TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Giáo viên giảng dạy: NGUYỄN THÀNH LONG Email: Changngoc203@gmail.com Bỉm sơn: 16 – 02 – 2014 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1 BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Tính tích phân dạng   cos .sin I f x x dx     đặt cos sin t x dt dx     Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau   2 2 0 sin cos 1 cos I x x x dx     Giải: Cách 1: Ta có:       2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos .sin I x x x dx x x x x dx x x x xdx               Đặt cos sin t x dt xdx     Đổi cận 0 1 0 2 x t t x               Khi đó     0 1 2 3 4 2 3 2 3 1 0 1 2 17 2 2 0 2 3 4 12 t t t I t t t dt t t t dt                    Cách 2:         2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 2 3 4 sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos . cos cos 2cos cos 17 2 2 3 4 12 0 I x x x dx x x x x dx x x x d x x x x                            Cách 3: Đặt sin 1 cos cos 1 xdx dt t x x t           … bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất) Cách 4: Đặt         3 2 2 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 co sin cos s 3 du x x x xdx u x d v d xv xdx                       Khi đó Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 2           2 2 3 3 3 0 0 4 1 2 1 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 3 3 3 0 2 1 17 1 cos 2 3 12 1 c 12 os . 3 0 x x x dx x d x I x x                    Bài 2: Tính tích phân sau 2 3 sin dx I x     Giải: Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được 2 2 2 2 2 3 3 3 sin sin sin sin 1 cos dx xdx xdx I x x x              Đặt cos sin t x dt xdx     Đổi cận 0 2 1 2 3 t x t x                    Khi đó   1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln3 2 2 2 0 dt dt dt dt I dt t t t t t t t t                                Cách 2: Đặt 2 2 1 2 tan tan 1 2 2 2 1 x x dt t dt dx dx t              2 2 1 1 2 1 . 2 sin 1 1 tdt dx dt t x t t t      Đổi cận 3 3 3 1 2 x t x t                    Khi đó   1 2 3 3 3 1 1 1 3 1 ln ln ln3. 3 sin 3 2 3 I dx dt t x t           Cách 3: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 tan 1 2 2 ln tan ln3 sin 2 2 2sin cos 2 tan cos tan 2 2 2 2 2 3 x d dx dx dx x I dx x x x x x x                           Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 3 Cách 4:          2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 cos 1 cos sin sin 1 cos sin 2 1 cos 1 cos sin 1 cos x x dx xdx xdx I d x x x x x x                              2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 cos 1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos 2 1 cos 2 1 cos d x d x d x x x x x                            1 1 1 2 2 ln 1 cos ln 1 cos ln3 2 2 2 3 3 x x           Cách 5: Đặt 2 sin c c os o n t si u x du xdx dx v d x x v               …. Bạn đọc tự giải nhé Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x      Giải: Cách 1: Ta có   sin 2 sin sin 2cos 1 x x x x    . Đặt 1 3cos t x   ta được 3sin sin 2 3 2 1 3cos 1 3cos x x dt dt dx dx x x        ; 2 2 1 2 1 cos 2cos 1 3 3 t t x x       Đổi cận 0 2 1 2 x t t x               Khi đó 2 2 3 1 2 4 2 4 2 34 1 9 9 27 9 27 t I dt t t                   Cách 2: Đặt 1 3cos t x   … bạn đọc tự giải Cách 3: Đặt   2cos 1 2sin 1 3cos 2sin 1 3cos 3 1 3cos 3 1 3cos u x du x d x x v x dv dx x x                        Khi đó       2 2 0 0 3 2 4 2 4 2cos 1 1 3cos sin 1 3cos 1 3cos 1 3cos 2 3 3 3 9 0 2 8 34 1 3cos 2 3 27 27 0 I x x x xdx xd x x                     Cách 4: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 4 Phân tích           2 1 1 3cos sin 2 sin 1 2cos 1 1 3 3 . 1 3cos . 1 3cos 3 3 1 3cos 1 3cos 1 3cos 2 1 1 3cos 1 3cos 1 3cos 9 9 1 3cos x x x x dx d x d x x x x xd x d x x                      … Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé Chú ý: Nếu ta đặt cos t x  thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta lựa chọn cách nào là phù hợp nhất Tổng quát:      dx xdc xbxa cos sin2sin. hoặc .sin 2 s a x bcosx dx c d inx      ta đặt cos c d x t   . Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau 2 0 sin 2 .cos 1 cos x x I dx x     Giải: Cách 1: Ta có 2 2 2 0 0 sin 2 .cos sin .cos 2 1 cos 1 cos x x x x I dx dx x x         Đặt sin 1 cos cos 1 dt xdx t x x t           Đổi cận 1 2 2 0 t x t x               Khi đó   2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ln 2ln2 1 1 2 t t I dt t dt t t t t                          Cách 2:       2 2 2 2 2 0 0 0 22 0 1 cos 1 sin 2 .cos sin .cos 2 2 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 1 cos cos sin ln 1 cos 2ln 2 1 2 1 cos 2 0 x x x x x I dx dx d x x x x x x d x x x x                                            Chú ý:     cos 1 cos d x d x   và ta có thể đặt cos t x  Tổng quát: sin 2 .cos .cos a x x I dx b c x      ta đặt .cos t b c x   hoặc cos t x  Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau 32 0 4sin 1 cos x I dx x     Giải: Ta có        3 3 3 2 4sin 1 cos 4sin 1 cos 4sin 4sin 4sin cos 4sin 2sin 2 1 cos 1 cos 1 cos sin x x x x x x x x x x x x x x            Cách 1: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 5 Khi đó     3 2 2 0 0 4sin 4sin 2sin2 cos2 4cos 2 2 1 cos 0 x I I dx x x dx x x x              Cách 2:     3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4sin 4sin 4sin cos 4 sin 4 cos cos 4cos 2cos 2 2 2 1 cos 0 0 x I dx x x x dx xdx xd x x x x                     Cách 3:   2 3 2 2 0 0 4 1 cos sin 4sin 1 cos 1 cos x x x I dx dx x x          Đặt sin 1 cos cos 1 dt xdx t x x t           Đổi cận 1 2 2 0 t x t x               Khi đó       2 1 2 2 2 1 4 1 1 2 4 8 2 8 2 1 t I dt t dt t t t                  Chú ý: Có thể đặt cos t x  Cách 4: Đặt 2 2 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dt dx x t t x t t x t                  Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 3 4sin 4sin (1 cos )(1 cos ) 4sin 2sin 2 1 cos 1 cos x x x x x x x x        … lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám phá nhé! Tương tự 32 0 4cos 2 1 sin x I dx x      Bài 5: Tính tích phân sau 12 0 tan 4 I xdx    Giải: Cách 1: Ta có 12 12 0 0 sin 4 tan 4 cos4 x xdx dx x      Đặt cos4 4sin 4 sin 4 4 dt t x dt xdx xdx        Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 6 Đổi cận 0 1 1 12 2 x t x t                 Khi đó 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin 4 1 1 1 1 tan 4 ln ln 2. 1 cos4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t x t t              Cách 2:   12 12 12 0 0 0 cos4 sin 4 1 1 1 tan4 ln cos4 ln 2 12 cos4 4 cos4 4 4 0 d x x I xdx dx x x x               Bài 6: Tính tích phân sau 32 4 cos 1 sin x I dx x      Giải:     2 3 22 2 2 2 4 4 4 4 1 sin cos cos cos cos 1 sin cos 1 sin 1 sin 1 sin x x x I dx xdx xdx x xdx x x x                      Đến đây ta đặt 1 sin t x   Hoặc   2 2 2 4 4 4 1 1 3 2 2 2 cos cos sin cos sin 2 sin sin 2 2 4 4 4 I x x x dx xdx xdx x x                          Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: 2 2 2 0 3sin 4cos 3 ln3 6 3sin 4cos x x I dx x x         HD: Tách làm hai tích phân 2 2 2 2 2 2 0 0 sin cos 3 4 3sin 4cos 3sin 4cos x x I dx dx x x x x         kết hợp với công thức 2 2 sin cos 1 x x   ta sẽ được kết quả Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là 2 2 2 0 3cos 4sin 3sin 4cos x x J dx x x      Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau 3 2 0 3 sin .tan ln 2 8 I x xdx      HD: Ta có   2 2 sin sin .tan 1 cos cos x x x x x   và đặt cos t x  Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau 2 0 sin3 1 3ln 2 1 cos x I dx x        Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 7 HD: Ta có   2 32 2 2 0 0 0 sin 4cos 1 sin3 3sin 4sin 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x I dx dx dx x x x               và đặt 1 cos t x   Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau 32 2 0 sin 1 2 1 cos x I dx x        HD: Ta có 3 2 2 2 sin 1 cos sin 1 cos 1 cos x x x x x     và đặt cos t x  Bài 5: Tính tích phân sau 2 2 2 0 sin ln2 sin 2cos .cos 2 x I dx x x x      HD: Ta có   2 2 2 sin 2cos .cos sin cos 1 cos 1 cos 2 x x x x x x x       và đặt 1 cos t x   Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: 2 0 cos2 1 1 cos 2 x I dx x        Bài 7: Tính tích phân: 36 0 sin3 sin 3 1 1 ln2 1 cos3 6 3 x x I dx x         HD: Phân tích   3 2 sin3 sin 3 sin3 1 sin 3 sin3 .cos3 x x x x x x     và đặt 1 cos3 t x   Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: 2 cos 0 sin 2 2 x I e xdx     HD: Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 2sin cos x x x  và đặt cos t x  Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau:   1 4 sin 2 0 tan cos ln 2 1 x I x e x dx e        HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau:   2 sin 0 cos cos 1 4 x I e x xdx e         HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: 2 2 0 sin 2 4 cos x I dx x     Bài 12: Tính tích phân sau: 3 0 2sin2 sin 6cos 2 x x I dx x      HD: Đặt 6cos 2 t x   hoặc 6cos 2 t x   Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 8 Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau:   2 34 4 4 4 0 0 1 cos sin 4sin 4 1 cos 1 cos x x x I dx dx x x          HD: Đặt cos t x  Bài 14: Tính tích phân sau: 2 2 0 cos 4 1 cos x I dx x       HD: Phân tích 2 2 1 cos 2 sin x x    từ đó đặt sin t x  Bài 15: Tính tích phân sau 2 2 0 sin 4 3 2 6ln 4 1 cos x I dx x       HD: Phân tích 2 sin 4 2sin 2 cos2 1 cos2 1 cos 1 2 x x x x x     và đặt 3 cos2 t x   hoặc cos2 t x  Dạng 2: Tính tích phân dạng   sin .cos b a I f x xdx   đặt sin cos u x du xdx    Để tính tích phân dạng .sin 2 .sin .cos a x b x dx c d x    ta đổi biến bằng cách đặt .cos t c d x   Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x I dx x      Giải: Cách 1: Ta có 2 4 4 0 0 1 2sin cos2 1 sin 2 1 sin2 x x I dx dx x x          Đặt 1 sin 2 cos2 2 dt x t xdx     Đổi cận 2 4 1 0 t x t x               Khi đó 2 1 2 1 1 1 ln ln 2 1 2 2 2 dt I t t     Hoặc đặt sin 2 x t  Cách 2:       ' 4 4 4 0 0 0 1 sin 2 cos2 1 1 (1 sin 2 ) 1 1 ln 1 sin2 ln 2 4 1 sin 2 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2 0 x x d x I dx dx x x x x                   Cách 3: Biến đối     2 1– 2sin cos sin cos – sin x x x x x   và   2 1 sin 2 cos sin x x x    Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Changngoc203@gmail.com https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 9   2 4 4 4 0 0 0 cos sin 1 2sin cos sin 1 ln cos sin ln2 4 1 sin 2 cos sin cos sin 2 0 d x x x x x I dx dx x x x x x x x                    Hoặc đặt sin cos t x x   Bài 2: Tính tích phân sau    3 0 2 2cos2 cos  dx x x I Giải: Đặt sin cos t x dt xdx    Đổi cận 0 0 3 3 2 t x x t                 Khi đó        2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 23 2cos2 cos t dt t dt dx x x I  Đặt 3 3 cos sin 2 2 t u dt udu     Đổi cận 0 2 3 2 4 t u t u                    Khi đó   3 2 2 2 4 2 20 4 4 4 3 sin 1 1 1 1 2 2 3 2 3 2 2 4 2 1 cos 2 2 udu dt I du u t u                  Chú ý: Ta có thể dùng một bước đặt là 3 sin cos 2 x u  thì bài toán sẽ nhanh hơn Bài 3: Tính tích phân sau cos3 sin x I dx x   Giải:           2 2 3 2 0 2 4cos 3 4 1 sin 3 cos3 4cos 3cos .cos . sin sin sin sin sin 1 1 4sin sin 4. sin ln sin sin 2 x x x x x I dx dx xdx d x x x x x x d x x x C x                             Hoặc đặt sin t x  Bài 4: Tính tích phân sau 2 2 sin 0 sin 2 x I e xdx    Giải: Đặt 2 sin sin 2 t x dt xdx    [...]... 0 0 Đặt tan x  t sau đó sử dụng tích phân từng phần Bài 16: Tính tích phân sau: I   e tan x  2  3  2e  sin 3xdx   Bài 17: (NN I – B 1998) Tính tích phân sau: I   e 2x 13 0  2 Bài 18: (ĐH Mở - 1997) Tính tích phân sau: I    x 2  1 sin xdx 0  4 Bài 19: (ĐHSPII – 1997) Tính tích phân sau: I   5e x sin 2 xdx 0  2 2 Bài 20: (ĐHKT HN – 1999) Tính tích phân sau: I   esin x sin x.cos... 3  2 Bài 7: Tính tích phân sau I   sin x  cos x  4 1  sin 2 x dx  ln 2 HD: 1  sin 2 x   sin x  cos x  2  sin x  cos x PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC Một số dạng thường gặp Pn  x   Dạng 1: Tính tích phân: I    cos 2  ax  b  dx u  Pn  x   Đặt:  1  dv  cos 2  ax  b  dx  Pn  x   Dạng 2: Tính tích phân: I... 5 Bài 5: (CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005) Tính tích phân sau I   e3 x sin 5 xdx  34 0 1 Bài 6: (ĐHQG HCM – 2000) Tính tích phân sau I   e x sin 2   x  dx  2  e  1 1  4 2 0 HD: Hạ bậc và sử dụng tích phân từng phần  4 Bài 7: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau: I   x  2 cos 2 x  1 dx  0  2 Bài 8: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân sau: I   e2 x sin 3x.dx  0  2 8 3  2 e 13 Bài. .. 2 sin x cos 3 x dx 2 0 1  cos x Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I    6 cos xdx 10  ln 2 9 0 6  5sin x  sin x Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I    2 Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau I   0 cos x 7  cos 2 x dx   6 2  2 cos xdx 2 0 11  7sin x  cos x Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau I    2 Bài 9: Tính tích phân I   6 1  cos 3 x sin x.cos... sin x sin x  2 3cot x  1 dx sin 2 x Bài 2: Tính tích phân sau I    4 HD: Đặt t  3cot x  1 hoặc t  3 cot x  1  4 Bài 3: Tính tích phân sau: I    6 1 2 sin x cot x dx HD: Đặt t  cot x  3 Bài 6: Tính tích phân sau: I   sin   3 2 1 dx x  9 cos 2 x HD: Phân tích sin 2 x  9cos 2 x   9 cot 2 x  1 sin 2 x và đặt t  cot x  2 Bài 7: Tính tích phân sau: I    4 ecot x dx  e  1 đặt... x Bài 21: Tính tích phân sau I   HD:  3  x sin 2 x 1 3 x sin x Ta có I   dx   và đặt 2 2 0 cos3 x 0 sin 2 x.cos x u  x   sin x  dv  cos 3 x   2  1  sin x x e dx  e 2 1  cos x 0 Bài 22: Tính tích phân sau I    2 Bài 23: Tính tích phân sau I    2 x  1 cos 2 xdx  0  4 Bài 24: Tính tích phân sau I    x  1 cos x dx  0  1 2    1  2 4 2   2 1 8 Bài 25: Tính tích. ..  I  0 Bài tập tự giải có hướng dẫn:  4 Bài 1: Tính tích phân sau I   0 4sin x  sin x  cos x   4 HD: Tích phân liên kết của I là J  2 2 dx  3 4cos   sin x  cos x  dx 3 0  3 Bài 2: Tính tích phân sau I   0 sin 2 x sin x  3 cos x  3 HD: Tích phân liên kết của I là J  cos 2 x  sin x  0 3 cos x  2  cos x  sin x  0 HD: Tích phân liên kết của I là J  dx 5cos x  4sin x Bài 3: (ĐHGTVT...  cos 2 x 0 Bài 7: (ĐH VH – D 2001) Tính tích phân sau I   HD:  4 Cách 1: Tích phân liên kết của I là J  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x dx 0 Cách 2: Đặt t  tan x Cách 3: Phân tích sin x cos x  1 1 sin 2 x   sin 2 x  cos 2 x    cos 2 x  sin 2 x    2 2 PHƯƠNG PHÁP CẬN TRUNG GIAN ĐỐI VỚI TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC  Bài 1: (ĐHTL – 1997) Tính tích phân sau I   1  cos 2 xdx 0 Giải:   ... 2 4 16 0 Bài 5: Tính tích phân sau I    6 HD: Tích phân liên kết của I là J  Hoặc phân tích sin 3 x  cos 3 x  sin x  cos x dx 0 1 3 3 3 3   sin x  cos x    sin x  cos x   2  2 sin 2001 x  dx  2001 2001 4 x  cos x 0 sin Bài 6: Tính tích phân sau I    2 HD: Tích phân liên kết của I là J  cos 2001 x  sin 2001 x  cos 2001 x dx 0  4 sin x cos x dx sin 2 x  cos 2 x 0 Bài 7: (ĐH... ln 2 2 4 2  2 Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau I   0 cos x 2 1  cos x dx   4 HD: Phân tích 1  cos 2 x  1  1  sin 2 x  2  sin 2 x và đặt t  2  sin 2 x hoặc t  2  sin 2 x  2 Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: I   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  dx  0 0 HD: 1 Phân tích sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x và đặt t  sin 2 x 2  2 Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I  . https://www.facebook.com/trithuc.viet.37 1 BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Tính tích phân dạng   cos. Bài 14: Tính tích phân sau: 2 2 0 cos 4 1 cos x I dx x       HD: Phân tích 2 2 1 cos 2 sin x x    từ đó đặt sin t x  Bài 15: Tính tích