Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 169 BÀI 5. CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN • Đặt vấn đề: Xét tích phân dạng ( ) I R sin x,cos x dx = ∫ 1. Đổi biến số tổng quát: Đặt 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 x dt t t t tg x arctg t ;dx ; sin x ; cos x t t t − = ⇒ = = = = + + + Khi đó: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 dt t t I R sin x,cos x dx R , t t t   − = =   + + +   ∫ ∫ Ta xét 3 trường hợp đặc biệt thường gặp sau đây mà có thể đổi biến số bằng cách khác để hàm số dưới dấu tích phân nhận được đơn giản hơn. 2. Nếu ( ) R sinx, cosx là hàm lẻ theo sin : ( ) ( ) − − R sinx,cosx = R sinx, cosx thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = cosx. 3. Nếu ( ) R sinx, cosx là hàm lẻ theo cosin: ( ) ( ) − − R sinx, cosx = R sinx, cosx thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = sinx. 4. Nếu ( ) R sinx, cosx thoả mãn điều kiện: ( ) ( ) − − R sinx, cosx = R sinx,cosx thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t = tgx. II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 1. Dạng 1: Đổi biến số tổng quát − − ∫ 3sin2x 2cos2x 1 I = dx 3cos2x + 4sin2x + 5 Đặt 2 2 2 2 dt 2t 1 t t tg x x arctg t ;dx ; sin 2x ; cos 2x 1 t 1 t 1 t − = ⇒ = = = = + + + ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3.2t 2 1 t 1 t dt 1 t 6t 3 dt 1 t 6t 3 dt I 2 2 1 t t 4t 4 1 t 3 1 t 4.2t 5 1 t t 2 1 t − − − + + − + − = ⋅ = ⋅ = + + + + − + + + + + ∫ ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 170 Giả sử ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 3 2 1 2 1 2 t t A B Ct D , t t t t t t + − + = + + ∀ + + + + + ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 t 6t 3 A t 2 1 t B 1 t Ct D t 2 , t + − = + + + + + + + ∀ (*) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t 6t 3 A C t 2A B 4C D t A 4C 4D t 2A B 4D ⇔ + − = + + + + + + + + + + + Thay t = − 2 vào (*) thì − 11 = 5B ⇒ B = − 11/5 (*) A C 0 A C 0 A 34 25 2A B 4C D 1 2A 4C D 16 5 B 11 5 A 4C 4D 6 A 4C 4D 6 C 34 25 2A B 4D 3 2A 4D 4 5 D 12 25 + = + = = −       + + + = + + = = −    ⇔ ⇔ ⇔    + + = + + = =       + + = − + = − =    ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 t 6t 3 34 dt 11 dt 1 24t 12 I dt dt 2 25 t 2 5 25 1 t t 2 1 t t 2 + − + = = − − + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 34 dt 11 dt 12 d t 12 dt 25 t 2 5 25 25 1 t 1 t t 2 34 11 12 12 ln t 2 ln 1 t arctg t c 25 5 t 2 25 25 34 11 12 12 ln tg x 2 ln 1 tg x x c 25 5 tg x 2 25 25 = − − + + + + + + = − + + + + + + + = − + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Dạng 2: ( ) ( ) − − R sinx,cosx = R sinx, cosx • 3 2 2 2 = − − + − ∫ ∫ 1 3 2 sin2xdx J = cos x sin x 1 sin x cos xdx cos x cos x ( ) ( ) ( ) 3 2 2sin x cos x R sin x, cos x R sin x, cos x R sin x, cos x cos x cos x 2 = ⇒ − = − + − Đặt t = cos x ⇒ ( ) ( ) 1 3 2 2 2 2t dt 2t dt A Bt C J 2 dt t 1 t t 2 t 2t 2 t 1 t 2t 2 − − +   = = = − +   − + − + +   − + + ∫ ∫ ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 t A Bt C t A t 2t 2 Bt C t 1 t 1 t 2t 2 t 1 t 2t 2 + = + ⇔ = + + + + − − + + − + + ( ) ( ) ( ) 2 A B 0 A 1 5 t A B t 2A B C t 2A C 2A B C 1 B 1 5 2A C 0 C 2 5 + = =     ⇔ = + + − + + − ⇔ − + = ⇔ = −     − = =   Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 171 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t 2 2 dt 1 2t 2 6 J dt dt 5 t 1 5 t 1 5 t 2t 2 t 2t 2 2 dt 1 d t 2t 2 6 dt 5 t 1 5 5 t 2t 2 t 1 1 2 1 6 ln t 1 ln t 2t 2 arctg t 1 c 5 5 5 2 1 6 ln 1 cos x ln cos x 2 cos x 2 arctg 1 cos x c 5 5 5 − + −   = − − = − +   − − + + + +   + + = − + − − + + + + = − − + + + − + + = − − + + + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) 2 6 2 6 6 2 1 1 sin x dx d cos x dt sin x cos x cos x cos x t t − = = = − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 6 dx J = sinxcos x ( ) ( ) 6 6 4 2 2 6 3 5 6 2 3 5 t t 1 1 t t 1 t 1 1 1 1 dt dt ln c t 1 t t 1 t 3t 5t t t 1 1 cos x 1 1 1 ln c 1 cos x cos x 3cos x 5 cos x   − − + + − = = − = + + + +   + −   − − = + + + + + ∫ ∫ • 2 2 2 2 4 2 2 1 sin x cos x sin x cos x dx dx cos x cos x = = − ∫ ∫ ∫ 3 sinx + sin3x J = dx cos2x ( ) 2 2 2 2 2 2 4 cos xd cos x 4t dt 2 dt 2 dt 2 dt 1 1 2 cos x 1 2t 1 2t t 2 1 1 2t 1 1 2 cos x ln 2t c ln 2 cos x c 2 1 2t 2 1 2 cos x   = = = − = −   − − −   − + + = − + = − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 4 4 1 1 1 sin x cos x sin x dx d cos x cos x cos x π π − = − + + ∫ ∫ ∫ π 2 3 4 0 4sin x J = dx = 1 + cosx ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 2 0 1 0 4 1 t dt 4 1 t dt 4t 2t 4 2 2 1 t − = − = − = − = − = + ∫ ∫ • 2 2 2 2 3 2 2 6 6 6 3 4 3 4 4 1 sin x dx sin x dx sin x dx sin x sin x sin x cos x π π π π π π = = = − − − ∫ ∫ ∫ ∫ π 2 2 5 π 6 sin x J = dx sin3x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 6 3 2 3 2 2 2 2 0 2 0 0 d cosx dt 1 d 2t 1 2t 1 1 ln ln 2 3 2 4 2t 1 4 4cos x 1 4t 1 2t 1 π π − = = = = = − + − − − ∫ ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 172 3. Dạng 3: ( ) ( ) − − R sinx, cosx = R sinx, cosx • ( ) ( ) ( ) 4 4 8 2 2 20 20 20 1 1cos x sin x t cos x dx d sin x dt sin x sin x t − − = = = ∫ ∫ ∫ ∫ 9 1 20 cos x K = dx sin x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 6 8 20 19 17 15 13 11 19 17 15 13 11 1 4t 6t 4t t 1 4 6 4 1 dt c t 19t 17t 15t 13t 11t 1 4 6 4 1 c 19 sin x 17 sin x 15 sin x 13 sin x 11 sin x − + − + − = = + − + − + − = + − + − + ∫ • ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 4 2 4 cos x cos x cos x cos x cos x dx d sin x sin x sin x sin x sin x + + = = + + ∫ ∫ ∫ 3 5 2 2 4 cos x + cos x K = dx sin x + sin x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 1 t 1 t t 3t 2 2 6 dt dt 1 dt t t t 1 t t 1 t 2 2 t 6 arctg t c sin x 6 arctg sin x c t sin x − + − − +   = = = + −   + +   + = − − + = − − + ∫ ∫ ∫ 4. Dạng 4: ( ) ( ) − − R sinx, cosx = R sinx,cosx • ( ) ( ) ( ) 6 6 6 0 2 0 0 3 3 1 1 3 1 − = = = − = −− − ∫ ∫ ∫ π 6 1 0 L dx = cosx sinx cosx d tg x dx ln tg x ln tg x cos x tg x π π π • ( ) ( ) 3 3 3 3 3 8 2 3 4 4 4 4 4 4 