Nguoithay.vn Nguoithay.vn PHNG PHÁP TO  TRONG MT PHNG Bài 1: Mt hình thoi có mt đng chéo có phng trình: x+2y-7=0, mt cnh có phng trình: x+3y-3=0. Mt đnh là (0;1). Vit phng trình 3 cnh và đng chéo th 2 ca hình thoi. Bài 2: Trong mt phng Oxy cho 2 đim M(1;4) và N(6;2). Lp phng trình đng thng quaN sao cho khong cách t M ti đó bng 2. Bài 3: Trong mt phng Oxy cho đim M(3;1). Vit phng trình đng thng qua M và ct 2 trc ta đ Ox, Oy tng ng ti A và B sao cho OA+OB đt giá tr nh nht. Bài 4: Trong mt phng vi h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC vi A(1;2), đng trung tuyn BM và đng phân giác trong CD có phng trình ln lt là: 2x+y+1=0 và x+y-1=0. Vit phng trình đng thng BC. Bài 5: Trong mt phng vi h trc Oxy cho đng thng d có phng trình: 2x+3y+1=02x+3y+1=0 và đim M(1;1). Vit phng trình đng thng đi qua M to vi d mt góc 45 0 Bài 6: Trong mt phng ta đ Oxy cho tam giác ABC có đnh A(1;0) và 2 đng thng ln lt cha đng cao k t B và C có phng trình: x-2y+1=0; 3x+y+1=0. Tính din tích tam giác ABC . Bài 7: Trong mt phng vi h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, góc BAC = 90 0 . Bit M(1;-1) là trung đim ca BC và G(2/3;0) là trng tâm tam giác ABC. Tìm ta đ các đnh ABC. Bài 8: Trong mt phng vi h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC cân đnh A. Có trng tâm là G(4/3;1/3), Phng trình đng thng BC là: x-2y-4=0, phng trình đng thng BG là: 7x-4y-8=0. Tìm ta đ các đnh A,B,C. Bài 9: Trong mt phng Oxy, cho hình ch nht có tâm I(1/2;0). Phng trình đng thng AB là: x-2y+2=0 và AB=2AD. Tìm ta đ các đnh A,B,C,D. Bit rng A có hoành đ âm. Bài 10: Trong mt phng Oxy cho đim A(0;2) và đng thng d: x-2y+2=0. Tìm trên d hai đim B và C sao cho tam giác ABC vuông  B và AB=2BC. Câu 11. Cho ó (5;3); ( 1;2); ( 4;5)ABC c A B C   vit phng trình đng thng đi qua A và chia tam giác ABC thành 2 phn có t s din tích bng nhau. Câu 12. Cho tam giác ABC nhn, vit phng trình đng thng cha cnh AC bit ta đ chân các đng cao h t A,B,C ln lt là: A’(-1;-2) , B’(2;2), C(-1;2). Câu 13. Cho hình vuông ABCD có đnh A(3;0) và C(-4;1) đi din. Tìm ta đ các đnh còn li? Bài 14: Trong mt phng Oxy cho đng tròn (C) và đng thng d:     22 ( ): 1 1 4; : 1 0C x y d x y       Nguoithay.vn Nguoithay.vn Vit phng trình đng tròn (C’) đi xng vi (C) qua d. Bài 15: Cho tam giác ABC vi A(8;0), B(0;6) và C(9;3). Vit phng trình đng tròn ngoi tip tam giác ABC. Bài 16: Trong mt phng ta đ cho đng thng d: 2x-y-5=0 và 2 đim A(1;2), B(4;1). Vit phng trình đng tròn có tâm thuc d và đi qua A,B. Bài 17: Trong mt phng Oxy cho đng thng d: 4x+3y-43=0 và đim A(7;5) trên d. Vit phng trình đng tròn tip xúc vi d ti A và có tâm nm trên đng thng: :2 5 4 0xy    Bài 18: Trên mt phng Oxyz cho 2 đng thng: d 1 :3x+4y-47=0 và d 2 :4x+3y-45=0 Lp phng trình đng tròn có tâm nm trên đng thng d: 5x+3y-22=0 Và tip xúc vi c d 1 và d 2 . _________________________________ HNG DN GII CÁC BÀI TP Bài 1: Mt hình thoi có mt đng chéo có phng trình: x+2y-7=0, mt cnh có phng trình: x+3y-3=0. Mt đnh là (0;1). Vit phng trình 3 cnh và đng chéo th 2 ca hình thoi. Gi s A(0;1) và ta đ B là nghim ca h PT: 3 3 0 (15; 4) 2 7 0 xy B xy           Gi C(a;b) ta có tâm 1 ( ; ) à ( 15; 5) 22 ab O v D a b       ;1 30; 9 ( 30) ( 1)( 9) 0(1) à : 15 2( 5) 7 0 12 2 (2) AC a b BD a b a a b b AC BD M D BD a b a b                              Th (2) vào (1) ta có: b=-9 hay b=5 -9 (30; 9) (15; 4) ( ) (2;5) (1;3) ( 13;10) :( 2) 3( 5) 0 : 3 17 0 (2;4) (2; 1) :2 ( 1) 0 2 1 0 ( 13;9) (9;13) :9 13( 1) 0 :9( 2) 1 AB CD AC AD BC b C D B loai C O D Do n n CD x y hay x y AC n AC x y x y AD n n AD x y BC x                                         :9 13 13 0 3( 5) 0 :9 13 83 0 AD x y y BC x y             Bài 2: Trong mt phng Oxy cho 2 đim M(1;4) và N(6;2). Lp phng trình đng thng qua N sao cho khong cách t M ti đó bng 2. Nguoithay.vn Nguoithay.vn Xét trng hp đng thng cn tìm song song vi trc tung là:   : 6 0 5 2( )x d M loai         Gi phng trình đng thng cn tìm có dng: ': ( 6) 2y k x      2 26 2 6 0 ' 2 1 0 2 ': 20 20 21 162 0 21 kx y k kx y k d M k k y xy k                               Bài 3: Trong mt phng Oxy cho đim M(3;1). Vit phng trình đng thng qua M và ct 2 trc ta đ Ox, Oy tng ng ti A và B sao cho OA+OB đt giá tr nh nht. Gi phng trình đng thng cn tìm là:       2 2 2 2 1. : ;0 à 0; 31 1 31 ( 3 1) ( ) ( 3 1) 3 1 3 3 3 3 0 :1 3 3 1 3 xy Voi A a v B b ab ab OA OB a b a b a b ab a b Min OA OB a b b a ab xy PT                                                Bài 4: Trong mt phng vi h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC vi A(1;2), đng trung tuyn BM và đng phân giác trong CD có phng trình ln lt là: 2x+y+1=0 và x+y-1=0. Vit phng trình đng thng BC. Gi A’ là đim đi xng vi A qua CD và AA’ ct CD  I ta có: A’ thuc BC Ta có: AA' (1; 1) AA': 1 ( 2) 0 1 0 CD u n x y hay x y           Ta đ đim I là nghim ca h: 10 (0;1) '( 1;0). ( ; ). 1 0 10 xy I A Goi C a b Do C CD a b xy                  Mà trung đim M ca AC có ta đ là: 1 1 1 1 ( ; ) 2. 1 0 2 6 0 2 2 2 2 a b a b M BM a b              Nguoithay.vn Nguoithay.vn Ta đ C là nghim ca h PT: 10 ( 7;8) ' ( 6;8) (4;3) 2 6 0 :4( 1) 3 0 4 3 4 0 BC ab C A C n ab BC x y hay x y                        Bài 5: Trong mt phng vi h trc Oxy cho đng thng d có phng trình: 2x+3y+1=0 và đim M(1;1). Vit phng trình đng thng đi qua M to vi d mt góc 45 0 Gii: Xét đng thng cn tìm song song vi trc tung là: 21 : 1 0 (1;0) ( ; ) 13 2 x n d d           Gi phng trình đng thng cn tìm là:   ' 2 ': 1 1 1 0 ( ; 1) 1 5 4 0 23 1 os( '; ) 5 5 6 0 2 14. 1 5 y k x kx y k n k xy k k cd xy k k                                     Bài 6: Trong mt phng ta đ Oxy cho tam giác ABC có đnh A(1;0) và 2 đng thng ln lt cha đng cao k t B và C có phng trình: x-2y+1=0; 3x+y+1=0. Tính din tích tam giác ABC . Gii: Ta có: (1; 3) : 3 1 0 CK AB u n AB x y       Ta đ B là nghim ca h:   3 1 0 ( 5; 2) 2 1 0 à : 2;1 2( 1) 0 2 2 0 BH AC xy B xy V u n x y x y                       Và ta đ C là nghim ca h phng trình:   22 2 2 0 ( 3;8) 4 8 4 5 3 1 0 14 1 1 14 . .4 5. 