PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ - Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình pdf

44 448 0
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ - Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình pdf

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 1 PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0. * Các bước giải biện luận: i) a = 0 = b : Mọi x là nghiệm a = 0  b : Vô nghiệm ii) a  0 : Phương trình gọi là phương trình bậc nhất, có nghiệm duy nhất: b x a   * Nhận xét: Phương trình ax + b = 0 có hơn một nghiệm khi chỉ khi mọi x là nghiệm, khi chỉ khi a = b = 0. * Các phương trình chuyển về phương trình ax + b = 0 : 1. Phương trình có ẩn ở mẫu: PP Giải: Đặt ĐK mẫu thức khác không. Quy đồng, bỏ mẫu. Giải phương trình. Đối chiếu kết quả với điều kiện. Kết luận nghiệm. VD1. Giải biện luận phương trình: 2 2 1 2 1 4 x m x x x m      HD. ĐK: 1 , 2 4 m x x   2 2 1 2 1 4 x m x x x m      2 2 2 2 4 9 2 4 1 9 2 1 x mx m x mx m         (1) i) m = 0: (1) vô nghiệm ii) 0 m  : 2 2 1 (1) 9 m x m    . 2 2 1 9 m x m   là nghiệm của phương trình đã cho  2 2 2 1 1 9 2 2 1 9 4 m m m m m             2 2 2 4 2 9 8 4 9 m m m m           2 2 1 4 9 2 0 2, 4 4 2 m m m m m m                    1 4 2 m m          KL:  1 0, 4 2 m m m          : 2 2 1 9 m x m    1 0 2 : 4 m m m       Vô nghiệm. VD2. Giải biện luận phương trình: 1 1 ( ) 1 a b a b ax bx a b x        Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 2 HD. ĐK: ax-1 0 bx-1 0 (a+b)x-1 0         ax 1 (1) bx 1 (2) (a+b)x 1 (3)          Phương trình tương đương:   2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 ( ) 2 0 0 (4) ( ) 2 0 (5) abx a b a b abx a b x a b x ab a b x a b x abx a b ab a b x a b x a b ab a b x abx x ab a b x ab x ab a b x ab                                        i) (4) cho x = 0 là nghiệm với mọi a, b. ii) Giải (5): + a = 0:  x là nghiệm của (5). b = 0:  x là nghiệm của phương trình đã cho. 0 b  : 1 x b   của phương trình đã cho. + b = 0:  x là nghiệm của (5). a = 0:  x là nghiệm của phương trình đã cho. 0 a  : 1 x a   của phương trình đã cho. + a = - b: (5)  0x + 2b 2 = 0. b = 0:  x là nghiệm của phương trình đã cho. 0 b  : (5) vô nghiệm. Phương trình đã cho có nghiệm x = 0. + 0 a   0 b  : a b    2 (5) x a b    . 2 x a b   là nghiệm của phương trình đã cho khi chỉ khi: 2 1 2 1 2 1 a b a a b b a b a b                 a b   . KL.  a = b = 0:  x  a = 0  b: 1 x b    b = 0  a: 1 x a   Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 3  a  0, a  0, a  b, a  - b: 2 x a b    a  0, a  0, a = b, a = - b: x = 0 * Bài tập luyện tập. Bài 1. Giải biện luận theo m phương trình : ( 1) ( 1) 1 0 3 m x m x x x m        Bài 2. Giải biện luận theo a, b phương trình : ax b x b x a x a      Bài 3. Giải biện luận theo a, b phương trình : a b x b x a    Bài 4. Giải biện luận theo a, b phương trình : 2 2 1 ( 1) 1 1 1 ax b a x x x x        Bài 5. Giải biện luận theo a, b phương trình : 1 1 1 2 1 2 x a x a x b x b x a x a x b x b                  Bài 6. Giải biện luận theo a, b phương trình : a x b x a x b x a x b x a x b x            . 2. Phương trình có giá trị tuyệt đối. Dạng 1. ( ) ( ) f x g x  PP Giải: Phương trình tương đương ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x       Dạng 2. ( ) ( ) f x g x  PP Giải: Cách 1: Phương trình tương đương ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 f x g x g x f x g x g x                   Cách 2: Phương trình tương đương ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 f x g x f x f x g x f x                   Vấn đề là ở chỗ, ở cách 1, ta phải giải bất phương trình ( ) 0 g x  ; ở cách 2, ta phải giải bất phương trình ( ) 0 f x  . Tuỳ thuộc vào bậc của f(x) hay g(x) để lựa chọn thích hợp. Dạng 3. Nhiều giá trị tuyệt đối. Ta phá giá trị tuyệt đối theo định nghĩa, giải phương trình trên từng tập con. Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 4 VD. Giải phương trình 2 1 3 2 2 3 10 x x x       HD. 1 3 2 1 0 ; 3 0 3; 2 3 0 2 2 x x x x x x              3 2  1 2 3 2 1 x  1 - 2x 1 - 2x 2x - 1 2x - 1 3 x  3 - x 3 - x 3 - x x - 3 2 2 3 x  - 4x - 6 4x + 6 4x + 6 4x + 6 VT x + 10 - 7x - 2 - 3x - 4 - x - 10 i) 3 2 x   : x + 10 = 1  x = - 9 : Thoả ii) 3 1 2 2 x    : - 7x - 2 = 1  x = 3 7  : Thoả 3i) 1 3 2 x   : - 3x - 4 = 1  x = 5 3  : Không thoả 4i) 3 x  : - x - 10 = 1  x = - 11: Không thoả 3. Phương trình có căn thức. Dạng 1. ( ) ( ) f x g x  Biến đổi tương đương ( ) ( ) f x g x  ( ) ( ) ( ) 0 (hay g(x) 0) f x g x f x        ("hay" ở đây có nghĩa là sự thay thế, lựa chọn một trong hai, lựa chọn bất phương trình đơn giản hơn) Dạng 2. ( ) ( ) f x g x  Biến đổi tương đương ( ) ( ) f x g x  2 ( ) ( ) ( ) 0 f x g x g x       Dạng 3. Nhiều căn thức không thuộc các dạng trên.  Bình phương hai vế nhiều lần theo nguyên tắc: 2 2 0, 0 : A B A B A B      2 2 0, 0 : A B A B A B       Ngoài phương pháp biến đổi tương đương nói trên, các phương trình chuyển về bậc nhất có thể giải bằng cách biến đổi về tích,đặt ẩn phụ hay sử dụng các phương pháp khác (Xem Phương trình không mẫu mực) VD. Giải phương trình: 1 1 x x    (XBang) HD. Cách 1(Biến đổi tương đương): 1 1 1 1 x x x x        Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 5   2 2 1 2 0 1 (1 ) 1 1 2 1 0 1 0 1 x x x x x x x x x x x x                                  0 0 1 5 0 1 2 0 1, 2 1 0 1 x x x x x x x x x x                                     Cách 2(Biến đổi tương đương): 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 2 4 x x x x x x x x                             Cách 3(Biến đổi về dạng tích):     1 1 ( 1) 1 0 1 1 1 0 x x x x x x x x x x                  Cách 4(Đặt ẩn phụ): Đặt    1 1 1 0 1 y x y x y x x y x y y x x y                      II. PHƯƠNG TRÌNH ax 2 + bx + c = 0. 1. Các bước giải biện luận. i) a = 0: Phương trình trở thành: bx + c = 0 b = 0 = c : Mọi x là nghiệm b = 0  c : Vô nghiệm b  0 : Phương trình trở thành phương trình bậc nhất, có nghiệm duy nhất: c x b   ii) a  0: Phương trình đã cho gọi là phương trình bậc hai. 2 2 1 4 , ' 2 b ac b ac               < 0 ( '  < 0): Phương trình vô nghiệm.   = 0 ( '  = 0): Phương trình có hai nghiệm bằng nhau 2 b x a     > 0 ( '  > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1,2 1 ' 2 x 2 b b a a               * Nhận xét: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hơn hai nghiệm khi chỉ khi mọi x là nghiệm, khi chỉ khi a = b = c = 0. 2. Dấu các nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a  0). Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 6 Đặt P = c a , S = b a   P < 0: Phương trình có hai nghiệm 1 2 0 x x    1 2 1 2 0 0 0 0 x x P x x                1 2 0 0 0 0 x x P S             ,  1 2 0 0 0 0 x x P S             *** Chú ý: i) P = 0  1 2 0, x x S   ii) 1 2 1 2 x 0 0 x0 x P xS              ; 1 2 1 2 x 0 0 x0 x P xS              3i) 1 2 0 0 S x x          4i) Các dấu hiệu cần, nhiều khi rất cần cho việc xét dấu các nghiệm:  S < 0 : Nếu phương trình có nghiệm thì có ít nhất một nghiệm âm.  S > 0 : Nếu phương trình có nghiệm thì có ít nhất một nghiệm dương VD. Tìm tất cả các giá trị m sao cho phương trình sau có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt: 4 3 2 1 0 x mx x mx      . HD. Thấy ngay x = 0 không thoả phương trình. Chia hai vế của phương trình cho 2 0 x  : 2 2 1 1 1 0 x mx m x x       2 2 1 1 1 0 x m x x x            (1) Đặt 2 1 1 0 x X x Xx x       (2) 2 2 2 1 2, 2 x X X x      (1) trở thành 2 1 0 X mX    (3) (3) có hai nghiệm trái dấu với mọi m. Với 2 X  thì (2) có hai nghiệm cùng dấu, nên để có nghiệm âm thì X < 0 Suy ra X < -2. Tóm lại phương trình (3) phải có hai nghiệm 1 2 2 0 X X     Nếu được dùng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì cần đủ là: Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 7 2 ( 2) 0 3 3 2 0 2 ( ) 1 f m m f X X mX              Nhưng chương trình hiện hành không có định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, nên: Cách 1: Đặt X + 2 = Y  Y < 0: 2 2 2 1 0 ( 2) ( 2) 1 0 ( 4) 3 2 0 X mX Y m Y Y m Y m                Phương trình này có hai nghiệm trái dấu chỉ khi 3 - 2m < 0  m > 3 2 . Cách 2: 2 2 1 1 0 X X mX m X       Đặt 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( ) '( ) 0, 0 X X X X f X f X X X X X              . Thấy ngay phương trình có nghiệm X < - 2 khi chỉ khi m > 3 2 . 3. So sánh nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a  0) với một số thực khác không. 3.1. Nếu dùng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Đặt f(x) = ax 2 + bx + c = 0 ( a  0) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 af( )<0 x 0 af( )>0 0 af( )>0 af( )>0 0 ; 0 S S 2 2 x x x x x x x x x                                                     ***Một số điều kiện cần đủ về nghiệm của f(x) = ax 2 + bx + c = 0 ( a  0) 3.1.1. f(x) có nghiệm thuộc   ;   : Cần đủ để f(x) có đúng 1 nghiệm thuộc   ;   là một trong 4 điều kiện: x -- 2 2 +  f '(X) - - f(X) +  3 2 - 3 2 -  Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 8 ( ) ( ) 0 f f       ( ) 0 ; f S                ( ) 0 ; f S                0 ; 2 b a             Cần đủ để f(x) có đúng 2 nghiệm thuộc   ;   : Nếu không cần phải tách bạch như thế thì cần đủ để f(x) có nghiệm thuộc   ;   : 3.1.2. f(x) có nghiệm thuộc   ;   : Cần đủ để f(x) có đúng 1 nghiệm thuộc   ;   là một trong bốn điều kiện: ( ) ( ) 0 f f       ( ) 0 ; f S                ( ) 0 ; f S                0 ; 2 b a             Cần đủ để f(x) có đúng 2 nghiệm thuộc   ;   là : 3.1.3. f(x) có nghiệm thuộc   ;   : Cần đủ để f(x) có đúng 1 nghiệm thuộc   ;   là một trong ba điều kiện: ( ) 0 af    ( ) 0 f S           0 2 b a            0 ( ) 0 ( ) 0 2 af af S                     ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 2 f f af af S                                  0 ( ) 0 ( ) 0 2 af af S                     Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 9 Cần đủ để f(x) có đúng 2 nghiệm thuộc   ;   : 3.1.4. f(x) có nghiệm thuộc [ ; )   : Cần đủ để f(x) có đúng 1 nghiệm thuộc [ ; )   là một trong ba điều kiện: a ( ) 0 f    ( ) 0 f S           0 2 b a            Cần đủ để f(x) có đúng 2 nghiệm thuộc [ ; )   : 3.1.5. f(x) có nghiệm thuộc   ;   : Cần đủ để f(x) có đúng 1 nghiệm thuộc   ;   là một trong ba điều kiện: ( ) 0 af    ( ) 0 f S           0 2 b a            Cần đủ để f(x) có đúng 2 nghiệm thuộc   ;   : 3.1.6. f(x) có nghiệm thuộc ( ; ]   : Cần đủ để f(x) có đúng 1 nghiệm thuộc ( ; ]   là một trong ba điều kiện: ( ) 0 af    ( ) 0 f S           0 2 b a            Cần đủ để f(x) có đúng 2 nghiệm thuộc ( ; ]   : 0 ( ) 0 2 af S                 0 ( ) 0 2 af S                 0 ( ) 0 2 af S               0 ( ) 0 2 af S               Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 10 3.2. Nếu không dùng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai.  Phương pháp tốt nhất là khảo sát sự biến thiên của hàm số (xem VD ở phần trên)  Nếu chỉ so sánh nghiệm với một số thực  khác không thì có thể đặt y = x -  . VD. Tìm a để phương trình sau có hơn 1 nghiệm thuộc 0; 2        : 2 2 (1 ) tan 1 3 0 cos a x a x      HD. 2 2 2 1 2 (1 ) tan 1 3 0 (1 ) 1 1 3 0 cos os cos a x a a a x c x x                    2 1 2 (1 ) 4 0 os cos a a c x x     (1) Đặt 1 (1; ) cos X X x     (1)  2 (1 ) 2 4 0 a X X a     (2) Phương trình đã cho có hơn một nghiệm thuộc 0; 2         phương trình (2) có hai nghiệm (1; ) X   . Cách 1. Đặt X - 1 = Y > 0 : (2) trở thành 2 2 (1 )( 1) 2( 1) 4 0 (1 ) 2 3 1 0 a Y Y a a Y aY a             (3) (3) có hai nghiệm dương 2 1 1 0 1 4 4 1 0 ' 0 2 3 1 0 10 1 2 3 0 0 1 a a a a a a P a a S a                                            Cách 2. Không phải khi nào cũng có thể nhận ra X = 2 là một nghiệm của (2). Nhưng nếu nhận ra được thì: Với 1 a  thì nghiệm kia là 2 2 2 1 1 a a a     . Ta phải có 2 1 1 2 2 1 a a a a             1 3 1 1 0 3 1 1 2 1 2 a a a a a                      Có thể dùng phương pháp phần bù: Tìm các giá trị tham số để phương trình có nghiệm thì ta tìm các giá trị làm cho phương trình vô nghiệm. VD. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: 4 3 2 4 2 4 1 0 x x mx x      [...]... các phương trình (xem các phương trình chuyển về phương trình bậc nhất) 4 Các phương trình vơ tỷ khơng mẫu mực (Xem phương trình khơng mẫu mực) 2009 2 2 VD1 Giải phương trình 2 2009 (1 + x) + 3 1 - x + NhËn thÊy x =  1 kh«ng lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 32 2009 (1 - x) 2 = 0 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình. .. Bài 1 Giải hệ phương trình    x  1  10  x  y  10  y  1  y 3 3 y  Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 30 (Bộ đề thi TS) Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Bài 2 Giải hệ phương trình x2 + a2 = y2 + b2 =(x - b)2 + (y - b)2 (Bộ đề thi TS)  a3 7x  y  2  0  x Bài 3 Cho hệ phương trình   3 x  7 y  a  0  y2  (ĐHHuế - A97) Chứng... Tìm nghiệm đó (ĐH Cơng đồn - A99) 3  x  3x  8 y Bài 5 Giải hệ phương trình  3   y  3 y  8x  Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 22 (ĐHQG HN - D99) Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình  2 a2 2x  y   y  Bài 6 Cho hệ phương trình  2 2 y 2  x  