BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI 2 sin x 2 sin(x sin x sin x cos x sin x sin x cos x sin x cos x ) 2 sin x sin(x sin x cos x 4 sin x cos x ) sin x cos x 0 x sin x cos x x k sin 2x sin 2x C1 sin x 2x sin k2 cos x x 2(sin x sin 2x x k sin 2x k k (k Z) cos x ) sin x sin x cos x cos x sin x (1 sin x ) cos x (2 cos x 1) sin x cos x cos x cos x cos 2x cos 2x cos 2x x m x k 3 tgx 4 sin x cos x tg x C2 sin x cos x (cos x sin x )(cos x sin x ) cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x (m cos x cos x sin x cos x sin x 0 x k (k Z) cos x cos x cos x (cos x sin x ) sin x cos x cos 3x cos 2x cos 4x cos 6x (cos 4x cos 2x) (1 cos 6x) 2 2 cos 3x cos x cos 3x cos 3x (cos x cos 3x ) cos 3x cos x cos x m 2(sin x cos x ) (sin x cos x )(sin x cos x ) 2(sin x cos x ) sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x (cos x sin x ) cos x sin x cos x sin x x cos 3x 2(sin x x k x k cos x ) sin x sin x cos x cos x sin x (1 sin x ) cos x (2 cos x 1) sin x cos x cos x cos x x k (k Z) Z) BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI cos x sin x cos x sin x cos x cos x tg x sin x cos x sin x sin x sin x cos x sin x (cos x ) cos x x cos x tgx sin x cos x Nguoithay.vn m x k x m (m Z) 2 sin x cos x cos x cos x sin x x k 13 cos 2 x 13 cos 2 x (sin x ) 13 cos 2 x (cos x sin x )(cos x sin x sin x cos x ) 13 2 sin x sin x ) cos 2 x cos x (8 sin 2 x ) 13 cos 2 x cos x cos x cos x sin 2 x 13 cos x 2(1 cos 2 x ) 13 cos x cos 2 x 13 cos x cos x cos x cos x (loaïi) x k x k (k Z) 3tgx sin x (*) Đặt t tgx 4t (*) 3t 3t t t ( t 1)(3t 2 t 1) t tgx t cos x (1 sin x cos x 3tgx 3tgx cos x cos x 3tgx cos x tgx sin x 3 k2 k (k 2) Z) 3tgx (sin x cos x)3 (sin x cos x ) 4 2 sin x cos x (sin x cos x)3 sin x 2 Vì cos x không thỏa mãn phương trình Chia hai vế phương trình cho cos x ta coù : ( tgx 1) Z) tgx (1 tg x ) sin x sin x x tg sin x (*) C1 Ta coù : sin x 2 sin x (*) tg x x cos x (3tgx (sin x cos x ) ( tgx 1)(3tg x 1) tgx x C2 (*) (sin x cos x ) sin x (sin x cos x )(sin x cos x ) sin x (sin x cos x )(1 sin x cos x ) sin x cos x sin x sin x cos x k (k sin x cos x k BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI cos x ( sin x 1) sin x (2 cos x 3) cos4 x) sin x sin 2 x x k 10 2(sin x cos6 x(2 cos2 x 1) cos 2x sin x cos x cos6 x cos 2x tgx tg x 2(sin10 x Z) ) cos 2cos8 x cos6 x sin6 x 2sin8 x cos 2x cos8 x sin x cos( x (k k Z) sin x cos x cos 2x 11 s in x (k cos x sin x(1 sin x) sin x k 12 cos8 x) x cos x (cos x 2) sin x (cos x 2) cos x (loaïi) x tgx sin 4x 4(1 sin 2x ) (cos x 2)(cos x sin x ) 4(sin x Nguoithay.vn x cos10 x) m x x m k cos 2x cos 2x cos8 x(2 cos2 x 1) sin x(1 sin x) cos 2x sin x cos 2x (m Z) cos10 x cos8 x sin x sin x 12 sin x cos 2x cos 2x cos x sin x 8 cos x 0 cos x 4tg x tg2 x tg2 x 14 cos x x voâ nghieäm 4(1 cos 2 x ) 4(1 cos x ) 4 cos 2 x 4 cos x 3 cos 2x cos cos 2x 13 tg x cos 2x cos8 x cos 2x sin8 x cos 2x sin x cos 2 x cos x (loaïi) 2x k 0 k2 x k (k tgx tg tgx tg x k x (k Z) cos2 2x cos2 2x (loaïi) k sin x (k Z) 2x k x 2 15 cos 2x sin x (1 sin x ) sin x sin x Z) cos 2 x cos4 2x cos2 2x 0 sin x sin x sin x cos x x k k (k Z) BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI 16 cos x cos 2x cos x (2 cos x 1) 2 Nguoithay.vn cos4 x cos2 x cos x cos2 x 17 cos x cos x cos x 3(2 cos x 1) cos x cos x sin x cos 2x 18 sin x x sin x 1 k cos tg x sin x cos x x (1) Điều kiện : cos x 2 k (k Z) cos x 3(4 cos x cos x 1) cos x cos x 4 cos x cos x 1 cos2 x (loaïi) cos x x cos x k2 (k Z) với cos sin x 2 sin x cos x sin x cos x cos x 2 2(1 cos x ) cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos4 x cos2 x cos2 x (loaïi) cos2 x cos2 x cos2 x k cos x 2x k x (k Z) 2 tg x C2 (1) tg x 2 tg x tg x tg x 2 tg x tg x C1 (1) 2 sin x tg x tg2 x tg x tg x (loaïi) tgx tg x 4 k (k Z) 19 sin x 13 cos x sin x 13(1 sin x ) 4 sin x 13sin x cos x cos sin x 26 sin x sin x sin x (loaïi) 2x 3 4 20 3 sin x cos x 3(1 cos x ) cos x cos x cos x 21 tg x x cos 2x cot g x cos tg x x tg x cos x 2(1 cos x ) k 2x (k k 3(1 cos x cos x cos x cos x k2 k x cos x cos x k2 (1) Điều kiện : tgx cos 2x Z) cos x ) cos x 2 sin x x k (k Z) BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI Nguoithay.vn (1) ( tg x 1) tg x tg x tg2 x tgx cos x 22 tg x (1) tg tg 23 sin x (sin x ) (k Z) k (k (loaïi) tg x tg x Z) cos x 4tg x tg x x k (1) Điều kiện : cos x 4tg x tg2 x tgx x (cos x ) (sin x cos x ) sin x cos x 1 1 (1 sin 2x)2 2(sin x cos x)4 sin 2x sin 2x sin 2x 8 1 4 8 sin 2 x sin x sin x 1 sin 2 x sin x sin x 8 sin 2x 8sin 2x sin 2x sin 2x (loaïi) k 2x k x (k Z) cos x 24 2(1 sin x ) 5(sin x cos x ) 2(sin x cos x ) 5(sin x cos x ) sin x cos x sin x cos x x k2 25 5(1 x sin x ) 12 (sin x 5(sin x cos x ) 12(sin x k2 x k2 x (loaïi) k2 x cos x ) cos x ) sin x cos x sin x cos x x k2 2 x k2 sin (k Z) 0 sin x k2 sin x 2 x 4 cos x sin x sin x 2 cos x 15 27 cos x cos x cos2 x 1 2 cos x 28 cos x cos x cos x k2 26 cos x sin sin x (k Z sin BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI Nguoithay.vn 2 1 cos x 2 cos x cos x cos x cos x cos x 1 cos x (1) cos x (2) Điều kiện : cos x cos x cos x (1) cos2 x cos2 x (vô nghiệm) ( 2) cos x cos x 1 cos x 29 cos x (cos x 1) cos x x cos x cos x k2 (k Z) cos x cos x 2 1 1 cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x 1 cos x (1) cos x (2) Điều kiện : cos x cos x cos x (1) cos x cos x (vô nghiệm) (2) cos x cos x 1 cos2 x 30 cos x (cos x 1) cos x cos x cos x cos x x cos x k2 (k Z) 2 cos x cos x 1 [cos x cos x 1]2 cos x cos x cos x cos x cos x cos x 1 5 cos x (loaïi) cos x cos x k2 (k Z) 2 1 cos x cos x cos2 x 31 cos x 2 cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x 2 (1) cos x (1) cos x cos x (2) cos2 x cos x 2 sin x sin x sin x sin x sin x 0 cos x cos x cos x (2) Điều kiện : cos x cos x cos x cos x k2 cos x (loaïi) cos x cos cos x (loại) x Vậy nghiệm phương trình : x 32 sin x sin x k2 sin x 0 v x k2 (k Z) (k cos x Z) k2 (k Z) BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI Nguoithay.vn (1) 1 (1) sin x (2) Điều kiện : sin x sin x sin x sin x sin x (vô nghiệm) ( 2) sin x sin x sin x sin x 33 sin x 4 sin x sin x sin x sin x sin x sin x (sin x 1) sin x x (k k2 Z) 0 sin x sin x sin x sin x 15 (1) sin x (2) Điều kiện : sin x sin x sin x (1) sin x sin x (voâ nghieäm) (2) sin x 5sin x sin x 2(loaïi) sin x sin x k2 x k2 (k Z) 6 sin x 34 C1 : tg x cot g x 2(tgx cot gx) (*) k (k Z) (*) ( tgx cot gx ) 2 2( tgx cot gx ) ( tgx cot gx ) 2( tgx cot gx ) tgx cot gx (1) tgx cot gx (2) (1) tg x tgx ( tgx 1)2 tgx tg x k (k Z) tgx tgx 4 sin x cos x sin x cos x sin( ) ( 2) 4 sin x cos x sin x sin x cos x sin x 7 2x k2 2x k2 x k x k (k Z) 6 12 12 Vậy nghiệm phương trình : x k k (k Z) x k x 12 12 Điều kiện : sin x cos x C2 : Ñaët t tgx cot gx t2 tg x cot g x Khi t tgx Khi t 4 tgx sin x ( tgx x t2 cot gx cot gx ) cot gx tgx tg (k tg x t tgx k x cot g x t t tgx 2 tgx cot gx tg x tg x tgx cot g x ( tgx 1)2 Z) sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI sin 2x 2x k2 sin 2x 2x sin k2 x 12 x k cot g x 5(tgx cot gx ) k 12 Vậy nghiệm phương trình cho : x 35 tg x Nguoithay.vn x k (k Z) k 12 x 12 k (k (*) k (k Z) (*) ( tgx cot gx ) 2 5( tgx cot gx ) ( tgx cot gx ) 5( tgx cot gx ) tgx cot gx (1) tgx cot gx (2) tgx (1) tg x tgx (vô nghiệm) tgx sin x cos x sin x cos x ( 2) 4 sin x cos x sin x sin x cos x sin x Điều kiện : sin x cos x 2x k2 sin x 2x k2 x x k 12 Vậy nghiệm phương trình cho : x 36 cos x cot g x 4( tgx Điều kiện : sin x cos x cos x (1) cot g x 4( tgx x k (k 12 k (k Z) cot gx ) (k Z) 3(1 tg x ) cot g x 4( tgx cot gx ) 3( tg x cot g x ) 4( tgx cot gx ) 3[( tgx cot gx ) 2] 4( tgx cot gx ) 3( tgx cot gx ) 4( tgx cot gx ) (*) Ñaët : t tgx cot gx t ( tgx cot gx ) tg x cot g x tgx cot gx tg x cot g x 2 tg x cot g x (*) 3t Khi : t 2x 37 sin x 4t 2 t sin x cos x k2 t2 4 tg x 5( tgx t t t k sin x 2 (loaïi) 2 cos x sin x x t (k cos x Z) cot gx ) sin( Z) x 0 (1) k x 12 k 12 cot gx ) sin x Z) (1) sin x cos x sin x ) BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CĨ LỜI GIẢI Điều kieän : sin x cos x (1) sin x 0 2(1 cot g x ) tg x 5( tgx k x cot gx ) Nguoithay.vn (k Z) 2( tg x cot g x ) 5( tgx cot gx ) 2[( tgx cot gx ) 2] 5( tgx cot gx ) 2( tgx cot gx )2 5( tgx cot gx ) (*) Đặt : t tgx cot gx t ( tgx cot gx ) tg x cot g x tgx cot gx tg x cot g x t t2 t 2 tg x cot g x t (*) 2t 5t t t (loaïi) sin x cos x 5 Khi t sin x sin 2(sin x cos x ) sin x cos x cos x sin x 2 2x k2 x k x k (k Z) 2x k2 2 2 38 (sin x cos x)3 (sin x cos x) đặt t 2(1 sin 2x) sin x 2(sin x cos x) sin x cos x cos x Phương trình trở thành : 39 2(sin x cos x) 2(sin x cos x) đặt t t3 cos x sin x cos x 2 điều kiện: t 2t t 2 0 (t 2)(t +1) = t= tgx cot gx sin x cos x sin x cos x cos x s inx cos x Phương trình trở thành : t3 2(sin x cos x)sin x cos x t điều kiện: t (t 2)(t + 2t +1) = t= 40 sin x cos x sin 2x sin x cos x (sin x cos x)(1 sin x cos x) sin x cos x sin x cos x ñaët t sin x cos x cos x Phương trình trở thành : t 2t t (t 1)(t + 2t 41 cos x cos x (sin x cos x) đặt t sin x cos x điều kiện: t sin x sin x sin x cos x cos x sin x cos x 5) = 10 t2 điều kiện: t t=1 t= (loaïi ) 10 sin x cos x Phương trình trở thành : t2 t=1 BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI 3t 10t 3t 10 (t 2)(3t cos2x)2 42 (cos 4x 4t 5) = Nguoithay.vn t=2 t= 19 cos2x)2 cos x VP Vaäy phương trình tương đương với hệ : sin 3x 2(2 sin 3x) sin x cos x sin x sin 3x (loaïi) sin 3x VT (cos 4x cos 2x) (2 sin 3x sin x)2 sin 3x sin x VP Vaäy phương trình tương đương với hệ : cos x sin 3x sin x sin x x k2 sin 3x sin 3x sin 3x VT 19 sin 3x 44 sin x sin 3x VT (cos 4x cos 2x)2 (2 sin 3x sin x)2 sin 3x sin x VP Vậy phương trình tương đương với hệ : cos x sin 3x sin x sin x x k2 sin 3x sin 3x sin 3x 43 (cos 4x t= sin x x x k2 sin 3x x 2(2 sin 3x) k2 m2 vô nghiệm Vậy phương trình cho vô nghiệm 45 sin x sin x sin13 x sin14 x sin x sin x Vì cos x cos13 x Vậy sin13 x sin14 x Dấu đẳng thức xảy khi: 13 14 cos13 x cos2 x cos2 x(cos11 x 1) sin x sin x sin x(sin x 1) 14 46 sin x VT cos x sin x cos x 2 cos x x k2 cos x sin x x x k2 x vào (2) ta có : sin 3x 2 2(2 sin 3x) (1) (2 1) cos x Vaäy (1) cos x sin x sin14 x ( sin 3x ) (1) (2 sin 3x ) VP 12 cos2 x ; sin x cos x sin 3x k2 ( k sin cos x sin 3x Z) k6 sin 10 2 1 (1) (2) k sin x x m BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI Nguoithay.vn Vậy phương trình vô nghiệm sin x 47 (cos x cos x ) VT ( sin x sin x ) sin x sin x VP sin 3x Vaäy sin 3x sin x sin 3x (1) Khi sin x sin 3x sin x sin 3x k (k vào (2) ta coù : sin 3x Khi sin x x (k VT sin 2 x sin 2 x không thỏa sin x (1) (2) Z) Vậy nghiệm phương trình : x 48 1 thỏa mãn k2 vào (2) ta có : sin 3x sin x sin x sin x Z) x sin x sin 3x (k k2 Z) cos x (1) Dấu xảy sin2x = k x Z) (*) (k sin x cos x sin x cos x Dấu xảy (**) tgx 2 Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm VP sin x cos x 49 sin x (1) cos x sin x sin x cos x cos x sin x (1) cos x 2 cos sin 2x sin cos 2x sin sin x cos cos x 6 3 Vì sin 2x sin 2x cos x vaø cos x 6 1 sin k2 x Vậy nghiệm phương trình : x 50 cos 2x cos x 1 (cos 3x cos x ) sin 2x cos x (*) neân (*) sin 2x x cos 3x cos x k2 3 (k (*) 11 k2 Z) k4 sin x k2 x k2 BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CĨ LỜI GIẢI Vì cos 3x cos x nên (*) cos x cos x cos 3x cos x cos x 51 cos x x2 cos x 1 x2 1 cos x Vậy nghiệm phương trình : x = (*) 52 cos 3x cos x Vì cos 3x cos x nên (*) cos x cos x cos 3x cos x cos x 1 x tg2 x cos x sin x x cos 1 cos x x cos x cos x cos x tgx x (k k2 x 3tgx 3tg x (k k2 sin x Z) 2x sin x cos x 2 x2 (1 cos 2x) k , (k Z) sin x k2 x x k2 sin k x k2 Vaäy nghiệm phương trình :x = 56 cos 2x 2x sin x sin x cos x cos x x sin x ( x sin x ) (cos x 1) cos x x2 Z) sin x sin x 3tg2 x 3tgx sin x 1/ (1) (2 sin x 1)2 ( 3tgx 1)2 tgx / (2) (1) x k2 x k2 (k Z) vào (2) ta có nghiệm x 6 55 x x2 (k k2 cos x tg2 x (cos x 1)2 54 sin x cos x (*) Vì cos x x 1 neân (*) Z) 53 cos x Nguoithay.vn x2 57 sin x sin 2x sin 3x sin x x sin x cos 2x cos 4x cos 6x cos 4x(2 cos 2x 1) k cos 4x cos 2x x x k 58 12 x sin 0 x BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI 2 sin x 2 sin x sin 2x 2 sin x sin x cos x sin 2x sin 2k x cos x cos2x cos3x cos 4x cos x.cos 5x x cos 2 k x 60 sin3 x cos3 x 0 cos x x 2k k k 59 sin 2x x 2x sin 2x sin 2x x sin x sin x cos x 2sin x cos x k sin x sin x sin x cos x x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x Nguoithay.vn cos 5x cos x 2k 2(sin x cos5 x) (sin3 x cos3 x)(sin x cos2 x) 2(sin x cos5 x) sin3 x cos2 x sin x cos3 x sin x cos5 x sin x(cos2 x sin x) co2x sin3 x 61 sin x cos 2x cos3 x cos2 2x cos 2x sin x cos x cos 2x sin x cos3 x(cos2 x sin x) cos 2x cos x tgx x cos2 3x cos 2x cos 4x cos 6x (cos 2x cos 4x) (1 cos 6x) 2 2 cos3x cos x cos2 3x cos3x(cos x cos3x) cos3x.cos 2x.cos x k k cos3x cos 2x cos x x x x k 2 62 sin x cos6 x 2(sin x cos8 x) sin x(1 sin x) cos6 x(2 cos2 x 1) cos 2x(sin x cos6 x) cos 2x 0 x 13 k k BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CÓ LỜI GIẢI 63 sin x cos x sin x cos x Bình phương vế ta cos 2x 64 cos 2x(2 cos2 2x 13 cos 2x 6) 65 3tgx Đặt : t cos 2x tgx (*) 2t 1) x 4t t2 (1 3t)(1 t ) x cos x cos x 67 cos3 x sin 2x cos x sin x cos x k x 68 tgx cot g2x cos x 2k x cos x sin x t tgx (loaïi) sin x 2k sin 2x (*) t2 x k 69 sin x (*) x t2 cos x(2 cos2 x sin x 4) 0 (thoûa mãn điều kiện) 3t k Điều kiện : sin 2x Đặt : t tgx t2 2t 2t (*) t 2 2t t t2 t 4t cos x(3tgx 2) 3tgx Đặt : t tg x k x 2k cos x(2 sin x sin x 2) x k 8cos x Đặt : t x 3tgx 3tgx cos x cos x 3tgx 3tgx tgx 2/3 sin x k k t 3sin x cos x cos 2x x (loaïi) cos 2x 3t 66 2 sin 2x (*) (t 1)(3t x sin 2x 13 cos6 x sin x cos 2x Nguoithay.vn t 14 tg2 x sin x cos2 x 2