PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TỐN 12 Dùng cho ơn thi TN , Chủ đề I,II,III) Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: bước( dấu :+ ) I / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : • y’ = 3ax2 + 2bx + c • y’ = xi = ? ; f(xi) = ? +/ khoảng (….) (… ) : y’ > , : Hàm số đồng biến Trên khoảng (….) : y’ < , : Hàm số Nghịch biến +/ Cực trị : Kết luận cực trị hàm số Hàm số đạt cực tiểu x = …., yCT = … Hàm số đạt cực Đại x = …., yCĐ = … + / Giới hạn Vô cực : lim y = x → −∞ ? ; lim y = x → +∞ +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? y ? ? ? ? ? ? ? ? +∞ 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = => y = d • Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = ? , Các điểm khác : … +) Đồ thị : y x II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : • y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b )  x =  f (0) = c   • y’ =  x = ? ⇒  f ( x) = x = ?  f ( x) =   +/ khoảng (….) (… ) : y’ > , : Hàm số đồng biến Trên khoảng (….) : y’ < , : Hàm số Nghịch biến +/ Cực trị : Kết luận cực trị hàm số Hàm số đạt cực tiểu x = …., yCT = … Hàm số đạt cực đại x = …., yCĐ = … + / Giới hạn Vô cực : lim y = x → −∞ ? ; lim y = x → +∞ +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? ? y ? ? ? ? ? ? ? +∞ 3) Đồ thị : • Hàm số cho hàm số chẵn, đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng • Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = ? Các điểm khác … Đồ thị : y III / Hàm số : y = x ax + b cx + d 1) Tập xác định : +/ D = R /{ - d } c 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : ad − bc • y’ = (cx + d ) • y’ > ( y < ) , ∀x ∈ D +/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) khoảng (….) (… ) +/ Cực trị : Hàm số khơng có cực trị + / Tiệm cận Giới hạn : lim y = a lim y = a => tiệm cận ngang : y = a x → −∞ x → +∞ c c c lim y = a− x→ c ? Và lim y = ? a+ x→ c => tiệm cận đứng : +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? ? y x= −d c ? ? ? 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = => y = Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = +∞ b d −d a −b , Đồ thị nhận giao điểm I( ; ) hai đường a c c tiệm cận làm tâm đối xứng y x B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1/ y = ax + bx + cx + d ( C ) 2/ y = ax4 + bx2 + c (C) BÀI : Biện luận theo m số nghiệm phương trình: a’x3 + b’x2 + c’x + n = (2) • (2) ⇔ ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ⇔ ax4 + bx2 + c = k.m ) • Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d) • Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT yCĐ ( C ) Bài : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : 1) Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) 2) Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ) 3) Vng góc với đường thẳng y = k’x + p HƯỚNG DẪN : 1/ Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) : • Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) • k = f’(x0) ; k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm 2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ) • Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) ⇔ giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào ( C ) tìm y0 k = f’(x0 ) • Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm 3/ Vng góc với đường thẳng y = k’x + p • Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) • Trong k.k’ = -1 ⇔ k = −1 k' k = f’(x0 ) ⇔ giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào ( C ) tìm y0 • Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm 4/ Các dạng khác : cho biết x0 y0 tìm yếu tố cịn lại suy có (*) 3/ y = ax + b cx + d (C) Bài tốn : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) t đểm phân biệt ? Hướng dẫn : Số giao điểm f(x;m ) với ( C ) , số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) Từ ta tìm điều kiện m cần tìm Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ logarit 1)Phương trình, Bất phương trình mũ Lơ ga rít a)Phương trình mũ : Bước 1/ Dùng tính chất luỹ thừa, đưa phương trình mũ cho phương trình đặt ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp ( t = aX , t > ) Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm nghiệm biến t Bước 3/ Dựa vào cách đặt điều kiện để tìm nghiệm tốn Và kết luận nghiệm b)Phương trình logarít: Bước 1/ Dùng tính chất lơ ga rít, đưa phương trình lơ ga rít cho phương trình đặt ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp ( t = logaX , điều kiện X > ) Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm nghiệm biến t Bước 3/ Dựa vào cách đặt điều kiện để tìm nghiệm tốn Và kết luận nghiệm c) Bất phương trình : Biến đổi tương tự bước giải phương trình chứa ẩn số luỹ thừa hay dấu lơ ga rít 2) Gía trị lớn nhất, nhỏ hàm số: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : y = f(x) đoạn [ a ; b ] ? Bước 1: Tìm tập xác định D f(x) : D = ?, xét xem [a ; b ] ∈ D ? Bước : */Tìm đạo hàm y’ = f’(x) = ? */ Giải phương trình y’ = => xi = ? loại giá trị xi ∉ [ a ; b ] */ Tính giá trị : f(a) ; f(b) ; f(xi) Bước : So sánh giá trị vừa tìm Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Chủ đề III: D/ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN: I/ Tìm thể tích hình chóp: 1/ Các loại tốn : a) Cho hình chóp S.ABC ( Đáy tam giác : thường, vuông, đều, cân, hinh vuông, thoi, chữ nhật, hình bình hành …) Có SA ┴ ( ABC) ( SO ┴ (ABC)… ) biết cạnh SA , góc SB đáy ( (ABC) đáy ) α 1) Tính thể tích S.ABC 2) Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Cách giải : gồm bước: Bước : Vẽ hình : Mục đích : Xác định yếu tố giả thiết tốn Tìm yếu tố : Góc , đường cao Vẽ từ đáy vẽ lên Xây dựng hình vẽ cho 0.25đến 0.5 đ) Bước 2: Tính tốn: a)Tính Thể tích hình chóp VS.ABC = 1/3B.h Trong B = SABC ; h = SO ( SH: đường cao ) b)Tìm tâm bán kính: + Xác định tâm đáy ( tam giác : tâm đường tròn ngoại tiếp, tứ giác(hcn): giao điểm đường chéo ) Xác định trục d đáy : vng góc đáy qua tâm + Xác định mặt phẳng trung trực: cạnh bên, trung trực đường cao Giao trục d mp vừa vẽ, ký hiệu I : tâm mặt cầu cần tìm Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R bán kính Tìm vị trí I , R Kết luận Chú ý : Các toán học phải giải sơ đồ đạt điểm tối đa Giaỉ cách khác, , đạt điểm tối đa phần Phần kết luận kết toán ( đáp số ) chiếm 0.25 điểm II/ Bài tốn hình hộp, lăng trụ: Các bước giải tương tự tốn hình chóp ƠN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUN HÀM , TÍCH PHÂN A/Nguyên hàm: I Định nghĩa ký hiệu: Định nghĩa : F(x) nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) Ký hiệu: ∫ f ( x).dx = F ( x) Định lí : ∫ f ( x).dx = F ( x) + C II Tính chất: ∫ f ' ( x).dx = f(x) +C ∫ k f ( x).dx = k.