Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” ph n I: m uầ ởđầ I/ t v n .đặ ấ đề Trong thi t t nghi p THPT , i h c , Cao ng, THCN c a các n m b iđề ố ệ Đạ ọ đẳ ủ ă à toán tích phân h u nh không th thi u nh ng i v i h c sinh THPT b i toánầ ư ể ế ư đố ớ ọ à tích phân l m t trong nh ng b i toán khó vì nó c n n s áp d ng linh ho tà ộ ữ à ầ đế ự ụ ạ c a nh ngh a, các tính ch t , các ph ng pháp tính c a tích phân. Trong th củ đị ĩ ấ ươ ủ ự t a s h c sinh tính tích phân m t cách h t s c máy móc ó l : tìm m tế đ ố ọ ộ ế ứ đ à ộ nguyên h m c a h m s c n tính tích phân r i dùng nh ngh a c a tích phânà ủ à ố ầ ồ đị ĩ ủ ho c ph ng pháp i bi n s , ph ng pháp tính tích phân t ng ph n m r t ítặ ươ đổ ế ố ươ ừ ầ à ấ h c sinh ý n nguyên h m c a h m s tìm c có ph i l nguyên h m c aọ để đế à ủ à ố đượ ả à à ủ h m s ó trên o n l y tích phân hay không? phép t bi n m i trong ph ngà ố đ đ ạ ấ đặ ế ớ ươ pháp i bi n s có ngh a không? Phép bi n i h m s có t ng ng không?đổ ế ố ĩ ế đổ à ố ươ đươ vì th trong quá trình tính tích phân h c sinh th ng m c ph i nh ng sai l mế ọ ườ ắ ả ữ ầ d n n l i gi i sai qua th c t gi ng d y nhi u n m tôi nh n th y r t rõ y uẫ đế ờ ả ự ế ả ạ ề ă ậ ấ ấ ế i m n y c a h c sinh vì v y tôi m nh d n xu t sáng ki n : “ M t s sai l mđể à ủ ọ ậ ạ ạ đề ấ ế ộ ố ầ th ng g p c a h c sinh khi tính tích phân”ườ ặ ủ ọ Nh m giúp h c sinh kh c ph c c nh ng y u i m nêu trên t ó tằ ọ ắ ụ đượ ữ ế để ừ đ đạ c k t qu cao khi gi i b i toán tích phân nói riêng v t k t qu cao trongđượ ế ả ả à à đạ ế ả quá trình h c t p nói chung.ọ ậ II/Lí do ch n t i :ọ đề à “ M t s sai l m th ng g p c a h c sinh khi tính tích phân”ộ ố ầ ườ ặ ủ ọ trong toán i S Gi i Tích 12 . Nó cho phép chúng ta ti p c n nhanh nh ng b iĐạ ố ả ế ậ ữ à toán ph c t p, c th tính giá tr c a t ng d ng tích phân v có th nhìn th yứ ạ ụ ể ị ủ ừ ạ à ể ấ nh ng sai l ch , m ta s d ng không úng ph ng pháp ữ ệ à ử ụ đ ươ …vv . Chính vì v yậ tôi ch n t i : “ M t s sai l m th ng g p c a h c sinh khi tính tích phân”ọ đề à ộ ố ầ ườ ặ ủ ọ Nó th t s có ích trong khi tôi d y cho các em 12 b c v o m t b c h c cao ậ ự ạ để ướ à ộ ậ ọ h n .V i h th ng b i t p ít nh th n y,nh ng tôi tin t ng r ng nó l ph n ơ ớ ệ ố à ậ ư ế à ư ưở ằ à ầ không th thi u cho các em h c sinh v các b n ng nghi p tham kh o .Mong ể ế ọ à ạ đồ ệ ả b n c, các ng nghi p có nhi u óng góp quý báu . Xin c m n !.ạ đọ đồ ệ ề đ ả ơ III/l ch s v n :ị ử ấ đề Nguyên h m v tích phân v i các ph ng pháp t ng ng ã có t lâu ,à à ớ ươ ươ ứ đ ừ nh ng : ư GV : §Æng Ngäc Liªn 1 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” “ M t s sai l m th ng g p c a h c sinh khi tính tích phân” h u nh ít ýộ ố ầ ườ ặ ủ ọ ầ ư để n.đế V i quan sát nh v y , tôi m nh d n a ra t i nh th n y trong kho ng th iớ ư ậ ạ ạ đư đề à ư ế à ả ờ gian suy ngh t 2 n 3 n m . Tuy l m i , nh ng tôi không ng ng tham kh o ýĩ ừ đế ă à ớ ư ừ ả ki n c a các em v ng nghi p ho n ch nh nó .ế ủ àđồ ệ để à ỉ IV/gi i h n c a t i : ớ ạ ủ đề à V ki n th c : Nguyên h m v tích phân ch gi i h n m t ph n ki n th c trongề ế ứ à à ỉ ớ ạ ộ ầ ế ứ h c k II c a sách i s gi i tích 12 .ọ ỳ ủ đạ ố ả V th i gian : không nhi u trong nghiên c u v nhìn nh n vi c d y , theo dõiề ờ ề ứ à ậ ệ ạ vi c h c c a các em . Nh ng v i tinh th n giáo d c , nên m i khó kh n chúngệ ọ ủ ư ớ ầ ụ ọ ă tôi c ng u v c qua .ũ đề ượ V/ ph ng pháp :ươ + L a ch n các ví d các b i t p c th phân tích t m nh ng sai l m c a h cự ọ ụ à ậ ụ ể ỉ ỉ ữ ầ ủ ọ sinh v n d ng ho t ng n ng l c t duy v k n ng v n d ng ki n th c c a h cậ ụ ạ độ ă ự ư à ỹ ă ậ ụ ế ứ ủ ọ sinh t ó a ra l i gi i úng c a b i toán.để ừđ đư ờ ả đ ủ à +Th c nghi m s ph m .ự ệ ư ạ Ph n II: n i dungầ ộ I/ c s khoa h c :ơ ở ọ D a trên nguyên t c quá trình nh n th c c a con ng i i t : “ cái sai nự ắ ậ ứ ủ ườ đ ừ đế cái g n úng r i m i n khái ni m úng”, các nguyên t c d y h c v c i mầ đ ồ ớ đế ệ đ ắ ạ ọ àđặ để quá trình nh n th c c a h c sinhậ ứ ủ ọ II/ n i dung c th .ộ ụ ể M t s sai l m c a h c sinh khi tính tích phânộ ố ầ ủ ọ GV : §Æng Ngäc Liªn 2 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” B i t p minh ho :à ậ ạ B i 1à : Tính tích phân: I = ∫ − + 2 2 2 )1(x dx * Sai l m th ng g p: I = ầ ườ ặ ∫ − + 2 2 2 )1(x dx = ∫ − + + 2 2 2 )1( )1( x xd =- 1 1 +x 2 2− =- 3 1 -1 = - 3 4 * Nguyên nhân sai l m :ầ H m s y = à ố 2 )1( 1 +x không xác nh t i x= -1đị ạ [ ] 2;2−∈ suy ra h m s không liênà ố t c trên ụ [ ] 2;2− nên không s d ng c công th c Newt n – leibnitz nh cáchử ụ đượ ứ ơ ư gi i trên.ả * L i gi i úngờ ả đ H m s y = à ố 2 )1( 1 +x không xác nh t i x= -1đị ạ [ ] 2;2−∈ suy ra h m s không liênà ố t c trên ụ [ ] 2;2− do ó tích phân trên không t n t i.đ ồ ạ * Chú ý i v i h c sinh:đố ớ ọ Khi tính dxxf b a )( ∫ c n chú ý xem h m s y=f(x) có liên t c trên ầ à ố ụ [ ] ba; không? n uế có thì áp d ng ph ng pháp ã h c tính tích phân ã cho còn n u không thìụ ươ đ ọ để đ ế k t lu n ngay tích phân n y không t n t i.ế ậ à ồ ạ * M t s b i t p t ng tộ ố à ậ ươ ự: Tính các tích phân sau: 1/ ∫ − 5 0 4 )4(x dx . 2/ dxxx 2 1 3 2 2 )1( − ∫ − . 3/ dx x ∫ 2 0 4 cos 1 π 4/ dx x xex x ∫ − +− 1 1 3 23 . GV : §Æng Ngäc Liªn 3 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” B i 2à :Tính tích phân: I = ∫ + π 0 sin1 x dx * Sai l m th ng g p: t t = tgầ ườ ặ Đặ 2 x thì dx = 2 1 2 t dt + ; xsin1 1 + = 2 2 )1( 1 t t + + ⇒ ∫ + x dx sin1 = ∫ + 2 )1( 2 t dt = ∫ − + 2 )1(2 t d(t+1) = 1 2 +t + c ⇒ I = ∫ + π 0 sin1 x dx = 1 2 2 + − x tg π 0 = 1 2 2 + − π tg - 10 2 +tg do tg 2 π không xác nh nên tích phân trên không t n t iđị ồ ạ *Nguyên nhân sai l m:ầ t t = tgĐặ 2 x x [ ] π ;0∈ t i x = ạ π thì tg 2 x không có ngh a.ĩ * L i gi i úng:ờ ả đ I = ∫ + π 0 sin1 x dx = ∫∫       −=       −       − =       −+ π π π π π π π 0 0 2 0 42 42 cos 42 2 cos1 x tg x x d x dx = tg 2 44 =       − − ππ tg . * Chú ý i v i h c sinh:đố ớ ọ i v i ph ng pháp i bi n s khi t t = u(x) thì u(x) ph i l m t h m s liênĐố ớ ươ đổ ế ố đặ ả à ộ à ố t c v có o h m liên t c trên ụ à đạ à ụ [ ] ba; . *M t s b i t p t ng t :ộ ố à ậ ươ ự Tính các tích phân sau: 1/ ∫ π 0 sin x dx 2/ ∫ + π 0 cos1 x dx B i 3:à Tính I = ∫ +− 4 0 2 96xx dx * Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ GV : §Æng Ngäc Liªn 4 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” I = ∫ +− 4 0 2 96xx dx = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 9 2 1 2 3 333 4 0 4 0 2 4 0 2 −=−= − =−−=− ∫∫ x xdxdxx * Nguyên nhân sai l m:ầ Phép bi n i ế đổ ( ) 33 2 −=− xx v i x ớ [ ] 4;0∈ l không t ng ng.à ươ đươ * L i gi i úng:ờ ả đ I = ∫ +− 4 0 2 96xx dx = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫∫ −−+−−−=−−=− 3 0 4 3 4 0 4 0 2 3333333 xdxxdxxdxdxx = - ( ) ( ) 5 2 1 2 9 2 3 2 3 4 3 2 3 0 2 =+= − + − xx * Chú ý i v i h c sinh:đố ớ ọ ( )( ) ( ) xfxf n n = 2 2 ( ) Nnn ∈≥ ,1 I = ( )( ) = ∫ b a n n xf 2 2 ( ) dxxf b a ∫ ta ph i xét d u h m s f(x) trênả ấ à ố [ ] ba; r i dùng tính ch tồ ấ tích phân tách I th nh t ng các phân không ch a d u giá tr tuy t i.à ổ ứ ấ ị ệ đố M t s b i t p t ng t : ộ ố à ậ ươ ự 1/ I = ∫ − π 0 2sin1 x dx ; 2/ I = ∫ +− 3 0 23 2 xxx dx 3/ I = ∫       −+ 2 2 1 2 2 2 1 x x dx 4/ I = ∫ −+ 3 6 22 2cot π π xgxtg dx B i 4:à Tính I = ∫ − ++ 0 1 2 22xx dx * Sai l m th ng g p:ầ ườ ặ GV : §Æng Ngäc Liªn 5 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” I = ( ) ( ) ( ) 4 011 11 1 0 1 0 1 2 π =−=+= ++ + − − ∫ arctgarctgxarctg x xd * Nguyên nhân sai l m :ầ H c sinh không h c khái ni m arctgx trong sách giáo khoa hi n th iọ ọ ệ ệ ờ * L i gi i úng:ờ ả đ t x+1 = tgt Đặ ( ) dtttgdx 2 1 +=⇒ v i x=-1 thì t = 0ớ v i x = 0 thì t = ớ 4 π Khi ó I = đ ( ) ∫∫ === + + 4 0 4 0 4 0 2 4 1 1 π π π π tdt tt g dtttg * Chú ý i v i h c sinh:đố ớ ọ Các khái ni m arcsinx , arctgx không trình b y trong sách giáo khoa hi n th i;ệ à ệ ờ H c sinh có th c th y m t s b i t p áp d ng khái ni m n y trong m t sáchọ ể đọ ấ ộ ố à ậ ụ ệ à ộ tham kh o, vì các sách n y vi t theo sách giáo khoa c (tr c n m 2000). Tả à ế ũ ướ ă ừ n m 2000 n nay do các khái ni m n y không có trong sách giáo khoa nên h că đế ệ à ọ sinh không c áp d ng ph ng pháp n y n a. Vì v y khi g p tích phân d ngđượ ụ ươ à ữ ậ ặ ạ ∫ + b a dx x 2 1 1 ta dùng ph ng pháp i bi n s t t = tgx ho c t = cotgx ;ươ đổ ế ốđặ ặ ∫ − b a dx x 2 1 1 thì t x = sint ho c x = costđặ ặ *M t s b i t p t ng tộ ố à ậ ươ ự: 1/ I = ∫ − 8 4 2 16 dx x x 2/ I = dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 1 322 3/ I = ∫ − 3 1 0 8 3 1 x dxx B i 5:à GV : §Æng Ngäc Liªn 6 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” Tính :I = ∫ − 4 1 0 2 3 1 dx x x *Suy lu n sai l m: t x= sint , dx = costdtậ ầ Đặ ∫ ∫ = − dt t t dx x x cos sin 1 3 2 3 i c n: v i x = 0 thì t = 0Đổ ậ ớ v i x= ớ 4 1 thì t = ? * Nguyên nhân sai l m:ầ Khi g p tích phân c a h m s có ch a ặ ủ à ố ứ 2 1 x− thì th ng t x = sint nh ng iườ đặ ư đố v i tích phân n y s g p khó kh n khi i c n c th v i x = ớ à ẽ ặ ă đổ ậ ụ ể ớ 4 1 không tìm cđượ chính xác t = ? * L i gi i úng:ờ ả đ t t = Đặ 2 1 x− ⇒ dt = xdxtdtdx x x =⇒ − 2 1 i c n: v i x = 0 thì t = 1; v i x = Đổ ậ ớ ớ 4 1 thì t = 4 15 I = ∫ − 4 1 0 2 3 1 dx x x = ( ) ( ) ∫ ∫ −=−         −=         −=−= − 4 15 1 4 15 1 4 15 1 3 2 2 3 2 192 1533 3 2 192 1515 4 15 3 1 1 t tdtt t tdtt * Chú ý i v i h c sinh: Khi g p tích phân c a h m s có ch a đố ớ ọ ặ ủ à ố ứ 2 1 x− thì th ng t x = sint ho c g p tích phân c a h m s có ch a 1+xườ đặ ặ ặ ủ à ố ứ 2 thì t x = tgtđặ nh ng c n chú ý n c n c a tích phân ó n u c n l giá tr l ng giác c a gócư ầ đế ậ ủ đ ế ậ à ị ượ ủ c bi t thì m i l m c theo ph ng pháp n y còn n u không thì ph i nghđặ ệ ớ à đượ ươ à ế ả ĩ nph ng pháp khác.đế ươ *M t s b i t p t ng t :ộ ố à ậ ươ ự GV : §Æng Ngäc Liªn 7 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” 1/ tính I = dx x x ∫ + 7 0 2 3 1 2/tính I = ∫ + 2 1 2 1xx dx B i 6:à tính I = ∫ − + − 1 1 4 2 1 1 dx x x * Sai l m th ng m c: I = ầ ườ ắ ∫ ∫ − − −       +       − = + − 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 dx x x x x x x t t = x+Đặ dx x dt x       −=⇒ 2 1 1 1 i c n v i x = -1 thì t = -2 ; v i x=1 thì t=2;Đổ ậ ớ ớ I = ∫ − − 2 2 2 2t dt = dt tt ) 2 1 2 1 ( 2 2 − − + ∫ − =(ln 2+t -ln 2−t ) 2 2 2 2 2 2 ln −− − + = t t = ln 22 22 ln2 22 22 ln 22 22 − + = −− +− − − + * Nguyên nhân sai l m: ầ 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1 x x x x x + − = + − l sai vì trong à [ ] 1;1− ch a x = 0 nênứ không th chia c t c m u cho x = 0 cể ả ử ả ẫ đượ * L i gi i úng: ờ ả đ xét h m s F(x) = à ố 12 12 ln 22 1 2 2 ++ +− xx xx F ’ (x) = 1 1 ) 12 12 (ln 22 1 4 2 2 2 + − = ′ ++ +− x x xx xx Do ó I = đ ∫ − + − 1 1 4 2 1 1 dx x x = 12 12 ln 22 1 2 2 ++ +− xx xx ln 2 1 1 1 = − 22 22 + − *Chú ý i v i h c sinh: Khi tính tích phân c n chia c t c m u c a h m sđố ớ ọ ầ ả ử ả ẫ ủ à ố cho x c n ý r ng trong o n l y tích phân ph i không ch a i m x = 0 .ầ để ằ đ ạ ấ ả ứ để GV : §Æng Ngäc Liªn 8 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” III/Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m:ệ ả ủ ế ệ 1/K t qu t th c ti n:ế ả ừ ự ễ Ban u h c sinh g p khó kh n nh t nh trong vi c gi i nh ng d ng tíchđầ ọ ặ ă ấ đị ệ ả ữ ạ phân nh ã nêu.Tuy nhiên giáo viên c n h ng d n h c sinh t m cách phânư đ ầ ướ ẫ ọ ỉ ỉ tích m t b i toán tích phân t h m s d i d u tích phân,c n c a tích phân ộ à ừ à ố ướ ấ ậ ủ để l a ch n ph ng pháp phù h p trên c s giáo viên a ra nh ng sai l m m h cự ọ ươ ợ ơ ở đư ữ ầ à ọ sinh th ng m c ph i trong quá trình suy lu n,trong các b c tính tích phânườ ắ ả ậ ướ n y r i t ó h ng các em i n l i gi i úng.à ồ ừđ ướ đ đế ờ ả đ Sau khi h ng d n h c sinh nh trên v yêu c u h c sinh gi i m t s b iướ ẫ ọ ư à ầ ọ ả ộ ố à t p tích phân trong sách giáo khoa Gi i Tích L p 12 v m t s b i trong các ậ ả ớ à ộ ố à đề thi tuy n sinh v o i h c,cao ng v trung h c chuyên nghi p c a các n mể à đạ ọ đẳ à ọ ệ ủ ă tr c thì các em ã th n tr ng trong khi tìm v trình b y l i gi i v ã gi iướ đ ậ ọ à à ờ ả à đ ả c m t l ng l n b i t p ó.đượ ộ ượ ớ à ậ đ 2/K t qu th c nghi m:ế ả ự ệ Sáng ki n c áp d ng trong n m h c 2007-2008. ế đượ ụ ă ọ B i ki m tra trên hai i t ng l p 12A1(28 h c sinh) không áp d ng sáng ki nà ể đố ượ ớ ọ ụ ế v 12C4(37 h c sinh) áp d ng sáng ki n nh sau:à ọ ụ ế ư x p lo iế ạ i t ngđố ượ gi iỏ khá tb y uế 12C1 50% 40% 10% 0% 12C4 0% 0% 40% 60% GV : §Æng Ngäc Liªn 9 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” Sau khi th c hi n sáng ki n h c sinh h c t p r t tích c c v h ng thú cự ệ ế ọ ọ ậ ấ ự à ứ đặ bi t l khi gi i b i toán tích phân các em tính tích phân r t th n tr ng v hi uệ à ả à ấ ậ ọ à ể b n ch t c a v n ch không tính r p khuôn m t cách máy móc nh tr c, óả ấ ủ ấ đề ứ ậ ộ ư ướ đ l vi c th hi n vi c phát huy tính tích c c, ch ng, sáng t o c a h c sinh.