Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC kπ kπ kπ kπ ; ; ; ( k ∈ ¢ ) ln tính máy tính fx-570ES Giá trị lượng giác cung có dạng: kπ ; Công thức lượng giác tan x = sin x + cos x = 1 + tan x = cos x sin x cos x + cot x = sin x cot x = cos x sin x tan x.cot x = Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt ☻ Hai cung đối : x − x ☻ Hai cung bù : x ( π − x ) cos ( − x ) = cos x sin ( − x ) = − sin x sin ( π − x ) = sin x cos ( π − x ) = − cos x tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x tan ( π − x ) = − tan x cot ( π − x ) = − cot x π  ☻ Hai cung phụ : x  − x ÷ 2  ☻ Cung π : x ( π + x ) sin ( π + x ) = − sin x cos ( π + x ) = − cos x π  sin  − x ÷ = cos x 2  π  cos  − x ÷ = sin x 2  tan ( π + x ) = tan x cot ( π + x ) = cot x π  tan  − x ÷ = cot x 2  π  cot  − x ÷ = tan x 2  Công thức CỘNG sin α cos β + cos α sin β = sin ( α + β ) cos α cos β + sin α sin β = cos ( α − β ) sin α cos β − cos α sin β = sin ( α − β ) cos α cos β − sin α sin β = cos ( α + β ) tan ( α + β ) = tan α + tan β − tan α tan β tan ( α − β ) = Cơng thức NHÂN ĐƠI cos 2a = cos a − sin a sin 2a = 2.sin a.cos a tan α − tan β + tan α tan β Công thức HẠ BẬC = 2cos a − tan 2a = tan a − tan a = − 2sin a Công thức biến TỔNG thành TÍCH Daukhacha.toan@gmail.com Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos u + cos v = cos sin u + sin v = 2sin u+v u+v cos cos u −v u −v cos u − cos v = −2sin sin u − sin v = cos u+v u+v sin sin u −v u−v Cơng thức biến TÍCH thành TỔNG cos a.cos b = sin a.cos b = 1 cos ( a − b ) + cos ( a + b )   2 sin a.sin b = cos α sin β = sin β cos α = ? sin ( a − b ) + sin ( a + b )   2 cos ( a − b ) − cos ( a + b )   2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình : sin x = a  x = α + k 2π ,k ∈¢ CT1: sin x = sin α ⇔   x = π − α + k 2π  x = arcsin a + k 2π ,k ∈¢ CT3: sin x = a ⇔   x = π − arcsin a + k 2π (1)  x = β + k 3600 , k ∈¢ CT2: sin x = sin β ⇔  0  x = 180 − β + k 360 Chú ý : (đây phương trình đặc biệt) π • sin x = ⇔ x = + k 2π , k ∈ ¢ π • sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ ¢ sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ ¢ • Giải phương trình : sin x = a (1) • Nếu a > a < −1 phương trình (1) vơ nghiệm • Nếu a = ± ; ± dùng CT1 CT2 ; ± 2 • Nếu a = 1; 0; − dùng phần ý • Nếu −1 < a < a ≠ ± ; ± dùng CT3 ; ± 2 • Lưu ý: Chỉ sử dụng CT2 phương trình có mặt đơn vị độ Phương trình : cos x = a (2) Daukhacha.toan@gmail.com Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  x = α + k 2π , k ∈¢ CT4: cos x = cos α ⇔   x = −α + k 2π  x = arccos a + k 2π , k ∈¢ CT6: cos x = a ⇔   x = − arccos a + k 2π  x = β + k 3600 cos x = cos β ⇔  , k ∈¢ CT5: x = − β + k 3600  Chú ý : (đây phương trình đặc biệt) • cos x = ⇔ x = k , k  ã cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k  ã cos x = x = + kπ , k ∈ ¢ Giải phương trình : cos x = a (2) • Nếu a > a < −1 phương trình (2) vơ nghiệm • Nếu a = ± ; ± dùng CT4 CT5 ; ± 2 • Nếu a = 1; 0; − dùng phần ý • Nếu −1 < a < a ≠ ± ; ± thường dùng CT6 ; ± 2 • Lưu ý: Chỉ sử dụng CT5 phương trình có mặt đơn vị độ Phương trình: tan x = a Điều kiện xác định phương trình (3) : cos x ≠ ⇔ x ≠ Phương trình (3) cho ln có nghiệm CT7 tan x = tan α ⇔ x = α + kπ , k ∈ ¢ CT8 tan x = tan β ⇔ x = β + k 1800 , k ∈ ¢ CT9 tan x = a ⇔ x = arctan a + k , k  ã (3) + k , k ∈ ¢ Nếu a = ± ; ± ; ; ± dùng CT7 CT8 • Nếu a ≠ ± ; ± ; ; ± Phương trình: cot x = a (4) Điều kiện xác định phương trình (4) là: sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ¢ Phương trình (4) ln có nghiệm CT10 cot x = cot α ⇔ x = α + k , k  ã Nu a = ± ; ± ; ; ± 0 CT11 cot x = cot β ⇔ x = β + k 180 , k ∈ ¢ dùng CT10 CT11 CT12 cot x = a ⇔ x = arc cot a + k , k  ã Nu a ± ; ± ; ; ± BT1 Giải phương trình lượng giác sau: a) sin x − cos x − sin x cos x +1 = ⇔ ( sin x +1) − cos x ( sin x +1) = ⇔ ??? 1) cos3 x + sin x + 2sin x = ⇔ cos3 x + sin x + 2sin x = sin x + cos x ??? ⇔ cos3 x + sin x + sin x − cos x = Daukhacha.toan@gmail.com Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ ( sin x + cos x ) ( − sin x cos x ) + ( sin x + cos x ) ( sin x − cos x ) = ⇔ … ??? 2) cos x + ( + cos x ) ( sin x − cos x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) − ( + cos x ) ( cos x − sin x ) = ⇔ … 3) 4sin x + 4sin x + 3sin x + cos x = ⇔ 4sin x + 4sin x + 6sin x cos x + cos x = ⇔ 2sin x ( sin x + 1) + 3cos x ( sin x + 1) = ⇔ … 2 4) ( 2sin x − 1) tan x + ( cos x − 1) = (nhớ điều kiện phương trình là: cos x ≠ ) ⇔ − cos x tan 2 x + ( cos x − 1) = ??? ⇔ − sin x − 3sin x = ??? cos x ⇔ sin 2 x + 3cos x.sin x = ⇔ 4sin x.cos x + 3cos x.sin x = ⇔ … π  5) 2sin  x − ÷+ 4sin x + = 6  π π  ⇔  sin x cos − cos x sin ÷+ 4sin x + = 6  ⇔ sin x − cos x + 4sin x + = ⇔ sin x + 4sin x + − cos x = ⇔ sin x cos x + 4sin x + 2sin x = ⇔ … 6) cos 3x cos3 x − sin x sin x = 2+3 (****) Giải 1 2−3 cos x ( cos x.cos x ) − sin x ( sin x.sin x ) = 2 1 2−3 ⇔ cos x ( cos x + cos x ) − sin x ( cos x − cos x ) = 2 2−3 2−3 ⇔ cos x ( cos x + sin x ) + cos x ( cos x − sin x ) = ⇔ cos x + cos 2 x = 4 π kπ ⇔ cos x + ( + cos x ) = − ⇔ cos x = ⇔ x=± + ( k∈Z) 16 ( 2) ⇔ π 3 7) 2 cos  x − ÷− cos x − sin x = 4  2= ( 2) 3 ⇔  cos  x − π   − cos x − sin x =  ÷ ???      ⇔ ( sin x + cos x ) − ( sin x + cos x ) = ⇔ … ??? 2 8) sin x cos x + cos x ( tan x − 1) + 2sin x = 2 ⇔ sin x cos x + cos x sin x − cos x + 2sin x = ??? cos x Daukhacha.toan@gmail.com Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ sin x ( cos x + 2sin x ) + sin x − cos x = ??? ⇔ sin x + sin x − cos x = ??? ⇔ 2sin x + sin x − = ⇔ … ??? cos x − π  9) tan  + x ÷− tan x = cos x 2  ⇔ − cot x − tan x = −2sin x ⇔ − − tan x = −2 tan x ⇔ … ??? tan x cos x sin x  3π  − x ÷+ =2 10) tan  (nhớ tìm điều kiện phương trình)   + cos x ⇔ cot x + sin x = ⇔ cos x + sin x = ⇔ … ??? + cos x sin x + cos x 11) sin x + cos x + sin x − cos x − = ⇔ ( sin x − 1) + cos x + ( sin x − cos x ) = ⇔ − ( cos x − sin x ) + cos x − sin x − ( cos x − sin x ) = ⇔ … 3x  5x π  x π sin  − ÷− cos  − ÷ = cos 12)  4  4 4  42 sin( a −b ) = ? cos( a −b ) = ?  5x 5x  2 x x 3x  sin − cos ÷−  cos + sin ÷ = cos  2   2 x  5x x 3x  5x ⇔  sin − sin ÷−  cos + cos ÷ = cos ⇔ … ???  4 43  4 4  ⇔ ??? sin u −sin v =? cos u + cos v =? ( 13) cos x + sin x cos x + = sin x + cos x ( ) ( = sin x + cos x ) ⇔ 3cos x + cos x sin x + sin x = sin x + cos x ??? cos x + cos x.sin x + sin x = ( sin x + ⇔ (1 4 )4 4 4 4 4 2 ) ) cos x ⇔ … a + ab + b2 =? 1 − = cot x (điều kiện phương trình sin x ≠ ) 2sin x sin x ⇔ sin x + sin x2 43x − cos x − = cos x ⇔ sin 2 x + ( cos x − cos 3x ) − cos x − = cos x sin ??? sin a.sin b =? ⇔ … ??? 14) sin x + sin x − 15) sin x − cos 3x = 2sin x sin 3x − cos x = sin x ⇔ 44 4 43 ⇔… 2 ??? π π sin x cos − cos3 x sin =? 3   16) 2sin x 1 + cos 3x ÷+ sin x = + cos x  14 24 ÷  2cos x  Daukhacha.toan@gmail.com Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ 4sin x cos x + 2sin x cos x = + cos x ??? ⇔ 2sin x cos x ( cos x + 1) = + cos x ⇔ … ??? 17) sin x − cos3 x = sin x cos x − sin x cos x ⇔ sin x ( sin x − cos x ) + cos x ( sin x − cos x ) = ⇔ … ??? 18) + sin x  7π  = 4sin  − x÷ 3π    44 44 sin  x − ÷ sin( a − b ) =? 23  1424 (nhớ tìm điều kiện phương trình) sin( a − b ) = ? 1 + = 2 ( sin x + cos x ) ⇔ … sin x cos x 19) 2sin 2 x + sin x − = sin x ⇔ 2sin 2 x − + sin x = sin x ⇔ ??? ⇔ − cos x + sin x − sin x = ⇔ − cos x + cos x sin x = ⇔ … ??? x x  20)  sin + cos ÷ + cos x = 2 2  ⇔ + sin x + cos x = ??? ⇔ sin x + cos x = ⇔ … 2 21) ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin x ⇔ ( cos x + sin x ) + sin x cos x ( sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) ⇔ … ??? cos x + sin x − sin x (nhớ tìm điều kiện phương trình) + tan x sin x cos x − sin x ⇔ −1 = + sin x − sin x cos x cos x + tan x 2 ⇔ sin x − = cos x ( cos x − sin x ) + sin x − sin x cos x ??? cos x cos x + sin x sin x − cos x ⇔ = cos x ( cos x − sin x ) − sin x ( cos x − sin x ) ⇔ … cos x 23) cot x − tan x + 4sin x = (nhớ tìm điều kiện phương trình) sin x cos x sin x − + 4sin x = ⇔ sin x cos x 2sin x cos x 22) cot x − = ⇔ (A2003) (B2003) cos x − sin x 4sin x sin x cos x + = sin x cos x sin x cos x sin x cos x ⇔ cos x + 2sin 2 x = ⇔ cos x + ( − cos 2 x ) = ⇔ … ??? π 2 x x 24) sin  − ÷tan x − cos = 2 4 Daukhacha.toan@gmail.com (nhớ tìm điều kiện phương trình) (D2003) Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x x π 2sin  − ÷tan x − cos = ⇔  44 224  2sin a = ?     ⇔ 1 − cos  x − π   tan x − ( cos x + 1) = ⇔ …  ÷ ???  42     cos( a −b ) = ?   2 25) sin x − cos x = sin x − cos x ⇔ ??? Dùng CT hạ bậc, nhóm biến tổng → tích 26) cos 3x cos x − cos x = 2 ⇔ 24 x cos x − cos x = 1cos ??? (B-2002) 2cos a = ? ⇔ ( cos x + 1) cos x − ( cos x + 1) = ⇔ … 27) 5sin x − = ( − sin x ) tan x ⇔ 5sin x − = ( − sin x ) (nhớ tìm điều kiện phương trình) (B2004) sin x cos x sin x ⇔ 3sin x 5sin x − = − sin x + sin x ⇔ ( 5sin x − ) ( + sin x ) = 3sin x ⇔ … ⇔ 5sin x − = ( − sin x ) 28) ( cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x − sin x ( cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = 2sin x cos x − sin x ⇔ ( cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x ( cos x − 1) ⇔ (D2004) ⇔ … π  π  4 29) cos x + sin x + cos  x − ÷sin  x − ÷− = 4  4  π  π  4 ⇔ ( cos x + sin x ) + cos  x − ÷sin  x − ÷− =    ??? 4 4 4 43 (sử dụng cơng thức biến tích thành tổng) 2cos a sin b =??? π  4 ⇔ ( cos x + sin x ) + sin  x − ÷+ sin x − =  ??? 44 sin ( a − b ) =? ⇔ ( cos x + sin x ) − cos x + sin x − = ??? 4 ⇔ ( cos x + sin x ) − 2sin x cos x  − cos x + sin x − =     2 ⇔ − 4sin x cos x − cos x + sin x − = ??? ⇔ − sin 2 x − cos x + sin x − = ⇔ − sin 2 x − ( − 2sin 2 x ) + sin x − = ??? ⇔ sin 2 x + sin x − = ⇔ … 6 30’) ( sin x + cos x ) − sin x cos x = ⇔ ( sin x + cos x ) − 3sin x.cos x ( sin x + cos x )  − sin x.cos x = ???     Daukhacha.toan@gmail.com Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ ( − 3sin x.cos x ) − sin x.cos x = ??? ⇔ ( − 3sin x.cos x ) − 2sin x.cos x = ⇔ −3sin 2 x − sin x + = ⇔ … ??? ( cos6 x + sin x ) − sin x cos x (điều kiện =0 − 2sin x ⇔ ( sin x + cos x ) − sin x cos x = ⇔ … 30) − 2sin x ≠ ⇔ ??? )  sin x ≠  x  31) cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = (điều kiện phương trình sin x ≠ )Chú ý: cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ??? 2   x cos ≠  32) cos 3x + cos x − cos x − = ⇔ ( cos 3x − cos x ) + ( cos x − 1) = ⇔ … (biến tổng thành tích) ??? 33) 2sin x + cot x = 2sin x + (điều kiện sin x ≠ ) cos x ⇔ 2sin x + = 4sin x cos x + ⇔ … (quy đồng) sin x sin x + cos x = ( tan x + cot x ) 34) sin x sin x ≠  (điều kiện: sin x ≠ ) Chú ý: cos x ≠ ⇔ sin x ≠ sin x ≠  2 ⇔ − 2sin x.cos x =  sin x + cos x  ⇔ …  ÷ ??? sin x  cos x sin x  x x x π 36) sin sin x − cos sin x + = cos  − ÷ 2  2 x x π x  sin sin x − cos sin x = cos  − ÷− ⇔ 2 4 4 44 2cos2 a −1= ? ⇔ sin x sin x − cos x sin x = cos  π − x  ⇔ sin x sin x − cos x sin x = sin x ⇔ …  ÷ ??? ??? 2 2 2  123 38) 2 ( sin x + cos x ) cos x = + cos x 2cos a −1=? ⇔ 2 ( sin x + cos x ) cos x = cos x + ⇔ … ??? (chia hai vế cho cos x , đưa pt bậc hai tan x , nhớ vận dụng 39) ( 2sin x + 1) ( 3cos x + 2sin x − ) + cos x = ⇔ ⇔ ⇔ 41) = + tan x ) cos x ( 2sin x + 1) ( 3cos x + 2sin x − ) + 4(1 − sin x) = ( 2sin x + 1) ( 3cos x + 2sin x − ) + − 4sin x = ( 2sin x + 1) ( 3cos x + 2sin x − ) + ( − 2sin x ) ( + 2sin x ) = ⇔ … ( sin x + tan x ) (nhớ tìm điều kiện phương trình) − cos x = tan x − sin x Daukhacha.toan@gmail.com Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ ( sin x.cos x + sin x ) − cos x = ⇔ ( cos x + 1) − cos x = ??? sin x − sin x.cos x − cos x ( cos x + 1) ⇔ − ( cos x + 1) = ⇔ − cos x 42) 2sin x − cos x = sin x + cos x − ⇔ 4sin x cos x + 2sin x − = sin x + cos x − ??? ⇔ cos x ( 2sin x − 1) + sin x ( 2sin x − 1) = ( 2sin x − 1) ⇔ … ??? 44) sin x − cos 3x = − 4sin x ⇔ sin 3x − cos x = − 2sin x ⇔ … 14 43 2 cos a =? 46) cos3 x + sin x = 8cos x ⇔ … cos3 x + sin3x = sin x + cos x ⇔ 47) 4432 4 … (pp chia hai vế cho cos x ) a + b =? 48) (pp phân tích) ( sin x − cos3 x ) (nhớ ĐK phương trình) = cos x cos x − sin x ( sin x − cos x ) ( sin x + sin x cos x + cos x ) ⇔ = cos x cos x − sin x ⇔ −2 − sin x = cos x ⇔ sin x + cos x = −2 ⇔ … ??? 49) sin x + cos3 x = cos x ⇔ ( sin x + cos x ) ( sin x − sin x cos x + cos x ) = cos x − sin x ⇔ … ??? x 3π   − cos x = + cos  x − ÷   ⇔ 4sin x − − cos x = cos  x − 3π  −  ÷ ???   3π   ⇔ … ⇔ cos x − cos x = cos  x − ÷ ⇔ cos x − cos x = sin x ⇔ …   sin x + cos3 x 51) (nhớ ĐK phương trình) = cos x cos x + sin x ( sin x + cos x ) ( sin x − sin x cos x + cos2 x ) ⇔ = cos x ⇔ cos x + sin x 50) 4sin 69) 70) 71) 52) 53) sin x + cos x − sin x − =0 tan x + sin x.cos x + sin x.cos x = cos x + sin x + cos x + sin x + cos x = 2.sin x.sin x + cot x sin x − cos x + 3sin x − cos x − = ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x = Daukhacha.toan@gmail.com (D-2011) (B-2011) (A-2011) (D2010) (B2010) Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos x − 2sin x cos x − sin x = 55) sin x + cos x sin x + cos x = ( cos x + sin x ) (D-2009) 56) (A-2009) 54) ( − 2sin x ) cos x = ( + 2sin x ) ( − sin x ) 57) 2sin x ( + cos x ) + sin x = + cos x (D-2008) 58) sin x − cos x = sin x cos x − sin x cos x 1  7π  + = 4sin  − x÷ 3π  59) sin x    sin  x − ÷   3 (B-2009) (B-2008) (A-2008) x x  60)  sin + cos ÷ + cos x = (D-2007) 2  61) 2sin 2 x + sin x − = sin x (B-2007) 2 62) ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + sin x (A-2007) 63) cos 3x + cos x − cos x − = (D-2006) x  64) cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = (B-2006) 2  ( cos6 x + sin x ) − sin x cos x 65) (A-2006) =0 − 2sin x 66) + sin x + cos x + sin x + cos x = (B-2005) cos 3x + sin x   67) Tìm x ∈ ( 0; 2π ) thỏa mãn phương trình :  sin x + ÷ = cos x + + 2sin x   68) sin x − cos x = sin x − cos x (B-2002) (A-2002) π  sin  x + ÷ π 1  + π  sin x + cos x π 4   2 sin  x + ÷ =  ⇔ 2 sin  x + ÷ =  sin x cos x ⇔ 2 sin  x + ÷ =   sin x cos x 4 sin x cos x     π π  sin  x + ÷ =  x = − + kπ  π      ⇔ sin  x + ÷ − ÷ = ⇔  sin x cos x ≠ ⇔  sin x ≠  sin x cos x        2sin x cos x =  sin x =  π  π  x = − + kπ ⇒ sin x = sin  − ÷ = −1 ≠ π   ⇔ ⇔ x = ± + kπ π π  sin x = ⇔ x = + k 2π ⇔ x = + kπ  (k ∈ Z) 3 5 C1 sin x + cos x = ( sin x + cos x ) ⇔ sin x − 2sin x = cos5 x − cos3 x ⇔ sin x ( − 2sin x ) = cos3 x ( cos x − 1) ⇔ sin x cos x = cos3 x cos x Daukhacha.toan@gmail.com 10 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 57.Đại học An Giang khối D năm 2000 cos x = sin x + sin x + sin x = ⇔ cos x + cos x + cos x = ⇔ cos x ( cos x + 1) = ⇔  cos x = −  2 2 58 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999 π 1  2 sin  x + ÷ = +  sin x cos x  π  sin  x + ÷ π  sin x + cos x π 4    ⇔ 2 sin  x + ÷ = ⇔ 2 sin  x + ÷ =  sin x cos x 4 sin x cos x     π   π  π  sin  x + ÷ = sin  x + ÷ =  sin  x + ÷ =       ⇔ ⇔ ⇔  sin x cos x ≠  sin x ≠  2=    sin x cos x    2sin x cos x =  sin x =  π  π  x = − + kπ ⇒ sin x = sin  − ÷ = −1 ≠    π ⇔  sin x ≠ ⇔ x = ± + kπ   π π  sin x = ⇔ x = + 2kπ ⇔ x = + kπ   59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999  cos x =  5x x 5x = cos x + cos x + cos x + cos x = ⇔ cos x.cos cos = ⇔ cos  2  x cos =  60 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998 sin x + cos3 x = ( sin x + cos5 x ) ⇔ ( sin x + cos3 x ) ( sin x + cos x ) = ( sin x + cos x ) ⇔ sin x cos x + sin x cos3 x = sin x + cos5 x ⇔ sin x ( cos x − sin x ) = cos x ( cos x − sin x ) cos x =  cos x = cos x = ⇔ cos x sin x = cos x cos3 x ⇔  ⇔ ⇔ sin x = cos x  tan x = sin x = cos x 61 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998 − cos x + cos x + cos x = + ⇔ ( cos x + cos x ) + ( + cos x ) = sin x = cos 2 x + cos x ⇔ 2 ⇔ cos x cos x + cos x = ⇔ cos x ( cos x + cos x ) = ⇔ cos x.cos x.cos x = Daukhacha.toan@gmail.com 18 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos 3x = ⇔ cos x =  cos x =  62 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999 sin x + cos x = ( sin x + cos8 x ) ⇔ sin x ( − 2sin x ) + cos x ( cos x − 1) = ⇔ cos x ( sin x + cos x ) = ⇔ cos x = 64 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B naêm 2000  cos x =  13 ⇔ cos x ( cos 2 x − 13cos x + ) = ⇔ cos x = (loai) cos6 x − sin x =  cos x =  66 Học Viện Quân Y khối B naêm 2001 3sin x + cos x = + tan x ⇔ tan x.cos x + cos x = + tan x ⇔ cos x ( tan x + ) = + tan x  3 tan x + =  tan x = − ⇔ ⇔  cos x = cos x = 67 Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B naêm 2000 cos3 x + sin x = 8cos x ( ) ⇔ cos3 x + sin x cos x = 8cos x ⇔ cos x cos x + sin x − =  cos x =  ⇔ cos x 2sin x − sin x + = ⇔ sin x = (loai)  sin x =   ( ) 69 Đại Học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001 π  sin  x + ÷ = sin x (*) 4  Đặt : t = x + π π ⇒ x=t− 4  π (*) ⇔ sin t = sin  t − ÷ ⇔ sin t = sin t − cos t ⇔ sin t ( − cot t ) = sin t − cos t  4 Daukhacha.toan@gmail.com 19 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cost = cost = π π ⇔ cos t ( − sin t cot t ) = ⇔  ⇔ ⇔ t = + kπ ⇔ x = + kπ sin t cos t = sin 2t = (vn) 70 Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh khối D năm 2000 ( sin x + cos x ) + sin x =   ⇔ 1 − sin 2 x ÷+ sin x = ⇔ −2sin 2 x + sin x = −2   ⇔ cos x + sin x = −1 ⇔ π  cos x + sin x = − ⇔ cos  x − ÷ = − 2 3  71 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 1997 cos x − cos 3x = cos x − ( + cos x ) ⇔ cos x − ( cos3 x − 3cos x ) = cos x − cos x ⇔ cos3 x + 3cos x = ⇔ cos x ( cos x + ) = ⇔ cos x = 72 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000 sin x + ( cos x − sin x ) = ⇔ ( − sin x ) − ( cos x − sin x ) + = ⇔ ( cos x − sin x ) − ( cos x − sin x ) + = cos x − sin x = π  ⇔ ⇔ cos  x + ÷ = 4  cos x − sin x = (vn) 72 Đại Học Văn Hóa Hà Nội khối D naêm 2001 s inx + cos x + cos x − 2sin x cos x = ⇔ sin x + − 2sin x + cos x ( − sin x ) = sin x = sin x = ⇔ ( − sin x ) ( 2sin x + cos x + 1) = ⇔  ⇔  π  2(sin x + cos x) = −1 sin  x + ÷ = −  4 2   73 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997 cos x + sin x = cos x sin x = ⇔ cos x + sin x = cos x − sin x ⇔ sin x + sin x = ⇔ sin x ( sin x + 1) = ⇔  1 + sin x = (vn) 74 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997 x 3x x 3x cos x.cos cos − sin x.sin s in = 2 2 1 ⇔ cos x ( cos x + cos x ) − sin x ( cos x − cos x ) = 2 Daukhacha.toan@gmail.com 20 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ cos x + cos x cos x − sin x cos x + sin x cos x = ⇔ cos x cos x + sin x cos x = sin x + sin x cos x ⇔ cos x ( cos x + sin x ) = sin x ( sin x + cos x ) ⇔ ( cos x + sin x ) ( cos x − sin x ) =   tan x = −1  ⇔ ( cos x + sin x ) ( − 2sin x − sin x ) = ⇔ ( cos x + sin x ) ( 2sin x + sin x − 1) = ⇔ sin x = −1  sin x =  75 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998 − cos x − cos x − − sin 2 x = ⇔ ( cos x − cos x ) − sin 2 x = sin x − sin 2 x − s in x = ⇔ 2 ⇔ sin x sin x − sin 2 x = ⇔ 2sin 2 x cos x − sin 2 x = ⇔ sin 2 x ( cos x − 1) = 76 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998 ( cot x − cot x ) = tan x + cot x Điều kieän : sin x ≠ ; sin x ≠ ; cos x ≠  cos x cos x  sin x cos 3x 2(cot x − cot x) = tan x + cot x ⇔  − + ÷=  sin x sin x  cos x sin x 2sin x ( cos x − cos x ) 2sin x cos x ⇔ = ⇔ = ⇔ sin x = (loai ) ñk sin x ≠ sin x sin x sin x cos x sin x sin x cos x Vậy phương trình vô nghiệm 77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997 sin x sin x + sin x = cos x ⇔ 2sin x cos x + 3sin x − 4sin x = cos3 x ⇔ tan x − tan x − tan x + = ⇔ ( tan x − ) ( tan x − ) = 86 Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D 3cos x + cos x − cos x + = 2sin x sin x Đặt t = cos x (1) t = cos x = 2 ⇒ (1) ⇒ 3t + 2t − − 4t + 3t + = ( − t ) t ⇔ 2t + 2t = ⇔  t = −1 cos x = −1 87 Đại Học Thủy Sản năm 1997 khối A cos x = x x x x cos − sin = sin x ⇔ cos − sin = sin x ⇔ cos x = 2sin x cos x ⇔  sin x = 2 2  88 Trung Học Kỹ Thuật Y Tế năm 1997 ( 2sin x − 1) ( 2sin x + 1) = − cos x Daukhacha.toan@gmail.com 21 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ 2sin x sin x + 2sin x − 2sin x − = − ( − sin x ) sin x = ⇔ 8sin x cos x + 2sin x − 4sin x cos x = 4sin x ⇔   4sin x cos x + − cos x = 2sin x sin x = ⇔  4sin x cos x − ( sin x + cos x ) + = 92 Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D 2 tan x + cot x = + sin x ⇔ sin x ≠ Điều kiện : sin x cos x ≠ ⇔  cos x ≠ 2sin x cos x + = 3+ (1) cos x sin x sin x cos x ⇔ 2sin x + cos x = sin x cos x + ⇔ + sin x = sin x cos x + ⇔ sin x = sin x cos x sin x = (loai) ⇔ sin x = cos x ⇔ tan x = 93 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994 4sin 2 x + 6sin x − − 3cos x = (*) cos x Điều kiện : cos x ≠ cos x = −1 (*) ⇔ ( − cos x ) + ( − cos x ) − − 3cos x = ⇔ cos x + 3cos x + = ⇔  cos x = −  2 96 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1995 sin x cos x − cos3 x sin x = 1 1 1 ⇔ sin x.cos x ( sin x − cos x ) = ⇔ − sin x cos x = ⇔ − sin x = 4 4 97 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh naêm 1998  tan x = 3cos x − cos x sin x + sin x = ⇔ tan x − tan x + = ⇔   tan x = 2 4 98 Đại Học Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh năm 1998 π  sin  x − ÷ = sin x 4  3   ⇔ (sin x − cos x)  = sin x ⇔ ( sin x − cos x ) = 4sin x    sin x − cos x  4sin x ⇔ ⇔ (tan x − 1)3 = tan x ( + tan x ) ÷ = cos x cos x   ⇔ tan x − tan x + tan x − = tan x + tan x Daukhacha.toan@gmail.com 22 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  tan x = ±1 ⇔ tan x + tan x + tan x + = ⇔   tan x = ± 99 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh năm 1998 tan x − + =0 cos x ⇔ 1  1  − 1÷− + =0⇔ − +4=0 ⇔ − ÷ = ⇔ cos x =  2   cos x  cos x cos x cos x  cos x  101 Đại Học Giao Thông Vận Tải naêm 1995 tan x + cot x = 8cos x ⇔ cos x ≠ sin x cos x + = 8cos x (*) Điều kiện :  cos x sin x sin x ≠ (*) ⇔  cos x = sin x sin x + cos x cos x = 8cos x ⇔ cos x = 8cos x cos x sin x ⇔  cos x sin x 8cos x cos x sin x =  cos x = cos x = cos x = ⇔ ⇔ ⇔ cos x sin x =  2sin x = sin x =    (tmdk) 102 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996 π  (sin x + cos x) − = cos  x − ÷ 2  π  ⇔ 4( sin x + cos x) − cos  x − ÷− = Điều kiện 2 2    π  cos  x − ÷ = (loai ) π π     ⇔ cos  x − ÷− cos  x − ÷− = ⇔    2 2 π    cos  x − ÷ = −1 2   103 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996 ( cot x − cos x ) − ( tan x − sin x ) = (*) cos x ≠ Điều kiện  sin x ≠  cos x   sin x  (*) ⇔ ( cot x − cos x + 1) − ( tan x − sin x + 1) = ⇔  − cos x + ÷−  − sin x + ÷ =  sin x   cos x   cos x − sin x cos x + sin x   sin x − sin x cos x + cos x  ⇔ 3 ÷−  ÷= sin x sin x     Daukhacha.toan@gmail.com 23 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos x − sin x cos x + sin x = (1)    ⇔ ( cos x − sin x cos x + sin x )  − ÷= ⇔  sin x cos x  = (2)   sin x cos x t = − π  (1) ⇔ t − 2t − = ⇔  (t = sin x + cos x = sin  x + ÷⇒ t ≤ 2) 4  t = + (loai )  π  1−  ⇔ sin  x + ÷ = 4  (2) ⇔ = ⇔ tan x = sin x cos x 104 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998 tan x + cot x = ( sin x + cos x ) cos x ≠ ⇔ sin x ≠ Điều kiện :  sin x ≠ tan x + cot x = ( sin x + cos x ) ⇔ ⇔ sin x cos x + = ( sin x + cos x ) ⇔ = ( sin x + cos x ) cos x sin x sin x cos x = ( sin x + cos x ) ⇔ = sin x ( sin x + cos x ) ⇔ = sin 2 x + sin x cos x sin x cos x = ⇔ cos 2 x = sin x cos x ⇔  (tm)  tan x = 106 Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A 1 + = cos x sin x sin x Điều kiện : sin x ≠ 1 1 1 + = ⇔ + = cos x sin x sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x cos x ⇔ 2sin x cos x + cos x − = ⇔ 2sin x cos x = − cos x ⇔ 2sin x cos x = 2sin x sin x = (loai) ⇔ cos x = sin x = cos  π − x   ÷  2   107 Đại Học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 khối A cos x cos x cos x cos8 x = (*) 16 Xeùt sinx = phương trình không thỏa Vậy (*) ⇔ sin x cos x cos x cos x cos8 x = Daukhacha.toan@gmail.com sin x ⇔ sin16 x = sin x 16 24 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 108 Đại Học Kinh Tế năm 1995 ( ) cos x 2sin x + − cos x − 1 + sin x π = (*) Điều kiện : sin x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + kπ cos x = (loai )  (*) ⇔ sin x + cos x − cos x − = + sin x ⇔ cos x − cos x + = ⇔  cos x =  2 109 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995 4sin x − 3cos x = ( 4sin x − 1) sin x = ⇔ 8sin x cos x − ( − 2sin x ) = 12sin x − ⇔ sin x ( cos x + 3sin x − ) = ⇔   cos x + 3sin x = (vn) 110 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996 tan x − tan x.tan x = cos x ≠ Điều kiện :  cos x ≠ tan x − tan x.tan x = ⇔ tan x ( tan x − tan x ) = ⇔ − sin x sin x −2sin x cos x =2⇔ =2 cos x cos x cos 3x cos x cos x cos x ⇔ − sin x = cos x cos 3x ⇔ cos x − = cos x − 3cos x ⇔ cos x − cos x + = ⇔ ( cos x − 1) = ⇔ cos x = 111 Đại Học Quốc Gia Hà Nội naêm 1996 tan x = cot x + cot x cos x ≠ ∧ sin x ≠ kπ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ Điều kiện :  sin x ≠ tan x = cot x + cot x ⇔ sin x cos x cos x − = cot x ⇔ − = cot x ⇔ − cot x = cot x cos x sin x sin x cot x = ⇔ cot x = −1 (loai ) 113 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1997 π 1  2 sin  x + ÷ = + (*)  sin x cos x  cos x ≠ kπ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ Điều kiện :  sin x ≠ (*) ⇔ ( sin x + cos x ) = sin x + cos x =  tan x = −1 sin x + cos x ⇔ ⇔ sin x cos x sin x = sin x = Daukhacha.toan@gmail.com 25 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 114 Đại Học Quốc Gia Hà Nội naêm 1998 tan x + cot x = 2sin x + sin x cos x ≠ ⇔ sin x ≠ Điều kiện :  sin x ≠ sin x cos x sin x sin x + = 2sin x + ⇔2 + cos x − 2sin 2 x − = cos x sin x sin x cos x ⇔ 4sin x + cos x − ( − cos 2 x ) − = ⇔ ( − cos x ) + cos x − + cos 2 x =  cos x = (loai) (vì sin x = 0) ⇔ cos x − cos x − = ⇔   cos x = −  2 115 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh naêm 1998 sin x = cos x + 6sin x cos x = ⇔ − 2sin x + 3sin x − = ⇔  sin x = (loai )  2 116 Đại Học Quốc Gia Hà Nội naêm 1998 − cos x + cos x + cos x = + ⇔ cos x + cos x + + cos x = sin x = c os 2 x + cos x ⇔ 2 ⇔ cos x cos x + cos x = ⇔ cos x ( cos x + cos x ) = ⇔ cos x cos x cos x = 117 Đại Học Luật Hà Nội năm 1995  π   − cos  x + ÷÷ π  + cos x   ÷  cos x + sin  x + ÷ = ⇔  =1  ÷ + 4 2  ÷     ÷   π π 2   ⇔ ( + cos x ) + ( + sin x ) = ⇔ cos x + sin x = −1 ⇔ cos  x − ÷ = −1 ⇔ cos  x − ÷ = − 2 2   119 Đại Học Mỏ Địa Chất năm 1995: sin x =1 5sin x ⇔ sin x = 5sin x (sinx ≠ 0) ⇔ sin x = 5sin x ⇔ sin x − sin x = 4sin x ⇔ cos x sin x = 4sin x ⇔ cos x sin x cos x = 4sin x ⇔ cos 3x cos x =   cos x = − (loai ) ⇔ cos x + cos x = ⇔ cos x + cos x − = ⇔   cos x = ⇔ − cos x = ⇔ 2sin x = ⇔ sin x = (loai) 121 Đại Học Ngoại Thương năm 1995 Daukhacha.toan@gmail.com 26 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x + cos8 x = 17 cos 2 x 16 ⇔ ( sin x + cos x ) − 2sin x cos x = 17 cos 2 x 16 2 17   ⇔ 1 − sin 2 x ÷ − sin x = cos 2 x (*) 16   16 Đặt t = sin 2 x ⇒ ≤ t ≤ t = −1 (loai ) 2 17  t (*) ⇔ 1 − ÷ − t = ( − t ) ⇔ 2t + t − = ⇔  t = ⇒ sin 2 x = ⇔ cos x = 16   16  2 122 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995 2 cos3 x + cos x + sin x = ⇔ cos x + cos x − + sin x = ⇔ cos x ( + cos x ) − ( − sin x ) = ⇔ ( − sin x ) ( cos x + sin x ) ( cos x + sin x + ) = ⇔ ( − sin x ) ( cos x + sin x ) = 123 Đại Học Ngoại Thương TP Hồ Chí Minh năm 1997 9sin x + cos x − 3sin x + cos x = ⇔ 9sin x + cos x − 6sin x cos x + − 2sin x = ⇔ 2sin x − 9sin x + + cos x ( sin x − 1) = ⇔ ( sin x − 1) ( 2sin x − ) + cos x ( sin x − 1) = sin x = ⇔ ( sin x − 1) ( 2sin x + cos x − ) = ⇔   2sin x + cos x = (vn) 125 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1997 khoái D ( + 2sin x ) cos x − ( + cos x ) + sin x Điều kiện: sin x ≠ −1 = (*) cos x = (*) ⇔ 3cos x + sin x − − cos x = + sin x ⇔ cos x − 3cos x + = ⇔  cos x = (loai) 126 Đại Học Tổng Hợp TP Hồ Chí Minh năm 1994 −16 ( sin x + cos x − 1) = 3sin x   ⇔ −16 1 − sin 2 x − 1÷ = ( 3sin x − 4sin x )   ⇔ 4sin x + 4sin 2 x − 3sin x = ⇔ sin x ( 4sin 2 x + 4sin x − ) = 127 Đại Học Tài Chính – Kế toán năm 1997 ( − tan x ) ( + sin x ) = + tan x (*) Điều kiện: cos x ≠ ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) (*) ⇔ cos x Daukhacha.toan@gmail.com = cos x + sin x ⇔ ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) = cos x + sin x cos x 27 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos x + sin x =  tan x = −1 ⇔ ⇔ cos x − sin x = cos x = 128 Đại Học Xây Dựng Hà Nội năm 1994 sin x + cos x = sin x sin x = −2 (loai ) 2 ⇔ − sin x = sin x ⇔ 3sin x + 4sin x − = ⇔  sin x =  129 Trung Hoïc Kinh Tế năm 2002 cos x − sin x = sin x − cos x cos 3x =  ⇔ cos x + cos x = sin x + sin x ⇔ cos x cos x = 2sin x cos x ⇔  π  sin x = cos x = sin  − x ÷  2   MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong đề thi đại học năm gần đây, đa số tốn giải phương trình lượng giác rơi vào hai dạng :phương trình đưa dạng tích phương trình chứa ẩn mẫu Nhằm giúp bạn ơn thi có kết tốt, viết xin giới thiệu số kĩ quan trọng dạng tốn I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH Phương trình sử dụng công thức biến đổi lượng giác : công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích , cơng thức hạ bậc ,… Bài Giải phương trình : sin x + sin x + sin x + sin x + sin x + sin x = (1) Giải ( 1) ⇔ ( sin x + sin x ) + ( sin x + sin x ) + ( sin x + sin x ) = ⇔ 2sin x  5x x 3x  7x 3x  cos + cos ÷+ cos  = ⇔ 4sin cos ( cos x + 1) =    k 2π   7x x = sin =    cos x = ⇔  x = π + k 2π ; k ∈ Z ⇔   3   cos x + =  x = ± 2π + k 2π      Lưu ý: Khi ghép cặp để tổng (hoặc hiệu) sin (hoặc cos) cần để ý đến góc để cho tổng hiệu góc Bài Giải phương trình : cos x cos3 x − sin x sin x = 2−3 (2) Giải Daukhacha.toan@gmail.com 28 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 2−3 cos x ( cos x.cos x ) − sin x ( sin x.sin x ) = 2 1 2−3 ⇔ cos x ( cos x + cos x ) − sin x ( cos x − cos x ) = 2 2−3 2−3 ⇔ cos x ( cos x + sin x ) + cos x ( cos x − sin x ) = ⇔ cos x + cos 2 x = 4 π kπ ⇔ cos x + ( + cos x ) = − ⇔ cos x = ⇔ x=± + ( k∈Z) 16 ( 2) ⇔ *Lưu ý: Việc khéo léo sử dụng cơng thức biến tích thành tổng giúp ta tránh việc sử dụng công thức nhân (chương trình khơng dùng)  π Bài Giải phương trình : cos  − x ÷+ cos x = cos x − (3) 4  Giải π ( 3) ⇔ + cos  − x  + cos x = cos x − ⇔ sin x + cos x = ( cos x − 1)  ÷ 2  π   x = 12 + kπ π  ⇔ sin x + cos x = cos x ⇔ cos  x − ÷ = cos x ⇔  ,k ∈Z 2 6   x = π + kπ  36  Phương trình sử dụng số biến đổi khác Việc đưa phương trình dạng tích điều quan trọng để phát nhân tử chung nhanh nhất, sau số biến đổi giúp ta làm điều ⊕ sin x = ( − cos x ) ( + cos x ) cos x = ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) ⊕1 + sin x = ( sin x + cos x ) − sin x = ( sin x − cos x ) sin x + cos x cos x π  ⊕ sin  x + ÷ = sin x + cos x 4  , cos x = ( − sin x ) ( + sin x ) + cos x + sin x = 2cos x(sin x + cos x ) − cos x + sin x = 2sin x(sin x + cos x) ⊕1 + tan x = π  sin x − cos x = sin  x − ÷ 4  Bài Giải phương trình : 2sin x ( + cos x ) + sin x = + cos x (4) Giải Cách : ( ) ⇔ 2sin x cos x + 2sin x cos x = + cos x ⇔ ( cos x + 1) ( 2sin x cos x − 1) =  cos x = − phần lại dành cho bạn đọc ⇔  sin x = Cách : ( ) ⇔ 2sin x cos x − ( − sin x ) − ( cos x − sin x ) = ⇔ 2sin x ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) − ( cos x − sin x ) − ( cos x − sin x ) = Daukhacha.toan@gmail.com 29 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x + 2sin x − cos x + sin x − ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x − cos x − cos x + sin x ) = phần lại dành cho bạn đọc Bài Giải phương trình : cos x + 3sin x + 5sin x − 3cos x = (5) Giải ( ) ⇔ ( 6sin x cos x − 3cos x ) − ( 2sin x − 5sin x + ) = ⇔ 3cos x(2sin x − 1) − (2sin x − 1)(sin x − 2) = ⇔ (2sin x − 1)(3cos x − sin x + 2) = Phương trình tương đương với phương trình ( dành cho bạn đọc ) II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Với loại phương trình giải dễ dẫn đến thừa thiếu nghiệm, điều quan trọng dạng đặt điều kiện kiểm tra điều kiện xác định Thơng thường ta hay dùng đường trịn lượng giác để loại nghiệm Ngoài ra, ta gặp nhiều phương trình chứa tan, cot Khi đó, sử dụng số công thức ⊕ tan a ± tan b = ⊕ tan a + cot b = sin ( a ± b ) ⊕ cot a ± cot b = cos a cos b cos ( a − b ) cos a sin b ⊕ tan a + cot a = sin 2a cos ( a − b ) ⊕1 + tan a tan b = cos a cos b ⊕ tan a − cot b = sin ( b ± a ) cos a cos b − cos ( a + b ) cos a sin b ⊕ cot a − tan a = cot 2a ⊕ − tan a tan b = − cos ( a + b ) cos a cos b Cần lưu ý điều kiện xác định cơng thức Bài Giải phương trình : cot x = tan x + cos x (6) sin x Giải sin x ≠ kπ  ,k ∈Z ĐK : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ sin x ≠   x = lπ cos x cos x cos x ⇔ = ⇔ cos x = cos x ⇔  ,l ∈ Z ( ) ⇔ cot x − tan x =  x = lπ sin x sin x sin x  π Kiểm tra điều kiện ta x = ± + lπ , l ∈ Z 3 cos x + cos x ( 2sin x − 1) − sin x − ( sin x + cos x ) Bài Giải phương trình : = (7) 2sin x − Giải π kπ ,k ∈Z ĐK : 2sin x − ≠ ⇔ cos x ≠ ⇔ x ≠ + Daukhacha.toan@gmail.com 30 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ( ) ⇔ cos x ( sin x + cos x ) − cos x ( sin x + cos x ) − ( sin x + cos x ) = π   x = − + mπ  ⇔ ( sin x + cos x ) ( cos x − 1) ( cos x + 1) = ⇔  x = m2π ,m∈ Z  2π + m2π x = ±  m2π ,m∈Z Kiểm tra điều kiện ta nghiệm x = Bài Giải phương trình : tan 3x + cot x = tan x + (8) sin x Giải cos x ≠ π kπ  sin x ≠ x ≠ +   ⇔ , k ∈ Z (*) ĐK :  cos x ≠  x ≠ kπ  sin x ≠   2sin x cos x ⇔ + = ( ) ⇔ ( tan 3x − tan x ) + ( tan 3x + cot x ) = sin x cos x cos x cos x sin x sin x ⇔ 4sin x sin x + cos x cos x = cos x ⇔ 4sin x sin x + cos x + cos x = cos 3x ⇔ 4sin x sin x = cos x − cos x ⇔ 8sin x cos x sin x = −2sin x sin x ( (*) ) 1  −1  ⇔ x = ± arccos  ÷+ mπ , m ∈ Z   nghiệm thoả mãn ĐK BÀI TẬP TỰ LUYỆN ⇔ cos x = − Daukhacha.toan@gmail.com 31 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1, cos 3x + cos x − cos x − = π   2, 2 sin  x − ÷cos x =  12  3, (1 − tan x)(1 + sin x) = + tan x 1 4, sin x + sin x − − = cot x sin x 2sin x 5, sin x + cos x + 3sin x − cos x − = x  6, tan x + cos x − cos x = sin x 1 + tan x tan ÷ 2  π  7, 2 cos3  x − ÷− 3cos x − sin x = 4  8, ( cos x − sin x ) = tan x + cot x cot x − 1 π  π  10, sin x − cos3 x = cos x tan  x + ÷tan  x − ÷ 4  4  11, tan x + tan x = − sin x cos x 9, cos x cos x cos 3x + sin x sin x sin x = π x 12, sin x cos x − sin 2 x = 4sin  − ÷−  2 x x π x  13, sin sin x − cos sin x + = cos  − ÷ 2  2 14, 2sin x + cot x = 2sin x + 15, sin x + sin x ( cos x sin x + sin 3x cos3 x ) = sin x sin x 3sin x Daukhacha.toan@gmail.com 32 ... PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong đề thi đại học năm gần đây, đa số toán giải phương trình lượng giác rơi vào hai dạng :phương trình đưa dạng tích phương trình chứa ẩn mẫu Nhằm giúp bạn ôn thi có... − 1)(3cos x − sin x + 2) = Phương trình tương đương với phương trình ( dành cho bạn đọc ) II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Với loại phương trình giải dễ dẫn đến thừa thi? ??u nghiệm, điều quan trọng... Phương trình trở thành :  t =  − 19 2 3t − 10t + 3t + 10 = ⇔ ( t − ) ( 3t − 4t − ) = ⇔  t =   + 19  t= (loai)   Daukhacha.toan@gmail.com 17 Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 57 .Đại học