ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH GIANG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀO GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học toán Mã số: 60.14.10 L L U U Ậ Ậ N N V V Ă Ă N N T T H H Ạ Ạ C C S S Ĩ Ĩ T T O O Á Á N N H H Ọ Ọ C C NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2008 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 I. Lý do chọn đề tài 1 II. Mục đích nghiên cứu 2 III. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 IV. Giả thuyết khoa học 2 V. Phƣơng pháp nghiên cứu 3 1. Nghiên cứu lý luận 3 2. Thực nghiệm sƣ phạm 3 CẤU TRÚC LUẬN VĂN 4 Chƣơng 1: NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG CHƢƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN 5 1.1 Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 5 1.1.1 Cơ sở lý luận 5 1.1.1.1 Cơ sở triết học 5 1.1.1.2 Cơ sở tâm lý học 5 1.1.1.3 Cơ sở giáo dục học 6 1.1.2 Những khái niệm cơ bản 6 1.1.2.1 Vấn đề 6 1.1.2.2 Tình huống gợi vấn đề 7 1.1.2.3 Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 8 1.1.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 9 1.2 Dạy học giải bài tập toán 10 1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 10 1.2.2 Các yêu cầu đối với lời giải 12 1.2.3 Phƣơng pháp chung để giải bài toán 13 1.3 Thực trạng dạy học giải bài tập ở trƣờng THPT 15 1.3.1 Thực trạng 15 1.3.2 Nguyên nhân 16 1.4 Những nội dung cơ bản của lý thuyết đồ thị 17 1.4.1. Khái niệm đồ thị (trong tin học) 17 1.4.2. Các đơn đồ thị đặc biệt 20 1.4.3. Tính liên thông của đồ thị 22 1.4.4 Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton 23 1.4.5.Cây 24 1.4.5.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 24 1.4.5.2. Cây khung 25 1.4.5.3. Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất 26 1.4.5.4. Cây có gốc 27 1.4.6 Đồ thị phẳng và tô màu đồ thị 28 1.4.6.1 Bài toán mở đầu 28 1.4.6.2. Đồ thị phẳng 28 1.4.6.3 Tô màu đồ thị 29 1.4.6.3.1. Định nghĩa 30 1.4.6.3.2. Một số định lý 31 Kết luận chương 1: 32 Chƣơng 2 KHAI THÁC LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀO GIẢI BÀI TẬP TOÁN 33 2.1.Quy trình chuyển đổi từ bài toán thông thƣờng sang ngôn ngữ lý thuyết đồ thị 33 2.1.1 Một số bài toán tiềm ẩn các yếu tố của lý thuyết đồ thị 33 2.1.2. Quy trình chuyển đổi từ bài toán thông thƣờng sang ngôn ngữ lý thuyết đồ thị 34 2.1.2.1. Dấu hiệu chung 35 2.1.2.2 Dấu hiệu nhận dạng bài tập có thể sử dụng đồ thị có hƣớng 38 2.1.2.3 Dấu hiệu nhận dạng bài tập có thể sử dụng đồ thị màu 41 2.2. Các phƣơng án vận dụng lý thuyết đồ thị trong dạy học giải bài tập 43 2.2.1 Vai trò và định hƣớng của dạy học giải bài tập 43 2.2.2 Quy trình Polya trong giải bài tập 43 2.2.3 Phƣơng án 1 (khai thác lý thuyết đồ thị ở bƣớc 1) 44 2.2.4 Phƣơng án 2 (khai thác lý thuyết đồ thị ở bƣớc 2) 46 2.2.5 Phƣơng án 3 (khai thác lý thuyết đồ thị ở bƣớc 4) 48 2.3. Các biện pháp nhằm góp phần rèn luyện khả năng vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán cho học sinh THPT chuyên Tin 55 2.3.1 Hệ thống hóa một số yếu tố trong lý thuyết đồ thị 55 2.3.2 Xây dựng một hệ thống bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận từng bƣớc với việc vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán 58 2.3.2.1 Một số bài toán liên quan đến bậc và cạnh của đồ thị 58 2.3.2.2 Một số bài toán liên quan đến đồ thị có hƣớng 61 2.3.2.3 Một số bài toán liên quan đến đồ thị màu 63 2.3.2.4 Một số bài toán liên quan đến đƣờng đi 65 2.3.2.5 Bài toán về cây 67 2.3.2.6 Bài toán liên quan đến đồ thị phẳng 68 2.3.2.7 Một số bài tập về cạnh, đỉnh, bậc và một số kiến thức có liên quan 70 Chƣơng III THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 77 3.1. Mục đích, nhiệm vụ, nguyên tắc, nội dung thực nghiệm 3.1.1. Mục đích thực nghiệm 77 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm 77 3.1.3. Nguyên tắc thực nghiệm 77 3.1.4. Nội dung thực nghiệm 77 3.1.5. Đối tƣợng thực nghiệm 77 3.2. Hình thức và kế hoạch tiến hành thực nghiệm 78 3.2.1 Hình thức 78 3.2.2. Kế hoạch tiến hành thực nghiệm 78 3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm 79 3.3.1. Về nội dung tài liệu thực nghiệm 79 3.3.2. Về phƣơng pháp tiến hành kiểm tra 79 3.3.3. Về kết quả kiểm tra thực nghiệm 79 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sƣ phạm 82 MỘT SỐ ĐỀ BÀI TẬP 84 KẾT LUẬN ĐỀ TÀI 88 BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT GV: Giáo viên LTĐT: Lý thuyết đồ thị THPT: Trung học phổ thông SGK: Sách giáo khoa Đ thẳng: Đƣờng thẳng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Chúng (1992), Graph và giải toán phổ thông, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội. [2] Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn toán, Nhà xuất bản Đại học Sƣ phạm, Hà Nội. [3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Toán rời rạc và một số vấn đề liên quan, Đại học Khoa học tự nhiên, Hà Nội. [4] Nguyễn Hữu Ngự (2001), Lý thuyết đồ thị, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. [5] Đặng Huy Ruận (2004), Lý thuyết đồ thị và ứng dụng, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội. [6] Các đề thi vô địch toán 19 nƣớc trong đó có Việt Nam (Tập 2), Nhà xuất bản trẻ. [7] Tuyển tập 30 năm tạp trí toán học và tuổi trẻ (2000), Nhà xuất bản giáo dục. SGK và tài liệu tham khảo môn toán chƣơng trình phổ thông. [8] Claude Berge (1967), Théorie des Graphes et ses applicacations, Dunod Paris. Nguyễn Hữu Nguyên và Nguyễn Văn Vỵ dịch (1971): Lý thuyết đồ thị và ứng dụng, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội. 1 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài: - Đổi mới phương pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo dục nhằm nâng cao chất lượng đào tạo, góp phần thực hiện công nghiệp hoá hiện đại hóa đất nước. - Lý thuyết đồ thị là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụng vào nhiều ngành khoa học, kỹ thuật khác nhau vì lý thuyết đồ thị toán học là phương pháp khoa học có tính khái quát cao, có tính ổn định vững chắc để mã hóa các mối quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu. - Vận dụng lý thuyết đồ thị trong dạy học để mô hình hóa các mối quan hệ chuyển thành phương pháp dạy học đặc thù sẽ nâng cao được hiệu quả dạy học thúc đẩy quá trình tự học tự nghiên cứu của học sinh theo hướng tối ưu hóa đặc biệt nhằm rèn luyện năng lực hệ thống hóa kiến thức và năng lực sáng tạo của học sinh. - Trong chương trình học tập học sinh chuyên Tin ở trường THPT được trang bị các kiến thức về lý thuyết đồ thị để nhằm phục vụ cho việc lập trình giải toán, do đó có thể khai thác tri thức về lý thuyết đồ thị vào quá trình dạy học môn toán. - Trong dạy học toán thì giải bài tập đóng vai trò quan trọng. Bởi điều căn bản là bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Vai trò của bài tập toán được thể hiện trên cả 3 phương diện: mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. 2 - Việc cung cấp thêm một phương pháp giải bài tập cho học sinh chuyên Tin là một nhu cầu cần thiết. Mặt khác việc vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán giúp ta đạt được hai mục tiêu: 1. Giải được một lớp bài tập. 2. Hỗ trợ cho việc lập trình. - Hiện nay việc nghiên cứu khai thác một số yếu tố của lý thuyết đồ thị vào giải toán cũng được một số tác giả quan tâm nhưng chưa có những công bố có tính chất hệ thống, xuất phát từ những lý do trên chúng tôi lựa chọn đề tài: “Khai thác lý thuyết đồ thị trong dạy học toán ở trƣờng THPT Chuyên”. II. Mục đích nghiên cứu Chỉ ra hướng vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán và tìm ra các biện pháp để giúp học sinh chuyên Tin trung học phổ thông hình thành và phát triển năng lực vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán. III. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu những nội dung cơ bản của lý thuyết đồ thị được trang bị cho học sinh chuyên Tin. - Chỉ ra hệ thống bài tập trong chương trình toán có thể vận dụng lý thuyết đồ thị để giải. - Chỉ ra được những dấu hiệu cụ thể để nhận dạng “Bài toán” có thể khai thác lý thuyết đồ thị trong quá trình giải bài toán. - Chỉ ra các phương án vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán. - Kiểm tra hiệu quả của các biện pháp, phương án lý thuyết đồ thị vào giải toán trong thực tế. IV. Giả thuyết khoa học Nếu ta có các phương pháp giúp học sinh chuyên Tin trung học phổ thông vận dụng kiến thức về lý thuyết đồ thị vào giải toán thì sẽ giúp học sinh 3 giải quyết được một số lớp bài toán góp phần nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập nói riêng dạy học toán nói chung cho học sinh chuyên Tin. V. Phƣơng pháp nghiên cứu 1. Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các văn bản, tài liệu chỉ đạo của Bộ GD & ĐT liên quan đến đổi mới phương pháp dạy học, đổi mới ra đề kiểm tra, danh mục thiết bị dạy học toán. - SGK, phân phối chương trình, sách GV, chuẩn của bộ môn toán ở trung học phổ thông, sách nâng cao, sách chuyên đề. - Các tài liệu về lý thuyết đồ thị và những ứng dụng của nó trong thực tiễn cuộc sống và trong dạy học. - Các công trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến phương pháp đồ thị. 2. Thực nghiệm sƣ phạm - Chỉ ra cho học sinh các dấu hiệu "nhận dạng" và cách thức vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán. - Biên soạn hệ thống bài tập luyện tập cho học sinh và một số đề bài kiểm tra để đánh giá khả năng vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán. - Tiến hành thực nghiệm và đánh giá kết quả thực nghiệm. [...]... khá mạnh Học sinh chuyên Tin được trang bị các kiến thức về toán rời rạc, lý thuyết đồ thị, tối ưu hoá… nhằm tạo nền tảng cho học sinh nắm được các thuật toán, vận dụng vào lập trình và giải bài tập toán Để giúp học sinh chuyên tin có thể tiếp cận được với một phương pháp giải bài tập mới đó là áp dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán, giáo viên có thể sử dụng nhiều phương pháp dạy học khác nhau...CẤU TRÚC LUẬN VĂN Mở đầu Chƣơng 1: Những nội dung cơ bản của lý thuyết đồ thị trong chương trình đào tạo cho học sinh chuyên Chƣơng 2: Khai thác lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm Kết luận 4 Chƣơng 1 NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG CHƢƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN Trong hệ thống các trường Chuyên thì thời gian gần đây các lớp chuyên Tin phát... bài toán vấn đề đặt ra là liệu có thể chuyển đổi hay sử dụng lý thuyết đồ thị để giải hay không? Đây chính là bước phát hiện và thâm nhập vấn đề (bước1) + Khi xác định được bài toán có thể áp dụng lý thuyết đồ thị để giải ta tiếp tục tìm kiến thức nào có liên quan trong lý thuyết đồ thị sẽ áp dụng để giải hay đây chính là đi tìm giải pháp (bước 2) + Trình bày lời giải (bước 3) + Nghiên cứu sâu lời giải. .. chung để giải một bài toán để từ đó cung cấp thêm cho học sinh chuyên tin một phương pháp giải bài tập toán đó là áp dụng lý thuyết đồ thị để giải 14 1.3 Thực trạng dạy học giải bài tập ở trƣờng THPT Thực trạng phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT nói chung và phương pháp dạy học giải bài tập nói riêng hiện nay 1.3.1 Thực trạng Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tham khảo ở một số đồng nghiệp cho thấy:... định lý cũng như vận dụng kiến thức trong giải toán, trong thực tiễn Khi học, học sinh chủ yếu là nghe giảng, xem giáo viên làm mẫu, học sinh học thụ động, luôn luôn phụ thuộc vào giáo viên Học sinh chưa được tự giác, tự do, tự khám phá kiến thức Không ít giáo viên dạy theo kiểu áp đặt, 15 kiểu luyện thi, nên học sinh chỉ quen nói theo và làm theo sự áp đặt đó Như vậy, rất nhiều học sinh sau khi học, ... cứu sâu giải pháp - Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả - Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hoá, lật ngược vấn đề và giải quyết nếu có thể 9 Như vậy giáo viên có thể sử dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào việc dạy cho học sinh một phương pháp giải bài tập toán đó là áp dụng lý thuyết đồ thị Giáo viên bám sát vào bốn bước của phương pháp dạy học đã... tri thức, phát triển năng lực trí tuệ và bồi dưỡng phẩm chất Những tri thức mới (đối với học sinh) được kiến tạo nhờ quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề Tác dụng phát triển năng lực trí tuệ của kiểu dạy học này là ở chỗ học sinh học được cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách thức phát hiện tiếp cận và giải quyết vấn đề một cách khoa học Đồng thời, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng... rằng bài toán có thể khái quát hoá được không và có thể xét một lớp bài toán tương tự hay không Như vậy có thể thấy phương pháp dạy học lựa chọn là phù hợp 1.2 Dạy học giải bài tập toán 1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Trong dạy học toán, mỗi... dậy ở học sinh cảm nghĩ là tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số tri thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết dược vấn đề đó Như vậy là học sinh có được niềm tin ở khả năng huy động tri thức và kỹ năng sẵn có để giải quyết hoặc tham gia giải quyết vấn đề 1.1.2.3 Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Trong dạy học phát... hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể là: + Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn + Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ +Bồi dưỡng . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THANH GIANG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẬN DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀO GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH CHUYÊN TIN Chuyên. Phƣơng án 3 (khai thác lý thuyết đồ thị ở bƣớc 4) 48 2.3. Các biện pháp nhằm góp phần rèn luyện khả năng vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán cho học sinh THPT chuyên Tin 55 2.3.1 Hệ thống. thuyết đồ thị vào giải toán trong thực tế. IV. Giả thuyết khoa học Nếu ta có các phương pháp giúp học sinh chuyên Tin trung học phổ thông vận dụng kiến thức về lý thuyết đồ thị vào giải toán