sở giáo dục - đào tạo hà nam kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học: 2013 - 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: A = a a a 1 a 1 a 1 + (a 0;a 1) B = 4 2 3 6 8 2 2 3 + + + Câu 2: (2,0 điểm) a) Gii phng trình: x 2 - 6x - 7 = 0 b) Gii h phng trình: 2x y 1 2(1 x) 3y 7 = + = Câu 3: (1,5 điểm) Cho phơng trình: x 2 + 2(m 1)x 2m 3 = 0 (m là tham số). a) Chứng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 m R . b) Tìm giá trị của m sao cho (4x 1 + 5)(4x 2 + 5) + 19 = 0. Câu 4: (4,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB. Lấy điểm C thuộc (O) (C không trùng với A, B), M là điểm chính giữa cung nhỏ AC. Các đờng thẳng AM và BC cắt nhau tại I, các đờng thẳng AC và BM cắt nhau tại K. a) Chng minh rng: ã ã ABM IBM= và ABI cân b) Chng minh t giác MICK nội tiếp c) Đờng thẳng BM cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở N. Chứng minh đờng thẳng NI là tiếp tuyến của đờng tròn (B;BA) và NI MO. d) Đờng tròn ngoại tiếp BIK cắt đờng tròn (B;BA) tại D (D không trùng với I). Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng. Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dơng x, y thỏa mãn y 2x 3 1 2x 3 y 1 + + = + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = xy 3y - 2x 3. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: Đề chính thức sở giáo dục - đào tạo hà nam kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học: 2013 - 2014 Hớng dẫn chấm Môn Toán dự thảo Câu 1: (1,5 điểm) a) A = a a a 1 a 1 a 1 + = a( a 1) a 1 a a 1 1 ( a 1)( a 1) a 1 a 1 a 1 + = = + + + + 0,75 đ b) B = 4 2 3 6 8 2 2 3 + + + = 2 2 3 2 2 2 6 (2 2 3) 2(2 2 3) 2 2 3 2 2 3 + + + + + + = + + = (1 2)(2 2 3) 1 2 2 2 3 + + = + + 0,75 đ Câu 2: (2,0 điểm) a) x 2 - 6x - 7 = 0 2 x 7x x 7 0 x(x 7) (x 7) 0 + = + = x 7 0 x 7 (x 7)(x 1) 0 x 1 0 x 1 = = + = + = = Vậy: S = { } 7; 1 1,0 đ b) 2x y 1 y 2x 1 2(1 x) 3y 7 2 2x 3(2x 1) 7 = = + = + = y 2x 1 y 2x 1 y 4 1 3 2 2x 6x 3 7 0 4x 8 x 2 = = = = + = = = Vậy: (x; y) = (2; 3) 1,0 đ Câu 3: (1,5 điểm) x 2 + 2(m 1)x 2m 3 = 0 (1) a) Có: / = (m 1) 2 (- 2m 3) = m 2 2m + 1 + 2m + 3 = m 2 + 4 4 > 0 với mọi m / > 0 với mọi m Nên phơng trình đã cho có 2 nghiện phân biệt x 1 ; x 2 m R (Đpcm) 0,75 đ b) Theo bài ra, ta có: (4x 1 + 5)(4x 2 + 5) + 19 = 0 1 2 1 2 16x x 20x 20x 25 19 0+ + + + = 1 2 1 2 16x x 20(x x ) 44 0 + + + = (2) 0,25 đ áp dụng hệ thức Vi ét, ta có: 0,25 đ (3) 1 2 1 2 b x x 2(m 1) 2 2m a c x .x 2m 3 a + = = = = = Thay (3) vào (2), ta có: 16( 2m 3) 20(2 2m) 44 0 + + = 32m 48 40 40m 44 0 + + = 1 72m 36 m 2 = = Vậy với m = 1 2 thì (4x 1 + 5)(4x 2 + 5) + 19 = 0. 0,25 đ Câu 4: (4,0 điểm) Hình vẽ: 0,25 đ a) Chng minh rng: ã ã ABM IBM= và ABI cân Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC (GT) ẳ ẳ AM MC = Mà: ã ẳ ã ẳ 1 ABM SdAM 2 1 IBM SdMC 2 = = (Định lý góc nội tiếp) ã ã ABM IBM = (Hệ quả góc nội tiếp) 0,5 đ Có: M (O) và AB là đờng kính ã 0 AMB 90 = (Hệ quả góc nội tiếp) 0,5 đ BM AI tại M. Xét ABI có: BM là đờng cao đồng thời là đờng phân giác Nên: ABI cân tại B (Dấu hiệu nhận biết tam giác cân) b) Có: C (O) và AB là đờng kính ã 0 ACB 90 = (Hệ quả góc nội tiếp) AC BI tại C ã 0 KCI 90 = Mặt khác: ã 0 KMI 90= (Vì BM AI) ã ã 0 IMK KCI 180 + = Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau Vậy MICK là tứ giác nội tiếp (Đpcm) 1,0 đ c) Có: ABI cân tại B (cma) BA = BI mà BA là bán kính của (B;BA) I (B;BA) (1) Vì AN là tiếp tuyến của (O) (GT) AN AB tại A ã 0 BAN 90= Xét ABN và IBN có: AB = BI ( vì ABI cân tại B) ã ã ABN IBN= (cma) ABN = IBN (c.g.c) BN cạnh chung ã ã NAB NIB= (2 góc t/) mà: ã 0 NAB 90= ã 0 NIB 90= NI IB (2) Từ (1) và (2) suy ra: NI là tiếp tuyến của(B;BA) (Đpcm) 0,5 đ Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC (GT) OM AC (Đờng kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy) Mà: AC BI tại C (cmb) OM//BI ( cùng vuông góc AC) Mặt khác: NI IB (cmt) OM NI (Từ đến //) 0,5 đ d) Có: ã ã 1 IDA IBA 2 = (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AI của (B;BA); mà: ã ã 1 IBN IBA 2 = (vì ã ã ABM IBM= ,cma) ã ã IDA IBN = M ã ã IDK IBN= (cùng chn IK ca đờng tròn ngoại tiếp IKB) ã ã IDA IDK= A, K, D thng h ng A, C, D thng h ng (Vì A, K, C th ng h ng) 0,75 đ Câu 5: (1,0 điểm) y 2x 3 1 2x 3 y 1 + + = + + 0,5 đ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 y y y (2x 3) 2x 3 2x 3 y 2x 3 y (2x 3) 0 y 2x 3 y y(2x 3) 2x 3 y 2x 3 0 + = + + + + + + + = + + + + + + + + = Có y y. 2x 3 2x 3 y 2x 3+ + + + + + + vi mi x, y dng y 2x 3 + = 0 y = 2x + 3 Q = x(2x + 3) 3(2x + 3 ) 2x 3 = 2x 2 + 3x 6x - 9 2x -3 = 2x 2 5x 12 = 2 5 2 x x 12 2 ữ = 2 5 25 25 2 x 2.x. 12 4 16 8 + ữ = 2 5 121 121 2 x 4 8 8 ữ với mọi x > 0 Dấu bằng xảy ra khi x - 5 4 = 0 5 5 22 11 x y 2. 3 4 4 4 2 = = + = = GTNN của Q = 121 5 x 8 4 = và y = 11 2 0,5 đ Hết Lu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tơng đơng theo từng phần nh đáp án. . dục - đào tạo hà nam kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm học: 2013 - 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu. tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: Đề chính thức sở giáo dục - đào tạo hà nam kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt Năm