Nguoithay.vn - 1 - MT S PHNG PHÁP GII H PHNG TRÌNH KHÔNG MU MC H phng trình là mt dng toán khá ph bin trong các đ thi tuyn sinh H, C và đ thi HSG các cp. i vi nhiu hc sinh, bài toán gii h phng trình đc coi là bài toán khó, thm chí là câu khó nht trong cu trúc đ thi H, C. Qua quá trình ging dy hc sinh ôn thi H, C và bi dng hc sinh gii phi trc tip hng dn hc sinh gii các h phng trình này, tôi thy cn phi rèn cho hc sinh thành tho các k nng gii h phng trình thông thng và chú ý ti mt s k nng thng áp dng khi gii “h không mu mc”. Trong bài vit này tôi xin gi nh vy đi vi các h phng trình mà thut gii không đc trình bày trong sách giáo khoa. Bài vit đc chia làm ba mc: M đu là tóm tt các h phng trình thng gp, đã đc gii thiu khá chi tit trong sách giác khoa. Mc th hai là mt s k nng gii h phng trình không mu mc. Các bài toán đa ra phn ln là tôi su tm t nhiu ngun tài liu khác nhau, mt s ít do tôi ra trong các kì thi KS, thi HSG,…Li gii các bài toán này tôi ch chú ý đn cách đa h không mu mc v dng quen thuc mà không quan tâm đn kt qu cui cùng. Cui cùng là h thng các bài tp đ bn đc tham kho. Chuyên đ dùng ging dy ôn thi H, C và ôn thi HSG cho hc sinh khi 12. Thi gian ging dy chuyên đ này cho hc sinh khi 12 khi ôn thi H, C là 2 bui. Mc dù rt tâm huyt vi chuyên đ, nhng do thi gian và kh nng có hn nên bài vit khó tránh khi nhng thiu sót. Ti rt mong nhn đc s góp ý ca quí thy cô, bn bè đng nghip và các em hc sinh đ chuyên đ đc hoàn thin hn và tr thành tài liu có ích trong ging dy và hc tp. I. MT S H PHNG TRÌNH THNG GP Mt s h phng trình đc hc trong chng trình ph thông có phng pháp gii rõ ràng, hc sinh ch cn nh thut gii, rèn luyn các k nng bin đi, tính toán là có th làm đc. Thc cht các h phng trình này ta gp rt nhiu  c THCS và THPT, không riêng b môn toán mà c môn lí, môn hóa,… Mt ln na ta nhc li các dng h phng trình nh vy. 1. H hai phng trình bc nht hai n a) nh ngha: Là h phng trình có dng ' ' ' ax by c a x b y c      , trong đó x, y là n. b) Cách gii: Vi h này ta có th gii bng nhiu cách khác nhau nh: Phng pháp th, phng pháp cng, s dng đ th, s dng máy tính cm tay, tính đnh thc, đt n ph,… 2. H ba phng trình bc nht ba n Nguoithay.vn - 2 - a) nh ngha: Là h phng trình có dng 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d               , trong đó x, y, z là n. b) Cách gii: Vi h này ta có th gii bng nhiu cách khác nhau nh: Phng pháp th, phng pháp cng, s dng máy tính cm tay, tính đnh thc, phng pháp kh Gauss,… 3. H gm mt phng trình bc nht vƠ mt phng trình khác a) nh ngha: Là h phng trình có dng 0 ( , ) 0 ax by c f x y        , trong đó x, y là n còn f(x,y) là biu thc hai bin x, y. b) Cách gii: S dng phng pháp th. 4. H đi xng loi 1 a) nh ngha: Là h mà khi ta đi vai trò ca hai n cho nhau trong mi phng trình, tng phng trình đó không thay đi. b) Cách gii: Bin đi tng đng làm xut hin tng và tích ca các nghim ri đt tng bng S, tích bng P ( 2 SP  ). Thông thng sau bc này ta đc mt h đn gin. 5. H đi xng loi 2 a) nh ngha: Là h mà khi ta đi vai trò ca hai n cho nhau trong mi phng trình, phng trình này bin thành phng trình kia. b) Cách gii: Tr v cho v làm xut hin nhân t chung x-y ri đa h đã cho v hai h mi đn gin hn. 6. H đng cp a) nh ngha: Là h có dng 12 12 ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) f x y f x y g x y g x y      ,  đó ( ; )& ( ; ) ii f x y g x y là các đa thc đng cp hai bin và cùng bc. b) Cách gii: Xét riêng x=0. Nu x khác 0 thì ta đt y=kx ri nhn xét và chia v cho v ta đc phng trình mt n k. Tìm đc k ta tìm đc x và y. II. MT S PHNG PHÁP GII H PHNG TRÌNH KHÔNG MU MC 1. Phng pháp bin đi tng đng Mt s k nng thng áp dng nh phân tích thành tích, bình phng hoc lp phng hai v, thêm bt làm xut hin nhân t chung,… Bài 1. Gii h phng trình: 22 2 2 2 (1) 1 2. (2) x xy y y x y x y x              Gii: K: 1 0.xy   Ta bin đi phng trình (1) làm xut hin nhân t chung 2 2 2 (3) (1) 2 2 0 ( )( 2 2) 0 2 2 (4) xy x y xy y y x x y x y xy                   Nguoithay.vn - 3 - T (3) & (2) ta có x=y=1. T (4) & (2) ta có 0; 2 22 18 ;. 3 3 2 33 yx xy yx y y y                 Kt lun : H có 3 nghim. Bài 2. (Báo TH&TT) Gii h phng trình: 22 2 2 1 (1) (2) xy xy xy x y x y             Gii: K: 0.xy  Ta có 2 2 2 22 21 (1) 2 2 1 ( ) 1 2 . 0 1 (3) 2 ( 1) 1 0 0 (4) xy x y x xy y xy x y xy x y x y xy xy x y x y x y x y xy xy                                     -T (3) và (2) ta có 2 0; 1 30 3; 2 yx yy yx           . -Vì 0xy  nên (4) không tha mãn. Vy h có hai nghim. Bài 3. ( thi TS c) Gii h phng trình: 3 3 3 22 1 19 (1) 6 (2) x y x y xy x          Gii: Nu x=0, (1) tr thành 1=0, vô lí. Vy x khác 0. Nhân hai v ca (1) vi 6, hai v ca (2) vi 19x ta đc: 3 3 3 2 2 3 6 6 114 19 19 114 x y x xy x y x          Cng v vi v ta đc: 3 3 2 2 6 19 19 6 0x y x y xy    , gii phng trình bc ba này ta đc 23 ; ; 1. 32 xy xy xy       -Nu 2 3 xy  thì 3 81 (1) 1 19 2. 27 3 x x y         -Nu 3 3 27 1 ,(1) 1 19 3 2 8 2 xy x x y           -Nu 1,(1) 0,xy x    vô lí. Bài 4. (HSG QG 1996) Gii h phng trình: 1 3 (1 ) 2 (1) 1 7 (1 ) 4 2 (2) x xy y xy            Gii: K 0& 0.xy D thy x=0 hoc y=0 không thõa mãn h. Vi x>0, y>0 ta có Nguoithay.vn - 4 - 12 1 2 2 1 1 3 37 1 1 8 37 1 4 2 1 1 2 2 1 7 37 xy x xy x y x y xy y xy xy                       ( nhân v vi v) 22 21 (7 24 )( ) 24 38 7 0 6xy y x x y x xy y y x          (vì x, y dng). Thay vào phng trình (1) ta đc 1 2 1 1 1 2 . 1 0 7 . 7 3 3 21 x xx          T đó suy ra x và y. 2. Phng pháp đt n ph Mt s phng trình sau khi nhân hoc chia hai v cho cùng mt biu thc khác không hoc bng mt s đng tác tách và ghép khéo léo ta làm xut hin các đi lng mà nh cách đt n ph ta có th đa h phc tp v mt h đn gin, quen thuc. Bài 5. Gii h phng trình: 22 22 1 4 (1) ( ) 2 7 2 (2) x y xy y y x y x y            Gii: Nhn thy y=0 không tha mãn h. Vi y khác không, chia c hai v ca (1) và (2) cho y ta đc: 2 2 2 1 4 1 ( ) 2 7 x xy y x xy y                . t 2 1 a x y x b y         ta đc 2 2 2 4 4 4 5, 9 3, 1 2 7 2(4 ) 7 2a-15=0 a b b a b a ab ab a b a a a                                      . T đây ta tìm đc x và y. Bài 6. Gii h phng trình: 22 2 2 2 6 (1) 1 5 (2) y xy x x y x        Gii: Nhn thy x=0 không tha mãn h. Chia c hai v ca (1) và (2) cho 2 x ta đc h 2 2 2 2 2 1 6 6 1 1 5 25 y yy y xx x x y y y x xx                        . n đây ta đt 2 1 .6 25 Sy PS x y SP P x                . Gii h này ta tìm đc S và P, t đó ta tìm đc x và y. Bài 7. Gii h phng trình:                            49 1 1)( 5 1 1)( 22 22 yx yx xy yx Gii : Trc ht ta thy h này có dng quen thuc là h đi xng loi 1, tuy nhiên nu đt n ph theo tng và tích nh cách thông thng ta s gp mt h khó, phc tp và không có nghim đp. Nhng sau khi đt điu kin và khai trin ra ta đc Nguoithay.vn - 5 - 22 22 11 5 11 49 xy yx xy yx                , và nu đt 1 1 xa x yb y          thì ta đc 22 5 53. ab ab        n đây ta có mt h quen thuc. Bài 8. (KA - 2008) Gii h phng trình: 2 3 2 42 5 4 5 (1 2 ) 4 x y x y xy xy x y xy x                   Gii: H đã cho tng đng vi 22 22 5 () 4 5 () 4 x y xy x y xy x y xy                  . t 2 x y a xy b        ta đc h mi 2 3 2 2 3 2 2 5 5 5 0 0, 4 4 4 4 5 5 5 5 5 1 3 ; 4 4 4 4 4 2 2 a a ab b b a a a a b a b a a a a b a a b                                                            T đó ta tìm đc x, y. 3. Phng pháp th Nhiu phng trình sau khi rút mt n (hoc mt biu thc) t phng trình này th vào phng trình kia ta đc mt phng trình đn gin hoc nh đó mà ta có cách bin đi v mt h đn gin. Ta thng áp dng cách này vi các h mà ta quan sát thy mt phng trình nào đó ca h mà mt n ch có nht hoc  c hai phng trình ca h có cùng mt biu thc chung nào đó. Bài 9. (HSG QG – 2001) Gii h phng trình: 7 2 5 (1) 2 2 (2) x y x y x y x y              Gii: K: 70 20 xy xy      , t (2) ta suy ra 22x y y x    , th vào (1) ta đc 73x y x y    . Do đó ta có h 22 2 2 2 32 32 1 7 9 6 2 6 2 1 19; 10. 2 4 4 4 2 11 10 0 xy xy xy x y x y x xy y x y xy x y y x y x xy y y                                          D thy nghim 1xy tha mãn h còn nghim kia thì không. Bài 10. (KS-THPT Chuyên VP) Gii h phng trình Nguoithay.vn - 6 - 22 2 3 4( ) 4 7 () 1 23 x y xy xy x xy               Gii : K 0.xy  Phng trình th nht tng đng vi 2 2 2 2 2 31 3( ) 6 ( ) 13 3 ( ) 13 (*) () x y x y x y x y xy xy                  T phng trình th hai ta suy ra 1 32x xy   , th vào phng trình (*) ta đc 2 2 2 1 3( 3 2 ) ( ) 13 4( ) 18( ) 14 0 7 xy x y x x y x y x y xy                   T đây và phng trình th hai ca h ta tìm đc các nghim x và y. Bài 11. (HSG QG – 2004) Gii h phng trình: 32 22 3 49 (1) 8 8 17 (2) x xy x xy y y x             Gii : Vi h này, c hai n và  hai phng trình đu khó có th rút n này theo n kia. Tuy nhiên, nu rút 2 y t (2) và th vào (1) thì ta đc mt phng trình mà n y ch có bc 1: 3 2 3 2 2 3 ( 8 8 17 ) 49 24 ( 1) 2 2 49 49 (3)x x x xy y x xy x x x x             -Nu x=0 thì (1) vô lí. -Nu x=-1 thì h tr thành 2 16 4yy    . -Nu 1& 0xx   thì t (3) suy ra 2 2 49 49 24 xx y x   . Th tr li phng trình (2) ta đc 2 2 2 2 2 2 49 49 2 49 49 2 49 49 8 . 17 24 24 3 x x x x x x x x x x x x               2 22 4 2 2 4 3 2 3 32 2 49 49 49 192 (2 49 49) 49.192 3 24 3 196 196 2205 4606 2401 0 196 2205 2401 0 196 196 2205 2205 0 196 196 2401 0 x x x x x x x xx x x x x x x x x x x                                    Phng trình cui cùng vô nghim, chng t h ch có hai nghim (-1;4) và (-1;-4). Không phái lúc nào ta cng may mn khi áp dng phng pháp ‘‘ th đn cùng’’ nh vy, chng hn nh gp phng trình bc 4 mà không nhm đc nghim nh bài toán sau : Bài 12. Gii h phng trình : 2 22 2 2 4 0 (1) 2 2 3 0 (2) b bc c b c b c               Nguoithay.vn - 7 - Gii : Rõ ràng phng trình đu có bc nht đi vi b và c, điu đó gi ý cho ta rút mt n t phng trình này và th vào phng trình kia. Tuy nhiên sau khi rút gn ta đc mt phng trình bc 4 mà nghim l.  đây ta cn mt k nng tách khéo léo hn : Ta có 22 (1) 2 ( 1) 4 2 ( 1) 2 1 2 2 5c b b c b b b b            , rõ ràng b=1 không tha mãn, vi 1b  suy ra 5 2 1 2 1 cb b      , th vào (2) ta đc 2 2 2 2 2 2 4 2 4 8 4 4 8 16 4( 1) (2 2) 12 5 4( 1) ( 1) 12 3( 1) 22( 1) 25 0 1 b b c c b c b b b b b                           Suy ra 5 3 4 3 ; 33 3 5 3 4 ;. 33 bc bc            H phng trình này xut hin khi ta gii bài toán hình hc phng: Trong h ta đ Oxy cho đim A(1 ;2), đng thng  : y=3. Tìm đim B thuc  và đim C thuc Ox sao cho tam giác ABC đu. 4. Phng pháp s dng tính đn điu ca hƠm s  vn dng phng pháp này ta cn đn mt tính cht quan trng sau đây: Nu hàm s f(x) đn điu và liên tc trên khong ( ; )  thì phng trình f(x)=0 có nghim duy nht trên khong ( ; )  , hn na f(a)=f(b) khi và ch khi a=b. Bài 13. (HSG K12 ng Nai) Gii h phng trình: 5 4 10 6 2 (1) 4 5 8 6 (2) x xy y y xy             Gii: K: 5 . 4 x Nu y=0 thì t phng trình (1) ta suy ra x=0, th vào phng trình (2) ta thy không tha mãn, vy y khác 0. t x=ky ta đc (1) tr thành 5 5 5 10 6 5 5 k y ky y y k k y y       (3). Xét hàm s 5 ()f t t t trên , ta có 4 '( ) 5 1 0 .f t t t     Do đó f(t) là hàm s đng bin trên , vy 2 (3) ( ) ( ) .f k f y k y x y      Th vào (2) ta đc 22 4 5 8 6 5 13 2 4 37 40 36 2 4 37 40 23 5x x x x x x x x               2 2 2 23 5 0 5 23 1 41 16 148 160 25 230 529 9 378 369 0 xx x x x x x x x x                         Suy ra x=1 và do đó 1y  . Bài 14. (KS khi 12 chung đt 1 nm hc 2011-2012, THPT Yên Lc) Gii h phng trình: 22 22 2 5 2 1 (1) 2 5 2 1 (2) x y y y x x              Nguoithay.vn - 8 - Gii: K 0, 0xy . Ta thy đây là mt h đi xng loi 2, nên tr v cho v và bin đi ta đc: 2 2 2 2 2 5 2 1 2 5 2 1x x x y y y         (3) Xét hàm s 22 ( ) 2 5 2 1f t t t t     trên [1;+ )  , d thy f’(t)>0 trên (1; )  nên f(t) đng bin trên [1;+ )  và do đó (3) tng đng vi x=y. Th vào (1) ta đc 22 2 5 2 1x x x    . Gii bng MTCT ta đc x=2. Do đó ta bin đi nh sau 2 22 2 42 2 5 6 2 1 2 4 2 2 ( 2)( 2) 11 53 xx x x x x x x x                2 2 2( 2) 2 2 (4) 11 53 x x x x x              Phng trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghim. Vy h có nghim x=y=2. Bài 15. (KA-2010) Gii h phng trình: 2 22 (4 1) ( 3) 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x               Gii: K : 3 4 x  . t u = 2x; 52vy Phng trình (1) tr thành u(u 2 + 1) = v(v 2 +1)  (u - v)(u 2 + uv + v 2 + 1) = 0  u = v Ngha là : 2 3 0 4 2 5 2 54 2 x xy x y              Th vào (2) ta đc: 24 25 6 4 2 3 4 7 (*) 4 x x x     Xét hàm s 42 25 ( ) 4 6 2 3 4 4 f x x x x     trên 3 0; 4    2 4 '( ) 4 (4 3) 34 f x x x x     < 0 Mt khác : 1 7 2 f     nên (*) có nghim duy nht x = 1 2 và y = 2. Vy h có nghim duy nht x = 1 2 và y = 2. Thc t là các h phng trình dng này có nhiu cách gii phong phú, các k thut tách cng rt đa dng. Trong khuôn kh chuyên đ tôi ch dng li  bn k nng thông dng nh trên. Tip theo tôi xin gii thiu các h phng trình tng t đ bn đc có thêm ngun tài liu ging dy, hc tp rt mong đc tip tc tho lun trao đi v chuyên đ này cùng các thy cô và các em hc sinh. . 22 4 5 8 6 5 13 2 4 37 40 36 2 4 37 40 23 5x x x x x x x x               2 2 2 23 5 0 5 23 1 41 16 148 160 25 230 529 9 37 8 36 9 0 xx x x x. 1) ( 1) 12 3( 1) 22( 1) 25 0 1 b b c c b c b b b b b                           Suy ra 5 3 4 3 ; 33 3 5 3 4 ;. 33 bc bc           