∫ f ( x).dx ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx Chú ý : Nguyên hàm dạng tích , hữu tỷ khơng có cơng thức phải biến đổi đưa tổng hiệu: Ví dụ : Tìm Nguyên hàm : A = ∫ sin 3x cos xdx Ví dụ : Tìm Ngun hàm : B = III Cơng thức: Nhóm 1: Hàm số lũy thừa 1.1 / ∫ kdx = k x + C k ∈ R 1.3 / ∫ ∫x 2x + + 3.x − 1.2 / ∫x α dx = dx = ln x + C x x α +1 + C α ≠ −1 α +1 Nhóm II: Hàm số lượng giác 2.1 / ∫ sin xdx = − cos x + C 2.2 / ∫ cos xdx = sin x + C dx 2.5 / ∫ cos 2.6 / ∫ sin x dx x 2.3 / ∫ tan xdx = − ln cos x + C 2.4 / ∫ cot xdx = ln sin x + C dx = tan x + C 2.7 / ∫ tan = − cot x + C 2.8 / ∫ cot x dx x = − x − cot x + C = − x + tan x + C Nhóm III: Hàm số Mũ : ax +C 3.1 / ∫ a dx = ln a x x 3.2/ ∫ e dx = e + C x Chú ý : Nếu : F(x)’ = f(a) , : ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C B/ Phương pháp tính tích phân: b ∫ f ( x).dx = F ( x) Công thức : b a = F (b) − F (a ) a I/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN b Dạng 1: Tính : I ∫ f [ u ( x)].u ' ( x).dx a Phương pháp chung : Bước : Đặt : t=u(x) Bước : Đổi cận : dt = u’(x).dx ⇒ x a u(a) t Bước : b u(b) Tính I : u (b ) I= ∫ f (t )dt = F (t ) u (b ) u(a) = F [u (b)] − F [u (a )] u(a) CÁC DẠNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP : b Dạng : Tính : I = ∫ f ( x).dx ; Với f(x) = x α (a.x α +1 + b) β β ∈ R* a Phương pháp: Bước : dt α Đặt t = (a.x α +1 + b) ⇒ dt = a (α + 1).x α dx ⇒ x dx = (α + 1).a Bước : Đổi cận : x t a u(a) b u(b) Bước : Tính I : u (b ) I= t β dt ( β +1) ∫a ) (α + 1).a = (α + 1).(β + 1).a t u( Ví dụ 3: Tính tích phân sau : u (b ) u(a) 2 A = ∫ x (2 x − 1) dx x3 dx ;B= ∫ ( x − 1) C = ∫ x (2 x − 1) dx ( Ta đặt t = (2 x − 1)5 ) b ∫ f ( x).dx Dạng : Tính : I = ; Với f(x) = cos x.(a sin x + b)α a Phương pháp: Đặt t = (a sin x + b) ⇒ dt = a cos x.dx ⇒ cosx.dx = Bước : f(x)dx = dt a α t dt ta đưa tốn quen thuộc a Ví dụ : Tính tích phân sau : 4.D= π π ;5.E= ∫ cos x(2 sin x − 3) dx ∫ 6.G= π ∫ cos x cos x dx (2 sin x − 3) ; Ta đặt t = (2 sin x − 3)3 (2 sin x − 3) dx b Dạng : Tính : I = ∫ f ( x).dx ; Với f(x)dx = a dx b + x2 Phương pháp: b dt = b(1 + tan t ) dt cos t b2 + x2 = b2.( + tan2t) ⇒ f(x).dx = dt b Bước : Đặt x = b.tant , ⇒ dx = Bước 2: Đổi cận, tính kết β b Dạng : Tính : I = ∫ f ( x).dx ; Với a ∫ f ( x)dx α β = ∫ α dx a2 − x2 dx (a> 0) Phương pháp: Bước : Bước 2: Đặt x = a.sint ⇒ dx = a.cost.dt ; a − x = a (sin t ) = a cos t Đổi cận, tính kết II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 2.1 Dạng áp dụng phương pháp tích phân phần : b I = ∫ U.dV a Phương pháp: u = u ( x) Đặt :  dv = v'.dx du = u ' ( x).dx   v = ∫ v '.dxv'  ⇒ b ∫ U.dV = U.V ⇒ ; b b a a − ∫ V dU a 2.2 Các dạng tích phân thường gặp : b Dạng : Tính : I = ∫ f ( x).dx ; Với f(x)dx = P(x) cosx.dx , P(x).sinx.dx a Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx b Dạng : Tính : I = ∫ f ( x).dx ; Với f(x)dx = P(x) ex.dx a Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx b Dạng : Tính : I = ∫ f ( x).dx ; Với f(x)dx = P(x) ln(x).dx a Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx Chú ý : Thơng thường tốn tích phân cho dạng : b I = ∫ [ f ( x) + h( x)].g ( x).dx , a ta khai triển thành tổng hai tích phân, áp dụng phương pháp để tính , xong cộng kết lại Ví dụ 5: Tính tich phân sau : π e I = ∫ (sin x − x).cos xdx ; π I=∫ I = ∫ x(1 − ln x) dx ; 1 x x  1 + sin  cos dx ; 2  x x I = ∫ e (e + x) dx C / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: • Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b b y = (trục hồnh) tính bởi: S = ∫ f ( x) dx (1) a • Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; b x= b tính bởi: S = ∫ f ( x) − g ( x) dx (2) a Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = b Giải: Gọi S diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = ∫ f ( x) dx a ∫x S = − 1dx • Phương trình: x2 -1= ⇔ x = ± , nghiệm x = ∈ [0;2] 1 2 x3 x3 • Vậy S = ∫ ( x − 1)dx + ∫ ( x − 1)dx = ( − x) + ( − x) = (đvdt) 3 1 2 Vídụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = – x2 y =x Giải: • Cận a,b nghiệm phương trình: – x2 = x ⇔ x2 + x – = ⇔ x = x = -2 • Gọi S diện tích cần tính, áp dụng cơng thức b • S= ∫ f ( x) − g ( x) dx S = ∫ x + x − dx −2 a • Vậy S = ∫ −2 1 x3 x x + x − dx = ∫ ( x + x − 2)dx = + − 2x = (đvdt) 2 −2 −2 2 * Lưu ý: Chỉ đưa dấu trị tuyệt đối ngồi tích phân hàm số dấu tích phân khơng đổi dấu [a; b] 2) Thể tích vật thể trịn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đường y = f(x); x = a; x = b; y = xoay b quanh trục Ox tính bởi: V = π ∫ f ( x)dx (3) a Ví dụ 8: a) Cho hình phẳng giới hạn đường y = 2x – x y = Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox., Giải: • Phương trình 2x – x2 = ⇔ x = x = b • Gọi V thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = π ∫ f ( x)dx a 0 16π x5 2 2 Ta có V = π ∫ (2 x − x ) dx = π ∫ (4 x − x + x )dx = π ( x3 − x + ) = (đvtt) 15 b) Cho hình phẳng giới hạn đường y = – x y = x Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Ox Giải: • Phương trình – x2 = x3 ⇔ x = x = –1 • Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y = – x , x = 0, x = –1 trục Ox hình phẳng quay quanh Ox: 2 Có V1 = π ∫ (− x ) dx = π −1 • Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y = x , x = 0, x = -1 trục Ox…: 3 Có V2 = π ∫ ( x ) dx = −1 π Vậy thể tích V cần tính là: V = V1 − V2 = π (đvtt) 35 Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hai đường y = f(x) y = g(x) quay b quanh trục Ox, học sinh ngộ nhận dùng công thức V = π ∫ ( f ( x) − g ( x)) dx dẫn đến kết a sai KQs : V = π đvtt 105 • Các tập tự luyện: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y = – x2 + 4x trục hoành KQ: S = 32 đvdt 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường (P): y = – x2 y = – x – KQ: S = đvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox [1; 3] KQs: S = 200 đvdt 4) Tính thể tích hình tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) (P): y = 8x vaø x = KQ: 16 π đvtt b) y = x2 y = 3x x c) y = sin ; y = 0; x = 0; x = 162π ñvtt π −2 KQ: ñvtt KQ: π D/ Đề thi tốt nghiệp THPT năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y2 = 2x +1 y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) x + 3x + 3x − , bieát F(1) = x + 2x + 2x − 10x − 12 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x+2 Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) hàm số y = trục hoành Ox (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) Bài 3: Cho hàm số y = x – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) đường y = 0, x =0, x = quay quanh truïc Ox (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) π /2 Bài 4: Tính tích phân: I = ∫ ( x + sin x) cos x.dx (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : y = ex, y = đường thẳng x = π /2 b Tính tích phân: I = ∫ sin x dx − cos x (TNTHPT năm 2005– 2006) e ln x dx Bài 6:Tính tích phân J = ∫ x (TNTHPT năm 2006– 2007) Bài 7: Tính tích phân