Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển Bài Dùng phân bố tắc Gibbs, thiết lập phân bố sau (các dạng khác phân bố Maxwell) : Xác suất để vận tốc hạt hệ có thành phần vận tốc khoảng : (vx , vx dx ),(vy , vy dy ),(vz , vz dz ) Xác xuất để độ lớn vận tốc hạt hệ nằm khoảng (v, v dv ) d ) Xác suất để động hạt hệ có giá trị nằm khoảng ( , Sử dụng kết tính giá trị trung bình sau : a) v n b) v n /2 ( n ) (n (3 8kT m 2kT m v )2 c) (v kT m 1) ) (kT )2 2 e) Vận tốc có xác suất lớn : v0 d) ( m )2 v v2 2kT m Hướng dẫn  Xác suất để vận tốc hạt có thành phần khoảng cho : mvi 2kT dv i m e kT dW (vi ) (i x, y, z )  Xác suất để độ lớn vận tốc hạt nằm khoảng cho : dW (v )  Xác suất để động m kT v ndW (v ) Đặt x v n v n e (kT ) m kT mv 2kT dv n x e xdx n 2kT m e mv 2kT e hạt nằm khoảng cho : dW ( ) a) Ta có v n mv2 2kT v 2dv 2kT m n n 2kT m v n 2e kT x m kT d mv 2kT dv n e xdx n Từ ta : x a 1e Trong : (a ) x dx hàm Gamma b) Sử dụng kết câu a) n , ta có : v 2kT m 1/ (2) 8kT m c) Ta có (v v )2 v2 v )2 3kT m d) Ta có v v2 n ta có : v 2 n v4 1m Từ ta tìm : 2v v 2 v v m kT Ta có : f (v ) suy : f (v ) m kT 2v mv kT e 2kT m mv2 2kT Từ v kT m 3kT m mv2 2kT dv , ve 2kT m 2 (7 ) 15 kT m 2 kT ta thấy để xác xuất dW (v) phải đạt cực đại m kT mv kT ve mv 2kT Từ Lập bảng biến thiên f (v ) : v 0, v 2kT m f (v ) 0 0 fmax f (v ) 0 2kT m Từ ta thấy f (v ) đạt cực đại v 2kT m 3kT m v Áp dụng kết câu a) với 3kT m mv 2kT v v0 2kT m 8kT m v4 m kT (2) m2 15 4 ve kT m (2 ) 2kT m 2 v2 2kT m (v )2 Theo câu b) ta có v 8kT m e) Từ biểu thức xác suất dW (v) cực đại hàm f (v) v2 , ta có v Áp dụng kết câu a) n ta tìm : (v (v )2 2v.v , nói cách khác vận tốc có xác suất lớn Chú ý : Trong tập tính tốn ta sử dụng số tính chất sau hàm 1), (n 1) n ! (n ) ( )= Gamma : (a 1) a (a ) (a Khi ta có : (2) (7 ) (2 1) (2 ( )= 154 Trong tập đây, nhiều trường hợp ta x me sử dụng công thức sau : ax dx 1) (m a (2) (2 1) 31 22 (2) 1, ( ) 1! 1) m Bài Viết phân bố Gibbs cho dao động tử điều hồ tuyến tính cổ điển tính giá trị trung bình lượng Hướng dẫn : Hàm phân bố tắc Gibbs có dạng hịa tuyến tính q x H (x, p ) p2 2m (p, q ) m 2 x Ae H ( p,q ) kT Đối với dao động tử điều E lượng dao động tử , phân bố Gibbs cho dao động tử điều hịa tuyến tính có dạng : (E ) , ta có : A e (E )dE kiện chuẩn hóa kT , hay A kT kT E ( kT Ee E kT E e kT kT Do : (E ) E (E )dE E Ae E kT A( kT )e Từ điều 0 A.kT E kT dE E kT |0 Ee E kT dE Năng lượng trung bình : Lấy tích phân phần ta : kT e E kT dE ) E kT d e kT e E kT |0 kT Bài Thiết lập phương trình trạng thái hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên tử khí; Biết lượng xung lượng hạt khí liên hệ với hệ thức : cp N Hướng dẫn : Hàm Hamilton hệ : H cpi Tích phân trạng thái hệ : i 1 Z dri Mặt khác : e 3N N !(2 H kT d ) cpi kT dp i N 3N N !(2 ) dri e (1) i (V ) V thể tích hệ (V ) e cpi kT dp i e cpi kT dp i e cp kT p 2dp , x ne sử dụng công thức Z N !(2 Trong : 3N ) an V i 1 N N !(2 ta tìm : Thay vào (1) ta : N n! dx kT c ax )3N kT c Gọi P áp suất hệ, ta có : P N !(2 k c kT 3N ) V kT c N V NT 3N N N ln Z V T NkT V lnV lnT ln NkT V Từ suy phương trình trạng thái hệ : PV NkT Chú ý : tập thuộc loại người ta u cầu tính thêm đại lượng nhiệt động khác : lượng tự F , entropy S , nội U , nhiệt dung đẳng tích CV , Gibbs , enthalpy H , nhiệt dung đẳng áp C P Lúc ta sử dụng hệ thức liên hệ tích phân trạng thái Z đại lượng nhiệt động để tính Chẳng hạn tập ta có : F kT ln Z NkT lnV lnT ln S F T V k ln Z kT ln Z T V Nk lnV lnT ln NkT T Hay S Nk lnV S0 3Nk lnT với S0 TS kT U T V U 3Nk F CV F U H CP Nk ln 3Nk NkT ln Z T V lnV T NkT lnV lnT ln 3NkT NkT 4NkT 4Nk PV PV H T P lnT ln 3NkT NkT Bài Thiết lập mối liên hệ lượng, áp suất thể tích hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên tử Biết lượng xung lượng hạt liên hệ cp (c : const ) với hệ thức : N cpi3 Tích phân trạng thái hệ : Hướng dẫn : Hàm Hamilton hệ : H i 1 Z dri Mặt khác : e 3N N !(2 H kT d ) N )3N N !(2 dri e cpi3 kT dp i (1) i (V ) V thể tích hệ (V ) e cpi3 kT dp i e cp kT p 2dp N Z ) N !(2 P k 3c i kT Năng lượng hệ U 3N ) ln Z V T kT F T V k ln Z N NkT ln Z T V Hay S S0 Nk lnV CV U T V Nk ; H U PV NkT ln Z T V kT NkT ) V lnV NkT lnT T N V NT N N NkT V ln lnV lnT (1) ln NkT (2) ln Nk lnV PV kT 3c V Gọi P áp suất hệ, ta lại có : Nk lnT với S0 F 3N N !(2 Từ (1) (2) ta có : U PV Các đại lượng nhiệt động khác : F kT ln Z NkT lnV lnT S kT Thay vào (1) ta : 3c |0 kT 3c N Trong : V 3N N !(2 cp kT kT e 3c Nk lnT NkT T Nk ln NkT lnV 2NkT ; CP ln ln T H T P ln NkT 2Nk Bài Thiết lập phương trình trạng thái hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm N nguyên cp tử.Biết lượng xung lượng hạt khí liên hệ với hệ thức N cpi4 Tích phân trạng thái hệ : Hướng dẫn : Hàm Hamilton hệ : H i 1 Z dri Mặt khác : e )3N N !(2 H kT d cpi4 kT dp i N dri )3N N !(2 e (1) i (V ) V thể tích hệ (V ) e cpi4 kT dp i e cp kT p 2dp cpi4 kT dp i kT c cp kT Đặt : x 1/ kT c p x 1/ p 2dp 3/ kT c 1/ x dx e Do : 3/ x 1/ 4e x kT c dx 3/ ( ) Thay vào (1) ta : N Z V 3N N !(2 ) Trong : kT c N i 3/ Gọi P áp suất hệ, ta có : P ) F T V k ln Z Hay S S0 Nk lnV U TS F kT U T V CV H U PV ln Z T V kT ln Z V T NkT Nk ; NkT NkT F NkT lnT Nk NkT lnT lnV N NkT V ln NkT 4T ln Nk ln lnT lnV T V lnT H T P ; CP NkT ln NkT lnV PV V NT 3N / NkT Nk lnV Nk lnT với S0 ln Z T V N Từ suy phương trình trạng thái hệ : PV Các đại lượng nhiệt động khác : lnT F kT ln Z NkT lnV ln S (4) N (4) kT 3/ kT c V 3N N !(2 3/ k c )3N N !(2 (4) ln NkT Nk Bài Xác định lượng áp suất khí lý tưởng gồm N hạt chứa bình tích V , biết lượng hạt phụ thuộc vào xung lượng chúng theo hệ ap (a, thức : 0) N Hướng dẫn : Hàm Hamilton hệ : H api Tích phân trạng thái hệ : i 1 Z N !(2 dri Mặt khác : )3N e H kT d N N !(2 )3N dri e api kT dp i (1) i (V ) V thể tích hệ (V ) e api kT dp i e ap kT p 2dp Đặt : x ap kT p kT a 1/ x 1/ p dp kT a 3/ x dx api kT dp i e Do : 3/ kT a e xdx x 3/ kT a ( ) Thay vào (1) ta : N Z V 3N N !(2 ) Trong : 3/ kT c N i 1 (4) 3/ k a Năng lượng hệ : U kT T F T V S Hay : S k ln Z Nk lnV S0 U T V CV H U Nk F ; V NT 3N / ln N lnV T NkT V lnT lnT lnT Nk lnV Nk ln ln Nk ln NkT NkT T ln T NkT lnV PV NkT N ln Nk lnT với S0 NkT PV ln Z T V kT ( 3) NkT lnT 3/ kT a N lnV V ln Z T V Các đại lượng nhiệt động khác : F kT ln Z NkT lnV ) ( 3) N !(2 )3N Gọi P áp suất hệ, ta lại có : P kT ln Z NkT V V 3N N !(2 ln NkT H T P NkT ; CP Nk Bài Tìm lượng tự do, nội nhiệt dung cột khí lý tưởng có chiều cao h , diện tích đáy trọng trường nhiệt độ T ,biết số hạt khí N N pi 2m Hướng dẫn : Hàm Hamilton hệ H i 1 Z e Mặt khác : e )3N N !(2 dxdy Z p 2e N 3N N !(2 ) i N !(2 Trong : 3N ) kT [ (1 mg 1 N N !(2 Năng lượng tự : F )3N e mgz kT dz e mgzi kT dr i pi 2mkT dp i e (1) i (V ) ( kT )e mg mgz kT kT (1 mg |0 e mgh kT ) p2 2mkT dp kT [ (1 mg )3N N !(2 ( ) pi2 2mkT dp i N h mgzi kT dr i (V ) e H kT d mgzi Tích phân trạng thái hệ : e e (2 mkT )3 /2 Thay vào (1) ta : mgh kT )(2 mgh kT )(2 k mk mg kT ln Z mkT )3/2 ] 3/2 N mkT ) 3/2 NkT [ ] T 5N / (1 e mgh kT )N N Từ ta tìm : lnT ln(1 e mgh kT ) ln ] N Nội : U kT ln Z T V NkT mgh kT U T V  Nhiệt dung : CV T mgh kT Nk Hay : CV NkT 2T mgh (e 2kT e e [ lnT T mgh kT e = NkT mgh kT NkT 2 mgh e kT e mgh kT ln ]= Nk Nmgh mgh mgh kT e kT (e mgh kT 1)2 mgh 2kT sh e Nmgh Nmgh Nk mgh 2kT )2 ln(1 mgh kT ) mgh 2kT Bài Trong bình hình lập phương cạnh L có chứa N phân tử khí lý tưởng nhiệt độ T Bình khí đặt trọng trường Tìm áp suất tác dụng lên mặt bình N Hướng dẫn : Hàm Hamilton hệ H i 1 Z L mgzi kT dr i e Mặt khác : e )3N N !(2 pi2 2mkT dp i p 2e L dy e mgzi kT dr i N )3N N !(2 L mgzi Tích phân trạng thái hệ : dx (V ) e H kT d pi 2m e pi 2mkT dp i e (1) i (V ) mgz kT dz L( kT )e mg mgz kT |L kT L2 mg e mgL kT p2 2mkT dp (2 mkT )3 /2 Thay vào (1) ta : Z N 3N N !(2 ) i N !(2 Trong : : P kT [L (1 mg kT [L (1 mg 3N ) N kT Từ ta có : P N !(2 ln Z V T NkT 3L2 e mgL kT )(2 [ k mk 3N mg ) ln Z dL L T dV kT L e mgL kT )(2 lnT [2 ln L NkT [ + mg kT 3L2 L mgL e kT mkT )3/2 ] 3/2 N mkT ) 2N ] L T 5N / (1 e mgL kT )N N 3/2 N ] Áp suất tác dụng lên mặt bình L3 nên : dV Vì V ln(1 e ]= NkT [ + V 3 mgL kT ) ln ] (mgL /kT ) mgL e kT 3L2dL dL dV 3L2 mgL mg e kT NkT [ + kT ]= mgL 3L2 L e kT ] (với V L3 ) Bài Hỗn hợp hai khí lý tưởng gồm N1 hạt khối lượng m1 N hạt khối lượng m2 chứa bình hình trụ có chiều cao h điện tích đáy Bình khí đặt trọng trường với gia tốc g Tìm áp suất đặt lên mặt bình vị trí khối tâm Hướng dẫn : Gọi Z j tích phân trạng thái hạt loại j (j 1, 2) , ta có : Zj Hj e 3N j N j !(2 ) kT d j N j !(2 h m j gzi e Mặt khác : dri kT e pi 2m jkT ( ) dpi kT e |h kT (1 m jg dpi i (V ) m j gz kT )e m jg ( dz p2 2m jkT p2e ) dri kT m j gz dxdy e (V ) e 3N j pi2 2m jkT m j gzi Nj kT m j gh e kT ) (2 m jkT )3/2 Thay vào (1) ta : dp Zj 3N j N j !(2 ) [ i kT (1 m jg e kT )(2 m jkT )3/2 ] m j gh 3N j N j !(2 ) Nj j Trong : m j gh Nj [ kT (1 m jg e ) ] 3/2 N j [ m kg m j k 3N j N j !(2 )(2 m jkT ) kT 3/2 N j ] T 5N j / m j gh (1 e Nj j Nj ) kT Tích phân trạng thái hệ : j Z Z j Do áp suất tác dụng lên mặt bình : j P ln Z V T kT kT h nên dh dV kT T Nj j [ lnT h ln(1 e j ln N jm jg e j [ lnT T 2 Hay : U j ( N jkT ln(1 e kT ln j] kT j N j m j gh m j gh e kT N j [ 2T m j gh kT m j gh e kT m j gh e ] kT ) Gọi Ed động trung bình hệ, theo định lý kT phân bố động ta có : Ed (N N )kT j trung bình hệ : Et e V ) m j gh kT kT T j m j gh kT ln Z j kT ln Z T V e Nj kT j] m j gh m j gh j kT N jm jg j Hay : P  Nội hệ : U T dh dV Từ ta tìm : ) kT = kT h m j gh P ln Z j kT V j Vì thể tích hình trụ : V ln Z j U (N jkT Ed j 1 N kT j N j m j gh m j gh e kT Từ suy ) (2)  Nếu gọi zc tọa độ khối tâm, ta có : Et khối lượng hệ Từ (2) (3) ta tìm : Et Mg zc Et (N 1m1 N 2m2 )g Mgzc (3) , với M (N 1m1 N1m1 N 2m2 )g N 2m2 N j m j gh (N jkT m j gh j e ) kT Bài 10 Biết động chuyển động quay phân tử nguyên tử khối tâm chúng : 2I q p2 (p ) I moment quán tính khối sin2 tâm phân tử p , p xung lượng suy rộng ứng với tọa độ cầu , Hãy tính : tổng thống kê, entropy, nhiệt dung ứng với chuyển động quay phân tử hai nguyên tử q Hướng dẫn : Tích phân trạng thái chuyển động quay : Zq d (0 d d dp dp Zq d d e ax ,0 p , p