Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991-1992 Đại học tổng hợp Bµi 1. a) Rút gọn biểu thức 3 6 2 3 4 2 44 16 6.A = − + . b) Phân tích biêu thức P = (x – y) 5 + (y-z) 5 +(z - x ) 5 thành nhân tử. Bµi 2. a) Cho các số a, b, c, x, y, z thảo mãn các điều kiện 0 0 0 a b c x y z x y z a b c   + + =  + + =   + + =   hãy tính giá trị của biểu thức A = xa 2 + yb 2 + zc 2 . b) Cho 4 số a, b, c, d mỗi số đều không âm và nhỏ hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng 0 ≤ a + b + c + d – ab – bc – cd – da ≤ 2. Khi nào đẳng thức xảy ra dấu bằng. Bµi 3. Cho trước a, d là các số nguyên dương. Xét các số có dạng : a, a + d, a + 2d, … , a + nd, … Chứng minh rằng trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991. Bµi 4. Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham gia. Giả sử mỗi người đều quen biết với ít nhất 67 người. Chứng minh rằng có thể tìm được một nhóm 4 người mà bất kì 2 người trong nhóm đó đều quen biết nhau. Bµi 5. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho ∠ MAB = ∠ MBA = 15 0 . Chứng minh rằng ∆ MCD đều. Bµi 6. Hãy xây dựng một tập hợp gồm 8 điểm có tính chất : Đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm bất kì luôn đI qua ít nhất hai điểm của tập hợp đó. Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-1990 Bµi 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biêu thức 2 2 36 2 3 x x x − + + + nguyên. Bµi 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 + ab + b 2 – 3a – 3b + 3. Bµi 3. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m thì biểu thức m 2 + m + 1 không phảI là số chính phương. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m thì m(m + 1) không thể bằng tích của 4 số nguyên liên tiếp. Bµi 4. Cho ∆ ABC vuông cân tại A. CM là trung tuyến. Từ A vẽ đường vuông góc với MC cắt BC tại H. Tính tỉ số BH HC . Bµi 5. Có 6 thành phố, trong đó cứ 3 thành phố bất kì thì có ít nhất 2 thnàh phố liên lạc được với nhau. Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau. . Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên 1991- 1992 Đại học tổng hợp Bµi 1. a) Rút gọn biểu thức 3 6 2 3 4 2 44 16 6.A = −. trực của đoạn thẳng nối hai điểm bất kì luôn đI qua ít nhất hai điểm của tập hợp đó. Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên Lý 1989-1990 Bµi 1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biêu thức 2 2 36 2. đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991. Bµi 4. Trong một cuộc hội thảo khoa học có 100 người tham gia. Giả sử mỗi người đều quen biết với ít nhất 67 người. Chứng minh rằng