I = ∫ x (1 − x ) dx (TNTHPT năm 2007– 2008) −1 π Bài 8: Tính tích phân I = ∫ x(1 + cos x)dx (TNTHPT năm 2008– 2009) 2 Bài 9: Tính tích phân I = ∫ x ( x − 1) dx (TNTHPT năm 2009– 2010) ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN Dạng I : Viết phương trình : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng Bài tốn 1.1/ Viết phương trình mặt cầu (S): Tâm I(a, b , c), bán kính R: (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = (1) Thường cho dạng : a) Cho điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ): Viết phương trình mặt cầu (S), nhận AB làm đường kính Cách giải : Gọi I(a ; b ; c ) tâm mặt cầu (S), bán kính R : Ta có I trung điểm AB : x A + xB  a =  y A + yB  b =  z A + zB  c =  ;R= AB = 2 (xB − x A ) + ( yB − y A ) + (z B − z A ) Thay kết vừa tìm vào (1), ta có kết cầm tìm b) Cho điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) Tìm trọng tâm G tam giác ABC, Viết phương trình mặt cầu (S) Tâm G, qua A Cách giải : Gọi G(a ; b ; c) tâm mặt cầu (S), bán kính R : Ta có G trọng tâm Δ ABC : x + x B + xC  a= A   y A + y B + yC  b =  z A + z B + zC  c =  ; R = AG = ( xG − x A ) + ( yG − y A ) + ( z G − z A ) 1.2/ Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S) có phương trình : (S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + D = (1) Cách giải : Gọi I(a ; b ; c) , R tâm bán kính mặt cầu (S), có phương trình (1), ta có : − a = m  − 2b = n − 2c = p  −m  a =  −n  ⇔ b = ;  −p  c =  R = a2 + b2 + c2 − D Kết luận : I(a ; b ; c ) ; R 1.3/ Cho điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) D(xD ; yD ; zD ) Viết phương trình mặt cầu (S )đi qua A,B,C,D Cách giải : phương trình mặt cầu (S) có dạng (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = (1) Trong gọi I(a ; b ; c) tâm mặt cầu (S) Lần lượt thay tọa độ A, B, C, D vào (1), ta có hệ phương trình : X A + Y A + Z A  2 X B + Y B + Z B  2 X C + Y C + Z C X D + Y D + Z D  + 2ax A + 2bYA + 2cZ A + D = 0, + 2aX B + 2bYA + 2cZ A + D = + 2aX C + 2bYC + 2cZ C + D = ( 2) + 2aX D + 2bYD + 2cZ D + D = Giải hệ ( ) , với ẩn số :a , b , c , D vào (1) ta có phương trình (S) cần tìm Chú ý : toán đơn giản A(xA ; ; ) , B(0 ; yB ; ) , C(0 ; ; zC ) D(xC ; yD ; zD ) Áp dụng : 1/ thi TN THPT năm 2010: Câu 4.a/1: “… Cho điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; 2; 0) C(0 ; ; 3) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC “ 2/ Bài 9.b/ trang 100- sgk hh 12 - Bài toán 2.1/  n (A ; B ; C) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến Ta có : (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = ⇔ Ax + By + Cz + D = (2) Chú ý 1:  véc tơ pháp tuyến n (A ; B ; C) , xác định tùy trường hợp cụ thể a Viết phương trình mặt phẳng qua điểm không thẳng hàng : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC )  Cách giải : Khi ta chọn M0 điểm A n = [ AB , AC ] = ( A ; B; C ) Chú ý rèn luyện cách tính tích có hướng véc tơ [ AB , AC ] Với : AB = (a1 ; b1 ; c1 )  AC = (a2 ; b2 ; c2 ) Ta có n = [ AB , AC ]  n =  a1 ; b1 ; c1  a1   a ; b ; c  a = (b1.c2 – b2.c1 ; c1.a2 – c2.a1 ; a1.b2 – a2.b1 )   2 2 Tính theo tích chéo : “ Giữa – Cuối ; Cuối – Đầu ; Đầu – Giữa “ b Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(xA ; yA ; zA ) , vng góc đường thẳng :  x = x + a t  Δ :  y = y + a t ; z = z + a t  Cách giải : (α ) qua điểm A(xA ; yA ; zA ) vng góc với đường thẳng Δ nên (α ) nhận  véc tơ phương Δ : a = ( a1 ; a2 ; a3 ) làm véc tơ pháp tuyến n = a = ( a1 ; a2 ; a3 ) Ta có : (α ) : a1.( x – xA ) + a2 (y – yA ) + a3 (z – zA ) = ⇔ a1.( x ) + a2.(y ) + a3.(z ) + D = Chú ý : Nếu đường thẳng Δ cho dạng tắc : Δ: x − x0 y − y z − z = = ; a1 b1 c1 Thì giải ý dạng tắc ẩn số x , y , z có hệ số + 1, Nếu đề chưa cho phải biến đổi xếp dạng tắc nêu Ta cho phân số = t, chuyển dạng tham số Δ, ta tìm véc tơ phương Δ : a = ( a1 ; b1 ; c1 ) Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình : Δ: x + 1− y z + = = ; điểm I( -1 , ; 2) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua I (α ) vng góc Δ Giải: x +  =t  x = −5 + 2t  x + 1− y z + 1 − y  = t ⇔  y = − 3t ; = = Cho : =t ⇔    z = −2 + 2t  z +  =t  Ta có véc tơ phương Δ a = ( ; - ; ) Mặt phẳng (α ) qua I ( -1 , ; 2), (α ) vng góc Δ : (α ) : -1(x – 2) + 3( y + 3) + 2( z - 2) = ⇔ (α ) : -x + 3y + 2z + =0 c) Cho tứ diện A.BCD , Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua AB song song CD Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ AB , CD ] d) Cho mặt phẳng ( β ) : A( x – a) + B ( y – b ) + C ( z – c ) = ( * ) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) song song mp ( β ) Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ A ; B ; C ] Áp dụng giải tập trang 80, 81 skg hh12 Bài tốn 3.1/ Viết phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) Giải : Gọi M(x ; y ; z ) ∈ Δ, ta có : phương trình tham số đường thẳng qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) :  x = x + a1 t  Δ :  y = y + a t ;  z = z + a t  Các dạng tập : 3.1/a : Viết phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) , vng góc mặt phẳng : (α ) : Ax + By + Cz + D = (1) Giải : Ta có véc tơ phương a đường thẳng Δ , véc tơ pháp tuyến mặt phẳng  (α ) : a = n = (A ; B ; C) Vậy phương trình tham số đường thẳng Δ :  x = x + A.t  Δ :  y = y + B.t ;  z = z + C.t  3.1/b : (2) Viết phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) , song song với đường thẳng d:  x = x + a1 t  d:  y = y + a t ;  z = z + a t  Giải : Ta có véc tơ phương a đường thẳng Δ , véc tơ phương đường thẳng d : a = (a1 ; a2 ; a3) Vậy phương trình tham số đường thẳng Δ ( ) 3.1/c : Viết phương trình tham số đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; M1(x1 ; y1 ;z1 ) Giải : Ta có véc tơ phương a đường thẳng Δ , véc tơ : M M = (x1 – x0 ; y1 – y0 ; z1 – z0 ) = (a1 ; a2 ; a3) Vậy Vậy phương trình tham a= số đường thẳng Δ ( ) Áp dụng giải tập trang 89 SGK HH 12 CB Bài tập trang 92 Dạng II : Xét vị trí tương đối : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng Bài 2.1.a / Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 d2 có phương trình :  x = x + a1 t  d1:  y = y + a t  z = z + a t  (1) ;  x = x1 + b1 t '  d2 :  y = y1 + b2 t ' ; ( )  z = z + b t '  Cách giải : Bước : Đường thẳng d1 qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; có véc tơ phương a = (a1 ; a2 ; a3 ) Đường thẳng d2 có véc tơ phương : b = ( b1 ; b2 ; b3 ) Nếu : a = k b : Đúng (Đ) , M0(x0 ; y0 ; z0 ) ∉ d2 Ta có d1 // d2 : a = k b : Sai ( S ) , Bước : ta xét hệ :  x0 + a1 t = x1 + b1 t '   y + a t = y1 + b2 t '  z + a t = z + b t ' 3  (*); Ta lấy phương trình ( * ), giải tìm t t’ , vào phương trình cịn lại Nếu Đ hệ ( * ) có nghiệm d1 cắt d2 Nếu S hệ ( * ) vơ nghiệm d1 chéo d2 Kết luận: Bài 2.1.b / Xét vị trí tương đối đường thẳng Δ mặt phẳng (α ), có phương trình :  x = x + a1 t  Δ :  y = y + a t ; (1) ;  z = z + a t  (α ) : Ax + By + Cz + D = (2) Cách giải : Gỉa sử Δ cắt (α ) M( x ; y ; z ) , tọa độ M ∈ (1 ) vào ( ) A ( x0 + a1.t ) + B ( y0 + a2 t ) + C( z0 + a3 t ) = ( ) Nếu : + Phương trình ( ) có nghiệm t , Δ cắt (α ) + Phương trình ( ) có vơ số nghiệm t , Δ ⊂ (α ) + Phương trình ( ) vơ số nghiệm t , Δ // (α ) Bài 2.1.c / Xét vị trí tương đối mặt phẳng ( α ) mặt cầu ( S ), có phương trình : (α ) : + By + Cz + D = (1) 2 (S): x + y + z – 2ax + 2by + 2cz + D = ( ) Ax Cách giải : Bước : Tìm tọa độ tâm I ( a ; b ; c ) bán kính R mặt cầu ( S ); ( toán 1.2/ ) Bước : Tìm khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( α ) : d(I ; (α )) = A.a + B.b + C.c + D A2 + B + C =m Bước : So sánh kết luận : Nếu m > R : mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu (S) Nếu m = R , mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) Nếu m < R , mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn ( C ), Tâm H, bán kính r = IH Trong H hình chiếu I (α ) Áp dụng : Bài tập 5, trang 92 Đề thi TN THPT 4a.1 năm 2009 Đề thi CĐ Khối B năm 2010 -Dạng III : 1)Tìm hình chiếu vng góc H điểm M mặt phẳng (α) , 2)Trên đường thẳng Δ Bài : 3.1 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) Tìm hình chiếu vng góc H M mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = (1) Cách giải : Gọi H (x ; y ; z ) hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) H ∈ (α) , H ∈ MH vng góc (α) Đường thẳng MH qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) vng góc (α) , nên nhận véc tơ pháp  tuyến (α) làm véc tơ phương a = n = (A ; B ; C):  x = x + A.t  MH :  y = y + B.t ( ) ;  z = z + C.t  Thay ( ) vào ( ) ta tìm t , thay vào ( ) ta tìm tọa độ H Áp dụng Bài tập trang 91 sgk ; Bài trang 93 sgk Đề thi CĐ Khối B năm 2010 Bài : 3.2 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng Δ có phương trình :  x = x + a1 t  Δ :  y = y + a t  z = z + a t  (1); Cách giải : Gọi H (x ; y ; z ) hình chiếu vng góc M đường thẳng Δ: H ∈ Δ H ∈ (α ) qua M0 , (α ) vng góc đường thẳng Δ Mặt phẳng (α ) qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) vng góc (α) , nên nhận véc tơ véc tơ  n = a = (a1 ; a2 ; a3) phương a = (a1 ; a2 ; a3) Δ làm véc tơ pháp tuyến (α) : Ta có (α) : a1(x – x0 ) + a2 (y – y0 ) + a3(z – z0 ) = ( ) Thế ( 1) vào ( ) , ta tìm t Thế t vào ( ) ta tìm toa độ H Kết luận Áp dụng Bài tập trang 91 sgk ; Bài 12 trang 93 sgk Dạng IV : Bài toán tổng hợp : Cho điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ) D(xD ; yD ;zD ) 1) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) 2) Tính góc A, B tam giác ABC 3) Tính diện tích tam giác ABC 4) Chứng minh D.ABC tứ diện Tính thể tích hình chóp D.ABC Cách giải : 1) Bài toán 2.1/ Chú ý a) ( 2) Ta có cosA = a1 b1 + a b2 + a3 b3 AB AC = = m 2 a12 + a + a3 b1 + b2 + b33 AB AC Sử dụng MTCT tính góc A 3) SABC = AB AC sinA ( kết 2) ) 4) Thế tọa độ D(xD ; yD ; zD ) vào (α ) : Ax + By + Cz + D = (1) ⇔ m = : Sai ( S), ta có D ∉ (ABC) AxD + ByD + CzD + D = Kết luận D.ABC tứ diện Gọi : VD.ABC thể tích tứ diện D.ABC Ta có : VD.ABC = ( Với Sđ = SABC = h = d(D,(ABC))= AB AC sinA , m 2 a12 + a + a3 b1 + b22 + b33 Sđ h ) Ta tích cần tìm ****** ÔN TẬP CHỦ ĐỀ VI SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: A/ TỐT NGHIỆP THPT Bài : Giải phương trình : 2x – 5x + = tập số phức TN THPT Năm : 2006 ; Đáp số : x1 = 7 + i ; x2 = − i 4 4 Bài 2: Giải phương trình : x2 -4x + = tập số phức TN THPT Năm : 2007 (lần 1) ; Đáp số : x1 = + i ; x2 = - i Bài 3: Giải phương trình : x2 – 6x +25 =0 tập số phức TN THPT Năm : 2007 (lần 2.) ; Đáp số : x1 = + 4i ; x2 = - 4i Bài : Tìm giá trị biểu thức : P = ( + i )2 + ( - i )2 TN THPT Năm : 2008 ( lần 1) ; Đáp số P = Bài 5: Giải phương trình : x2 - 2x + = tập số phức TN THPT Năm : 2008 ( lần ) ; Đáp số : x1 = + i ; x2 = + i Bài 6: Giải phương trình : 8z2 – 4z + ; Trên tập số phức TN THPT Năm : 2009 ( Cơ ) ; Đáp số : z1 = 1 + i 4 ; z2 = 1 − i 4 Bài 7: Giải phương trình : 2z2 – iz + = tập số phức TN THPT Năm : 2009 (NC) ; Đáp số : z1 = i ; z2 = - Bài 8: Giải phương trình :2z2 + 6z + = ; i tập số phức TN THPT Năm : 2010 (GDTX) ; Đáp số : z1 =- 3 + i ; z2 = - − i 2 2 Bài : Cho hai số phức: z1 = + 2i , z2 = – 3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1 -2z2 TN THPT Năm : 2010 ( Cơ ) ; Đáp số : Phần thực : -3 ; Phần ảo : 10 Bài 10 : Cho hai số phức: z1 = + 5i , z2 = – 4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1.z2 TN THPT Năm : 2010 ( NC) ; Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC Bài 11 : Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = 2 Tính giá trị biểu thức A = z1 + z ĐH Khối A – 2009 (CB) Đáp số : A = 20 Bài 12 : Tìm số phức z thỏa mãn z − (2 + i) = 10 : z.z = 25 ĐH Khối B – 2009 (CB) Đáp số : z = + 4i z = Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : z − (3 + 4i) = ĐH Khối D – 2009 Đáp số : Đường trịn tâm I(3 ; ), bán kính R =2 Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)2.(2 – i)z = + I + (1 – 2i )z Xác định phần thực , phần ảo Z CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( CB) Đáp số : Phần thực – ; Phần ảo Bài 15 : Giải phương trình : z − − 7i =z 2iz − i tập số phức CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( NC) Đáp số : z1 = +2i ; ; z2 = + i Bài 16 : Tìm phần ảo số phức z, biết : z = ( + i) (1 − 2i) ĐH Khối A – 2010 (CB) Đáp số : b = (1 − i ) Tìm mơđun : 1− i Đáp số : Bài 17 : Cho số phức z thỏa mãn : z = ĐH Khối A – 2010 (NC) z + iz Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : z − i = (1 + i ) z ĐH Khối B – 2010 (CB) Đáp số : Đường tròn : x2 + (y + )2 = Bài 19 : Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : z = , z2 số ảo ĐH Khối D – 2010 Đáp số : z1 = +i ; z2 = – i , z3 = - – i , z4 = -1 + i Bài 20 : Cho số phức z thỏa mãn : ( – 3i)z + ( 4+i) z = - (1 + 3i)2 ; Xác định phần thực phần ảo z ? CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( CB) Đáp số : Phần thực : - ; phần ảo : Bài 21 : Giải phương trình : z2 – (1 + i)z + + 3i = ; tập số phức CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( NC) Đáp số : z1 = – 2i ; z2 = 3i ... (TNTHPT năm 2008– 2009) 2 Bài 9: Tính tích phân I = ∫ x ( x − 1) dx (TNTHPT năm 2009– 2010) ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN Dạng I : Viết phương... tìm Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R bán kính Tìm vị trí I , R Kết luận Chú ý : Các toán học phải giải sơ đồ đạt điểm tối đa Giaỉ cách khác, , đạt điểm tối đa phần Phần kết luận kết toán ( đáp... Đáp số : Phần thực : -3 ; Phần ảo : 10 Bài 10 : Cho hai số phức: z1 = + 5i , z2 = – 4i Xác định phần thực phần ảo số phức z1.z2 TN THPT Năm : 2010 ( NC) ; Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo :