Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên. Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. 1 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN ĐẠO HÀM HÀM SỐ CƠ BẢN Nhóm GUG – Lớp CNTT_K12D – Trường ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP Nhóm GUG – Lớp CNTT_K12D – Trường ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên CÔNG THỨC ÁP DỤNG (C)’ = 0 (C: hằng số) Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến x (u + v)’ = u’ + v’; (u - v)’ = u’ - v’ (x)’ = 1 ; (Cx)’ = C (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số) ' '')' ( 2121 nn uuuuuu  1 .)'(     xx ' )'( 1 uuu     (u.v)’ = u’.v + v’.u (u.v. w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ 2 1 )' 1 ( xx  với (x )0 '. 1 )' 1 ( 2 u u u  ; '.)'( 2 u u C u C  2 '.'. )'( v uvvu v u   x x 2 1 )'(  với ( x>0) '. 2 1 )'( u u u  ; '. 2 )'( u u C uC  2 )( )'( dcx bcad dcx bax      xx cos)'(sin  '.cos)'(sin uuu  22 2 2 2 )( )(2)( )'( qpxmx cpbqxcmaqxbmap qpxmx cbxax      xx sin)'(cos  '.sin)'(cos uuu  2 2 2 )( 2 )'( qpx cpbqaqxapx qpx cbxax      x x x 2 2 tan1 cos 1 )'(tan  ( x ) 2   k ').tan1( cos ' )'(tan 2 2 ux u u u  )0(;)' 1 ( 1   x x n x nn )cot1( sin 1 )'(cot 2 2 x x x  ; (x )  k ').cot1( sin ' )'(cot 2 2 ux u u u  )0(; '. )' 1 ( 1   u u un u nn xx ee )'( '.)'( uee uu  xx 2sin)'(sin 2  ; xx 2sin)'(cos 2  aaa xx ln.)'(  '.ln.)'( uaaa uu  axaax cos)'(sin  ; axaax sin)'(cos  x x 1 )'(ln  u u u ' )'(ln  ax a ax 2 cos )'(tan  ; ax a ax 2 sin )'(cot   ax x a ln. 1 )'(log  '. ln. 1 )'(log u au u a  Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên. Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. 2 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO STT Hàm số Đạo hàm cấp n 1 x ey    xn ey  2 bax ey     baxnn eay   . 3    baxy    nnn baxnay     )).(1) (2)(1(. 4 x y   1 1       1 1 ! .1    n n n x n y 5 x y   1 1     1 1 !    n n x n y 6 xy sin          2 sin  n xy n 7 y = cosx          2 cos  n xy n 8 )sin( baxy           2 sin.  n baxay nn 9 )cos( baxy           2 cos.  n baxay nn 10 y = lnx       n n n x n y !1 1 1    11 )ln( baxy        n n nn bax an y     !1 .)1( 1 12 xy    12 1 .2 !)!32()1(     nn n n x n y 13 x x y    1 1     1 1 !2    n n x n y 14 )( baxfy      ).(. baxfay nnn  15 x x y   1       12 .2 )32.()1( 2 12 1      nx x n y n n n n Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên. Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. 3 1. Công thức Lepnit.             gfCgfCgfCgfCgf nn n n n n n knkk n n k n ' 110 0 )(     2. Công thức Taylor Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng a,b . Khi đó tồn tại một điểm   bax , 0  sao cho:     )()( ! )( )( !2 )('' )( !1 ' )()( 0 0 2 0 0 0 0 0 xRxx n xf xx xf xx xf xfxf n k n  = 3. Công thức Maclaurin: Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n1 tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một khoảng mở chứa điểm 0). Khi đó : n 2n n f ' 0 f " 0 f 0 f x f 0 x x x R x 1! 2! n! Với n1 n1 n fx R x x , 0 1 n 1 ! (phần dư dạng lagrange) Hoặc n1 n n1 n fx R x 1 x , 0 1 n! (phần dư dạng Cauchy). Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số: 2 n n 1 xx x x x x 1 e 1 e 1! 2! n! n 1 !   )()( ! )( 0 0 0 xRxx k xf n k k n k    Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên. Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. 4 2 3 n 1 n n1 x x x 1 2 ln 1 x x 1 23 n1 1x n n 1 1 n 1 3 1 x 1 x R x 1! 2! n! 3 5 2k 1 k1 2k x x x 4 sin x x 1 R (x) 3! 5! 2k 1 ! 2 4 6 2k k 2k 1 x x x x 5 cos x 1 1 R x 2! 4! 6! 2k ! Một số bài tập áp dụng Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1. dcx bax y    2. 54 32    x x y 3. nmx cbxax y    2 4. 1 1 2    x xx y 5.     2 1 x y x 6. xxy 2cos.3sin 32  7.  2y cos x 8. 1 1 x y x    9. 2 3 1 x y x    10. 2 4 3 x y x    11.   4 tanyx 12.    3 sin 1yx 13. 2 1 cos y x  14. sin cos sin cos xx y xx    15.  20 (1 )yx 16.    1 1 x y x 17.       2007 5 1 7y t t t 18.   2 22 x y xa 19.  sin x y x cosx 20.    2 cot 1y x x 21.  1 3 3 y cosx cos x 22.  tant y t 23.  sin(2sin )yx Bài 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1. 1 35 y x   2. 252 1 2   xx y 3. 3 2 9 x y x   4. sin5yx 5. 2 sin 2yx 6. sin sin5y x x . Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên. Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. 1 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN ĐẠO HÀM HÀM SỐ. ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên. Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. 2 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO STT Hàm