28 22 55 ABC xy C AC y d B AC BH S AC BH                        Bài 7: Trong mt phng vi h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, góc BAC = 90 0 . Bit M(1;-1) là trung đim ca BC và G(2/3;0) là trng tâm tam giác ABC. Tìm ta đ các đnh ABC. Nguoithay.vn Nguoithay.vn Gii: Gi   00 00 2 ; 3 1 ( ; ) ; 1 0;2 3 2 AG x y A x y GM M AG GM                                 ;2 2 ; 4 ( ; ) (2 ; 2 ) 2 2 ; 2 2 (1; 3) (2 ) 2 4 0 0 (4;0); ( 2; 2) ì: 2 ( 2; 2); (4;0) 2 2 3(2 2 ) 0 AB a b AC a b Goi B a b C a b BC a b AM a a b b AB AC b B C V AM BC b B C ab                                                       Bài 8: Trong mt phng vi h trc ta đ Oxy cho tam giác ABC cân đnh A. Có trng tâm là G(4/3;1/3), Phng trình đng thng BC là: x-2y-4=0, phng trình đng thng BG là: 7x-4y-8=0. Tìm ta đ các đnh A,B,C. Gii: Hoàng đ giao đim B là nghim ca h PT: 7 4 8 0 (0; 2) 2 4 0 xy B xy           Do C thuc BC nên: 4 2(3 ) 4 0 2 6a b a b         Nhng do tam giác ABC cân nên:   41 ; 33 . 0. à : 2 3 0 2;1 BC BC AG a b AG BC AG u M a b u                    Ta đ A là nghim ca h PT: 2 6 0 (0;3) (4;0) 2 3 0 ab AC ab         Bài 9: Trong mt phng Oxy, cho hình ch nht có tâm I(1/2;0). Phng trình đng thng AB là: x-2y+2=0 và AB=2AD. Tìm ta đ các đnh A,B,C,D. Bit Nguoithay.vn Nguoithay.vn rng A có hoành đ âm. Gii:  Phng trình đng thng qua I vuông góc vi AB là d:2x+y-1=0  Ta đ giao đim M ca d và B là nghim ca h: 2 1 0 5 (0;1) 2 5 2 2 0 2 xy M MI AD MI AM xy                 Gi A(a;b) vi a<0 ta có: 22 ( 1) 5AM a b    Do A thuc AB nên a-2b+2=0 => a=2(b-1)   2 02 5 1 5 ( 2;2) 2 2( ) (2;2) (3;0) ( 1; 2) ba bA b a loai B C D                       Bài 10: Trong mt phng Oxy cho đim A(0;2) và đng thng d: x-2y+2=0. Tìm trên d hai đim B và C sao cho tam giác ABC vuông  B và AB=2BC. Gii: Phng trình đng thng đi qua A vuông góc vi d là: 2x+y-2=0 Ta đ đim B là nghim ca h phng trình: 2 2 0 26 ; 2 2 0 55 xy B xy              Ta có: 2 () 5 d A d Gi C(a;b) là đim trên d, ta có: a-2b+2=0 (1) và: 22 22 2 6 4 ( ) (2) 5 5 5 d A d BC a b                    T (1) và (2) ta có: C(0;1) hoc C(4/5;7/5) Bài 11:Cho ó (5;3); ( 1;2); ( 4;5)ABC c A B C   vit phng trình đng thng đi qua A và chia tam giác ABC thành 2 phn có t s din tích bng nhau. Gi M(a;b) , ta có:   ( 1; 2) 3;3 BM a b BC          Do Nguoithay.vn Nguoithay.vn 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 C A B C' B' A' 11 1 21 ( 2;3) ( 7;0) 3 2 ( 3;4) 12 ( 8;1) 3 22 : 3 0 : 8 29 0 x BM BC y M AM M x AM BM BC y dy d x y                                                     Bài 12:Cho tam giác ABC nhn, vit phng trình đng thng cha cnh AC Bit ta đ chân các đng cao h t A,B,C ln lt là: A’(-1;-2) , B’(2;2), C(-1;2). Gii: S dng các t giác ni tip ta hoàn toàn chng minh đc AA’, BB’, CC’ ln lt là các đng phân giác trong ca tam giác A’B’C’. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ( 3;0) (0;1) : 2 0 ( 3; 4) (4; 3) :4( 2) 3( 2) 0 :4 3 2 0 BC n BC y B A n B A x y hay x y                           Bài 13: Cho hình vuông ABCD có đnh A(3;0) và C(-4;1) đi din. Tìm ta đ các đnh còn li? Gii: Ta đ trung đim I ca AC là:   11 ; 7;1 (7; 1) 22 BD I AC n          Nguoithay.vn Nguoithay.vn 22 2 2 2 2 2 1 2 2 11 :7( ) ( ) 0 7 4 0 22 17 ( ;7 4) 7 22 0 (0;4) 1 5 2 1 1 50 1 ( 1; 3) 2 2 2 2 4 BD x y x y Coi B a a BD BI a a aB AC BI a a aB                                                                     Bài 14: ( TSH khi D-2003) Trong mt phng Oxy cho đng tròn (C) và đng thng d có phng trình:     22 ( ): 1 1 4; : 1 0C x y d x y       Vit phng trình đng tròn (C’) đi xng vi (C) qua d. Gii: (C) có tâm I(1;1) và R=2 (C’) đi xng vi (C) qua d thì tâm I’ ca (C’) cng đi xng vi I qua d và R=R’=2 Phng trình đng thng qua I vuông góc vi d là: : 2 0xy      0 2 2 20 31 à : ( ; ) '(2;0) 10 22 ( '): 2 4 xy d Kl ng cua HPT K I xy C x y                   Bài 15: Cho tam giác ABC vi A(8;0), B(0;6) và C(9;3). Vit phng trình đng tròn ngoi tip tam giác ABC. Gii: Trung đim ca AB là:     (4;3) à 8;6 4; 3M v AB     Ta có phng trình đng trung trc ca AB là: 4( 4) 3( 3) 0 4 3 7 0x y x y        Trung đim ca BC là:     99 ( ; ) à 9; 3 3; 1 22 N v BC     Ta có phng trình đng trung trc ca BC là: 99 ( ) 3( ) 0 3 9 0 22 x y x y        Vy ta đ tâm đng tròn ngoi tip là nghim ca h: Nguoithay.vn Nguoithay.vn     22 22 4 3 7 0 (4;3) 4 3 5 3 9 0 ( ): 4 3 25 xy OR xy C x y                    Bài 16: Trong mt phng ta đ cho đng thng d: 2x-y-5=0 và 2 đim A(1;2), B(4;1). Vit phng trình đng tròn có tâm thuc d và đi qua A,B. Gii: Tâm O s là giao đim ca đng trung trc ca AB và d. Trung đim ca AB là: 53 ( ; ), (3; 1) 22 M AB  Ta có phng trình đng trung trc ca AB là: 53 3( ) ( ) 0 3 6 0 22 x y x y        Vy ta đ tâm O là nghim ca h: 3 6 0 (1; 3) 2 5 0 xy O xy           Bán kính: R=5 nên ta có:     22 ( ): 1 3 25C x y    Bài 17: Trong mt phng Oxy cho đng thng d: 4x+3y-43=0 và đim A(7;5) trên d. Vit phng trình đng tròn tip xúc vi d ti A và có tâm nm trên đng thng: :2 5 4 0xy     Gii: Ta có:     0 22 (3; 4) :3 4 1 0 3 4 1 0 à a : (3;2) 5 2 5 4 0 ( ): 3 2 25 d OA u n OA x y xy O OA l ng cu HPT O R OA xy C x y                             Bài 18: Trên mt phng Oxyz cho 2 đng thng: d 1 :3x+4y-47=0 và d 2 :4x+3y-45=0 Lp phng trình đng tròn có tâm nm trên đng thng d: 5x+3y-22=0 Và tip xúc vi c d 1 và d 2 . Gii: Các phng trình đng phân giác to bi d 1 và d 2 là: Nguoithay.vn Nguoithay.vn       1 2 2 2 2 2 1 1 0 1 22 11 2 2 0 2 2 : 2 0 3 4 47 4 3 45 :7 7 92 0 3 4 4 3 20 * 1: à : 2;4 5x 3y 22 0 à 5 ( ) : 2 4 5 7 7 92 0 61 153 * 2: à : ; 5x 3y 22 0 77 20 à 7 xy x y x y xy xy TH O d l ng cua HPT O v R C x y xy TH O d l ng cua HPT O vR                                                     22 2 61 153 400 ( ) : 7 7 21 C x y                  . -9 (30; 9) (15; 4) ( ) (2;5) (1;3) ( 13; 10) :( 2) 3( 5) 0 : 3 17 0 (2;4) (2; 1) :2 ( 1) 0 2 1 0 ( 13; 9) (9 ;13) :9 13( 1) 0 :9( 2) 1 AB CD AC AD BC b C.                                :9 13 13 0 3( 5) 0 :9 13 83 0 AD x y y BC x y             Bài 2: Trong