a  x  Chứng minh rằng hệ có nghiệm với mọi a 5 Hệ phương trình đẳng cấp  f (tx, ty... 2 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 34 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình * Bài tập luyện tập Bài 1 Giải biện luận theo m phương trình: x 2  2m  2 x 2  1  x 1 2 Bài 2 Giải biện luận theo a phương trình: x  x   x  1 0 4 Bài 3 Giải biện luận theo m phương trình: x 2  2mx  1  2  m Bài 4 Giải biện luận theo a phương trình: ... VD2 Cho hệ phương trình  1) Giải hệ khi a = 1 2 2) Tìm a để hệ có nghiệm VD3 Giải các hệ phương trình: x  y  1 1)  3 3 2 2 x  y  x  y Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 25 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình  x3  y 3  1  5 5 2 2 x  y  x  y  2)   2 y ( x 2  y 2 )  3x  2 2  x( x  y )  10 y  VD4 Giải hệ phương trình. .. y - 4 = 0  y = 4 - x thay vào (1): x2 = 3x - 4 + x  x = 2 Ta có nghiệm (2; 2) Tóm lại, hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (0; 0), (2; 2) VD2 Xác định a < 0 để hệ sau có nghiệm duy nhất Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 21 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình x2 y  a  y 2   2 2  xy  a  x  (1) (2) (ĐHDược - A97) Trừ từng vế (1) và. .. Cho hệ phương trình: x  y  m  2 ( x  1) y  xy  m( y  2) a) Tìm m để hệ có hơn hai nghiệm b) Giải hệ khi m = 4 (ĐHQG Thfố HCM- A97) Bài 6 Cho biết hệ phương trình sau có nghiệm với mọi b: a( x 2  y 2 )  x  y  b  y  x  b Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 15 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Chứng minh a = 0 (ĐH Luật HN - A97)... min(x + y) Bài 2 Cho hệ phương trình: ax  y  1  a  2  x  ay  1  a Với giá trị nào của a rthì hệ có nghiệm (x ; y) thoả 2x + y > 0 Bài 3 Tìm b sao cho với mọi a hệ sau có nghiệm: Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình 13 Phương trình Hệ phương trình Đại số Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình  x  2ay  b  2 ax  (1  a ) y  b Bài 4 Cho hệ phương trình: (2a  1) x ... 1) a = 1: Hệ đã cho trở thành   2    x  0  x  2 x  2x  0     y  2  x   y  2  x   ( x  y )  4  Suy ra 4 nghiệm (0; 2), (2; 0), (0; - 2), (- 2; 0) 2) Hệ có đúng hai nghiệm Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 28 (1) (2) (3) (4) Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Nhận xét rằng (1) (3) có cùng biệt số  ' = a... các giao điểm của đường tròn I( ; 0) đường thẳng d 2 Khi đó A(x1; y1 ), B(x 2 ; y 2 )  d(I, d) < R  2  AB là một dây cung của đường tròn nên AB  2R =1 Để ý rằng AB = (x1 - x 2 )2 + (y1 - y 2 )2 Ta có đpcm Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình Phương trình Hệ phương trình Đại số 29 Trần Xn Bang - GV Trường THPT Chun Quảng Bình VD11 Giải hệ phương trình:  1981  1  x1  1  x2  . Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình Đại số 1 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ . nghĩa, và giải phương trình trên từng tập con. Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình Đại số 4 .    Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang - GV Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình và Hệ phương trình Đại số 19 Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a hệ phương

Ngày đăng: 01/04/2014, 17:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan