các dạng bài tập tích phân

4 1.4K 22
các dạng bài tập tích phân

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN 1 Tính tích phân 1.1 Cách tính tích phân 1. Tích phân phân thức đơn giản loại 2:  mx + n (ax 2 + bx + c) k dx. Biến đổi để đưa về thành tổng 2 tích phân dạng  du u k ,  du (u 2 + a 2 ) k với k = 1, 2 2. Tích phân hàm hữu tỉ : f(x) = P n (x) Q m (x) : Phân tích 5 f (x) =  mx + n (ax + b) k +  mx + n (ax 2 + bx + c) k , k = 1, 2 3. Tích phân hàm vô tỉ dạng : f(x, n  ax + b cx + d ) ; đặt t = n  ax + b cx + d 4. Tích phân hàm vô tỉ dạng : f(x, √ ax 2 + bx + c). Ta biến đổi : ax 2 + bx+c =  √ a  x + b 2a  2 + 4ac − b 2 4a tức là đưa √ ax 2 + bx + c thành 1 trong 3 dạng √ u 2 + a 2 , √ u 2 − a 2 , √ a 2 − u 2 Sau đó đặt u = a.tant, u = a.sint, u = a cost hoặc sử dụng trực tiếp các tích phân dạng  du √ u 2 ± a 2 ,  du √ a 2 − u 2 ,  √ u 2 − a 2 du 5. Dạng đặc biệt 1: f (x) = mx + n √ ax 2 + bx + c Tính như tính tích phân phân thức đơn giản loại 2, đưa về thành tổng 2 tp dạng  du √ u và  du √ u 2 ± a 2 , du √ a 2 − u 2 6. Dạng đặc biệt 2: f(x) = c (mx + n) √ ax 2 + bx + c Đặt mx + n = 1 t để đưa về dạng trên. 7. Tích phân Trebusev: f(x) = x m (a + bx n ) p , với m, n, p là các số hữu tỉ với 3 trường hợp : a. p ∈ Z : đặt x = t s với s = BCNN(m, n) b. m + 1 n ∈ Z : đặt a + bx n = t s với s là mẫu số của p c. m + 1 n + p ∈ Z : đặt ax −n + b = t s với s là mẫu số của p 1.2 Tính các tích phân sau: 1. I 1 =  e √ x dx 2. I 2 =  arcsinx x 2 dx 1 3. I 3 =  cosx e x dx 4. I 4 =  arcsin √ x √ 1 − x 5. I 5 =  dx 2x 2 − 4x + 5 6. I 6 =  xdx x 4 + 6x 2 + 13 7. I 7 =  x 4 + 3x 3 + 3x 2 − 5 (x + 1) 3 dx 8. I 8 =  3x 2 + 2x − 1 x 3 − 3x + 2 dx 9. I 9 =  dx x(x 6 + 1) 10. I 10 =  dx 4cosx + 3sinx + 5 11. I 11 =  dx sin 4 xcos 2 x 12. I 12 =  dx √ cosxsin 3 x 13. I 13 =  dx 4sin 2 x − 7cos 2 x 14. I 14 =  1 x  x − 1 x + 1 dx 15. I 15 =  x − 1 √ 1 − 4x − x 2 dx 16. I 16 =  x √ x 2 − 4dx 17. I 17 =  dx (x 2 + 9) √ 16 − x 2 18. I 18 =  dx √ x 4 √ x+ 19. I 19 = ln6  ln2 e x √ e x − 2) e x + 2 dx 20. I 20 = 2 √ 3  2 √ x 2 + 4 x 2 dx 2 2 Ứng dụng hình học của tích phân 2.1 Công thức 1. Diện tích miền D giới hạn bởi f 1 (x) ≤ y ≤ f 2 (x), a ≤ x ≤ b được tính bởi S(D) = b  a (f 2 (x) − f 1 (x)) dx 2. Thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay hình thang cong 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b quanh a. Trục Ox: V x = π b  a f 2 (x)dx b. Trục Oy: V y = 2π b  a xf(x)dx 3. Diện tích mặt tròn xoay khi quay cung AB : y = f(x), a ≤ x ≤ b quanh trục Ox là : S = 2π b  a f(x)  1 + f  2 (x)dx Khi quay quanh trục Oy: ta đổi vai trò x, y cho nhau 4. Độ dài cung AB : y = f(x), a ≤ x ≤ b là : L = b  a  1 + f  2 (x)dx 2.2 Bài tập 1. Tính diện tích các miền phẳng sau: D 1 : y 2 = 2x, x 2 = 2y D 2 : x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2x phần trong hình tròn D 3 : y = ln(x + 2), y = 2lnx, y = 0 D 4 : (y − 2) 2 = x − 1, y = 0, và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có tung độ là 3 D 5 : y = e x , y = e −x , x = 1 D 6 : y = 1 1 + x 2 , y = x 2 2 2. Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D quanh trục tương ứng: V x : y = 2x − x 2 , y = 0, 0 ≤ x ≤ 2 V x : y 2 = (x − 1) 3 , x = 2 V y : y = x 2 2 + 2x + 2, y = 2 V : y = x 2 , y = 4 quay quanh đường thẳng x = 2 3. Tính diện tích mặt cong tạo khi quay miền D quanh trục tương ứng: S x , S y : x 2 4 + y 2 9 ≤ 1 S x : y = x 2 , y = x S x : y = tanx, 0 ≤ x ≤ π 4 3 4. Tính độ dài cung: y = x 2 4 − lnx 2 , 1 ≤ x ≤ e y = √ x 3 , 0 ≤ x ≤ 4 y = lncosx, 0 ≤ x ≤ a, a ≤ π 2 4 . BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN 1 Tính tích phân 1.1 Cách tính tích phân 1. Tích phân phân thức đơn giản loại 2:  mx + n (ax 2 + bx + c) k dx. Biến đổi để đưa về thành tổng 2 tích phân dạng  du u k ,  du (u 2 +. = a cost hoặc sử dụng trực tiếp các tích phân dạng  du √ u 2 ± a 2 ,  du √ a 2 − u 2 ,  √ u 2 − a 2 du 5. Dạng đặc biệt 1: f (x) = mx + n √ ax 2 + bx + c Tính như tính tích phân phân thức đơn giản loại. a 2 ) k với k = 1, 2 2. Tích phân hàm hữu tỉ : f(x) = P n (x) Q m (x) : Phân tích 5 f (x) =  mx + n (ax + b) k +  mx + n (ax 2 + bx + c) k , k = 1, 2 3. Tích phân hàm vô tỉ dạng : f(x, n  ax +

Ngày đăng: 02/04/2014, 15:38

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan