Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức 1 PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BðT dựa vào ñịnh nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +   ≥     3 3 3 a b a b 2 2 2. Chứng minh: + + ≤ 2 2 a b a b 2 2 3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: + + ≥ 3 3 3 a b a b 2 2 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ + a b a b b a 5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ + + + 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b 6. Chứng minh: ( ) + + + ≥ + + 2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c ∈ R 7. Chứng minh: ( ) + + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e 8. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 2 x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 b. Chứng minh: + + + +   ≥     2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 11. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 a b 1 ab a b 12. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 13. Chứng minh: + + + ≥ − + + 4 4 2 2 x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: + ≥ 3 3 1 a b 4 15. Cho a, b, c là số ño ñộ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 II. Chứng minh BðT dựa vào BðT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ≥ ≥ (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 2. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ 2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 3. Chứng minh: ( )( )( ) ( ) + + + ≥ + 3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c ≥ 0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +     + + + ≥         m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m ∈ Z + 5. Chứng minh: + + ≥ + + ≥ bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c 6. Chứng minh: + ≥ − ≥ 6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 7. Chứng minh: + ≥ − + 4 2 2 1 2a 3a 1 1 a . 8. Chứng minh: ( ) > − 1995 a 1995 a 1 , a > 0 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy 2 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:   + + ≤ + +     + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ≥ − + − ab a b 1 b a 1 . 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( ) ≥ − − 3 a 3 a b b c c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc c)     + + + ≥         1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ≥ − 1 x 3 x y y 16. Chứng minh: a) + ≥ + 2 2 x 2 2 x 1 ,∀x ∈ R b) + ≥ − x 8 6 x 1 , ∀x > 1 c) + ≥ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + + + + ≤ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 18. Chứng minh: + ≤ + + 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , ∀x , y ∈ R 19. Chứng minh: + + ≥ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + ≤ + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BðT Côsi cho hai số chứng minh: a. + + + ≥ 4 a b c d 4 abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s) b. + + ≥ 3 a b c 3 abc với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 s ) 22. Chứng minh: + + ≥ + + 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: + + ≥ 3 94 2 a 3 b 4 c 9 abc 24. Cho = + x 18 y 2 x , x > 0. ðịnh x ñể y ñạt GTNN. 25. Cho = + > − x 2 y ,x 1 2 x 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN. 26. Cho = + > − + 3x 1 y , x 1 2 x 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN. 27. Cho = + > − x 5 1 y ,x 3 2x 1 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN. 28. Cho = + − x 5 y 1 x x , 0 < x < 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN. 29. Cho + = 3 2 x 1 y x , x > 0 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN. 30. Tìm GTNN của + + = 2 x 4x 4 f(x) x , x > 0. 31. Tìm GTNN của = + 2 3 2 f(x) x x , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ 5 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ ≤ 5 x 5 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − 1 2 ≤ x ≤ 5 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN 37. Cho = + 2 x y x 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức 3 38. Cho ( ) = + 2 3 2 x y x 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN III. Chứng minh BðT dựa vào BðT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) BðT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: + ≤ sinx cosx 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2 ≥ 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2 ≥ 725 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2 ≥ 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4 ≥ 2. 7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh: + ≥ 2 2 1 a b 2 Lời giải : I. Chứng minh BðT dựa vào ñịnh nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: + +   ≥     3 3 3 a b a b 2 2 (*) (*) ⇔ + +   − ≥     3 3 3 a b a b 0 2 2 ⇔ ( )( ) + − ≥ 2 3 a b a b 0 8 . ðPCM. 2. Chứng minh: + + ≤ 2 2 a b a b 2 2 ()  a + b ≤ 0 , () luôn ñúng.  a + b > 0 , () ⇔ + + + − ≤ 2 2 2 2 a b 2ab a b 0 4 2 ⇔ ( ) − ≥ 2 a b 0 4 , ñúng. Vậy: + + ≤ 2 2 a b a b 2 2 . 3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh: + + ≥ 3 3 3 a b a b 2 2 ⇔ ( ) + + ≤ 3 3 3 a b a b 8 2 ⇔ ( ) ( ) − − ≤ 2 2 3 b a a b 0 ⇔ ( ) ( ) − − + ≤ 2 3 b a a b 0 , ðPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ + a b a b b a () () ⇔ + ≥ + a a b b a b b a ⇔ ( ) ( ) − − − ≥ a b a a b b 0 ⇔ ( ) ( ) − − ≥ a b a b 0 ⇔ ( ) ( ) − + ≥ 2 a b a b 0 , ðPCM. 5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥ + + + 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b () ⇔ + − − ≥ + + + + 2 2 1 1 1 1 0 1 ab 1 ab 1 a 1 b ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) − − + ≥ + + + + 2 2 2 2 ab a ab b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − + ≥ + + + + 2 2 a b a b a b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab ⇔ −   − ≥   + + +   2 2 b a a b 0 1 ab 1 a 1 b ⇔ ( )( )   − + − − ≥     + + +   2 2 2 2 b a a ab b ba 0 1 ab 1 a 1 b ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )( ) − − ≥ + + + 2 2 2 b a ab 1 0 1 ab 1 a 1 b , ðPCM.  Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0. 6. Chứng minh: ( ) + + + ≥ + + 2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c ∈ R ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 a 1 b 1 c 1 0 . ðPCM. 7. Chứng minh: ( ) + + + + ≥ + + + 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e ⇔ − + + − + + − + + − + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4 Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy 4 ⇔         − + − + − + − ≥                 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 . ðPCM 8. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 2 x y z xy yz zx ⇔ + + − − − ≥ 2 2 2 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 x y x z y z 0 9. a. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3  + + ≥ + + 2 2 2 a b c ab bc ca  + + + + + + + + +   = ≥     2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 3 9 3 ⇔ + + + + ≥ a b c ab bc ca 3 3 b. Chứng minh: + + + +   ≥     2 2 2 2 a b c a b c 3 3  ( ) ( ) + + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c 2 a b c ( ) ( ) ≥ + + + + + = + + 2 2 2 2 a b c 2 ab bc ca a b c ⇒ + + + +   ≥     2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 ⇔ ( ) − − + + − ≥ 2 2 2 a a b c b c 2bc 0 4 ⇔ ( )   − − ≥     2 a b c 0 2 . 11. Chứng minh: + + ≥ + + 2 2 a b 1 ab a b ⇔ + + − − − ≥ 2 2 2a 2b 2 2ab 2a 2b 0 ⇔ − + + + + + + + ≥ 2 2 2 2 a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 a b a 1 b 1 0 . 12. Chứng minh: + + ≥ − + 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz ⇔ + + − + − ≥ 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 0 ⇔ (x – y + z) 2 ≥ 0. 13. Chứng minh: + + + ≥ − + + 4 4 2 2 x y z 1 2x(xy x z 1) ⇔ + + + − + − − ≥ 4 4 2 2 2 2 x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥ 2 2 2 2 2 x y x z x 1 0 . 14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: + ≥ 3 3 1 a b 4 ° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b 3 = (1 – a) 3 = 1 – a + a 2 – a 3 ⇒ a 3 + b 3 =   − + ≥     2 1 1 1 3 a 2 4 4 . 15. Cho a, b, c là số ño ñộ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca).  ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 ⇔ (a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2  > − > − > − a b c , b a c , c a b ⇒ > − + 2 2 2 a b 2bc c , > − + 2 2 2 b a 2ac c , > − + 2 2 2 c a 2ab b ⇒ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)  ( ) > − − 2 2 2 a a b c ⇒ ( )( ) > + − + − 2 a a c b a b c  ( ) > − − 2 2 2 b b a c ⇒ ( )( ) > + − + − 2 b b c a a b c  ( ) > − − 2 2 2 c c a b ⇒ ( )( ) > + − + − 2 c b c a a c b ⇒ ( ) ( ) ( ) > + − + − + − 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a c b b c a ⇔ ( ) ( ) ( ) > + − + − + − abc a b c a c b b c a c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức 5 ⇔ 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – a 4 – b 4 – 2a 2 b 2 – c 4 > 0 ⇔ 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – (a 2 + b 2 ) 2 – c 4 > 0 ⇔ (2ab) 2 – [(a 2 + b 2 ) – c 2 ] 2 > 0 ⇔ [c 2 – (a – b) 2 ][(a + b) 2 – c 2 ] > 0 ⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . ñúng ° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác ⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. II. Chứng minh BðT dựa vào BðT CÔSI: 1. Chứng minh: + + + ≥ ≥ (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0  Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm: ⇒ + ≥ a b 2 ab , + ≥ b c 2 bc , + ≥ a c 2 ac ⇒ ( )( )( ) + + + ≥ = 2 2 2 a b b c a c 8 a b c 8abc . 2. Chứng minh: + + + + ≥ ≥ 2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0  Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm: ⇒ + + ≥ 3 a b c 3 abc , + + ≥ 3 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b c ⇒ ( ) ( ) + + + + ≥ = 3 2 2 2 3 3 3 a b c a b c 9 a b c 9abc . 3. Chứng minh: ( )( )( ) ( ) + + + ≥ + 3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c ≥ 0.  ( ) ( ) ( ) + + + = + + + + + + + 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.  + + ≥ 3 a b c 3 abc , + + ≥ 3 2 2 2 ab ac bc 3 a b c  ( )( )( ) ( ) + + + ≥ + + + = + 3 3 2 2 2 3 3 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +     + + + ≥         m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m ∈ Z +  +           + + + ≥ + + = + +                     ≥ = m m m m m m m 1 a b a b b a 1 1 2 1 . 1 2 2 b a b a a b 2 4 2 5. Chứng minh: + + ≥ + + > bc ca ab a b c ; a, b, c 0 a b c  Áp dụng BðT Côsi cho hai số không âm: + ≥ = 2 bc ca abc 2 2c a b ab , + ≥ = 2 bc ba b ac 2 2b a c ac , + ≥ = 2 ca ab a bc 2 2a b c bc ⇒ + + ≥ + + bc ca ab a b c a b c . 6. Chứng minh: + ≥ − ≥ 6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 () () ⇔ + + ≥ 6 9 2 3 x y 64 12x y ⇔ ( ) ( ) + + ≥ 3 3 2 3 3 2 3 x y 4 12x y Áp dụng BðT Côsi cho ba số không âm: ( ) ( ) + + ≥ = 3 3 2 3 3 2 3 2 3 x y 4 3x y 4 12x y . 7. Chứng minh: + ≥ − + 4 2 2 1 2a 3a 1 1 a () () ⇔ + + + + ≥ + 4 4 2 2 2 1 a a a 1 4a 1 a . Áp dụng BðT Côsi cho 4 số không âm: + + 4 4 2 2 1 a , a , a 1, 1 a ( ) + + + + ≥ + = + + 4 4 2 4 4 2 2 4 2 2 1 1 a a a 1 4 a a a 1 4a 1 a 1 a 8. Chứng minh: ( ) > − 1995 a 1995 a 1 () , a > 0 () ⇔ > − ⇔ + > 1995 1995 a 1995a 1995 a 1995 1995a + > + = + + + + ≥ =  1995 1995 1995 1995 1995 1994 soá a 1995 a 1994 a 1 1 1 1995 a 1995a Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy 6 9. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) + + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . ° ( ) ( ) ( ) + + + + + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a  Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho 6 số không âm: ° + + + + + ≥ = 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 a a b b b c c c a 6 a b c 6abc 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:   + + ≤ + +     + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c ° ≤ = + 2 2 a a 1 2ab 2b a b , ≤ = + 2 2 b b 1 2bc 2c b c , ≤ = + 2 2 c c 1 2ac 2a a c ° Vậy:   + + ≤ + +     + + + 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ≥ − + − ab a b 1 b a 1 . ° ( ) ( ) = − + ≥ − = − + ≥ − a a 1 1 2 a 1, b b 1 1 2 b 1 ° ≥ − ≥ − ab 2b a 1 , ab 2a b 1 ° ≥ − + − ab a b 1 b a 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° ( ) ( ) = − + = − + + + − x x 1 1 x 1 x y z 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + − + − ≥ − − − 2 4 x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1 Tương tự: ( ) ( ) ( ) ≥ − − − 2 4 y 4 x 1 y 1 z 1 ; ( ) ( ) ( ) ≥ − − − 2 4 z 4 x 1 y 1 z 1 ⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( ) ≥ − − 3 a 3 a b b c c . ° ( ) ( ) ( )( ) = − + − + ≥ − − 3 a a b b c c 3 a b b c c 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c ≥ 16abc. ° +   ≥     2 b c bc 2 ⇔ ( ) + −     ≤ = = −         2 2 2 b c 1 a 16abc 16a 16a 4a 1 a 2 2 ° ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   − = − − = − − − ≤ − = +   2 2 2 4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc ° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ = 2 bc.2 ac.2 ab 8abc c)     + + + ≥         1 1 1 1 1 1 64 a b c ° + + +     + = ≥         4 2 1 a a b c 4 a bc 1 a a a ° + ≥ 4 2 1 4 ab c 1 b b ° + ≥ 4 2 1 4 abc 1 c c      + + + ≥         1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: ( ) + ≥ − 1 x 3 x y y  ( ) ( ) ( ) ( ) − = − + + ≥ = − − 3 x y y 1 VT x y y 3 3 x y y x y y 16. Chứng minh: a) + ≥ + 2 2 x 2 2 x 1 ⇔ + ≥ + 2 2 x 2 2 x 1 ⇔ + + ≥ + 2 2 x 1 1 2 x 1 b) + − x 8 x 1 = − + = − + ≥ − = − − − x 1 9 9 9 x 1 2 x 1 6 x 1 x 1 x 1 c. ( ) ( ) + + ≥ + = + 2 2 2 a 1 4 2 4 a 1 4 a 1 ⇔ + ≥ + 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: + + + + ≤ > + + + ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức 7 ° Vì : + ≥ a b 2 ab ⇒ ≤ = + ab ab ab a b 2 2 ab , ≤ = + bc bc bc b c 2 2 bc , ≤ = + ac ac ac a c 2 2 ac ° + + ≥ + + a b c ab bc ca , dựa vào: + + ≥ + + 2 2 2 a b c ab bc ca . ° + + + + + + ≤ ≤ + + + ab bc ca ab bc ac a b c a b b c c a 2 2 18. Chứng minh: + ≤ + + 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , ∀x , y ∈ R ° ( ) = ≤ = + + 2 2 2 4 2 2 x x x 1 8 1 16x 2.4x 1 4x ° ( ) = ≤ = + + 2 2 2 4 2 2 y y y 1 8 1 16y 2.4y 1 4y  + ≤ + + 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y 19. Chứng minh: + + ≥ + + + a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 ðặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. ° a + b + c = 1 2 (X + Y + Z) ° + − + − + − = = = Y Z X Z X Y X Y Z a , b , c 2 2 2 °         + + = + + + + + −         + + +         a b c 1 Y X Z X Z Y 3 b c a c a b 2 X Y X Z Y Z [ ] ≥ + + − = 1 3 2 2 2 3 2 2 . Cách khác: °       + + = + + + + + −       + + + + + +       a b c a b c 1 1 1 3 b c a c a b b c a c a b ( ) ( ) ( ) [ ]   = + + + + + + + −   + + +   1 1 1 1 a b b c c a 3 2 b c a c a b  Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm: ° ( ) ( ) ( ) [ ]   + + + + + + + ≥ − =   + + +   1 1 1 1 9 3 a b b c c a 3 2 b c a c a b 2 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + ≤ + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc ° ( ) ( ) ( ) + = + − + ≥ + 3 3 2 2 a b a b a ab a a b ab ⇒ ( ) ( ) + + ≥ + + = + + 3 3 a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự ° ( ) ( ) + + ≥ + + = + + 3 3 b c abc b c bc abc bc a b c ° ( ) ( ) + + ≥ + + = + + 3 3 c a abc c a ca abc ca a b c  ( ) ( ) ( ) + +   ≤ + + =   + + + + + + + +   1 1 1 1 a b c VT ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc 21. Áp dụng BðT Côsi cho hai số chứng minh: a. + + + ≥ 4 a b c d 4 abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s)  + ≥ + ≥ a b 2 ab , c d 2 cd  ( ) ( ) + + ≥ + ≥ ≥ 4 a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd b. + + ≥ 3 a b c 3 abc với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 s )  + + + + + + + ≥ 4 a b c a b c a b c 4. abc 3 3 ⇔ + + + + ≥ 4 a b c a b c abc 3 3 ⇔ + + + +   ≥     4 a b c a b c abc 3 3 Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy 8 ⇔ + +   ≥     3 a b c abc 3 ⇔ + + ≥ 3 a b c 3 abc . 22. Chứng minh: + + ≥ + + 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 ° + ≥ 3 2 a abc 2a bc , + ≥ 3 2 b abc 2b ac , + ≥ 3 2 c abc 2c ab ° ( ) + + + ≥ + + 3 3 3 2 2 2 a b c 3abc 2 a bc b ac c ab ⇒ ( ) ( ) + + ≥ + + 3 3 3 2 2 2 2 a b c 2 a bc b ac c ab , vì : + + ≥ 3 3 3 a b c 3abc Vậy: + + ≥ + + 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab 23. Chứng minh: + + ≥ 3 94 2 a 3 b 4 c 9 abc  Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho 9 số không âm: ° = + + + + + + + + ≥ 3 3 3 94 4 4 4 VT a a b b b c c c c 9 abc 24. Cho = + x 18 y 2 x , x > 0. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.  Áp dụng BðT Côsi cho hai số không âm: = + ≥ = x 18 x 18 y 2 . 6 2 x 2 x ° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± 2 x 18 x 36 x 6 2 x , chọn x = 6. Vậy: Khi x = 6 thì y ñạt GTNN bằng 6 25. Cho = + > − x 2 y ,x 1 2 x 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.  − = + + − x 1 2 1 y 2 x 1 2  Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm − − x 1 2 , 2 x 1 : − − = + + ≥ + = − − x 1 2 1 x 1 2 1 5 y 2 . 2 x 1 2 2 x 1 2 2 ° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ( ) =  − = ⇔ − = ⇔  = −−  2 x 3 x 1 2 x 1 4 x 1(loaïi) 2 x 1 Vậy: Khi x = 3 thì y ñạt GTNN bằng 5 2 26. Cho = + > − + 3x 1 y , x 1 2 x 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.  + = + − + 3(x 1) 1 3 y 2 x 1 2  Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm ( ) + + 3 x 1 1 , 2 x 1 : ( ) ( ) + + = + − ≥ − = − + + 3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3 y 2 . 6 2 x 1 2 2 x 1 2 2 ° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ⇔ ( ) ( )  = −  +  = ⇔ + = ⇔  + = − −   2 6 x 1 3 x 1 1 2 3 x 1 2 x 1 3 6 x 1(loaïi) 3 Vậy: Khi = − 6 x 1 3 thì y ñạt GTNN bằng − 3 6 2 27. Cho = + > − x 5 1 y ,x 3 2x 1 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.  − = + + − 2x 1 5 1 y 6 2x 1 3  Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm − − 2x 1 5 , 6 2x 1 : Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức 9 − − + = + + ≥ + = − − 2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1 y 2 . 6 2x 1 3 6 2x 1 3 3 Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ( )  + =  −  = ⇔ − = ⇔  − − + =   2 30 1 x 2x 1 5 2 2x 1 30 6 2x 1 30 1 x (loaïi) 2 Vậy: Khi + = 30 1 x 2 thì y ñạt GTNN bằng + 30 1 3 28. Cho = + − x 5 y 1 x x , 0 < x < 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN. ° ( ) − + − − = + = + + ≥ + = + − − − x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5 1 x x 1 x x 1 x x Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ − −   = ⇔ = ⇔ =   − −   2 x 1 x x 5 5 5 5 x 1 x x 1 x 4 (0 < x < 1) ° Vậy: GTNN của y là + 2 5 5 khi − = 5 5 x 4 29. Cho + = 3 2 x 1 y x , x > 0 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN. ° + = + = + + ≥ = 3 3 2 2 2 2 3 x 1 1 x x 1 x x 1 3 x 3 2 2 2 2 4 x x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ = = 2 x x 1 2 2 x ⇔ = 3 x 2 . ° Vậy: GTNN của y là 3 3 4 khi = 3 x 2 30. Tìm GTNN của + + = 2 x 4x 4 f(x) x , x > 0. ° + + = + + ≥ + = 2 x 4x 4 4 4 x 4 2 x. 4 8 x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ = 4 x x ⇔ x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 31. Tìm GTNN của = + 2 3 2 f(x) x x , x > 0. °     + = + + + + ≥ =         3 2 2 2 2 2 2 5 3 3 3 3 5 2 x x x 1 1 x 1 5 x 5 3 3 3 3 27 x x x x ° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ = ⇔ = 2 5 3 x 1 x 3 3 x ⇔ x = 2 (x > 0). ° Vậy: GTNN của y là 5 5 27 khi = 5 x 3 . 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) ° f(x) = –10x 2 + 11x – 3 =     − − − = − − + ≤         2 2 11x 11 1 1 10 x 3 10 x 10 20 40 40 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ = 11 x 20 ° Vậy: Khi = 11 x 20 thì y ñạt GTLN bằng 1 40 . 33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN.  Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6): ° ( ) ( ) = + − ≥ − 6 x 6 x 2 x 6 x ⇒ x(6 – x) ≤ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3 ° Vậy: Khi x = 3 thì y ñạt GTLN bằng 9. Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy 10 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤ 5 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN.  y = (x + 3)(5 – 2x) = 1 2 (2x + 6)(5 – 2x)  Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,   − ≤ ≤     5 3 x 2 : ° ( ) ( ) ( )( ) = + + − ≥ + − 11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x ⇒ 1 2 (2x + 6)(5 – 2x) ≤ 121 8 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 6 = 5 – 2x ⇔ = − 1 x 4 ° Vậy: Khi = − 1 x 4 thì y ñạt GTLN bằng 121 8 . 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ ≤ 5 x 5 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN.  y = (2x + 5)(5 – x) = 1 2 (2x + 5)(10 – 2x)  Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,   − ≤ ≤     5 x 5 2 : ° ( ) ( ) ( )( ) + + − ≥ + − 2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x ⇒ 1 2 (2x + 5)(10 – 2x) ≤ 625 8 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 5 = 10 – 2x ⇔ = 5 x 4 ° Vậy: Khi = 5 x 4 thì y ñạt GTLN bằng 625 8 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , − 1 2 ≤ x ≤ 5 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN  y = 3(2x + 1)(5 – 2x)  Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,   − ≤ ≤     1 5 x 2 2 : ° ( ) ( ) ( )( ) + + − ≥ + − 2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x ⇒ (2x + 1)(5 – 2x) ≤ 9 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 1 = 5 – 2x ⇔ x = 1 ° Vậy: Khi x = 1 thì y ñạt GTLN bằng 9. 37. Cho = + 2 x y x 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN ° + ≥ = 2 2 2 x 2 2x 2x 2 ⇔ ≥ + 2 1 x 2 2 2 x ⇒ ≤ 1 y 2 2 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ = ⇒ 2 x 2 và x > 0 x= 2 ° Vậy: Khi = x 2 thì y ñạt GTLN bằng 1 2 2 . 38. Cho ( ) = + 2 3 2 x y x 2 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN ° + = + + ≥ 3 2 2 2 x 2 x 1 1 3 x .1.1 ⇔ ( ) ( ) + ≥ ⇒ ≤ + 2 3 2 2 3 2 x 1 x 2 27x 27 x 2 ° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ = ⇔ = ± 2 x 1 x 1 ° Vậy: Khi = ± x 1 thì y ñạt GTLN bằng 1 27 . III. Chứng minh BðT dựa vào BðT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) () BðT Bunhiacopxki () ⇔ + + ≤ + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2abcd c d a b a d c b c d ⇔ + − ≥ 2 2 2 2 a d c b 2abcd 0 ⇔ ( ) − ≥ 2 ad cb 0 . 2. Chứng minh: + ≤ sinx cosx 2  Áp dụng BðT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : . 1 y 6 2x 1 3  Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm − − 2x 1 5 , 6 2x 1 : Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức 9 − − + = + + ≥ +. Chứng minh bất ñẳng thức: + + + ≥ 2 a c b b 50 b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + a c b d . Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy