Đang tải... (xem toàn văn)
tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức
1 Chương I ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I . Tính chất cơ bản: a. khi 0 khi 0 ax bx x a b ax bx x > > > ⇔ < < b. a x a b x y b y > ⇒ + > + > Chú ý a x b y > > a b x y ab xy a x b y − > − > > c. 0 0 a x ab xy b y > ≥ ⇒ > > ≥ d. 2 2 a b a b > ≥ 0 ⇒ > Hệ quả: 2 2 a b a b > ⇔ > e. 1 1 a b a b > > 0 ⇒ < 1 1 a b a b < < 0 ⇒ > f. 0 A > • x A A x A < ⇔ − < < • x A x A x A < − > ⇔ > II. Vài bất đẳng thức thông dụng: Với a, b, c,… tùy ý ( , , a b c R ∈ ) a. 2 2 2 a b ab + ≥ ( Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a b = ) b. 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + ( Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a b c = = ) c. Với , 0 a b > ta có: 1 1 1 1 4 ( ) 4a b a b a b a b + + ≥ ⇔ + ≥ + III. Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho , ; 4 4 x y π π ∈ − . Chứng minh bất đẳng thức: tan tan 1 1 tan tan x y x y − < − Giải: , ; 4 4 x y π π ∈ − thì 2 2 1 tan ; tan 1; 0 tan , tan 1 x y x y − < < ≤ < Ta có: tan tan 1 1 tan tan x y x y − < − ⇒ 2 tan tan 1 tan tan x y x y ⇔ − > − 2 2 2 2 tan tan 2tan tan 1 2 tan tan tan tan x y x y x y x y ⇔ + − < − + 2 2 2 2 tan tan tan tan 1 0 x y x y ⇔ + − − < 2 2 2 tan (1 tan ) (1 tan ) 0 x y y ⇔ − − − < 2 2 (1 tan )(tan 1) 0 y x ⇔ − − < ( Luôn đúng , ; 4 4 x y π π ∀ ∈ − ) Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 1 a b c + + = thì: 1 1 1 3. 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c + + ≥ + + Giải: Vì hàm số 1 3 x giảm nên ta có: 1 1 0 ( ) 3 3 3 3 3 3 a b b a a b a b a b a b ≥ − − ⇒ + ≥ + Tương tự ta có: 3 3 3 3 c b b c b c b c + ≥ + ; 3 3 3 3 a c c a c a c a + ≥ + Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ( chú ý rằng 1 a b c + + = ), ta được: 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c a b c a b c + + − + + ≥ 2 + + 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c ⇔ + + ≥ + + (đpcm) Ví dụ 3: a. Cho 0, 0 x y > > và 1 xy ≤ . Chứng minh: 2 1 1 1 1 1 x y xy ≥ + + + + (1) b. Cho 0 a b c d < ≤ ≤ ≤ và 1 bd ≤ . Chứng minh: 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c d abcd ≥ + + + + + + + + Giải: a. Vì 0, 0 x y > > nên bất đẳng thức (1) tương đương với: 2(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) x y xy y xy x + + ≥ + + + + + 2 2 2 2 1 1 x y xy xy y y xy xy x x xy ⇔ + + + ≥ + + + + + + + ( ) 2 ( ) 2 x y xy xy x y xy ⇔ + + ≥ + + ( ) ) 2(x y xy x y xy xy ⇔ + − ( + + − ) ≥ 0 ( )(1 2x y xy xy xy ⇔ + − )+ ( −1) ≥ 0 (1 2xy x y xy ⇔ − )( + − ) ≥ 0 3 (1 xy x y 2 ⇔ − )( − ) ≥ 0 (2) Vì: 2 ( ) 0 1 1 0 x y xy xy − ≥ ≤ ⇒ − ≥ nên (2) đúng (đpcm) b. , , , 0 1 a b c d a b c d bd > ≤ ≤ ≤ ≤ nên , , , 0 1 a b c d a b c d bd > ≤ ≤ ≤ 1 ac db ⇒ ≤ ≤ Theo kết quả câu a, ta có: 1 1 2 ( , 0; 1) 1 1 1 1 1 2 ( , 0; 1) 1 1 1 a c ac a c ac b d bd c d bd + ≤ > ≤ + + + + ≤ > ≤ + + + 1 1 1 1 1 1 2. 1 1 1 1 1 1 2 2. 1 . a b c d ac bd ac bd ⇒ + + + ≤ + + + + + + + ≤ + 4 1 abcd = + (đpcm) Ví dụ 4: Cho , , [ 1;2] a b c ∈ − thỏa mãn điều kiện 0 a b c + + = . Chứng minh: 2 2 2 6 a b c + + ≤ Giải: • [ 1;2] 1 2 1)( 2) 0 a a a a ∈ − ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ( + − ≤ 2 2 2 0 2 a a a a ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ + (1) • Tương tự ta cũng có 2 2 (2) 2 (3) b b c c c ≤ + ≤ + Cộng (1), (2), (3) ta có: 2 2 2 ) 6 6 a b c a b c + + ≤ ( + + + = (đpcm) Ví dụ 5: Cho , , [0;2] x y z ∈ và 3 x y z + + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 x y z + + ≤ 5 Giải: Ta có: , , 2 ( 2)( 2)( 2) 0 x y z x y z ≤ ⇒ − − − ≤ 2( ) 4( ) 8 0 xyz xy yz zx x y z ⇔ − + + + + + − ≤ 2( ) 4.(3) 8 0 xyz xy yz zx ⇔ − + + − − ≤ 2( ) 4 xyz xy yz zx ⇔ ≤ + + − ( vì 3 x y z + + = ) 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 xyz x y z x y z ⇔ ≤ + + − + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 3 ( ) 4 xyz x y z x y z x y z ⇔ ≤ + + − + + − = − + + − 4 2 2 2 5 x y z xyz ⇔ + + ≤ − ( Vì 3 x y z + + = ) 2 2 2 5 x y z ⇒ + + ≤ ( Vì 0 xyz ≥ ) (đpcm) Ví dụ 6: Cho 0, 0, 0 x y z > > > và 1 xyz = . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 x y y z z x + + ≤ + + + + + + (1) b. 1 1 1 1 1 1 1 x y y z z x + + ≤ + + + + + + (2) Giải: a. Đặt T = vế trái của bất đẳng thức (1) ( ta cần chứng minh T 1 ≤ ) Ta có: 3 3 2 2 ( )( ) x y x y x y xy + = + + − Mà 2 2 2 2 2 0 ( Vì 0, 0) x y xy x y xy xy x y x y + ≥ ⇔ + − > + > > > Nên 2 2 ( )( ) ( ) x y x y xy x y xy + + − ≥ + hay 3 3 ( ) x y xy x y + ≥ + 3 3 ( ) x y xy x y xyz ⇒ + +1≥ + + ( Vì 1 xyz = ) 3 3 ( ) 0 x y xy x y z ⇔ + +1≥ + + > 3 3 1 1 1 ( ) x y xy x y z ⇔ ≤ + + + + (a) Tương tự ta có: 3 3 3 3 1 1 (b) 1 ( ) 1 1 (c) 1 ( ) y z xy x y z z x xy x y z ≤ + + + + ⇔ ≤ + + + + Cộng vế theo vế (a), (b), (c), ta có: 1 1 1 1 1 T 1 ( ) x y z x y z xy yz zx x y z xyz + + ≤ + + = = + + + + ( Vì 1 xyz = ) (đpcm) b. Đặt S bằng vế trái của bất đẳng thức (2) ( ta cần chứng minh S ≤1 ) Đặt 3 3 3 x a y b z c = = = mà 3 3 3 , , 0 , , 0 1 1 x y z a b c xyz a b c abc > ⇒ > = ⇒ ⇔ = , , 0 a b c > và 1 abc = nên theo kết quả câu a, ta có: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a + + ≤ + + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 x y y z z x ⇔ + + ≤ + + + + + + (đpcm) Ví dụ 7: Cho , 0 a b > và , 0 b c > . Chứng minh: ( ) ( ) a c c b c c ab − + − ≤ (1) 5 Giải: Bất đẳng thức (1) tương đương với: 2 ( ) ( ) 2 ( )( ) c a c b c c c a c b c ab − + − + − − ≤ 2 2 2 ( )( ) 0 c c ac ab bc c a c b c ⇔ + − + − − − − ≥ 2 ( ) ( ) 2 ( )( ) 0 c a b c c b c c a c b c ⇔ + − − − − − − ≥ 2 ( )( ) 2 ( )( ) 0 c a c b c c a c b c ⇔ + − − − − − ≥ 2 ( )( ) 0 c a c b c ⇔ − − − ≥ đây là bất đẳng thức đúng (đpcm) Ví dụ 8: Chứng minh rằng đối với mọi , , a b c R ∈ , ta có: 2 2 2 2 4 a b c ab ac bc + + ≥ − + (1) Giải: Bất đẳng thức (1) tương đương với: 2 2 2 4 4 4 8 4a b c ac bc ac + + − − + ≥ 0 2 2 2 ) 0 a b c ⇔ ( − + ≥ đây là bất phương trình đúng (đpcm) Ví dụ 9: Cho 3 36 a > và 1 abc = . Chứng minh: 2 2 2 3 a b c ab bc ca + + > + + (1) Giải: Bất đẳng thức (1) tương đương với: 2 2 ( ) 2 ( ) 3 a b c bc a b c bc + + − > + + 2 2 ( ) ( ) 3 0 3 a b c a b c bc ⇔ + − + + − > 2 2 3 ( ) ( ) 0 3 a b c a b c a ⇔ + − + + − > ( Vì 1 bc a = ) 2 2 ( ) 3 ( ) 0 3 x b c a a f x x ax a = + ⇔ = − + − > Xét tam thức bậc hai 2 2 3 ( ) ( ) 3 a f x x ax a = − + − có: 2 3 2 3 36 4 0 3 3 a a a a a − ∆ = − − = < ( Vì 3 36 a > ) ( ) 0, ( ) f x x R a ⇒ > ∀ ∈ ⇒ đúng (đpcm) Ví dụ 10: Cho 1 1 x − < < và , 1 n N n ∈ > . Chứng minh: 6 2 (1 ) (1 ) 2 n n x n − + + < Giải: Vì 1 1 x − < < nên cos (0x α α = < < π) lúc đó: (1 ) (1 ) (1 cos (1 cos ) n n n n n n α α + + − = + ) + − 2 2 2cos 2sin n n α α = + 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 cos sin 2 n n n n n α α α α = + < + = 2 2 2 2 (đpcm) * Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương cần: 1. Chú ý xem kĩ giả thuyết đề cho, vì trong một số trường hợp có thể biến đổi giả thuyết đề cho thành bất đẳng thức cần chứng minh ( như ở ví dụ 4, 5…). 2. Trong một số trường hợp có thể biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức luôn đúng ( được nêu ở ví dụ 1, 3, 7, 8…). 3. Nên thuộc lòng và bất đẳng thức thông dụng được giới thiệu ở phần II. IV. Bài tập tương tự: 1. Chứng minh rằng: nếu 0 x y z < ≤ ≤ thì: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z + + + ≤ + + * Hướng dẫn: Tìm bất đẳng thức tương đương bằng cách quy đông mẫu số, ước lược số hạng ( ) x z + , chuyển vế, biến đổi vế trái thành dạng tích số,… 2. a, b, c, d là năm số thức tùy ý, chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 a b c d e ab ac ad ac + + + + ≥ + + + Khi nào đẳng thức xảy ra? * Hướng dẫn: Tìm bất đẳng thức tương đương bằng cách biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng: 2 2 2 2 0 2 2 2 2 a a a a b c d e − + − + − + − ≥ … 3. a, b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, chứng minh: 2 2 2 2( ) a b c ab bc ca + + < + + * Hướng dẫn: 2 , a b c a ab ac b a c< + ⇒ < + < + ⇒ 4. Chứng minh: 2 2 2 , , R a b ab a b + ≥ ∀ ∈ Áp dụng a, b, c là ba số thực tùy ý, chứng minh: 4 4 4 ( ) a b c abc a b c + + ≥ + + 7 * Hướng dẫn: Dùng công thức 2 2 2 ( ) 0 a b a b − ≥ ⇔ + ≥ Áp dụng kết quả trên. 5. Chứng minh [ 1;1] t ∀ ∈ − ta có: 2 2 1 1 1 1 2 t t t t + + − ≥ + + ≥ − * Hướng dẫn • Với [ 1;1] t ∀ ∈ − , ta luôn có: 2 2 (1 ) 2 (1 )(1 ) (1 ) 1 2 1 (1 ) t t t t t t − + − + + + ≥ + − + − Biến đổi tương đương suy ra 2 1 1 1 1 t t t + + − ≥ + + • Từ: 2 0 1 1 t ≤ − ≤ 2 2 1 1 2 t t ⇒ + + ≥ − Chương II BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY) I. Phương pháp giải toán 1) Cho 2 số a,b > 0, ta có: 2 a b ab + ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2) Cho n số 1 2 3 , , , , 0 n a a a a ≥ ta có: 1 2 3 1 2 3 n n n a a a a a a a a n + + + + ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 n a a a a = = = = 3) Bất đẳng thức côsi suy rộng Phát biểu: Với các số thực dương 1 2 3 , , , , n a a a a và 1 2 3 , , , , n x x x x là các số thực không âm và có tổng bằng 1, ta có: 31 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 n x x x x n n n a x a x a x a x a a a a + + + + ≥ 8 Tổng quát: Cho n số dương tùy ý a i, i = 1, n và n số hữu tỉ dương q i , i = 1, n thỏa 1 1 n i i q = = ∑ khi đó ta luôn có: 1 1 . i n n q i i i i i a q a = = ≤ ∑ ∏ Dấu “=” xảy ra II. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho n số dương a i, i = 1, n . Chứng minh rằng: 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 ( ) n n a a a a n a a a a + + + + + + + + ≥ Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 , , , , , , , , , n n a a a a a a a a Ta có: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 n n n n n n a a a a n a a a a n a a a a a a a a + + + + ≥ + + + + ≥ Nhân 2 vế tương ứng ta được bất đẳng thức cần chứng minh và dấu “=” xảy ra khi 1 2 3 n a a a a = = = = Ví dụ 2:Chứng minh với mọi a,b,c dương ta luôn có: 2 1 1 1 27 ( ) ( ) ( ) 2( ) a a b b b c c c a a b c + + ≥ + + + + + Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho vế trái: 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) a a b b b c c c a abc a b a c b c + + ≥ + + + + + + (1) Mà 3 3 3 3 6 6 2 3 3 ( ) 3 ( )( )( ) 8( ) 8 ( )( )( ) ( ) 3 2 ( )( )( ) ( ) 9 abc a b c a b b c c a a b c abc a b b c c a a b c abc a b b c c a a b c ≤ + + + + + ≤ + + ⇒ + + + ≤ + + ⇔ + + + ≤ + + 9 2 9 3 27 2( ) ( )( )( ) a b c abc a b b c c a ⇔ ≥ + + + + + (2) Từ (1)(2) đpcm Dấu “=” xảy ra a = b = c Ví dụ 3: Chứng minh với mọi số dương a, b, c ta luôn có 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + ≤ + + + + + + Giải Ta có: 3 3 ( ) a b ab a b + ≥ + Nên 3 3 ( ) abc abc c a b abc ab a b abc a b c ≤ = + + + + + + Tương tự ta cũng có 3 3 3 3 ( ) ( ) abc abc a b c abc bc b c abc a b c abc abc b a c abc ac a c abc a b c ≤ = + + + + + + ≤ = + + + + + + Cộng vế theo vế ta được 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc + + ≤ + + + + + + Hay 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + ≤ + + + + + + ( đpcm ) III. Bài tập tương tự 1. Các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức : 5 5 5 5 5 5 1 xy yz xz x xy y y yz z x xz z + ≤ + + + + + + *Hướng dẫn: Ta có: 2 2 2 x y xy + ≥ 5 5 5 5 2 2 2 2 2 = 2 (x+y) x y x y x y xy x y ⇒ + ≥ ≥ 10 Do đó : 5 5 2 2 1 (x+y) 1 ( ) xy xy z x xy y xy x y xy x y x y z ≤ = = + + + + + + + Tương tự: 5 5 5 5 yz x y yz z x y z xz y x xz z x y z ≤ + + + + ≤ + + + + Cộng vế theo vế ta có đpcm. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z. 2. Với mọi x, y, z dương. Chứng minh : 3 3 3 x y z x y z yz xz xy + + ≥ + + *Hướng dẫn: Áp dụng bất dẳng thức côsi, ta có: 3 3 3 3 3 3 x y z x yz y x z y xz z x y z xy + + ≥ + + ≥ + + ≥ Cộng vế theo vế ta được: 3 3 3 2( ) 3( ) x y z x y z x y z yz xz xy + + + + + ≥ + + ⇒ đpcm Dấu “=” xảy ra khi x = y = z. 3. Cho , , a b c là 3 số nguyên dương. Chứng minh: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 a b c a b c b c a c a b a b c + + + + + + + ≤ + + *Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b c a c a c a b a b + + + + + + + + + + + + + + n lần n lần n lần ( ). ( ) ( ) ( ) a b c a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + Hay : 2( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b c a b c b c a c a b a b c + + + + ≥ + + + + + (1) [...]... ng minh: a b c 3 + + ≥ b+c a+c a+b 2 *Hư ng d n Không m t tính t ng quát, ta gi s : a ≥ b ≥ c > 0 b + c ≤ a + c ≤ a + b Suy ra a b c b + c ≥ a + c ≥ a + b Áp d ng b t ng th c trê – bư – sep cho 2 dãy: b + c, a + c, a + b và a b c , , b+c a+c a+b 2 Cho a, b, c th a a 2 + b 2 + c 2 ≥ 1 ch ng minh : a3 b3 c3 1 , , ≥ b+c a+c a+b 2 *Hư ng d n Không m t tính t ng quát, ta gi s : a ≥ b ≥ c a 2 ≥... c n ch ng minh là lu n Phép toán m nh cho ta: : “G ⇒ K ” G ⇒ K = G ∨ K = G ∧ K = GK Như v y, mu n ph nh lu n ta ghép t t c gi thi t c a lu n v i ph c a nó Ta thư ng dùng 5 hình th c ch ng minh ph n ch ng như sau: 1 Dùng m nh ph n o: K ⇒ V 2 Ph nh lu n r i suy ra i u trái gi thi t: GK ⇒ G 3 Ph nh lu n r i suy ra i u trái v i m t i u úng: GK ⇒ S 4 Ph nh lu n r i suy ra hai i u trái nhau: GK ⇒ CC 5... hay a = b = c T (2) và (3) suy ra: 14 ⇒ pcm Ví d 6: Cho ∆ABC tùy ý có m1, m2, m3 là ngo i ti p tam giác Ch ng minh r ng dài 3 ư ng trung tuy n và R là bán kính ư ng tròn 9R ≥2 m1 + m2 + m3 Gi i: Ta có công th c ư ng trung tuy n: 2b 2 + 2c 2 − a 2 4 3 ⇒ ma 2 + mb 2 + mc 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 4 M t khác, trong m i tam giác ta có: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 (1) D u “ = ” trong (1) x y ra ⇔ ∆ABC u 27 2 ⇒ ma... )(a + b ) ≤ 4(a 9 + b9 ) D u “=” x y ra ⇔a=b 2 2 2 Ví d 2: Cho dãy s dương trong ó : a1 + a2 + + an > 1 3 3 an a13 a2 1 + + + > Ch ng minh: s − a1 s − a2 s − an n − 1 V i s = a1 + a2 + + an Gi i Không m t tính t ng quát ta gi s : a1 ≥ a2 ≥ ≥ an do: 20 2 a12 ≥ a2 ≥ ≥ an 2 ai > 0 ∀i = 1, 2,3, , n ⇒ a1 an a2 s − a ≥ s − a ≥ ≥ s − a 1 2 n Áp d ng b t ng th c trê – bư – sep, ta có: 3 3 3... (3), (4) ⇒ ( pcm) s − a1 s − a2 s − an n − 1 Ví d 3: G i a1 , a2 , , an là các c nh c a n giác và g i c là chu vi c a a giác Ch ng minh r ng : an a1 a2 n + + + ≥ c − 2a1 c − 2a2 c − 2an n − 2 Gi i Không m t tính t ng quát, ta gi s : 21 c − 2a1 ≤ c − 2a2 ≤ ≤ c − 2an a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ⇒ a1 an a2 ≥ ≥ ≥ c − 2a c − 2a2 c − 2an 1 Áp d ng b t ng th c trê – bư – sep, ta có a1 a a + 2 + +... ) D u “ = ” x y ra ⇔ a a1 a2 = = = n hay a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; ; an = kbn b1 b2 bn Ch ng minh: a = a 2 + a 2 + + a 2 1 2 n t: b = b12 + b2 2 + + bn 2 • N u a = 0 hay b = 0 thì b t ng th c luôn úng • N u a, b > 0 : a b t: α i = i ; β i = i ( i = 1, n ) a b 2 2 Th thì α1 + α 2 + + α n 2 = β12 + β 2 2 + + β n 2 = 1 1 Mà: α i β i ≤ (α i 2 + β i 2 ) 2 1 Suy ra: α1β1 + α 2 β 2 + + α n β n ≤... = 1 − > 1− n +1 n +1 n +1 n +1 ⇒ pcm Ví d 2: Cho a,b,c >0 ch ng minh : (b + c ) + (c + a ) + ( a + b ) > 2 (*) Gi i: • N u trong 3 s a,b,c có m t s l n hơn ho c b ng 1 thì b t ng th c (*) luôn úng • N u 0 < a, b, c < 1 Áp d ng b t ng th c Bernoulli: a b c a [1 − (b + c) ] a + b + c 1 1 − (b + c ) < = 1 + < 1+ b+c b+c b+c b+c a ⇒ (b + c)a > a b+c (1) a+b+c Ch ng minh... có: f '( x) = e x − 1 > e0 − 1 = 0 , ∀x ≥ 0 ⇒ f ( x) ng bi n trên ( 0;+∞) ⇒ f ( x ) > f (0) ( ∀x > 0 ) Hay e x − 1 − x > 0 ( ∀x > 0 ) ⇒ ex > 1 + x ( ∀x > 0 ) Ví d 3: Ch ng minh v i m i ∆ABC nh n ta luôn có sinA + sinB + sinC +2( tanA+tanB+tanC) >3π Gi i: π Xét hàm s f ( x) = sin x + 2 tan x − 3 x v i x ∈ [0; 2 2 Ta có: f '( x) = cos x + −3 cos 2 x 26 cos3 x − 3cos 2 x + 2 cos 2 x (cos x − 1)(cos... 4 )2 4 M t khác: 6 4 2 ≥ (3) x +x +x 3 4 Th t v y: (3) ⇔ 3(1 + 2 x + x8 ) ≥ 4( x 6 + x 4 + x 2 ) ⇒ (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ⇔ 3x8 − 4 x 6 + 2 x 4 − 4 x 2 + 3 ≥ 0 ⇔ ( x 2 − 1) 2 (3 x 4 + 2 x 2 + 3) ≥ 0 ( luôn úng) 4 T (2) và (3): a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 2 a = b = c = 3 ( x = 1) D u “ = ” x y ra ⇔ a = b = c = − 2 (x = −1) 3 Ví d 4: Cho a, b, c > 0 th a a + b + c = 1 Ch ng minh r ng: 13 4 3 P= 1 1... i ch ng minh Ví d 2: Cho n ∈ N , n ≥ 1 , ai > 0, i = 1, 2, , n Hãy ch ng minh: 1 1 1 + + + an a1 a2 ( a1 + a2 + + an ) 2 ≥n Gi i: * n = 1: a1 1 = 12 : B t a1 * n = k : Gi s b t ng th c luôn úng ng th c úng là: 34 1 1 1 + + + ak a1 a2 ( a1 + a2 + + ak ) 2 ≥k * n = k + 1 : Ta xét: 1 1 1 + + + ak +1 a1 a2 ( a1 + a2 + + ak +1 ) 1 1 1 1 1 1 1 = ( a1 + a2 + +