à ệ ể ệ ệ ự ủđộ ạ ủ ọ ph n III:k t lu n ki n nghầ ế ậ – ế ị I/ k t lu n:ế ậ Nghiên c u, phân tích m t s sai l m c a h c sinh khi tính tích phân cóứ ộ ố ầ ủ ọ ý ngh a r t l n trong quá trình d y h c vì khi áp d ng sáng ki n n y s giúpĩ ấ ớ ạ ọ ụ ế à ẽ h c sinh nhìn th y c nh ng i m y u v nh ng hi u bi t ch a th t th u áoọ ấ đượ ữ để ế à ữ ể ế ư ậ ấ đ c a mình v v n n y t ó phát huy h c sinh t duy c l p, n ng l c suyủ ề ấ đề à ừđ ở ọ ư độ ậ ă ự ngh tích c c ch ng c ng c trau r i thêm ki n th c v tính tích phân t óĩ ự ủ độ ủ ố ồ ế ứ ề ừđ l m ch c ki n th c, t c k t qu cao trong quá trình h c t p v các kà ủđượ ế ứ đạ đượ ế ả ọ ậ à ỳ thi tuy n sinh v o các tr ng i h c, cao ng , THCNể à ườ đạ ọ đẳ II/ Ki n ngh :ế ị Hi n nay nh tr ng ã có m t s sách tham kh o tuy nhiên ch a có m tệ à ườ đ ộ ố ả ư ộ sách tham kh o n o vi t v sai l m c a h c sinh khi gi i toán. Vì v y nhả à ế ề ầ ủ ọ ả ậ à tr ng c n quan tâm h n n a v vi c trang b thêm sách tham kh o lo i n y ườ ầ ơ ữ ề ệ ị ả ạ à để h c sinh c tìm tòi v nh ng sai l m th ng m c khi gi i toán các em cóọ đượ ề ữ ầ ườ ắ ả để th tránh c nh ng sai l m ó trong khi l m b i t p .ể đượ ữ ầ đ à à ậ GV : §Æng Ngäc Liªn 10 [...]... toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) 6 Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) mục lục phần I : mởđầu I Đặt vấn đề II.Lí do chọn đề tài GV : §Æng Ngäc Liªn trang 1 1 2 11 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” III.Lịch sử vấn đề : IV.Giới hạn của đề tài...Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” tài liệu tham khảo 1 Kiến thức cơ bản giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh – Nguyễn Thanh Sơn – Lê Văn Trường – NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002) 2 Phương pháp giải toán Tích phân và . Ngäc Liªn 1 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” “ M t s sai l m th ng g p c a h c sinh khi tính tích phân” h u nh ít ýộ ố ầ ườ ặ. dung c th .ộ ụ ể M t s sai l m c a h c sinh khi tính tích phânộ ố ầ ủ ọ GV : §Æng Ngäc Liªn 2 Trường THPT Ngọc Hồi – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” B. – Kon Tum . SKKN : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân ” Sau khi th c hi n sáng ki n h c sinh h c t p r t tích c c v h ng thú cự ệ ế ọ ọ ậ ấ ự à ứ đặ bi t l khi gi i b i