Trang 1/4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn Toán cấp THPT Ngày thi: 17 tháng 01 năm 2013 Câu 1. 1. Tính giá trị biểu thức 1,(02) 1,(7) 5,(25) 4,(46) 5,(4) 1,(05) 12,(1) 16,(4) P        . Đáp án Điểm Nhập biểu thức 2 7 25 46 1 1 5 4 99 9 99 99    vào màn hình, bấm SHIFT STO A. 0.5 Nhập biểu thức 4 5 1 4 5 1 12 16 9 99 9 9    vào màn hình, bấm SHIFT STO B. 0.5 Bấm A  B = ta được 1 2 . 0.5 Kết quả: 1 2 P  1.0 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 2 1 ( ) 1 x f x x x     sao cho F(P) = P + P 2 + + P 10 . (Lấy kết quả chính xác, không lấy kết quả xấp xỉ) Đáp án Điểm 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 x x dx dx dx x x x x x x                    0,5 2 2 1 1 1 ln 1 2 2 x x x x x C                0,5 Ta có 10 2 10 1 1 P P P P P P       Bấm 1 2 SHIFT STO A. Nhập 10 1 - A A 1 - A vào màn hình, bấm dấu = ta được 1023 1024 . (Hoặc dùng phím tính tổng hoặc nhập trực tiếp biểu thức) 0,5 F(x) có dạng: 2 2 1 1 ( ) 1 ln 1 2 2 F x x x x x x C                1 1023 7 1 7 1023 1023 7 1 7 ( ) ln 1 ln 1 2 1024 2 2 2 1024 1024 2 2 2 F C C                        0,5 KQ: 2 2 1 1 1023 7 1 7 ( ) 1 ln 1 ln 1 2 2 1024 2 2 2 F x x x x x x                         0,5 Trang 2/4 Câu 2. Tìm x, biết: 10 9 4 15 3 ! 123235800 0 x x A C x x x       Đáp án Điểm Điều kiện: 4 15 x   0.5 Nhập vào màn hình: X = X + 1 : 15PX – (3X)C10 – X! – X 9 – X 4 – 123235800 Bấm phím CALC. Máy hỏi X?, nhập 3. Bấm phím = liên tiếp 35 lần (đến khi X = 15) thì dừng lại. Ghi lại các giá trị của X làm cho biểu thức vế trái bằng 0 2.5 Kết quả: x = 8. 2.0 Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(4; 6), B(-3; 5) và C(-4; 2). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tính độ dài cung nhỏ » BC của (I). Đáp án Điểm Gọi PT đường tròn (I) là 2 2 2 2 0 x y ax by c      Vì , , ( ) A B C I  nên ta có: 8 12 52 6 10 34 8 4 20 a b c a b c a b c                    Sử dụng chức năng giải hệ phương trình của MTCT ta được a = -1; b = -2; c = -20. Từ đó tìm được I(1; 2) và R = 5. 2.0 · · » ( 7; 1); ( 8; 4). . 3 cos 0.32175 rad 0.6435 rad 10 .             uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC AB AC BAC BAC BC AB AC 1.5 » 0.6435. 3.2175   BC l R 0.5 Kết quả: 3.21750 1.0 Câu 4. Tìm 20 chữ số liên tiếp kể từ chữ số thứ 1701 2013 sau dấu phẩy trong biểu diễn dưới dạng số thập phân của phân số 1 23 . Đáp án Điểm Chọn LineIO. Bấm 1  23 = được 0.04347826087 Bấm 1 – 0.0434782608  23 SHIFT STO A Bấm ALPHA A  23 = được 6.956521739  10 -11 Bấm ALPHA A – 23  6.95652173  10 -11 SHIFT STO B Bấm ALPHA B  23 = được 9.130434783  10 -20 Bấm ALPHA B – 23  9.13043478  10 -20 SHIFT STO A 2.0 Trang 3/4 Bấm ALPHA A  23 = được 2.608695652  10 -29 Bấm ALPHA A – 23  2.60869565  10 -29 SHIFT STO B Bấm ALPHA B  23 = được 2.17391 3043  10 -38 Vậy 1 0.(0434782608695652173913) 23  là một số thập phân vô hạn toàn hoàn với chu kì có độ dài bằng 22. Ta có 1701  7 mod 22; 7 10  1 mod 22 Suy ra 1701 10  1 mod 22  1701 2013 = 1701 2010 .1701 3  1701 3 mod 22  13 mod 22. Vậy chữ số thứ 1701 2013 sau dấu phẩy trong biểu diễn dưới dạng số thập phân của phân số 1 23 là chữ số thứ 13 trong chu kì. Từ đó suy ra 20 chữ số liên tiếp kể từ chữ số thứ 1701 2013 sau dấu phẩy trong biểu diễn dưới dạng số thập phân của phân số 1 23 . 2.0 5 6 5 2 1 7 3 9 1 3 0 4 3 4 7 8 2 6 0 8 1.0 Câu 5. Peter là một tình nguyện viên quốc tế làm việc cho một tổ chức phi chính phủ đang hoạt động tại Việt Nam. Tết Nguyên Đán Quý Tỵ năm nay, anh quyết định dành 9 ngày nghỉ lễ để đi du lịch tại tỉnh Ninh Bình. Anh lên kế hoạch chi tiêu cho chuyến du lịch của mình như sau: Ngày đầu tiên, anh sẽ tiêu 1 10 số tiền mình có. Ngày thứ hai, anh sẽ tiêu 1 9 số tiền còn lại sau ngày thứ nhất. Ngày thứ ba, anh sẽ tiêu 1 8 số tiền còn lại sau ngày thứ hai Cứ như vậy, ngày thứ 9 anh sẽ tiêu 1 2 số tiền còn lại sau ngày thứ tám. 1. Lập quy trình bấm phím liên tục để tính tổng số tiền Peter đã tiêu hết sau ngày thứ n ( * , 1 9 n n    ¥ ) so với số tiền ban đầu. Đáp án Điểm Quy trình bấm phím liên tục: - Nhập vào màn hình X = X + 1 : A = 1 B 11 - X : B = B – A: C = C + A - Bấm phím CALC, máy hỏi X? nhập 0, máy hỏi B? nhập 1, máy hỏi C? nhập 0, bấm phím = liên tiếp để đạt được giá trị cần tìm. - Trong đó: X là số thứ tự ngày; A là số tiền đã tiêu trong ngày thứ X so với số tiền ban đầu, B là số tiền còn lại sau ngày thứ X so với số tiền ban đầu, C là tổng số tiền đã tiêu hết sau ngày thứ X so với số tiền ban đầu. 3.0 2. Từ kết quả thu được bằng việc tính toán trên máy tính cầm tay, hãy nêu công thức tính tổng số tiền mà Peter đã tiêu hết sau ngày thứ n ( * , 1 9 n n    ¥ ) so với số tiền ban đầu và giải thích tại sao lại có công thức đó. Trang 4/4 Đáp án Điểm Qua việc tính toán trên MTCT ta thấy số tiền tiêu hết trong một ngày luôn bằng 1 10 số tiền ban đầu. Suy ra tổng số tiền mà Peter đã tiêu hết sau n ngày là 10 n số tiền ban đầu. 2.0 Câu 6. Trong đại số tổ hợp có một bài toán mang tên ‘bài toán chia kẹo của Euler’. Nội dung của bài toán như sau: ‘Có n chiếc kẹo giống nhau chia cho m em bé. Khi đó có tất cả 1 1 m n m C    cách chia kẹo’. Áp dụng kết quả của bài toán trên, em hãy giải bài toán sau: Cho tập A = {1, 2, 3, , 18} gồm 18 số nguyên dương đầu tiên. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 số trong tập A thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: - Với hai số bất kì trong 5 số đó khi lấy số lớn hơn trừ đi số nhỏ hơn ta được kết quả là một số không nhỏ hơn 2. - Lấy số lớn nhất trong 5 số đó trừ đi số lớn thứ hai trong 5 số đó ta được kết quả là một số không lớn hơn 4. Đáp án Điểm Số cách chia kẹo chính là số nghiệm nguyên không âm của PT: * 1 2 ( , ) m x x x n m n     ¥ Sắp xếp 18 số nguyên dương đầu tiên thành một hàng theo thứ tự tăng dần. Nếu một số được chọn thì đặt chữ cái Y dưới số đó, nếu không chọn thì đặt chữ cái N dưới số đó. Gọi x 1 là số lượng chữ cái N đứng trước chữ cái Y đầu tiên, x 2 là số lượng chữ cái N đứng giữa chữ cái Y thứ nhất và thứ hai, …, x 5 là số lượng chữ cái N đứng giữa chữ cái Y thứ tư và thứ năm, x 6 là số lượng chữ cái N đứng sau chữ cái Y thứ năm. Khi đó có một tương ứng một – một giữa những cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán với những nghiệm nguyên của PT: 1 2 6 13 x x x     với 1 6 2 3 4 5 5 0; 0; , , , 1; 3 x x x x x x x     (*) Đặt 2 2 3 3 4 4 5 5 1; 1; 1; 1 y x y x y x y x         . Khi đó số nghiệm nguyên của (*) bằng số nghiệm nguyên không âm của PT: 1 2 3 5 6 17 x y y y x       với 5 2 y  (**) Ta lần lượt cho y 5 nhận các giá trị 0; 1; 2 và áp dụng kết quả bài toán chia kẹo của Euler ta thu được số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 4 4 21 20 19 C C C   4.0 Kết quả: 14706 1.0 ……… Hết……… . 1/4 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn Toán cấp THPT. ban đầu. 3.0 2. Từ kết quả thu được bằng việc tính toán trên máy tính cầm tay, hãy nêu công thức tính tổng số tiền mà Peter đã tiêu hết sau ngày thứ