 8e t + 8t (2) Từ (1) ta có 3x − x + 4e t + 12t 3x − x + 4e t + 12 y= ⇒y = 3 Thay y , y vào phương trình (2) ta 3x − x + 4e t + 12 3x − x + 4e t + 12t = 4x−5 +8e t +8t 3 ⇒ x + 2x − 3x = 36t + 12 (3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 15 / 22 Phương trình đặc trưng k + 2k − = ⇒ k1 = 1, k2 = −3 Nghiệm phương trình (3) xtn = C1e t + C2e −3t Tìm nghiệm riêng (3) xr = At + B ⇒ (xr ) = A, (xr ) = ⇒ A = −12, B = −12 Vậy xr = −12t − 12 Nghiệm tổng quát x = C1e t + C2e −3t − 12t − 12 ⇒ y = 3x − x + 4e t + 12t = C1e t + C2e −3t − 8t − 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 16 / 22 Cách Phương pháp biến thiên số TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 17 / 22 Cách Phương pháp biến thiên số x (t) = 3x − 3y y (t) = 4x − 5y Phương trình đặc trưng hệ Hệ tương ứng − λ −3 = ⇔ λ2 + 2λ − = −5 − λ ⇔ λ1 = 1, λ2 = −3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 17 / 22 Ứng với λ1 = ta xét hệ ⇒ P1 = 2p1 − 3p2 = 4p1 − 6p2 = Ứng với λ2 = −3 ta xét hệ ⇒ P2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 6p1 − 3p2 = 4p1 − 2p2 = ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 18 / 22 Nghiệm hệ X1(t) = e λ1t P1 = e t , X2(t) = e λ2t P2 = e −3t Vậy nghiệm tổng quát hệ x y X0(t) = = C1 e t = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 + C2 e −3t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 3C1 e t + C2 e −3t 2C1 e t + 2C2 e −3t TP HCM — 2013 19 / 22 Nghiệm hệ khơng có dạng x = 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t ⇒ y = 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t x y = 3C1 (t)e t + 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t − 3C2 (t)e −3t = 2C1 (t)e t + 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t − 6C2 (t)e −3t Thay vào hệ phương trình cho ta (1) ⇒ 3C1 (t)e t + 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t − 3C2 (t)e −3t = 3(3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t ) − 3(2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t ) + 4e t + 12t ⇒ 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t = 4e t + 12t (3) (2) ⇒ 2C1 (t)e t + 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t − 6C2 (t)e −3t = 4(3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t ) − 5(2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t ) + 8e t + 8t ⇒ 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t = 8e t + 8t TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH (4) TP HCM — 2013 20 / 22 Giải (3) (4) ta C1 (t) = 4te −t ⇒ C2 (t) = 4e 4t Vậy  x =   = y =   = C1 (t) = −4te −t − 4e −t + C1 C2 (t) = e 4t + C2 3C1 (t)e t + C2 (t)e −3t = 3(−4te −t − 4e −t + C1 )e t + (e 4t + C2 )e −3t 2C1 (t)e t + 2C2 (t)e −3t = 2(−4te −t − 4e −t + C1 )e t + 2(e 4t + C2 )e −3t Nghiệm hệ phương trình cho x(t) = (3C1 + 1)e t + C2 e −3t − 12t − 12 y (t) = (2C1 + 2)e t + 2C2 e −3t − 8t − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 21 / 22 THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 22 / 22 ... x→∞ x2 + x2 =0 e Không có tiệm cận xiên có tiệm cận ngang phía TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 / 22 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013... TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH = 171π TP HCM — 2013 / 22 Câu +∞ dx √ (x m − 1) 2x − 5x + 2 Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m = Cho tích phân I = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ƠN TẬP CUỐI... −3t − 8t − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 21 / 22 THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH TP HCM — 2013 22 / 22