Nguyễn Tất Thu 1 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó là khảo sát hàm số. Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm ⇔ hai đồ thị của hai hàm số ( ) yfx = và ( ) ygm = cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau: 1) Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) yfx = . 2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng ( ) ygm = cắt đồ thị hàm số ( ) yfx = . Chú ý : Nếu hàm số ( ) yfx = liên tục trên D và tồn tại min() xD fxm ∈ = , max() xD fxM ∈ = thì phương trình : ( ) fxk = có nghiệm trên D khi và chỉ khi . mkM ≤≤ Ví dụ 4.1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm 22 4 2 1) 11 2) 1 xxxxm xxm ++−−+= +−= . Giải: 1)Xét hàm số: 22 ()11 fxxxxx =++−−+ xác định trên D = ¡ . Ta có: 22 2121 '() 2121 xx fx xxxx +− =− ++−+ () ( ) 22 '0(21)1211 (1) fxxxxxxx⇒=⇔+−+=−++ Nguyễn Tất Thu 2 22 22 113113 ()()0 224224 xxxxx  ⇒+−+=−++⇔=    thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình '()0 fx = vô nghiệm '() fx ⇒ không đổi dấu trên ¡ , mà '(0)10()0 ffxxR =>⇒>∀∈ . Mặt khác: 22 2 lim() lim1 11 x x x fx xxxx →+∞ →+∞ == +++−+ và lim()1 x fx →−∞ =− Bảng biến thiên: x −∞ +∞ '() fx + () fx 1 -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm 11 m ⇔−<< . 2) Điều kiện : 0 x ≥ Xét hàm số 4 2 ()1 fxxx =+− với [0;) xD ∈=+∞ Ta có: 23 4 1 '() 2 2(1) x fx x x =− + . 2362322 4 '()0(1)(1)1 fxxxxxxxx ⇒=⇔=+⇔=+⇔=+ phương trình này vô nghiệm '() fx ⇒ không đổi dấu trên D, mà 4 11 '(1)0'()0 2 28 ffxxD =−<⇒<∀∈ Mặt khác: 4 23222426 444 1 lim()lim0 (1)(1)(1) xx fx xxxxxx →+∞→+∞ == ++++++ 0()(0)1 fxfxD ⇒<≤=∀∈⇒ phương trình có nghiệm 01 m ⇔<≤ . Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên. Nguyễn Tất Thu 3 Ví dụ 4.2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: 1) 4 4 1310 xxmx −++−= . 2) 12(54) xxxmxx ++=−+− . Giải: 1) Phương trình 4 4 131 xxmx ⇔−+=− 42 1 13(1) x xxmx  ≤  ⇔  −+=−   32 1 4691 x xxxm  ≤  ⇔  −−=−   . Xét hàm số 32 ()469 fxxxx =−− với 1 x ≤ Ta có: 2 3 2 '()12129'()0 1 2 x fxxxfx x  =  =−−⇒=⇔   =−   . Bảng biến thiên: x −∞ 1/2 − 1 f’(x) + 0 – f(x) 5 2 −∞ 11 − Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm 53 1 22 mm ⇔−≤⇔≥− . 2) Điều kiện: 04 x ≤≤ . Khi đó phương trình ()(12)(54) fxxxxxxm ⇔=++−−−= (Vì 540 xx −−−≠ ) Xét hàm số ()(12)(54) fxxxxxx =++−−− với 0;4 xD  ∈=  . Ta có: 3111 '()()() 2 2122425 fxx xxx =+− +−− Do 11 0450 2425 xx xx <−<−⇒−> −− '()0 [0;4) fxx ⇒>∀∈ . Vậy f(x) là hàm đồng biến trên D 23(52)(0)()(4)12 ffxf ⇒−=≤≤= Nguyễn Tất Thu 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm 23(52)12. m ⇔−≤≤ Chú ý : Khi gặp hệ bất phương trình trong đó một bất phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết bất phương trình này trước. Từ bất phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm xD ∈ (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên. Ví dụ 4.3: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 2 45 2 1 2 (1) 2 3160 (2) x x xmxx −    ≤      −+=   . Giải: Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này Ta có: 2 5422 225454014 xx xxxxx − ≤⇔≤−⇔−+≤⇔≤≤ . Hệ có nghiệm (2) ⇔ có nghiệm [1;4] x ∈ . Ta có: 2 316 (2) x m xx + ⇔= (do [1;4] x ∈ ). Hàm số 2 316 () x fx xx + = với [1;4] x ∈ có 22 2 33 3 6(316) 3(16) 2 '()0 [1;4] 2 xxxx xx fxx xx −+ − ==≤∀∈ . 8(4)()(1)19 [1;4] ffxfx ⇒=≤≤=∀∈ . Vậy hệ có nghiệm 819 m ⇔≤≤ . Ví dụ 4.4: Tìm m để hệ sau có nghiệm: 2121 2 7720072007 (1) (2)230 (2) xxx x xmxm ++++  −+≤   −+++=   . Giải: Ta có: 212(1) (1)7(71)2007(1) (3) xx x ++− ⇔−≤− . • Nếu 1(3)0(3)(3) xVTVP >⇒>>⇒ vô nghiệm. • Nếu 1(3)0(3)(3) xVTVP ≤⇒≤≤⇒ đúng Nguyễn Tất Thu 5 (3) ⇒ có nghiệm 1 x ≤ . Suy ra hệ có nghiệm (2) ⇔ có nghiệm 1 x ≤ . Ta có: 2 23 (2)() 2 xx mfx x −+ ⇔== − . Xét hàm số f(x) với 1 x ≤ , có: 2 2 41 '()'()023 (2) xx fxfxx x −+ =⇒=⇔=− − . Bảng biến thiên x −∞ 23 − 1 f’(x) + 0 – f(x) 223 − −∞ 2 − Dựa vào bảng biến thiên ⇒ hệ có nghiệm 223 m ⇔≤− . Ví dụ 4.5: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 20 (1) 2 (2) xym yxy  −+=   +=   . Giải: Ta thấy (2) là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết (2) trước Ta có: 2 2 (2)2 44 y xyy yy x y  ≤  ⇔=−⇔  −+ =   . Thay vào (1) ta được: 2 4444 0() yyy ymmfy yy −+− −+=⇔== (3). Hệ có nghiệm (3) ⇔ có nghiệm 2 y ≤ . Xét hàm số ( ) fy với 2 y ≤ Ta có: 2 4 '()0() fyfy y =>⇒ đồng biến trên mỗi khoảng (;0)(0;2] −∞∪ 00 lim()4; lim(); lim() y yy fyfyfy +− →−∞ →→ ==−∞=+∞ . Nguyễn Tất Thu 6 Ta có bảng biến thiên: y −∞ 0 2 f’(y) + + f(y) +∞ 2 4 −∞ ⇒ hệ có nghiệm (;2](4;) m ⇔∈−∞∪+∞ . Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý: Số nghiệm của phương trình ()() fxgm = chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số () yfx = và () ygm = . Do đó phương trình có k nghiệm ⇔ hai đồ thị trên cắt nhau tại k giao điểm. Ví dụ 4.6: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: 4 4343 4164166 xxxmxxxm −+++−++= . Giải: Đặt 4 43 416, 0 txxxmt =−++≥ . Ta có phương trình : 4 243 6024162 tttxxxm +−=⇔=⇔−++= 43 41616 mxxx ⇔−=−+− . Xét hàm số 43 ()41616 fxxxx =−+− 322 1 '()4(34)4(2)(1)'()0 2 x fxxxxxfx x  =− ⇒=−+=−+⇒=⇔  =   . Bảng biến thiên x −∞ -1 2 +∞ f’(x) – 0 + 0 + f(x) +∞ +∞ -27 Dựa vào bảng biến thiên ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt 2727 mm ⇔−>−⇔< . Nguyễn Tất Thu 7 Ví dụ 4.7: Tìm m để phương trình : 2 2 mxxm +=+ có ba nghiệm phân biệt. Giải: Phương trình 2 2 (21) 21 x mxxm x ⇔+−=⇔= +− (do 2 210 xx +−>∀ ). Xét hàm số 2 2 2 2 2 2 21 2 ()'() 21 21 x x x x fxfx x x +−− + =⇒=  +− +−   2 2 22 22 '()'()02 221 x fxfxx xx −+ =⇒=⇔=±  ++−   . Bảng biến thiên: x −∞ 2 − 2 +∞ f’(x) – 0 + 0 – f(x) +∞ 2 2 − −∞ Dựa vào bảng biến thiên 22 m ⇒−<< . Ví dụ 4.8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : 2 1cos mxx += có đúng một nghiệm 0; 2 x π  ∈   . Giải: Ta thấy để phương trình có nghiệm thì 0 m ≤ . Khi đó: Phương trình 2 22 sin cos1 2 2 2 x x mm x x − ⇔=⇔=−    . Nguyễn Tất Thu 8 Xét hàm số : sin () t ft t = với 0; 4 t π  ∈   Ta có: ( ) 22 costan .cossin '()0 ttt ttt ft tt − − ==< với 0; 4 t π  ∀∈   () ft ⇒ là hàm nghịch biến trên 0; 4 π    . Mà: 22 () 4 f π π = và 2 22 0 sin 228 2 lim()1()11 (0;) 2 2 t x ftftx x π π π → =⇒<<⇒<<∀∈    . Vậy phương trình có đúng một nghiệm (0;) 2 x π ∈ 2 8 21 m π ⇔<−< 2 14 2 m π ⇔−<<− . Ví dụ 4.9: Tìm m để hệ phương trình : 2 3(1)0 1 xym xxy  ++−=   +=   có ba cặp nghiệm phân biệt . Giải: Ta có : 2 1 11 21 x xxyxyx xx y x  ≤  +=⇔=−⇔  −+ =   (do 0 x = không là nghiệm phương trình ). Thay vào phương trình thứ nhất ta được: 2 2 21 363 xx xxm x −+ ++=− (a) . Hệ có ba cặp nghiệm ⇔ (a) có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 x ≤ . Xét hàm số 2 22 211 ()36372 xx fxxxxx xx −+ =++=+−+ với 1 x ≤ . 32 22 1671 '()67 xx fxx xx +− ⇒=+−= Nguyễn Tất Thu 9 11 '()01;; 23 fxxxx ⇒=⇔=−=−= . Bảng biến thiên: x −∞ 1 − 1 2 − 0 1 3 1 f’(x) − 0 + 0 − − 0 + f(x) +∞ 27 4 − −∞ 9 7 − −∞ 11 3 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có ba nghiệm phân biệt 1120 3912 33 2715 734 44 mm mm  ≤−≤≤≤  ⇔⇔  −  −≤−≤−−≤≤   . Vậy 20 12 3 m ≤≤ hoặc 15 4 4 m − −≤≤ là những giá trị cần tìm. Ví dụ 4.10: Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình sau: 2 12 mxxm +=+− . Giải: Phương trình 2 2 2 (11)2() 11 x mxxmfx x + ⇔++=+⇔== ++ (do 2 110 x ++> ) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số ym = và () yfx = . Xét hàm số () yfx = , ta có: 2 2 2 22222 (2) 11 121 1 '() (11)1(11) xx x xx x fx xxx + ++− +−+ + == +++++ Nguyễn Tất Thu 10 2 22 1 4 '()0121 2 3 1441 x fxxxx xxx  ≥  ⇒=⇔+=−⇔⇔=   +=−+  . 2 2 (1) lim()lim1 11 1 xx x x fx x x x →−∞→−∞ + ==−   −+−   và lim()1 x fx →+∞ = . Bảng biến thiên x −∞ 4 3 +∞ f’(x) + 0 − f(x) 5 4 1 − 1 Dựa vào bảng biến thiên suy ra: • Nếu 5 4 1 m m  >  ⇒  ≤−   phương trình vô nghiệm. • Nếu 5 4 11 m m  =  ⇒  −<≤   phương trình có một nghiệm. • Nếu 5 1 4 m <<⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt. Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể: * Khi đặt (), tuxxD =∈ , ta tìm được tY ∈ và phương trình (,)0 fxm = (1) trở thành (,)0 gtm = (2). Khi đó (1) có nghiệm xD ∈⇔ (2) có nghiệm tY ∈ . * Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm u(x) ). [...]... nghiệm t > 1 Xét hàm số f (t ) với t > 1 , có: f '(t ) = 2t 2 + 2t + 2 ⇒ f (t ) > f (1) = 1 ∀t > 1 Vậy phương trình có nghiệm ⇔ m > 1 2 (2t + 1) > 0 ∀t > 1 Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của t Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của t Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền... → 0+ ln(1 + x ) − x x2 x → 0+ Yêu cầu bài toán ⇔ −m ≤ − Bài tập =− 1 ( Xem ví dụ 5.5) 2 1 1 ⇔m≥ 2 2 5 Bài 4 1:Cho phương trình: x 2 − 34x + a − 4 (x − 1)(x − 33) = 1 1 Giải phương trình khi a = 64 2 Tìm a để phương trình có nghiệm Bài 4 2: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 4 − x −k log 2 (x 2 ) 2 − 2x + 3 + 2−x + 2x log 1 2 x − k + 2 = 0 2 ( ) Bài 4 3: (ĐHXD-1994) Tìm m để phương trình... đặt   1 − x = 2 cos α  π α với α ∈ [0; ] , sau đó ta lại tiếp tục đặt t = tan nên ta mới 2 2  2t  x +3 =2  1 + t 2 Đến đây chắc các bạn thấy cách đặt ở trên hoàn toàn có:  2  1−x = 21−t   1 + t2 rất tự nhiên phải không?! ⇒ ( ) ( ) Ví dụ 4.14: Xác định giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt log (x + 1) − log (x − 1) > log3 4 (1)  3 3  2 log2 (x − 2x + 5) − m logx 2 − 2x... 2 t0 + 2t0 + 1 Nguyễn Tất Thu 21 ( ) ( ) Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình f x > g m có nghiệm trên D Phương pháp: Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số f (x ) trên D, rồi dựa vào các tính chất sau để chúng ta định giá trị của tham số: 1) Bất phương trình f (x ) ≥ g (m ) có nghiệm trên D ⇔ max f (x ) ≥ g(m ) x ∈D (Với điều kiện tồn tại max f (x ) ) D 2) Bất... 5t 2 − 16t − 7 = f (t ) (3) 15 Xét hàm số f(t) với t ∈ [0;1] , có f '(t ) = − 52t 2 + 8t + 60 (5t 2 − 16t − 7)2 < 0 ∀t ∈ [0;1] 7 9 = f (1) ≤ f (t ) ≤ f (0) = ∀t ∈ [0;1] 9 7 7 9 Vậy phương trình có nghiệm ⇔ ≤ m ≤ 9 7 Chú ý : Chắc có lẽ các bạn sẽ thắc mắc vì sao lại nghĩ ra các đặt như vậy ? Mới nhìn vào có vẻ thấy cách đặt t ở trên thiếu tự nhiên Thực chất ra các đặt ở trên ta đã bỏ qua một bước đặt... sin6 x + cos6 x = m sin 2x Bài 4 4: (ĐHGTVT-1999) Tìm m để phương trình sau có nghiệm m cos2 2x − 4 sin x cos x + m − 2 = 0 Bài 4 5:Tìm p để phương trình sau có nghiệm 4x 2 1 + 2x 2 + x 4 + 2px 1 + x2 + 1 − p2 = 0 Bài 4 6:Tìm a để phương trình 2x 2 − 3x − 2 = 5a − 8x − 2x 2 có nghiệm duy nhất Bài 4 7:Tìm a để phương trình −2x 2 + 10x − 8 = x 2 − 5x + a có bốn nghiệm khác nhau Bài 4 8:Cho phương trình... nghiệm phân biệt Nguyễn Tất Thu 29 Bài 4 9: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực 4 2x + 2x + 24 6 − x + 2 6 − x = m ( ĐH Khối A – 2008 ) Bài 4 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm x +1 + 8−x + a) (x + 1)( 8 − x ) = m 4 b) x 4 + 4x + m + x 4 + 4x + m = 6 Bài 4 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 4 ( x − 1 + 4m x 2 − 3x + 2 + m + 3 ) x −2 = 0 Bài 4 12: Tìm m để phương trình sau... 25 − x 2  + 2 x 2 − 9 25 − x 2 = 5m   Bài 4 13: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x x 2 − 4x + 3 = + m 2 Bài 4 14: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt : a) ( )( ) x 2 + mx + 2 = 2x + 1 (TSĐHKB -2006) Bài 4 15: Chứng minh rằng với mọi m > 0 thì phương trình sau có hai ( ) nghiệm thực phân biệt x 2 + 2x − 8 = m x − 2 (TSĐHKD-2007) Bài 4 16: Tìm m để phương trình : (x − 1)... 2    Bài 4.24: (ĐHGTVT - 1998) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀x : (1 + 2x )( 3 − x ) > m + (2x 2 − 5x + 3 ) ( ) Bài 4.25: Tìm m để: m.4x + m − 1 2x + 2 + m − 1 > 0; ∀ ∈ ¡ Bài 4.26:(ĐHBH-1996) Tìm k lớn nhất thỏa mãn ( ) k sin x + cos x + 1 ≤ sin 2x + cos x + sin x + 2; ∀x ∈ ¡ Bài 4.27: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 x 2 − 3x + 2 ≥ m − x 2 − 3x + 4 Bài 4.28:...* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t , tức là mỗi giá trị t ∈ Y thì phương trình u(x ) = t có bao nhiêu nghiệm x ∈ D ? Ví dụ 4.11: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm 1) x + 9 − x = 2) −x 2 + 9x + m 3 + x + 6 − x − (3 + x )(6 − x ) = m 4 4 3) m( . 1 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến. liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng