HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CHƯƠNG 3: MOMENT QUỸ ĐẠO. TRƯỜNG XUYÊN TÂM BÀI 11 MOMENT QUỸ ĐẠO HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Một trong những đại lượng vật lý mang nhiều thông tin quan trọng về chuyển động là MOMENT ĐỘNG LƯỢNG mà ở đây ta sẽ gọi tắt là MOMENT hay MOMENT QUỸ ĐẠO để phân biệt với MOMENT SPIN mà ta sẽ xét ở các chương sau (chú ý rằng từ “quỹ đạo” ở đây không ngụ ý rằng hạt chuyển động trên quỹ đạo xác định). Một trong những đại lượng vật lý mang nhiều thông tin quan trọng về chuyển động là MOMENT ĐỘNG LƯỢNG mà ở đây ta sẽ gọi tắt là MOMENT hay MOMENT QUỸ ĐẠO để phân biệt với MOMENT SPIN mà ta sẽ xét ở các chương sau (chú ý rằng từ “quỹ đạo” ở đây không ngụ ý rằng hạt chuyển động trên quỹ đạo xác định). Đối với đại lượng này cũng có nhiều cách định nghĩa khác nhau; và ở đây, ta cũng sẽ nêu định nghĩa ở dạng đơn giản nhất, như đã làm ban đầu trong Cơ học cổ điển. Đối với đại lượng này cũng có nhiều cách định nghĩa khác nhau; và ở đây, ta cũng sẽ nêu định nghĩa ở dạng đơn giản nhất, như đã làm ban đầu trong Cơ học cổ điển. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Định nghĩa moment quỹ đạo, các hệ thức giao hoán đối với các thành phần của moment quỹ đạo Như đã nói, moment quỹ đạo của hạt là toán tử vector: [ ] prM ˆ ˆ ˆ ×=           ∂ ∂ − ∂ ∂ =−=−=       ∂ ∂ − ∂ ∂ −=−=         ∂ ∂ − ∂ ∂ −=−= x y y xipypxM z x x zipxpzM y z z yipzpyM xyz zxy yzx    ˆˆˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta tìm giao hoán tử của hai thành phần của M ˆ  Ta có: [ ] xyyxyx MMMMMM ˆˆˆˆˆ , ˆ −= yzzzyxzxzyxyzzxz pzpxpypxpzpzpypzpxpzpzpzpxpypzpy ˆ ˆ ˆˆˆˆˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆˆˆ ˆ ˆˆ −++−+−−= ( ) ( ) ( ) ( ) yzzxzxyz pzpypxpzpxpzpzpy ˆ ˆ ˆˆˆˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ −−−−−= HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam [ ] yzzxzyxzyx pzpxpypzpxpzpzpyMM ˆ ˆ ˆˆˆˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ , ˆ −−+= zpxppzxppzypzpyp zyzyzxzx ˆ ˆˆˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆˆ −+−= [ ] [ ] zyzx pzxpzpyp ˆ , ˆ ˆˆ ˆ , ˆˆˆ += [ ] zyx MiMM ˆˆ , ˆ  = ( ) xy pypxi ˆˆˆˆ −=  Viết gọn lại hệ thức này cùng hai hệ thức tương tự, ta có: [ ] [ ] [ ] (11.1)        = = = zyx yxz xzy MiMM MiMM MiMM ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ    HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Các hệ thức trên cho thấy: KHÔNG THỂ CÓ TRẠNG THÁI MÀ HAI THÀNH PHẦN CỦA MOMENT ĐỀU CÓ GIÁ TRỊ CỤ THỂ. Tuy nhiên, mỗi thành phần (và chỉ một thành phần) đều có thể đo được cùng với bình phương moment 2222 zyx MMMM ˆˆˆˆ ++= Thật vậy, ta có: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam [ ] 223223222 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ , ˆ zxyxxxzxyxxxx MMMMMMMMMMMMMMMM −−−++=−= 2222 ˆˆˆˆˆˆˆˆ zxxzyxxy MMMMMMMM −+−= 2222 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ zxzxzzxzxzyxyxyyxyxy MMMMMMMMMMMMMMMMMMMM −+−+−+−= [ ] [ ] [ ] [ ] zxzxzzyxyxyy MMMMMMMMMMMM ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ +++= 0 ˆˆˆˆˆˆˆˆ =++−−= zyyzyzzy MMiMMiMMiMMi  [ ] [ ] [ ] (11.1)        = = = zyx yxz xzy MiMM MiMM MiMM ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ ˆˆ , ˆ    Từ đó suy ra rằng có nhung trạng thái mà 2 M ˆ đo được cùng với x M ˆ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Moment trong toạ độ cầu Trong nhiều bài toán, nhất là các bài toán về chuyển động trong trường đối xứng tâm, tiện lợi hơn cả là ta dùng toạ độ cầu.          = ++ = ++=      = = = x y arctg zyx z zyxr rz ry rx ϕ θ θ ϕθ ϕθ 222 222 arccos cos sinsin cossin r  θ ϕ x y z HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Việc này càng tỏ ra hữu hiệu khi thao tác với toán tử moment. Các công thức cho các thành phần moment trong toạ độ cầu sẽ là: (11.2)            ∂ ∂ −=         ∂ ∂ + ∂ ∂ −=         ∂ ∂ + ∂ ∂ = ϕ ϕ ϕθ θ ϕ ϕ ϕθ θ ϕ    iM giM giM z y x ˆ sincotcos ˆ coscotsin ˆ z M ˆ có thể coi là xung lượng suy rộng ứng với toạ độ ϕ [...]... ∂θ  (11. 5) Bây giờ ta viết lại phương trình (11. 5), nhưng với hàm ẩn là Y(θ, λ ϕ) (sau khi đã rút gọn cho R(r)), và' = l (l + 1)  1 ∂  ∂Y  1 ∂ 2Y  + l (l + 1)Y = 0  sin θ + 2  2 ∂θ  sin θ ∂ϕ   sin θ ∂θ  (11. 10) Y (θ , ϕ ) = Q(θ ) e imϕ Thế (11. 8) vào (11. 10), ta đi đến phương trình cho Q(θ):  1 d   dQ  m2  sin θ  + 2 Q  + l (l + 1)Q = 0  dθ  sin θ   sin θ dθ  (11. 11) (11. 8)... ĐẶT PHI VẬT LÝ Tuy nhiên, các quan sát thực hiện trên những đối tượng vi mô lại cho những kết quả đúng như vậy HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1 0 -1 2 1 0 -1 -2 3 2 1 0 -1 -2 -3 l=1 l=2 l=3 Các giá trị hình chiếu của moment quỹ đạo lên hướng của từ trường H HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str... arcsin x ( -1 < x < 1) Khi đó Q(θ) = Q(arcsinx) = P(x) và phương trinh đối với P(x) sẽ là: ( ) d  dP  m 2 1− x2 (11. 12)   − 1 − x 2 P + l (l + 1) P = 0 dx  dx  Người ta đã chứng minh rằng nghiệm của phương trình này có dạng: P( x ) = Pl m ( x ) = (1 − x ) m 2 2 l +m ( ) d x −1 dx l + m 2l.l! 2 l (11. 13) Và nghiệm của (11. 10) sẽ là: 1 imϕ ~ m Y (θ , ϕ ) = Ylm (θ , ϕ ) = e Pl ( cos θ ) 4π (11. 14) HONG... + 2 −   2 ∂θ  sin θ ∂ϕ    sin θ ∂θ   − i ∂ψ = µψ  ∂ϕ  (11. 4' ) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Phương trInh đầu của (11. 4’) có thể viét lại như sau:  1 ∂  ∂ψ  1 ∂ 2ψ  ' + λψ = 0  sin θ + 2  2 ∂θ  sin θ ∂ϕ   sin θ ∂θ  Từ lý thuyết toán học về các hàm thế ta biết rằng (11. 5) có nghiệm khi và chỉ khi λ' = l (l + 1), với l là số nguyên không... rút gọn phương trình cho thừa số này Vì vậy, hệ (11. 4) trở thành: M 2Y (θ , ϕ ) =  2 l ( l + 1)Y (θ , ϕ )  ˆ  ˆ M z Y (θ , ϕ ) = µY (θ , ϕ )  (11. 6) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Phương trình thứ hai trong (11. 6) chính là: ∂Y (θ , ϕ ) i = µY (θ , ϕ ) ∂ϕ  Nghiệm của nó có dạng: Y (θ , ϕ ) = Q(θ )e i µϕ  (11. 7) Vì hai bộ toạ độ cầu (r, θ, ϕ) và (r, θ, ϕ... không gian nên hàm (11. 7) phải tuần hoàn với chu kỳ 2π, tức là e i µ ( ϕ +2π )  =e i µϕ  ha y: e i µ 2π  =1 HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam µ Điều này xảy ra khi và chỉ khi là số nguyên  ˆ Như vậy, các trị riêng của M zphải có dạng m Do đó, nghiệm của (11. 6) có dạng: Y (θ , ϕ ) = Q(θ ) eimϕ (11. 8) Chú ý rằng giá trị của số nguyên m trong (11. 8) không phải là... UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Điều này hoàn toàn phù hợp với quan điểm của Cơ học giải tích cổ điển Tiếp theo, ta có:  ˆ  ∂ ∂   M x = i  sin ϕ + cot gθ cos ϕ   ∂θ ∂ϕ       ∂ ∂   ˆ  M y = i  − cos ϕ + cot gθ sin ϕ   ∂θ ∂ϕ      ∂ ˆ M z = −i ∂ϕ   2 (11. 2) ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ M 2 = M x + M y + M z2 2 2 ∂ ∂  ∂ ∂  2 2 2 2 ∂ ˆ  −   cos ϕ  − M = −  sin... 2 Chú ý rằng trong (11. 3) ˆ M 2 hoàn toàn không có mặt biến số r HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3 Trị riêng và hàm riêng của bình phương moment và một hình chiếu của nó Ta chỉ có thể tìm các hàm mà vừa là hàm riêng ˆ M2 của ˆ vừa là hàm riêng của một thành phần của nó, ví dụ M z Hệ phương trình để tìm các hàm như vậy là: M 2ψ = λψ  ˆ (11. 4)  ˆ M zψ = µψ... số nguyên không âm ˆ2 Như vậy, phương trình M ψ = λψ có nghiệm khi và chỉ khi λ =  2 l (l + 1) Nói cách khác, M2 chỉ nhận giá trị  2 l (l + 1) (11. 5) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Mặt khác, do các toán tử trong (11. 4’) chỉ tác dụng lên các biến θ và ϕ mà không đụng chạm đến r, nên nghiệm sẽ có dạng ψ=ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y(θ, ϕ) Do tính tuyến tính của phương trình... m Y (θ , ϕ ) = Ylm (θ , ϕ ) = e Pl ( cos θ ) 4π (11. 14) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam trong đó: ~m Pl ( x ) = 2l +1 ( l − m )! P m ( x ) ( l + m )! l (11. 15) Các nghiệm (11. 14) đã được chuẩn hoá: ∫∫π θ ( Ylm θ , ϕ ) 2 sin θdθdϕ = 1 0≤ ≤ 0≤ϕ ≤ 2π ~m Sau đây là biểu thức cụ thể của các hàm Pl ( x ) với l ≤ 3 ~1 P1 ( x ) = ( 3 1− x2 2 ( ) 15 ~2 P2 ( x ) = 1− x2 . của (11. 6) có dạng: ( ) ( ) (11. 8) ϕ θϕθ im eQY =, Chú ý rằng giá trị của số nguyên m trong (11. 8) không phải là tuỳ ý mà phải thoã mãn điều kiện (11. 9). TRƯỜNG XUYÊN TÂM BÀI 11 MOMENT QUỸ ĐẠO HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Một trong những đại lượng vật lý mang