1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I ( 2,0 điểm). Cho hàm số 4 2 2 4 y x mx = − + − có đồ thị ( ) m C . ( m là tham số thực) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị ( ) m C nằm trên các trục tọa độ. Câu II (2,0 điểm). 1. Giải phương trình: ( ) sin tan2 3 sin 3 tan2 3 3 x x x x+ − = . 2. Giải bất phương trình: 1 3 3 < − + + x x x . Câu III (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 3 8 1 0 8 3 13 0 x y y x x x y y  + − + − =   + + + − =   Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên kề nhau có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'D'. Câu V (1,0 điểm). Cho ba số thực dương , , x y z thay đổ i. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c: 2 2 2 2 2 2 3 3 3 x y z P x y z yz zx xy       = + + + + +             . II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c t ọ a độ Oxy, cho đườ ng th ẳ ng (d) có ph ươ ng trình 0 x y − = và đ i ể m M(2;1). L ậ p ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ( ) ∆ c ắ t tr ụ c hoành t ạ i A, c ắ t đườ ng th ẳ ng (d) t ạ i B sao cho tam giác AMB vuông cân t ạ i M. Câu VII.a (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c t ọ a độ Oxy, cho đườ ng tròn (C 1 ) có ph ươ ng trình 2 2 25 x y + = , đ i ể m M(1; -2). Đườ ng tròn (C 2 ) có bán kính b ằ ng 2 10 . Tìm t ọ a độ tâm c ủ a (C 2 ) sao cho (C 2 ) c ắ t (C 1 ) theo m ộ t dây cung qua M có độ dài nh ỏ nh ấ t. Câu VIII.a (1,0 điểm). Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình: 3 2 2 2 12 1 3 81. 2 x x x C A A x − ≥ − ( * x N ∈ ) B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c t ọ a độ Oxy, cho đ i ể m P(-7;8) và hai đườ ng th ẳ ng ( ) 1 :2 5 3 0, d x y + + = ( ) 2 :5 2 7 0 d x y − − = c ắ t nhau t ạ i A. Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng (d) đ i qua P và t ạ o v ớ i 1 2 ( ),( ) d d m ộ t tam giác cân t ạ i A và có di ệ n tích b ằ ng 29 2 . Câu VII.b (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ tr ụ c to ạ độ Oxy, cho đườ ng th ẳ ng (d) có ph ươ ng trình 2 0 x y + + = và đường tròn (C 1 ) có phương trình: 2 2 4 2 4 0 x y x y + − + + = . Đường tròn (C 2 ) có tâm thuộc ( d), (C 2 ) tiếp xúc ngoài với (C 1 ) và có bán kính gấp đôi bán kính của (C 1 ). Viết phương trình của đường tròn (C 2 ). Câu VIII.b (1,0 điểm). Cho hàm số 2 3 1 x mx y x + + = + .Tìm t ấ t c ả các giá tr ị c ủ a m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u đồ ng th ờ i hai đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u c ủ a đồ th ị n ằ m v ề hai phía c ủ a đườ ng th ẳ ng (d): 2x+y- 1=0. Hết Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên Thí sinh: ………………………………; Số báo danh: …………………… www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 LẦN 1 MÔN TOÁN -KHỐI D ( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6 ) Câu Đáp án Điểm 1. Khảo sát hàm số với m = 2. 1,00 Với m = 2, hàm số trở thành: 4 2 y x 4x 4 = − + − * TXĐ: R 0,25 * Sự biến thiên của hàm số: Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: lim ; lim x x y y →+∞ →−∞ = −∞ = −∞ 0,25 - Bảng biến thiên: + Ta có: =  = − + = ⇔  = ±  3 0 ' 4 8 ; ' 0 2 x y x x y x + Bảng biến thiên: x - ∞ − 2 0 2 + ∞ y’ + 0 - 0 + 0 - y 0 -∞ 0 -4 -∞ - Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) −∞ ; - 2 và ( ) 0; 2 - Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) − 2;0 và ( ) +∞ 2; - Điểm cực đại của đồ thị là ( ) − 2;0 , ( ) 2;0 điểm cực tiểu của đồ thị B(0;-4) * Đồ thị: + Đồ thị cắt trục tung tại ( ) 0; 4 − và cắt trục hoành tại điểm ( ) 2;0 − và ( ) 2;0 + Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng. 2 - 2 - 4 - 6 - 8 - 5 5 10 f x ( ) = -x 4 +4 ⋅ x 2 ( ) -4 0,25 0,25 2. Tìm m để tất cả các cực trị của hàm số ( ) m C nằm trên các trục tọa độ. 1,00 I Ta có: ( ) 3 2 2 0 ' 4 4 4 ; ' 0 x y x mx x x m y x m =  = − + = − + = ⇔  =  Nếu 0 m ≤ thì ( ) m C chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục tung. Nếu 0 m > thì ( ) m C có 3 điểm cực trị . Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai điểm cực đại có tọa độ 2 ( ; 4) m m − − , 2 ( ; 4) m m − . Để hai điểm này nằm trên trục hoành thì 2 4 0 2 m m − = ⇔ = ± . Vì 0 m > nên chọn m = 2. Vậy { } ( ;0] 2 m∈ −∞ ∪ là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com www.MATHVN.com 3 1. Giải phương trình lượng giác 1,00 - Đk. cos2x 0 x m ,m Z. 4 2 π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ Ta có: sin tan 2 3(sin 3 tan 2 ) 3 3 + − =x x x x (sin tan 2 3sin ) (3tan2 3 3) 0 ⇔ + − + = x x x x sin (tan 2 3) 3(tan 2 3) 0 (tan 2 3)(sin 3) 0 x x x x x ⇔ + − + = ⇔ + − = tan 2 3 2 ( ). 3 6 2 k x x k x k Z π π π π − − ⇔ = − ⇔ = + ⇔ = + ∈ (thỏa mãn) Vậy pt có một họ nghiệm : , . 6 2 = − + ∈ π π x k k Z 0,25 0,25 0,25 0,25 2. Giải bất phương trình 1,00 II + Đk: x 0; x 3. ≥ ≠ Bất phương trình 3 x x 1 3 x + ⇔ < − − 2 2 2x 0 3 x 2x 4x x x 3 x (3 x) x 0 −  >  −  −  ⇔ < ⇔ <  − −   ≥   2 x (3; ) x 10x 9 0 ∈ +∞  ⇔  − + <  x (3; ) x (3;9) x (1;9) ∈ +∞  ⇔ ⇔ ∈  ∈  (Thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm của bpt là : (3;9) 0,25 0,25 0,25 0,25 Giải hệ phương trình 1,00 III + Điều kiện: 2 2 3 0, 8 0 x y y x + ≥ + ≥ Đặt ( ) 2 2 3 , 8 , 0 u x y v y x u v = + = + ≥ + Ta được: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 13 13 (2 1) 13 − = = − = −    ⇔ ⇔    + = + = + − =    u v v u v u u v u v u u 2 2 1 2 1 2 2 3 5 4 12 0 6 ( ) 5 = −   = − =   =  ⇔ ⇔ ⇔     = − − = −     =    v u v u u u v u u u loai + Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 2 3 4 4 8 9 8 3 8 9 3  − =   + =  + =    ⇔ ⇔      − + =  + =    + =       x y x y x y x y x y x x 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com www.MATHVN.com 4 2 4 2 4 3 8 72 65 0  − =  ⇔   − + − =  x y x x x 2 2 2 1 4 4 1 3 3 1 5 ( 1)( 5)( 4 13) 0 5 7 x x y x y y x x x x x x x y  =   − =    −  = =     ⇔ ⇔ ⇔    =  = −    − + − + =     = − = −      Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình là: { } (1;1),( 5; 7) S = − − 0,25 Tính thể tích …. 