Bùi Văn Đắc THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Bài toán mở đầu: Xác định dạng của tam giác ABC biết: (p – a)sin 2 A + (p – b)sin 2 B = c.sinA.sinB (*), trong đó: 2 abc p   . HD: Lời giải bài toán này tương đối đơn giản. Ta dễ dàng tính được VT(*) – VP(*) =     2 2 0 8 ababc R   . Vậy VT(*) = VP(*) khi và chỉ khi a = b, tức là tam giác ABC cân tại C. Phân tích bài toán: Ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau: cot,cot 22 AB parpbr Thay vào (*) ta được: 22 .cotsin.cotsin(cotcot)sin.sin 2222 ABAB rArBrAB  ( c = (p-a)+(p-b) ). 22 cotsincotsincotcotsin.sin 2222 ABAB ABAB          Vậy ta có bài toán 1: Xác định dạng của tam giác ABC biết: 22 cotsincotsincotcotsin.sin 2222 ABAB ABAB          (1) Mặt khác ta có thể biến đổi (*) theo hướng khác: (*)  22 .cotsin.cotsin.sin.sin 22 AB rArBcAB  (**)  22 .cotsin.cotsin2.sin.sin.sin 22 AB rArBRABC   2 4 (2sin)cotsin(2sin)cotsinsin.sin.sin 22 ABR RAARBBABC r   2 AB4 .cot.2sin.os.cot.2sin.ossin.sin.sin 222222 AABBR acbcABC r   2 22 AB2 .os.ossin.sin.sin 22 R acbcABC r  Vậy ta có bài toán toán 2: Xác định dạng của tam giác ABC biết: 2 22 AB2 .os.ossin.sin.sin 22 R acbcABC r  (2) Mặt khác ta có: 2 2 4S 2sin¸cinBsinA.sinB= abc SbcA Dó đó (**) 2 22 2 2 22 2222 4 .cot.sin.cot.sin. 22 4 .cot.sin.cot.sin. 22 4 cot.sincot.sin.cot.sincot.sin() 222224 ABS prAprBpc abc ABS SASBp abc ABSABabcabc ABpABdoS abcRR     22 cotsincotsinsinsinsin 22 AB ABABC  Vậy ta có bài toán 3: Xác định dạng của tam giác ABC biết: 22 cotsincotsin 222 ABabc AB R   (3) 22 cotsincotsinsinsinsin 22 AB ABABC  (3*) Ta lại có: (3) 2sincotsin2sincotsin 22 AB RAARBBabc  22 .2os.2os(1osA)+b(1+cosB)=a+b+c 22 AB acbcabcac PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Bùi Văn Đắc THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh osA+bcosB=c ac  Vậy ta có bài toán 4: Xác định dạng của ABC  biết: osA+bcosB=c ac (4) hoặc 22 osos 222 ABabc acbc   (4*) Mặt khác khi chứng minh bài toán mở đầu ta phát hiện ra một điều khá thú vị là: VT(*)  VP(*), tức là: 22 ()sin()sin.sin.sin paApbBcAB  Căn cứ vào đó và vào việc biến đổi tương đương (*) đến các đẳng thức (2),(3),(4),(4*) ta có các nhóm BĐT sau: Nhóm 1: 22 ()sin()sin2sin.sin.sin paApbBRABC  Hoàn toàn tương tự, ta có: 22 ()sin()sin2sin.sin.sin pbBpcCRABC  22 ()sin()sin2sin.sin.sin pcCpaARABC  Nhóm 2: 2 22 AB2 .os.ossin.sin.sin 22 R acbcABC r  Hoàn toàn tương tự ta có: 2 22 BC2 .os.ossin.sin.sin 22 R bcccABC r  2 22 CA2 .os.ossin.sin.sin 22 R ccacABC r  Nhóm 3: 22 cotsincotsinsinsinsin 22 AB ABABC  Hoàn toàn tương tự, ta có: 22 cotsincotsinsinsinsin 22 BC BCABC  22 cotsincotsinsinsinsin 22 CA CAABC  Nhóm 4: osA+bcosBc ac  . osB+ccosC bca  osC+acosA ccb  Từ các nhóm BĐT trên ta có các bài toán sau: Bài toán 5: Xác định dạng của ABC  biết: 222 ()sin()sin()sin3sin.sin.sin paApbBpcCRABC  Bài toán 6: Xác định dạng của ABC  biết: 2 222 ABC3 .os.os.ossin.sin.sin 222 R acbcccABC r  Bài toán 7: Xác định dạng của ABC  biết: a+b+c .osA+b.cosB+c.cosC= 2 ac ( ĐH Dược HN_1999 ) Bài toán 8 : Xác định dạng của ABC  biết: 222 3 cotsincotsincotsin(sinsinsin) 2222 ABC ABCABC  Ta có: 333 3sin.sin.sinsinsinsin ABCABC  ( BĐT Cauchy ) Vậy căn cứ vào đó và vào bài toán 6 ta có Bài toán 9: Xác định dạng của ABC  biết:   2 222333 ABC .os.os.ossinsinsin 222 R acbcccABC r  Qua đây tôi muốn nói với các bạn rằng: nếu chịu khótìm tòi suy nghĩ thì các bạn sẽ có thể tạo ra nhiều bài toán hay từ những bài toán đơn giản. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com . toán: Ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau: cot,cot 22 AB parpbr Thay vào (*) ta được: 22 .cotsin.cotsin(cotcot)sin.sin 2222 ABAB rArBrAB . rằng: nếu chịu khótìm tòi suy nghĩ thì các bạn sẽ có thể tạo ra nhiều bài toán hay từ những bài toán đơn giản. PDF created with pdfFactory Pro trial version