www.VNMATH.com Mục lục Hàm số lượng giác phương trình lượng giác 2 Tổ hợp -xác suất 3 Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân 4 Giới hạn 5 Đạo hàm 5.1 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm 5.1.1 Định nghĩa đạo hàm 5.1.2 Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa 5.1.3 Quan hệ tính liên tục có đạo hàm 5.1.4 ý nghĩa hình học đạo hàm 5.1.5 ý nghĩa vật lí đạo hàm 5.2 Quy tắc tính đạo hàm 5.2.1 Các công thức 5.2.2 Phép toán 5.2.3 Đạo hàm hàm số hợp 5.3 Đạo hàm hàm số lượng giác 5.3.1 Các giới hạn cần nhớ 5.3.2 Các công thức 5.4 Vi phân 5.4.1 Định nghĩa 5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 5.5.1 Định nghĩa 5.5.2 ý nghĩa học đạo hàm cấp hai 6 6 7 12 12 12 12 15 15 15 17 17 18 18 19 www.VNMATH.com Chương Hàm số lượng giác phương trình lượng giác www.VNMATH.com Chương Tổ hợp -xác suất www.VNMATH.com Chương Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân www.VNMATH.com Chương Giới hạn www.VNMATH.com Chương Đạo hàm 5.1 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm A Tóm tắt lí thuyết 5.1.1 Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b), x0 ∈ (a, b) , x0 + ∆x ∈ (a; b) Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) f(x0 + ∆x) − f(x0 ) ∆x ∆x→0 lim gọi đạo hàm hàm số f(x) x0 , kí hiệu f (x0 ) hay y (x0 ) f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = lim x→x0 ∆x→0 ∆x x − x0 Vậy f (x0 ) = lim 5.1.2 Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa Bước 1: Với ∆x số gia đối số x0 , tính ∆y = f (x0 + ∆x) − f(x0 ); ∆y ; ∆x ∆y Bước 3: Tính lim ∆x→0 ∆x Bước 2: Lập tỉ số 5.1.3 Quan hệ tính liên tục có đạo hàm a) Hàm số f(x) có đạo hàm x0 hàm số f(x) liên tục x0 ; b) Hàm số f(x) liên tục x0 chưa hẳn f(x) có đạo hàm x0 www.VNMATH.com 5.1 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm 5.1.4 ý nghĩa hình học đạo hàm Nếu tồn tại, f (x0 ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M0 (x0 ; f(x0 )) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M0 y = f (x0 )(x − x0 ) + f(x0 ) 5.1.5 ý nghĩa vật lí đạo hàm v(t) = s (t) vận tốc tức thời chuyển động s = s(t) thời điểm t B Bài tập minh họa Dạng tốn Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y = f(x) x0 Phương pháp Bước 1: Cho x0 số gia ∆x; tính ∆y = f (x0 + ∆x) − f(x0 ); ∆y ; ∆x f(x) − f(x0 ) ∆y tính lim Bước 3: Tính lim x→x0 x − x0 ∆x→0 ∆x Bước 2: Lập tỉ số Bài 5.1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau x0 : a) y = f(x) = x2 − 3x + x0 = 1; x+1 b) y = f(x) = x0 = 0; c) y = f(x) = x √− − 2x x0 = Giải a) Cách Cho x0 = số gia ∆x; ∆y = f (1 + ∆x) − f(1) = (∆x)2 − ∆x; ∆y = ∆x − 1; ∆x ∆y Tính lim ∆x = −1 Tỉ số ∆x→0 Cách f(x) − f(1) = −1 x→1 x−1 f(x) − f(0) b) lim = −2; x→0 x f(x) − f(3) c) lim = −1 x→3 x−3 lim Dạng toán Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M0 ∈ (C) Phương pháp Thạc sỹ Trần Văn Khánh www.VNMATH.com 5.1 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M0 y = f (x0 )(x − x0 ) + f(x0 ) Bài 5.2 Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 = Giải y = f (x) = 3x2 − y (3) = f(3) = 19, f (3) = 24 Vậy phương trình tiếp tuyến y = 24x − 53 x2 + x Bài 5.3 Cho hàm số y = , (C) x−2 a) Hãy tính định nghĩa đạo hàm hàm số cho x = 1; b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(1;-2) Giải a) Với ∆x số gia đối số x = 1, ta có 5∆x + ∆2 x (1 + ∆x) + (1 + ∆x) + − = ; ∆y = + ∆x − 1−2 ∆x − + ∆x ∆y = ; ∆x ∆x − ∆y lim = −5 ∆x→0 ∆x Vậy y (1) = −5 b) Phương tình tiếp tuyến y = −5x + Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc k Phương pháp Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Khi f (x0 ) = k ⇒ x0 , tính y (x0 ) = f(x0 ) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = k (x − x0 ) + y (x0 ) Bài 5.4 Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc Giải Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Khi f (x0 ) = ⇔ 3x2 − = ⇔ x0 = ±2 Với x0 = ⇒ y (2) = Phương trình tiếp tuyến y = 9x − 15 Với x0 = −2 ⇒ y (−2) = −1 Phương trình tiếp tuyến y = 9x + 17 Thạc sỹ Trần Văn Khánh www.VNMATH.com 5.1 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Bài 5.5 Cho hàm số y = x2 − 2x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x − 2y + = 0; b) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y + = Giải a) Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Khi f (x0 ) = ⇔ 2x0 − = ⇔ x0 = x0 = ⇒ y (2) = Phương trình tiếp tuyến y = 2x − b) Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Khi f (x0 ) = ⇔ 2x0 − = ⇔ x0 = x0 = ⇒ y (3) = Phương trình tiếp tuyến y = 4x − Loại 3: Quan hệ hàm số liên tục đạo hàm Phương pháp + Hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K điều kiện đủ để hàm số liên tục khoảng K hay nói cách khác hàm số liên tục điều kiện cần để hàm số có đạo hàm Chú ý: Hàm số f(x) liên tục x0 chưa hẳn f(x) có đạo hàm x0 Bài 5.6 Chứng minh hàm số f(x) = (x − 1)2 , x ≥ (x + 1) , x < khơng có đạo hàm x = hàm số liên tục Giải a) Ta có f(0) = f(x) − f(0) = lim− (x + 2) = 2; x−0 x→0 x→0 f(x) − f(0) lim = lim+ (x − 2) = −2 x−0 x→0+ x→0 Điều chứng tỏ hàm số y = f(x) khơng có đạo hàm x = lim− b) lim− f(x) = lim+ f(x) = f(0) = Vậy hàm số liên tục x = x→0 x→0 Bài 5.7 Chứng minh hàm số f(x) = cosx, x ≥ sin x, x < khơng có đạo hàm x = Giải lim g(x) = lim+ cosx = 1; x→0+ x→0 x→0 x→0 lim− g(x) = lim− sin x = 0; f(0) = cos0 = nên hàm số y = f(x) gián đoạn x = 0.Vậy hàm số khơng có đạo hàm C Bài tập tự luyện Thạc sỹ Trần Văn Khánh www.VNMATH.com 5.1 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Bài 5.8 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số: a) y = f(x) = 2x2 − 3x + x0 = 1; 4x − x0 = −1; b) y = f(x) = √− 3x − 2x x0 = 2; − cosx  ,x = x d) f(x) = , x0 = 0;  0, x =   x2 sin , x = x , x0 = 0; e) f(x) =  0, x = π f) f(x) = sin 2x x0 = c) y = f(x) =  Hướng dẫn a) 1; b) − ; 25 c) -1; d) ; e) 0; f) Bài 5.9 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: a) y = f(x) = x2 − 4x + 1; b) f(x) = 2x − Hướng dẫn a) f (x) = 2x − 4; −2 b) f (x) = (2x + 3) Bài 5.10 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số sau: x2 + 4x + điểm có hồnh độ x = 0; x+2 b) y = x3 − 3x2 + điểm A(−1; −2); √ c) y = 2x + biết hệ số góc tiếp tuyến a) y = Hướng dẫn 3 a) y = x + ; b) y = 9x + 7;; c) y = x + Thạc sỹ Trần Văn Khánh 10 www.VNMATH.com 5.1 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm 11 Bài 5.11 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số sau: 2x + a) y = điểm có hồnh độ x = 2; x−1 b) y = x3 + x + điểm A(−1; 1); √ c) y = 3x − điểm có hồnh độ x = Hướng dẫn a) y = −3x + 11; b) y = 4x + 5; c) y = x + Bài 5.12 Cho parabol (P ) có phương trình y = x2 Tìm hệ số góc tiếp tuyến parabol (P ): a) Tại điểm A(-2;4); b) Tại giao điểm (P ) với đường thảng y = 3x − Hướng dẫn a) -4; b) Bài 5.13 Cho hàm số y = x3 có đồ thị (C) a) Tại điểm (C) tiếp tuyến (C) có hệ số góc 1; b) Liệu có tiếp tuyến (C) mà tiếp tuyến có hệ số góc âm? Hướng dẫn a) √ 3 ; √ √ √ 3 , − ;− ; b) Khơng có x+1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến x−1 đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −2x + 1; x+2 b) Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x−2 biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + 2; c) Cho hàm số y = − x3 + 3x2 − 5x + có đồ thị (C) Tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn đồ thị (C) Bài 5.14 a) Cho hàm số y = Thạc sỹ Trần Văn Khánh 5.2 Quy tắc tính đạo hàm www.VNMATH.com 12 Hướng dẫn a) Có hai phương trình tiếp tuyến y = −2x − 1, y = −2x + 7; b) Có hai phương trình tiếp tuyến y = −x − 1, y = −x + 7; c) Gọi x0 hoành độ tiếp điểm, y (x0 ) ≤ Từ suy hệ số góc lớn k = ứng với x0 = 3, y(3) = Vậy phương trình tiếp tuyến y = 4x − Bài 5.15 Chứng minh hàm số y = |x − 2| khơng có đạo hàm x = liên tục điểm 5.2 Quy tắc tính đạo hàm A Tóm tắt lí thuyết 5.2.1 Các công thức a) (c) = 0; b) (xn ) = n.xn−1, n ≥ 1, n ∈ N, x ∈ R; √ c) ( x) = √ , x > x 5.2.2 Phép toán a) (u ± v ± w) = u ± v ± w ; b) (u.v) = u v + uv ; c) (ku) = k.u ; d) e) u v v 5.2.3 u v − uv ; v2 v = − v = Đạo hàm hàm số hợp (yx ) = (yu ) (ux ) B Bài tập minh họa Dạng tốn Tính đạo hàm hàm số y = f(x) Phương pháp Vận dụng cơng thức phép tốn để tính đạo hàm Thạc sỹ Trần Văn Khánh 5.2 Quy tắc tính đạo hàm www.VNMATH.com 13 Bài 5.16 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = f(x) = x4 − 3x3 + 5x2 − 4x + 1; 1 b) y = f(x) = − ; x x c) y = f(x) = x3 + (x + 1); x−4 ; 3x + x2 + x + e) y = f(x) = 2x − d) y = f(x) = Giải = f (x) = 4x3 − 9x2 + 10x − 4; = f (x) = − ; x x = f (x) = 4x3 + 3x2 + 2; 17 = f (x) = ; (3x + 5)2 2x2 − 6x − e) y = f (x) = (2x − 3)2 a) y b) y c) y d) y Bài 5.17 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 4x3 − 2x2 − 5x x2 − 7x ; √ + 3x ( x − 1); x −x2 + 2x + ; c) y = x3 − √ d) y = (x − 2) x2 + b) y = Giải a) y = 4x3 − 2x2 − 5x x2 − 7x + 4x3 − 2x2 − 5x =20x4 − 120x3 + 27x2 + 70x; b) y = − c) x2 − 7x √ + ( x − 1) + √ + √ ; x x x x y = −x2 + 2x + x3 − − −x2 + 2x + (x3 − 2) x4 − 4x3 − 9x2 + 4x − = ; (x3 − 2) Thạc sỹ Trần Văn Khánh x3 − 5.2 Quy tắc tính đạo hàm d) y = www.VNMATH.com 2x2 − 2x + √ x2 + C Bài tập tự luyện Bài 5.18 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = x2 − ; b) y = x(x + 2)4 ; c) y = (x − 1)2 (x + 1)3 Hướng dẫn a) y = 12x x2 − ; b) y = (5x + 2) (x + 2)3 ; c) y = (5 − x) (x − 1) (x + 1) Bài 5.19 Tính đạo hàm hàm số sau: √ a) y = x2 + 6x − 7; √ √ b) y = x + + − x; √ c) y = x − x Hướng dẫn a) y = √ x+3 ; x2 + 6x − 1 √ −√ b) y = ; x+2 4−x (4 − x) c) √ 6−x Bài 5.20 Tính đạo hàm hàm số sau: √ a) y = x2 + + x2 − ; √ b) y = (x + 1) x2 + x + 1; √ c) y = x2 + x + 2x + Hướng dẫn a) y = 4x x2 − + √ 4x2 + 5x + b) y = √ x x2 + ; ; x2 + x + −11 √ c) y = 2(2x + 1)2 x2 + x + Thạc sỹ Trần Văn Khánh 14 www.VNMATH.com 5.3 Đạo hàm hàm số lượng giác 15 Bài 5.21 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (9 − 2x) 2x3 − 9x2 + ; b) y = x2 + x3 + x4 + ; c) y = a + b c + x x Hướng dẫn a) y = −16x3 + 108x2 − 162x − 2; b) y = 2x x3 + x4 + + 6x2 x4 + 2 +12x3 x4 + x2 + x3 + ; c b + x x c) y = −4 a + 3 x2 + x3 + 2c b + x2 x Bài 5.22 a) Cho f(x) = x5 + x3 − 2x − Chứng minh f (1) + f (−1) = −4f(0); √ √ b) Cho f(x) = 2x3 + x − 2, g(x) = 3x2 + x + Giải bất phương trình f (x) > g (x); x c) Cho f(x) = , g(x) = x2 x3 − Giải bất phương trình f (x) ≤ g (x) Hướng dẫn b) (−∞; 0) ∪ (1; +∞); c) [−1; 0) 5.3 Đạo hàm hàm số lượng giác A Tóm tắt lí thuyết 5.3.1 Các giới hạn cần nhớ sin x = 1; x→0 x sin αx b) lim = 1, α = x→0 αx a) lim 5.3.2 Các công thức a) (sin x) = cosx; b) (cosx) = − sin x; c) (tan x) = ; cos x d) (cot x) = − sin x Thạc sỹ Trần Văn Khánh www.VNMATH.com 5.3 Đạo hàm hàm số lượng giác 16 B Bài tập minh họa Dạng tốn Tính đạo hàm hàm số lượng giác Phương pháp Dùng giới hạn hàm số lượng giác cơng thức tính đạo hàm hàm số lượng giác Bài 5.23 Tính đạo hàm hàm số sau: √ x a) y = sin 3x + cos + tan x; a b) y = sin x2 − 5x + + tan ; x √ c) y = x cot 2x; d) y = 3sin2 xcosx + cos2 x Giải a) y b) y c) y d) y x √ ; = 3cos3x − sin + √ 5 xcos2 x a = (2x − 5) cos x2 − 5x + − a; x2 cos2 x √ x = √ cot 2x − ; x sin2 2x = sin x 6cos2 x − 3sin2 x − 2cosx Bài 5.24 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = sin4 x + cos4 x; b) y = sin(2 sin x); c) y = sin2 (cos3x); x d) y = − cosx Giải a) y = 4sin3 xcosx + 4cos3 x(− sin x) = − sin 4x b) y = 2cosxcos(2 sin x); c) y = −3 sin 3x sin(2cos3x); d) y = − cosx − x sin x (1 − cosx)2 C Bài tập tự luyện Bài 5.25 Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 3sin2 x + sin3 x; b) y = cosx − cos3 x; Thạc sỹ Trần Văn Khánh 5.4 Vi phân www.VNMATH.com 17 c) y = xcosx − sin x; + sin x ; − sin x sin x − cosx e) y = sin x + cosx d) y = Hướng dẫn a) y b) y c) y d) y = sin xcosx (2 − sin x) ; = sin x 3cos2 x − ; = −x sin x; 2cosx = 2; (1 − sin x) e) y = (sin x + cosx)2 5.4 Vi phân A Tóm tắt lí thuyết 5.4.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) có đạo hàm x ∈ (a; b) Giả sử ∆x số gia x cho x + ∆x ∈ (a; b) Tích f (x)∆x hay y ∆x gọi vi phân hàm số f(x) x, ứng với số gia ∆x, kí hiệu df(x) hay dy Chú ý Vì dx = ∆x nên dy = df(x) = f (x)dx B Bài tập minh họa Dạng toán Tìm vi phân hàm số Phương pháp + Tính đạo hàm hàm số y = f(x); + dy = df(x) = f (x)dx Bài 5.26 Tìm vi phân hàm số: a) y = sinx − x.cosx; b) y = ; x x3 + c) y = x −1 Thạc sỹ Trần Văn Khánh www.VNMATH.com 5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 18 Giải a) Ta có y = x sin x, dy = x sin xdx; 3 b) Ta có y = − , dy = − dx; x c) Ta có y = − x 6x2 (x3 − 1) , y = − 6x2 (x3 − 1) dx Dạng tốn Tính gần Phương pháp ứng dụng vi phân vào tính gần f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) ∆x Bài 5.27 Tính số gần sau (lấy chữ số thập phân kết quả): √ a) 0, 99998; b) sin(−0, 00002) Giải √ √ a) Xét hàm số y = x, với x0 = 1, ∆x = −0, 00002 Vậy 0, 99998 ≈ 0, 99999; b) Xét hàm số y = sin x, với x0 = 0, ∆x = −0, 00002 Vậy sin(−0, 00002) ≈ 0, 00002 C Bài tập tự luyện Bài 5.28 Tìm vi phân hàm số: a) y = 2xsinx + − x2 cosx; b) y = sin cos2 x cos sin2 x ; c) y = sin x − xcosx x sin x + cosx Hướng dẫn a) dy = x2 sin xdx; b) dy = − sin 2xcos (cos2x) dx; c) dy = 5.5 x2 (cosx + x sin x) dx Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao A Tóm tắt lí thuyết 5.5.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm f (x) Nếu f (x) có đạo hàm ta gọi đạo hàm đạo hàm cấp hai f(x) kí hiệu f (x): Thạc sỹ Trần Văn Khánh www.VNMATH.com 5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 19 f (x) = f (x) Tương tự f (x) = f (x); f (n−1) (x) = f (n) (x), n ∈ N∗ kí hiệu f (0) (x) = f(x); f (n) (x) đạo hàm cấp n hàm số f(x) 5.5.2 ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai f (x) gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t B Bài tập minh họa Dạng tốn Tính đạo hàm cấp hai hàm số Phương pháp y = f (x) = (f (x)) Bài 5.29 Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau: √ a) y = x x2 + 1; b) y = tan x; c) y = x sin 2x; d) y = sin x sin 2x sin 3x Giải a) y b) y c) y d) y x + 2x2 + 2x2 √ =√ ⇒y = ; + x2 (1 + x2 ) + x2 sin x π = ⇒y = , x = + kπ, k ∈ Z; 2x 3x cos cos = (cos2x − x sin 2x); 1 = sin 2x + sin 4x − sin 6x ⇒ y = − sin 2x − sin 4x + sin 6x 4 C Bài tập tự luyện Bài 5.30 Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau: x ; a) y = x −1 x+1 b) y = x−2 Thạc sỹ Trần Văn Khánh www.VNMATH.com 5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao 20 Hướng dẫn a)y = 1 + x+1 x−1 y = ⇒y = + − (x + 1) − (x − 1)2 ; (x + 1) (x − 1)3 3 b) y = + ⇒y =− 2; x+2 (x − 2) y = (x − 2)3 Bài 5.31 Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: a) y = ; 1−x ; b) y = 1+x Hướng dẫn a) y = y (n) = b)y (n) (1 − x) n! ;y = n+1 (1 − x)3 Chứng minh phương pháp quy nạp; (1 − x) (−1)n n! = Chứng minh phương pháp quy nạp (1 − x)n+1 Bài 5.32 Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: π a)(sin x)(n) = sin x + n ; b)(cosx)(n) = cos x + n π Thạc sỹ Trần Văn Khánh www.VNMATH.com 5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao Bài tập cuối chương Bài 5.33 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số y = tan x x0 ∈ Df Hướng dẫn lim x→x0 tan x − tan x0 1 sin x − sin x0 = lim = x→x0 x − x0 x − x0 cosx.cosx0 cos2 x0 Bài 5.34 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: a) f(x) = sin x; b) f(x) = cosx Hướng dẫn a) f (x) = cosx; b) f (x) = − sin x Bài 5.35 Hướng dẫn Bài 5.36 Hướng dẫn Bài 5.37 Hướng dẫn Bài 5.38 Hướng dẫn Bài 5.39 Hướng dẫn Bài 5.40 Hướng dẫn Thạc sỹ Trần Văn Khánh 21 www.VNMATH.com 5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao Bài 5.41 Hướng dẫn Bài 5.42 Hướng dẫn Bài 5.43 Hướng dẫn Bài 5.44 Hướng dẫn Bài 5.45 Hướng dẫn Bài 5.46 Hướng dẫn Thạc sỹ Trần Văn Khánh 22 ... 5.5 x2 (cosx + x sin x) dx Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao A Tóm tắt lí thuyết 5.5.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm f (x) Nếu f (x) có đạo hàm ta gọi đạo hàm đạo hàm cấp hai f(x) kí hiệu... Hướng dẫn Bài 5.40 Hướng dẫn Thạc sỹ Trần Văn Khánh 21 www.VNMATH.com 5.5 Đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp cao Bài 5.41 Hướng dẫn Bài 5.42 Hướng dẫn Bài 5.43 Hướng dẫn Bài 5.44 Hướng dẫn Bài 5.45... 5.3 Đạo hàm hàm số lượng giác 16 B Bài tập minh họa Dạng tốn Tính đạo hàm hàm số lượng giác Phương pháp Dùng giới hạn hàm số lượng giác cơng thức tính đạo hàm hàm số lượng giác Bài 5.23 Tính đạo