1,00 IV B C A D M K N B' C' I A' D' + Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vuông ABB'A'; ADD'A' 1 MN B'D' B'D' 2a A'B' a 2 2 ⇒ = ⇒ = ⇒ = '''''''' '. DCBADCBABCDA SAAV = ( ) 3 2 2222 aaa == (đvtt) + Gọi I là giao của B'D' và A'C' Trong (AA'C') kẻ ' ; ' AC K AC IK ∈ ⊥ Vì '''')'( '''' ''' DBIKDBCAA DBCA DBAA ⊥⇒⊥⇒    ⊥ ⊥ Vậy: IK D B AC d = ) ' ' , ' ( IK C ' ∆ đồng dạng với C'AA' ∆ . IK C'I AA'.C'I a 2.a a IK AA' C'A C'A a 2. 3 3 ⇒ = ⇒ = = = Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’ bằng 3 a . 0,25 0,25 0,25 0,25 Tìm GTNN c ủ a bi ể u th ứ c…. 1,00 V Ta có: xyz zyxzyx P 222333 2 3 ++ +         ++ = Áp d ụ ng b đ t: zxyzxyzyxbaabba ++≥++⇒∀≥+ 22222 ,,2 . Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. 0,25 www.MATHVN.com www.MATHVN.com 5         ++         ++         +≥⇒ ++ + ++ ≥⇒ z z y y x x P xyz zxyzxyzyx P 2 3 2 3 2 3 2 3 333333 + Xét hàm s ố t t tf 2 3 )( 3 += với 0 > t ; 2 4 2 2 22 )(' t t t ttf − =−= ; 4 20)(' =⇔= ttf + BBT t 0 4 2 +∞ ( ) / f t − 0 + ( ) f t +∞ +∞ 4 8 3 2 Vậy 4 84≥P Đẳng thức xảy ra khi 4 2=== zyx . Hay 4 min 84=P 0,25 0,25 0,25 Chương trình chuẩn a. Viết phương trình đường thẳng…. 1,00 VI Ox ( ;0), ( ; ) A A a B d B b b ∈ ⇒ ∈ ⇒ , (2;1) ( 2; 1), ( 2; 1) M MA a MB b b ⇒ = − − = − −   . Tam giác ABM vuông cân tại M nên: 2 2 2 ( 2)( 2) ( 1) 0 . 0 ( 2) 1 ( 2) ( 1) a b b MA MB MA MB a b b − − − − =   =   ⇔   = − + = − + −      Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình này. Ta có : 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 ( 2) 1 ( 2) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 2 −  − = −   − = −   ⇔ −   −     − + = − + − + = − + −     −    b a b a b b b a b b b b b 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 ( 2) ( 1) . 1 0 ( 2) 3  =  −  − =    = −    ⇔ ⇔     =     − + − − =        − =       a b a b b a b b b b Với 2 1 a b =   =  đường thẳng ∆ qua A,B có phương trình 2 0 x y + − = Với 4 3 a b =   =  đường thẳng ∆ qua A,B có phương trình 3 12 0 x y + − = Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: 2 0 x y + − = và 3 12 0 x y + − = . 0,25 0,25 0,25 0,25 a. Tìm tọa độ tâm đường tròn… 1,00 VII (C 1 ) A (C 2 ) O M I B www.MATHVN.com www.MATHVN.com 6 +(C 1 ) có tâm O(0;0), bán kính R=5 ( ) ⇒<⇒=⇒− ROMOMOM 52;1 M nằm trong đường tròn (C 1 ) + Giả sử (C 2 ) cắt (C 1 ) tại A và B. Gọi H là trung điểm đoạn AB. 222 25222 OHOHOAAHAB −=−== . Mà OH lớn nhất khi H trùng với M. Vậy AB nhỏ nhất khi M là trung điểm của AB. AB qua M và vuông góc với OM. + Phương trình của AB: x – 2y – 5 = 0. Tọa độ của A,B là nghiệm hệ:    =+ =−− 25 052 22 yx yx . Giải hệ được hai nghiệm(5;0);(-3;-4). + Giả sử A(5;0); B(-3;-4). Phương trình của OM: 2x + y = 0. Gọi I là tâm của (C 2 ); Do ) 2 ; ( t t I OM I − ⇒ ∈ . Mà IA = 102 => 404)5( 22 =+− tt .Giải ra: t = -1 hoặc t = 3. t 1 I( 1,2) = − ⇒ − ; ) 6 , 3 ( 3 − ⇒ = I t Vậy tâm của (C 2 ) có tọa độ (-1 ; 2) hoặc (3, -6). 0,25 0,25 0,25 0,25 a. Tìm nghiệm của BPT…. 1,00 VIII + Đk : 3 ; ≥ ∈ x N x 81 )!22( )!2( . 2 1 )!2( !.3 )!3(!3 ! . 12 − − ≥ − − − ⇔ x x x x x x x bpt 5 3 17 08523 81 ) 1 2 ( ) 1 ( 3 ) 1 )( 2 ( 2 2 ≤≤ − ⇔≤−+⇔ − − ≥ − − − − ⇔ xxx x x x x x x + K ế t h ợ p đ i ề u ki ệ n ta đượ c { } .5;4;3 ∈ x V ậ y t ậ p nghi ệ m c ủ a pt là { } 5;4;3 0,25 0,25 0,25 0,25 Chương trình nâng cao b. Viết phương trình…. 1,00 VI d1 d d2 H C B A P Ta có 1 2 A d d = ∩ ⇒ tọa độ của A là nghiệm của hệ ( ) 2 5 3 0 1 1; 1 5 2 7 0 1 x y x A x y y + + = =   ⇔ ⇒ −   − − = = −   Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi 1 2 , d d là ( ) ( ) 1 2 :7 3 4 0, :3 7 10 0 x y x y ∆ + − = ∆ − − = . Vì d tạo với 1 2 , d d một tam giác cân tại A nên 1 1 2 2 3 7 0 7 3 0 ⊥ ∆ − + =   ⇒   ⊥ ∆ + + =   d x y C d x y C . Mặt khác ( 7;8) ( ) − ∈ P d nên 1 2 77, 25 C C = = . 0,25 0,25 www.MATHVN.com www.MATHVN.com 7 Suy ra: :3 7 77 0 :7 3 25 0 d x y d x y − + =   + + =  Gọi 1 2 , B d d C d d = ∩ = ∩ . Thấy 1 2 (d ) (d ) ⊥ ⇒ tam giác ABC vuông cân tại A nên: 2 1 1 29 . 29 2 2 2 ABC S AB AC AB AB ∆ = = = ⇒ = và 2 58 BC AB= = Suy ra: 29 2 2 58 2 2 58 ABC S AH BC ∆ = = = Với :3 7 77 0 d x y − + = , ta có 2 2 3.1 7( 1) 77 87 58 ( ; ) 2 58 3 ( 7) d A d AH − − + = = ≠ = + − (loại) Với :7 3 25 0 d x y + + = ta có 2 2 7.1 3( 1) 25 29 58 ( ; ) 2 58 7 3 d A d AH + − + = = = = + (t/mãn). Vậy :7 3 25 0 d x y + + = 0,25 0,25 b. Viết phương trình … 1,00 VII (C 1 ) có tâm I(2 ;-1); bán kính R 1 = 1.Vậy (C 2 ) có bán kính R 2 = 2 Gọi J là tâm của (C 2 ). Do ( ) 2; − − ⇒ ∈ ttJdJ (C 1 ) tiếp xúc ngoài với (C 2 ) nên IJ = R 1 + R 2 = 3 hay IJ 2 = 9. ( )    −= = ⇔=−−⇔=−−+−⇔ 1 2 0291)2( 2 2 2 t t tttt + ( ) 4)1()1(:)(1;11 22 2 =+++⇒−−⇒−= yxCJt + ( ) 4)4()2(:)(4;22 22 2 =++−⇒−⇒= yxCJt Vậy có 2 đường tròn (C 2 ) thỏa mãn là: 4)1()1( 22 =+++ yx và 4)4()2( 22 =++− yx 0,25 0,25 0,25 0,25 b. Tìm m để… 1,00 VIII Ta có ( ) 2 2 2 3 ' 1 x x m y x + + − = + Hàm số có CĐ, CT khi pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1. 2 2 3 0 x x m ⇔ + + − = có hai nghiệm phân biệt khác – 1 ' 4 0 4 4 0 m m m ∆ = − >  ⇔ ⇔ <  − ≠  Giả sử đồ thị có điểm CĐ,CT là ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y . Khi đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm CĐ,CT là y = 2x+m. Suy ra 1 1 2 2 2 ; 2 y x m y x m = + = + . Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 4 1 4 1 0 16 4 1 1 0 x y x y x m x m x x m x x m + − + − < ⇔ + − + − < ⇔ + − + + − < Theo định lý Vi-et 1 2 1 2 2 3 x x x x m + = −   = −  . Thay vào bpt trên, ta được: 2 6 39 0 3 4 3 3 4 3 + − < ⇔ − − < < − +m m m . Vậy 3 4 3 3 4 3 − − < < − +m 0,25 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com www.MATHVN.com 8 www.MATHVN.com www.MATHVN.com . 1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2 012 -2 013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D Thời gian làm bài: 18 0 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN CHUNG. www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 HƯỚNG D N CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2 012 -2 013 LẦN 1 MÔN TOÁN -KHỐI D ( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6 ) Câu Đáp án Điểm 1. Khảo sát hàm số với m = 2. 1, 00 Với m =. 2x+m. Suy ra 1 1 2 2 2 ; 2 y x m y x m = + = + . Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 4 1 4 1 0 16 4 1 1 0 x y x y