d tg x dx dx tg x cos x cos x . tg x tg x π π π π π π = = = ∫ ∫ ∫ ∫ π 3 2 4 3 5 π 4 dx L = sin xcos x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 4 8 4 4 4 4 tg x d tg x 4 tg x 4 3 1 4 3 1 π π − π π   = = = − = −   ∫ • ( ) ( ) 4 4 2 4 3 3 0 2 3 cos x sin x dx cos x cos x sin x cos x π = + ∫ ∫ π 4 2 3 3 3 0 sin xdx L = cosx 2sin x + 3cos x ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 2 2 3 2 3 3 0 0 0 4 3 0 d 3 2 tg x tg x tg x 1 dx d tg x 6 3 2 tg x cos x 3 2 tg x 3 2 tg x 1 1 1 5 ln 3 2 tg x ln 5 ln 3 ln 6 6 6 3 π π π π + = ⋅ = = + + + = + = − = ∫ ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 173 II. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. DẠNG 1: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA SIN ( ) ∫ n dx sinx • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 6 3 1 1 2 2 4 2 8 2 2 2 2 2 x x tg d tg dx dx x x x x x sin cos tg cos tg + = = = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 dx A = sin x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 3 2 x x 1 2 tg tg 1 1 1 x 1 2 2 x x d tg 2 ln tg tg c 2 2 4 4 2 2 x x tg 2 tg 2 2 + +   − = = + + +         ∫ Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 1 3 4 2 2 2 d sin d d cos d cos sin sin 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x A x x x x x = = = − = − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 cos x 1 cos x 1 1 1 d cos x d cos x 4 1 cos x 1 cos x 4 1 cos x 1 cos x   − + + −   = = +     + − − +     ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 cos x 1 1 cos x d cos x ln c 4 2 1 cos x 1 cos x 2 sin x 1 cos x 1 cos x − − +   = + + = − +   − − − +   ∫ • ( ) ( ) ( ) 5 5 10 dx dx = x x x x 2 sin cos 32 tg cos 2 2 2 2 = ∫ ∫ ∫ 2 5 dx A = sin x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 6 8 5 5 2 4 4 2 x x x x x x 1 tg d tg 1 4 tg 6 tg 4 tg tg 1 1 2 2 2 2 2 2 x d tg 2 16 16 x x tg tg 2 2 1 1 2 x 1 x x 6 ln tg 2 tg tg c 2 2 16 2 4 x x 4 tg tg 2 2 + + + + + = =   − = − + + + +         ∫ ∫ Cách 2: 2 5 6 dx sin x dx A sin x sin x = = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 2 d cos x d cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x = − = −   + − −   ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 cos x 1 cos x 1 1 1 d cos x d cos x 8 1 cos x 1 cos x 8 1 cos x 1 cos x   − + + −   = = +     + − − +     ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 4 2 1 1 1 3 d cos x cos x 3 A 8 2 4 4sin x 2 1 cos x 2 1 cos x 1 cos x   − − = − + = −     − + −   ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 174 4 2 4 2 cos x 3 cos x 1 1 cos x cos x 3cos x 3 1 cos x ln ln c 4 2 1 cos x 8 1 cos x 4sin x 2sin x 4sin x 8sin x   − − + − + = − − = + + +   − −   • ( ) ( ) 2 1 2sin cos 2 2 n dx x x + = ∫ ∫ 3 2n+1 dx A = sinx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 n 2 2 n 1 4n 2 2 n 2 n 1 2 n 1 n 2n 0 1 2 n 2 2 n 2 2 n 2n 2n 2 n 2 n 2 n 1 x x 1 tg d tg dx 1 2 2 2 x x x 2 tg cos tg 2 2 2 x x x C C tg C tg C tg 1 2 2 2 x d tg 2 2 x tg 2 + + + + + + = = + + + + + = ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n 1 n 1 2n 2 2n n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2 C C C C 1 x x x C ln tg tg tg c 2 2 2 2 2n 2 x x 2n tg 2 tg 2 2 − +   − = − − + + + + +         • ( ) ( ) 2 1 cotg cotg = − + = ∫ ∫ 10 2n+ 2 dx A = sin x n x d x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k n 0 1 2 k 2 n 2 n n n n 1 k n 2k 1 2n 1 0 3 n n n n C C cotg x C cotg x C cotg x d cotg x C C C C cotg x cotg x cotg x cotg x c 3 2k 1 2n 1 + +   = − + + + + +     = − + + + + + +   + +   ∫ 2. DẠNG 2: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA COSIN ( ) ∫ n dx cos x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 6 3 2 2 2 3 2 d 2 d d d sin sin 2sin cos 8 tg cos 2 2 2 2 2 1 tg d tg 2 2 1 1 1 1 2 ln tg tg ; 4 4 2 2 2 2 tg 2 tg 2 2 x u u u u u u u u x u u u u c u x u u π + = = = = π + +   π − = = + + + = +       ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 dx B = cos x Cách 2: ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] 4 2 2 2 cos d d sin d sin cos 1 sin 1 sin 1 sin x x x x x x x x = = = + − − ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 dx B = cos x ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 sin 1 sin 1 1 1 d sin d sin 4 1 sin 1 sin 4 1 sin 1 sin x x x x x x x x  + + −   = = +     + − − +     ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 175 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 sin 1 1 sin d sin ln 4 2 1 sin 1 sin 2cos 1 sin 1 sin x x x c x x x x x +   = + + = + +   − − − +   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 4 2 2 2 1 2 1 d d d 2 sin sin 2sin cos 2 2 2 1 tg d tg d 1 2 2 2 2 tg cos tg 2 2 2 n n n n n n n n n x u u u uu x u u u u u u + + + + + + + π + = = = π + + = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ i 2 2n+1 dx B = cos x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ln tg tg tg 2 2 2 2 2 2 2 tg 2 tg 2 2 n n n n n n n n n n n n C C C C u u u C c n u u n − +   − = − − + + + + +         ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 3 1 tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg 3 2 1 2 1 n k n k n n n n n k n k n n n n n x d x C C x C x C x d x C C C C x x x x c k n + + = + =   = + + + + +     = + + + + + +   + +   ∫ ∫ ∫ i 3 2n+ 2 dx B = cos x 3. DẠNG 3: ( ) ( ) ∫ 2 2 dx C = a sinx + bsinxcosx + c cosx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 • d cos 3 5 tg3 2 21 1 tg 3 d tg 3 d tg 3 2 tg3 5 1 1 1 tg 3 12 42 4 tg 3 20 tg 3 17 6 42 42 5 tg 3 2 4 x x x x x x x arc c x x x =   + − +   + = = = + + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 dx C = 5sin3x + 2cos3x - 21 4. DẠNG 4: ∫ dx D = a sin x + b cos x + c • ( ) ( ) 2 2 2 2 dx x x x x x x 4sin cos 5 cos sin 3 cos sin 2 2 2 2 2 2 = + − + + ∫ ∫ 1 dx D = 2sinx + 5cosx + 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x d tg 1 tg 1 5 dx 1 2 2 ln c x x x x 2 5 x tg 1 5 cos 4 tg 8 2 tg tg 1 5 2 2 2 2 2 − − − − = = − = + − + + − − − ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 176 5. DẠNG 5: TÍCH PHÂN LIÊN KẾT • ∫ 1 cosxdx E = sinx + cosx . Xét tích phân liên kết với E 1 là: 1 * sin x dx E sin x cos x = + ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) * 1 1 1 * 1 1 2 cos x sin x E E dx dx x c sin x cos x cos x sin x d sin x cos x E E dx ln sin x cos x c sin x cos x sin x cos x +  + = = = +  +   − +  − = = = + +  + +  ∫ ∫ ∫ ∫ Giải hệ phương trình suy ra: ( ) ( ) 1 * 1 1 E x ln sin x cos x c 2 1 E x ln sin x cos x c 2  = + + +    = − + +  • − ∫ 2 sin3xdx E = 2cos3x 5sin3x . Xét tích phân liên kết là: 2 3 2 3 5 3 * cos x dx E cos x sin x = − ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) * 2 2 1 * 2 2 2 2cos3x 5sin3x 2E 5E dx dx x c 2cos3x 5sin3x 5cos3x 2sin3x 1 d 2cos3x 5sin3x ln 2cos3x 5sin3x 5E 2E dx c 2cos3x 5sin3x 3 2cos3x 5sin3x 3 −  − = = = +  −   + − −  + = = − = − +  − −  ∫ ∫ ∫ ∫ Giải hệ phương trình suy ra: 2 * 2 2 x 1 1 2ln 2cos 3x 5sin 3x E c 5x c ln 2cos3x 5sin 3x 29 29 3 5 3 x 5 1 1 5ln 2cos 3x 5sin 3x E c 2x c ln 2cos 3x 5sin 3x 29 29 3 2 3    − −  = ⋅ + = + +   −    −   −    −  = ⋅ + = − +   −    −  • ( ) ( ) ( ) ∫ 4 3 4 4 sin x E = dx sin x + cos x . Xét tích phân liên kết là: ( ) ( ) ( ) 4 3 4 4 * cos x E dx sinx cosx = + ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 * 3 3 1 4 4 sin x cos x E E dx dx x c sin x cos x + + = = = + + ∫ ∫ (1). Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 2 2 * 3 3 4 4 2 2 2 2 2 cosx sin x cos x sin x cos x sin x E E dx dx sin x cos x cos x sin x 2 cos x sin x − + − − = = + + − ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 177 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos 2x d sin 2x 1 2 sin 2x dx ln c 2 1 2 2 2 sin 2x 2 sin 2x 1 sin 2x 2 + = = = + − − − ∫ ∫ Từ (1) và (2) suy ra: * 3 3 1 1 2 sin 2x 1 1 2 sin 2x E x ln c ; E x ln c 2 2 2 2 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x     + + = − + = + +         − −     • ( ) ( ) ( ) ∫ π 2 99 4 99 99 0 cosx E = dx sinx + cosx . Xét tích phân: ( ) ( ) ( ) 2 99 4 99 99 0 * sin x E dx sin x cos x = + ∫ π Đặt 2 x u π = − ⇒ dx = − du . Với 2 x π = thì u = 0 và x = 0 thì 2 u π = . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 99 2 2 99 0 99 * 4 4 99 99 99 99 99 99 0 2 0 sin u du sinx dx cosu du 2 E E sinx cosx cosu sinu sin u cos u 2 2 π π π   π − −     = = = = + +     π π − + −         ∫ ∫ ∫ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 99 99 * 4 4 99 99 0 0 0 sin x cos x E E dx dx x 2 sin x cos x π π π + π + = = = = + ∫ ∫ ⇒ * 4 4 E E 4 π = = • ( ) ( ) ∫ π 2 2 2 5 0 E = cos3x cos6x dx . Xét tích phân: ( ) ( ) 2 2 2 5 0 3 6 E sin x cos x dx ∗ = ∫ π Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 0 0 E E cos3x sin 3x cos 6x dx cos 6x dx π π ∗   + = + =   ∫ ∫ ( ) 2 2 0 0 1 1 sin12x 1 cos12x dx x 2 2 12 4 π π π   = + = + =     ∫ . Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 0 0 2 2 3 2 * 6 6 0 0 E E cos 3x sin 3x cos 6x dx cos 6x cos 6x dx 1 1 sin 6x 1 sin 6x d sin 6x sin 6x 0 E E 6 6 3 8 π π ∗ π π   − = − =     π   = − = − = ⇒ = =       ∫ ∫ ∫ • ( ) 3 ∫ π 2 6 0 sinx dx E = sinx + cosx . Xét tích phân: ( ) 2 6 3 0 * cos x dx E sin x cos x = + ∫ π Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 178 Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 6 6 3 2 0 0 cos x sin x dx dx E E sin x cos x sin x cos x π π ∗ + + = = + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 dx 1 dx 1 1 1 cotg x 1 4 2 2 2 2 sin x 2 sin x 4 4 π π π − π = = = + = + = π   π + +     ∫ ∫ Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 6 3 3 0 0 cos x sin x dx d sin x cos x E E sin x cos x sin x cos x π π ∗ − + − = = + + ∫ ∫ ( ) 2 * 6 6 2 0 1 1 0 E E 2 2 sin x cos x π − = = ⇒ = = + 6. DẠNG 6: ∫ a sin x + b cos x F = dx m sin x + n cos x a. Phương pháp: Giả sử: ( ) ( ) a sin x b cos x m sin x ncos x m cos x n sin x , x α β + = + + − ∀ ⇔ ( ) ( ) a sin x b cos x m n sin x n m cos x , x α β α β + = − + + ∀ ⇔ 2 2 2 2 am bn m n a m n n m b bm an m n α α β α β β +  =  − =  +   ⇔   + = −    =  +  . Khi đó ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 am bn m sin x n cos x bm an m cos x n sin x F dx dx m sin x n cos x m sin x n cos x m n m n am bn bm an d m sin x ncos x dx m sin x n cos x m n m n am bn bm an x ln m sin x n cos x c m n m n + + − − = + + + + + + − + = + + + + + − = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ b. Các bài tập mẫu minh họa: • − ∫ 1 4sin2x 7cos2x F = dx 5sin2x + 3cos2x ( ) 1 4sin 2x 7cos 2x 1 4sin u 7cos u d 2x du 2 5sin 2x 3cos2x 2 5sin u 3cos u − − = = + + ∫ ∫ Giả sử ( ) ( ) 4 7 5 3 5 3 sin u cos u sin u cos u cos u sin u , u α β − = + + − ∀ ( ) ( ) 4sin u 7 cos u 5 3 sin u 3 5 cos u , u ⇔ − = α − β + α + β ∀ [...]... p 1 + b2 k12 dA1 ∫ ( λ −λ ) A 1 184 2 2 1 + λ2 2 dx = − pdu1 ∫ (λ − λ ) A 2 − q 1 + b2 k2 1 2 ∫ (λ 2 2 1 + λ2 + dA2 2 − λ1 ) A2 + λ1 ∫ (λ 2 −qdu2 2 − λ1 ) A2 + λ1 Bài 5 Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác b Các bài t p m u minh h a: ∫ 2sin • J1 = ( sinx + cosx ) dx 2 x − 4sinxcosx + 5cos 2 x 2 − λ −2 = 0 ⇔ λ1 = 1; λ 2 = 6 −2 5 − λ λ1 , λ 2 là nghi m c a phương trình 1 24 ... = (α − 2 β ) sin x + ( 2α + β ) cos x + ( 3α + γ ) , ∀x α − 2 β = 1 α = −1 5   ⇔ 2α + β = −1 ⇔  β = −3 5 Khi ó ta có: 3α + γ = 1 γ = 8 5   180 ) Bài 5 Các phép 1 G2 = − 5 =− 1 5 π2 ∫ 0 π2 i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác sin x + 2 cos x + 3 3 dx − sin x + 2 cos x + 3 5 3 π2 ∫ dx − 5 ∫ 0 0 π2 ∫ 0 cos x − 2 sin x 8 dx + sin x + 2 cos x + 3 5 d ( sin x + 2 cos x + 3) 8 +... x ) + r ( sin 2 x + cos 2 x ) , ∀x 2 2 ⇔ a ( sin x ) + b sin x cos x + c ( cos x ) = 2 2 = ( mp + r ) ( sin x ) + ( np + mq ) sin x cos x + ( nq + r ) ( cos x ) ; ∀x 182 Bài 5 Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác ( a − c ) m + bn  p = m2 + n2   mp + r = a  mp + r = a    ( a − c ) n − bm    ⇔ q = ⇔ np + mq = b ⇔  np + mq = b Khi ó ta có: m2 + n2     nq + r.. .Bài 5 Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác 5α − 3β = 4 α = −1 34   ⇔ ⇔ Khi ó ta có: 3α + 5β = −7 β = −47 34   1 4 sin u − 7 cos u −1 5sin u + 3 cos u 47 5 cos u − 3sin u du = du − du 2 5 sin u + 3cos... − 1  2 π4 = 1  3 −1  arcsin − ln  2 2 186 ( 3 + 1) 4 3 2 2  1  3 −1  arcsin + ln (1 + 2 )  = − ln   2 2  ( 3 +1) 4 3   4+2 2   Bài 5 Các phép π4 ∫ • K6 = π8 = ∫ π8 π4 dx 6 6 sin x + cos x π4 i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác = ∫ ( sin π8 2 3 x + cos2 x ) − 3sin 2 x cos2 x π4 dx 2   cos 4 x (1 + tg 2 x ) − 3 tg 2 x   1 + 1 du  2  u  = = 2 1 2 −1 u + 2 −... − an + 2 2 2 m + n m sin x + n cos x m + n 2 = am + bn dx bm − an 1 − 2 ⋅ +c 2 2 2 m + n m sin x + n cos x m + n m sin x + n cos x ∫ ∫ ( m sin x + n cos x ) 2 ∫ 181 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 2 Các bài t p m u minh h a: • H1 = 7 sin x − 5 cos x ∫ ( 3 sin x + 4 cos x ) 2 dx 7 sin x − 5 cos x = α ( 3 sin x + 4 cos x ) + β ( 3 cos x − 4 sin x ) ; ∀x Gi s ⇔ 7 sin x − 5 cos x = ( 3α... m x+ ∫  am + bn ln m sin x + n cos x + p +  c − 2 2 m +n  m +n bm − an 2 2 dx  p  m sin x + n cos x + p ∫ dx  p  m sin x + n cos x + p ∫ b Các bài t p m u minh h a: • G1 = sinx + 2cosx − 3 ∫ sinx − 2cosx + 3 dx 179 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương sin x + 2 cos x − 3 = α ( sin x − 2 cos x + 3) + β ( cos x + 2 sin x ) + γ , ∀x Gi s ⇔ sin x + 2 cos x − 3 = (α + 2 β ) sin x +... +c   sin ( a − b ) sin ( a − b ) sin ( x + a ) ∫ • K2 = ∫ dx 1 sin [( x + a ) − ( x + b )] ∫ cos ( x + a ) cos ( x + b ) = sin ( a − b ) ∫ cos ( x + a ) cos ( x + b ) dx 185 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương = 1 sin ( x + a ) cos ( x + b ) − cos ( x + a ) sin ( x + b ) dx sin ( a − b ) cos ( x + a ) cos ( x + b ) = 1 1 cos ( x + b ) tg ( x + a ) − tg ( x + b ) dx = ln +c   sin... x π =  sin  x +  + ln tg  +   π 2 6 8  2 6  0 sin  x +   3  dx 1 1 1  1 1  1 1 =  + ln 3  −  − ln 3  = + ln 3 = (1 + ln 3 ) 4 2 8  4 8  4 4 183 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương J= 10 D NG 10: ∫ a ( sin x ) m sin x + n cos x 2 + 2b sin x cos x + c ( cos x ) dx 2 a Phương pháp: •G i λ1 , λ 2 là nghi m c a phương trình ⇔ λ 2 − ( a + c ) λ + ac − b 2 = 0... dx = 2 d ( cos x) = 2 1− cos x −  d ( cos x) 1+ cos x 1+ cos x 1+ cos x   0 0 π2   cos2 x = 2 cos x − − ln (1 + cos x )  = 2ln 2 − 1 ( 2  0 thi TS H kh i D 2005) 187 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương π6 ∫ cosxcos • K 10 = π6 dx 0 π6 (x + π) 4 2 0 π 4 = π4 1 ∫ 2 0 1 2 π4 ∫ 0 ∫ ∫ sinxdx = 1 + sin2x ( dx 1 − sinx + cosx 2 π4 π4 ) ( 2 1 − cos x + π   4    0 ) ( 0 = dx d x+π . Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 169 BÀI 5. CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI. 1 5 ln 3 2 tg x ln 5 ln 3 ln 6 6 6 3 π π π π + = ⋅ = = + + + = + = − = ∫ ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 173 II. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO. +λ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác 1 85 b. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) − ∫ 1 2 2 sinx + cosx dx J = 2sin x 4sinxcosx + 5cos x 1 2 , λ