bài giảng phương trình vi phân cấp 2

44 4K 19
bài giảng phương trình vi phân cấp 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 BÀI TOÁN CAUCHY Tìm nghiệm của phương trình F(x, y, y’, y”) = 0 (1) hoặc: y” = f(x, y, y’) (2) thỏa điều kiện ban đầu : y(x 0 ) = y 0 y’(x 0 ) = y 1 Lưu ý: nghiệm tổng quát của ptvp cấp 22 hằng số tự do, cần 2 điều kiện để tìm 2 hằng số này. Ví dụ 3 1 (1) ' 3 x y C⇔ = + 4 1 2 12 x y C x C⇔ = + + Tìm nghiệm bài toán: y” = x 2 (1) y(0) = 1, y’(0) = -2 (2) (2), (3) ⇒ C 1 = -2 (2), (4) ⇒ C 2 = 1 (3) (4) Vậy nghiệm bài toán là: 4 2 1 12 x y x= − + MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢC LOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ → đưa về ptvp cấp 1 theo p, x LOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = 0 Cách làm: đặt p = y’ → đưa về pt cấp 1 theo hàm p và biến y LOẠI 3: F thỏa F(x,ty,ty’,ty”) = t n F(x,y,y’,y”) Cách làm: đặt y’ = yz → đưa về pt theo x, z Ví dụ 'y p = ' 2 ( ' '( )) p p p p x= = 1 2 dp dx p x C p = ⇔ = + 2 1 ' ( )y x C⇔ = + 3 1 2 1 ( ) 3 y x C C⇔ = + + 1/ " 2 'y y = Pt không chứa y, đặt Pt trở thành: Với p ≠ 0 p = 0 ⇔ y’ = 0 ⇔ y = C 2 2 2 2 / (1 ) " ( 1)( ')y yy y y+ = − Pt không chứa x Đặt y’ = p (xem y là biến) ' ' " ' , ( )p'=p'(y)= = × = × = × dy dy dy dp y p p p dx dy dx dy Pt trở thành: 2 2 2 (1 ) ' ( 1)y yp p y p+ = − 2 2 2 1 2 1 (1 ) 1   − ⇒ = = −  ÷ + +   dp y y dy dy p y y y y 2 1 (1 )⇒ = +py C y 2 1 (1 )⇒ = +py C y 2 1 ' (1 )⇒ = +y y C y 1 2 1 ⇒ = + ydy C dx y 2 1 2 1 ln(1 ) 2 ⇒ + = +y C x C x 2 yy” – (y – xy’) 2 = 0 x 2 ty ty” – (ty – x ty’) 2 = t 2 [x 2 yy” – (y – xy’) 2 Đặt y’ = yz ⇒ y” = y’z + yz’ = yz 2 + yz’ Pt trở thành: 2 2 2 ( ') ( )x y yz yz y xyz+ = − 2 2 2 ( ') (1 )⇒ + = −x z z x z (Tuyến tính ) 2 ' 2 1⇒ + =x z xz 2 ' 2 1+ =x z xz 1 2 1 ⇒ = + C z x x 1 2 ' 1 ⇒ = + y C y x x 1 2 − ⇒ = C x y C xe PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) (1) p(x), q(x), f(x) liên tục y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 Phương trình thuần nhất Cấu trúc nghiệm pt không thuần nhất: • y 0 là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất, • y r là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất y = y 0 + y r [...]... = Ax2 + Bx ⇒ y’r = 2Ax + B, yr” = 2A Thay yr vào (2) : 2A + 2Ax + B = x – 2 , ∀x 2A + 2Ax + B = x – 2 , ∀x ⇔ A = ½, B = – 3 1 2 yr = x − 3 x 2 Nghiệm TQ của pt đã cho: y = C1 + C2e −x 1 2 + x − 3x 2 (3) y” – y’ – 2y = (x – 2) e-x Ptđt: k2 – k – 2 = 0 ⇔ k = 2, k = −1 y0 = C1e2x + C2e–x f(x)=(x – 2) e-x α = – 1, β = 0, s = 1 ⇒ yr = x1 (Ax + B)e-x = (Ax2 + Bx)e-x ( ) 2 yr = Ax 2 + Bx e − x −1 ′ = ( 2Ax... + 2C ) cos x + ( − 2A − Cx − D ) sin x − −1 yr = (Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx 0 ′ yr = ( A + Cx + D) cos x + ( − Ax − B +C ) sin x 1 ′′ yr = (− Ax − B +2C ) cos x + ( −2A −Cx − D) sin x Thay yr vào (3): y′′ − y = ( − 2 Ax − 2 B + 2C ) cos x + ( − 2Cx − 2 A − 2 D ) sin x = x sin x (– 2Ax – 2B + 2C) cosx + (– 2Cx – 2A - 2D)sinx = xsinx ⇔ ⇔ – 2Ax – 2B + 2C = 0 – 2Cx – 2A − 2D = x ⇔ A = 0, B = C C = −1 /2, ... dx dụ Giải pt: x2y” – xy’ + y = 0, biết pt có 1 nghiệm y1 = x p(x) = – 1/x y 2 = y1 ∫ y2 = x ∫ e − ∫ p ( x )dx 2 y1 − dx −∫ e x y0 = C1x + C2xln|x| x 2 dx x dx = x ∫ 2 dx = x ln | x | x Giải pt: (1+x2)y” + 2xy’ – 2y = 4x2 + 2 (1) biết phương trình2 nghiệm y = x2 và y = x + x2 Lưu ý: pt đã cho là pt không thuần nhất y = x2 và y = x + x2 là 2 nghiệm của (1) ⇒ y1 = (x + x2) – x2 là nghiệm của pt... x ⇒ y0 = C1e + C2 xe x 3 y” – 2y’ + 5y = 0, Ptđt: k2 – 2k + 5 = 0 1x ⇔ k = 1 ± 2i 1x y1 = e cos 2 x, y2 = e sin 2 x x x ⇒ y0 = C1e cos 2 x + C2e sin 2 x Tìm nghiệm riêng yr của pt y” + ay’ + by = f(x) Biến thiên bằng số Trong y0, xem C1 = C1(x), C2 = C2(x), giải hệ ′ ′ C1 ( x ) y1 + C2 ( x) y2 = 0  ′ ′ ′ ′ C1 ( x ) y1 + C2 ( x) y2 = f ( x ) yr = C1(x)y1 + C2(x)y2 dụ y” + 3y’ + 2y = sin(ex) Pt... : y” + 3y’ + 2y = 0 −x y1 = e , y2 = e 2 x (k2 + 3k + 2 = 0) ⇒ y0 = C1e −x Xem C1 và C2 là các hàm theo x, giải hệ ′ ′ C1 ( x) y1 + C2 ( x) y2 = 0  ′ ′ ′ ′ C1 ( x) y1 + C2 ( x) y2 = f ( x) + C2 e 2 x C1 ( x)e − x + C2 ( x)e 2 x = 0 ′  ′  ′ ( x)(−e − x ) + C2 ( x)( −2e 2 x ) = sin(e x ) ′ C1  x x 2x x ′ ′ ⇔ C1 ( x) = e sin(e ), C2 ( x) = −e sin(e ) Chọn: C1(x) = −cos(ex), C2(x) = ex cos(ex)... nhất Giải phương trình đặc trưng: k2 + ak + b = 0  k1, k2 là nghiệm thực phân biệt: y1 = e k1x , y2 = e  k là nghiệm kép:  k = α ± iβ (phức): k2 x kx y1 = e , y 2 = xe αx y1 = e kx αx cos β x , y 2 = e sin β x y0 = C1y1 + C2y2 dụ 1 y” – 3y’ – 4y = 0, Ptđt: k2 – 3k – 4 = 0 −x y1 = e , y2 = e 4x ⇔ k = −1, k = 4 ⇒ y0 = C1e −x + C2 e 4x 2 y” – 2y’ + y = 0, Ptđt: k2 – 2k + 1 = 0 x y1 = e , y2 = xe x... x ⇒ y2 = x ∫ e −∫ 2x 1+ x x 2 2 dx dx dx = x ∫ 2 2 x (1 + x ) ⇒ y2 = x∫ e −∫ 2x 1+ x x 2 2 dx dx dx = x ∫ 2 2 x (1 + x )  − arctan x − 1  = − x arctan x − 1 = x ÷ x  y0 = C1x + C2(xarctanx + 1) (NTQ của pt thuần nhất) Nghiệm TQ của (1) y = C1x + C2(xarctanx + 1) + x2 PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG y” + ay’ + by = f(x) Bước 1: (a, b là hằng số ) Giải pt thuần nhất : y” + ay’ + by = 0 Bước 2: tìm... x ) ( − sin x ) + C2 ( x ) cos x = x 2 + x  ′  ( ) C1 ( x ) = − x 2 + x sin x ′  ⇔ 2 ′ C2 ( x ) = x + x cos x  ( ( ( ) ) ) C1 ( x ) = x 2 + x − 2 cos x − ( 2 x + 1) sin x  ⇒ 2 C2 ( x ) = x + x − 2 sin x + ( 2 x + 1) cos x  yr = C1 ( x ) cos x + C2 ( x ) sin x = x + x − 2 2 y = y0 + yr (2) y” + y’ = x – 2 Ptđt: k2+k=0 ⇔ k = 0, k =–1 f(x) y0 = C1e0x + C2e–x α = 0, β = 0, s = 1 α + iβ = 0:... 1, C = 2 yr = x2 + x – 2 ⇒ y = y0 + yr = C1cos x + C2sin x + x2 + x – 2 Sử dụng pp biến thiên hằng số tìm yr y” + y = x2 + x y0 = C1cos x + C2sin x yr = C1 ( x ) cos x + C2 ( x ) sin x C1 ( x ) , C2 ( x ) thỏa mãn hệ pt: ′ C1 ( x ) cos x + C2 ( x ) sin x = 0  ′  ′ C1 ( x ) ( − sin x ) + C2 ( x ) cos x = x 2 + x  ′  ′ C1 ( x ) cos x + C2 ( x ) sin x = 0  ′  ′ C1 ( x ) ( − sin x ) + C2 ( x )... (p = 1, 2) ( Rs ( x) cos β x + Ts ( x)sin β x ) Các đa thức Rs, Ts được xác định khi thay yr vào pt không thuần nhất VÍ DỤ (1) y” + y = x2 + x f(x) α = 0, β = 0, s = 2 ⇒ yr = Ax2 + Bx + C Ptđt: k2 + 1 = 0 ⇔ k = ± i y0 = C1cos x + C2sin x ⇒ α + iβ = 0: không là nghiệm ptđt ⇒ y’r = 2Ax + B, yr” = 2A Thay yr vào (1): 2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, ∀x 2A + Ax2 + Bx + C = x2 + x, ∀x ⇔ A = 1, B = 1, 2A + C . C 1 x + C 2 xln|x| Giải pt: (1+x 2 )y” + 2xy’ – 2y = 4x 2 + 2 (1) biết phương trình có 2 nghiệm y = x 2 và y = x + x 2 y = x 2 và y = x + x 2 là 2 nghiệm của (1) ⇒ y 1 = (x + x 2 ) – x 2 là. dx y 2 1 2 1 ln(1 ) 2 ⇒ + = +y C x C x 2 yy” – (y – xy’) 2 = 0 x 2 ty ty” – (ty – x ty’) 2 = t 2 [x 2 yy” – (y – xy’) 2 Đặt y’ = yz ⇒ y” = y’z + yz’ = yz 2 + yz’ Pt trở thành: 2 2 2 ( '). − 2 2 2 ( ') (1 )⇒ + = −x z z x z (Tuyến tính ) 2 ' 2 1⇒ + =x z xz 2 ' 2 1+ =x z xz 1 2 1 ⇒ = + C z x x 1 2 ' 1 ⇒ = + y C y x x 1 2 − ⇒ = C x y C xe PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 y”

Ngày đăng: 02/04/2014, 15:34

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

  • BÀI TOÁN CAUCHY

  • Ví dụ

  • MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢC

  • Slide 5

  • Slide 6

  • Slide 7

  • Slide 8

  • Slide 9

  • PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2

  • Nguyên lý chồng chất nghiệm

  • Giải phương trình thuần nhất

  • Slide 13

  • Slide 14

  • Slide 15

  • PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2 HỆ SỐ HẰNG

  • Cách xác định nghiệm tổng quát của pt thuần nhất

  • Slide 18

  • Slide 19

  • Tìm nghiệm riêng yr của pt y” + ay’ + by = f(x)

  • Slide 21

  • Slide 22

  • Slide 23

  • PP hệ số bất định tìm yr

  • Slide 25

  • VÍ DỤ

  • Slide 27

  • Slide 28

  • Slide 29

  • Slide 30

  • Slide 31

  • Slide 32

  • Slide 33

  • Slide 34

  • Slide 35

  • Slide 36

  • Slide 37

  • Slide 38

  • PHƯƠNG TRÌNH EURLER

  • Slide 40

  • Slide 41

  • Slide 42

  • Slide 43

  • Slide 44

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan