ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Lại Thị Quỳnh Nguyên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Một số hệ thức lượng giác 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác 1.2 Đẳng thức lượng giác đồng thức đại số 1.3 Một số tính chất đa thức lượng giác 4 12 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác 2.1 Phương trình lượng giác đưa dạng phương trình đại số 2.2 Phương trình lượng giác giải so sánh ước lượng 2.3 Bất phương trình lượng giác 2.4 Các bất phương trình lượng giác hữu tỉ 2.5 Các bất phương trình lượng giác có chứa tham số 20 20 29 32 34 35 Một số ứng dụng lượng giác đại số 39 3.1 Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức 39 3.2 Sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức 42 3.3 Sử dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số 46 3.4 Sử dụng lượng giác toán cực trị 65 3.5 Sử dụng lượng giác toán dãy số 71 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lượng giác chuyên đề quan trọng chương trình tốn phổ thơng Các toán lượng giác thường xuyên xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Việc giảng dạy lượng giác đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học phổ thơng, phần kiến thức phương trình, bất phương trình lượng giác chiếm vai trò trọng tâm Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp chương trình phổ thơng, khơng nêu đầy đủ chi tiết tất dạng toán phương trình, bất phương trình lượng giác Vì học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tốn nâng cao phương trình, bất phương trình lượng giác đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo lượng giác với nội dung khác nhau, chưa có chuyên đề riêng khảo sát phương trình bất phương trình cách hệ thống Đặc biệt, nhiều dạng toán đại số lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít với nhau, khơng thể tách rời Nhiều toán lượng giác cần có trợ giúp đại số, giải tích ngược lại, ta dùng lượng giác để giải số tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số thơng qua cách đặt ẩn phụ hàm lượng giác Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục, luận văn "Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác" nhằm hệ thống kiến thức lượng giác phương trình, bất phương trình lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương pháp giải phương trình, bất phương trình lượng giác xây dựng số lớp toán Luận văn chia làm chương Chương Một số hệ thức lượng giác - Nhắc lại số tính chất hàm số lượng giác bản: tính chất tuần Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hoàn, phản tuần hoàn - Nêu số đẳng thức lượng giác đồng thức đại số tương ứng - Nêu định nghĩa số tính chất đa thức lượng giác Chương Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác - Phân loại phương pháp giải số dạng phương trình bất phương trình lượng giác - Những ví dụ minh họa cho phương pháp - Một số tập ứng dụng Chương Một số ứng dụng lượng giác đại số - Trình bày ứng dụng lượng giác số dạng toán đại số - Nêu ví dụ minh họa dạng toán - Một số tập ứng dụng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Giáo sư - TSKH Nguyễn Văn Mậu, người thầy trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu truyền đạt kinh nghiệm nghiên cứu cho Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên 2011 Lại Thị Quỳnh Nguyên Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số hệ thức lượng giác 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác 1.1.1 Tính tuần hồn, phản tuần hoàn Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R, tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.1 (xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ T (T > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± T ∈ M f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.2 (xem [1]) Cho f (x) hàm tuần hồn M Khi số T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hồn với chu kỳ bé T Định nghĩa 1.3 (xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hồn (cộng tính) chu kỳ T (T > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± T ∈ M f (x + T ) = −f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.4 (xem [1]) Cho f (x) hàm phản tuần hồn M Khi số T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) hàm phản tuần hồn với chu kỳ T mà khơng hàm phản tuần hoàn với chu kỳ bé T M Ví dụ 1.1 Chứng minh 2π chu kỳ sở hàm số f (x) = cos x Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Tập xác định hàm số f (x) D(f ) = R Khi ∀x ∈ R ⇒ x ± 2π ∈ R f (x + 2π) = cos(x + 2π) = cos x = f (x) Suy f (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π R Giả sử tồn < T1 < 2π cho f (x + T1 ) = f (x) ⇔ cos(x + T1 ) = cos x Chọn x = ta có cos T1 = cos = (Mâu thuẫn với giả thiết < T1 < 2π) Vậy, 2π chu kỳ sở hàm số f (x) = cos x Ví dụ 1.2 (IMO - 1968) Cho số thực a hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện (1.1) f (x + a) = + f (x) − (f (x))2 , ∀x ∈ R Chứng minh f hàm số tuần hoàn Giải Giả sử tồn hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu Để (1.1) có nghĩa, ta phải có ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ R 1 Đặt g(x) := f (x) − , ta có ≤ g(x) ≤ (1.1) trở thành 2 − (g(x))2 g(x + a) = Như vậy, ta có [g(x + a)]2 = − [g(x)]2 Lập luận tương tự ta [g(x + 2a)]2 = − [g(x + a)]2 Vì g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R, nên từ ta có: g(x + 2a) = g(x), tức ta có f (x + 2a) = f (x) Vậy, f (x) hàm tuần hoàn R với chu kỳ 2a Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Hàm tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.5 (xem [1]) Hàm f (x) gọi hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ a, < a ∈ {0, 1} M M ⊂ D(f ) / ∀x ∈ M f (ax) ⇒ a±1 x ∈ M = f (x), ∀x ∈ M Ví dụ 1.3 Xét f (x) = sin (2π log2 x) Khi f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ Thật vậy, ta có: Với x ∈ R+ 2±1 x ∈ R+ f (2x) = sin [2π log2 (2x)] = sin [2π (1 + log2 x)] = sin (2π + 2π log2 x) = sin (2π log2 x) = f (x), ∀x ∈ R+ Ví dụ 1.4 Cho ví dụ hàm số liên tục tuần hồn nhân tính chu kỳ f (5x) = f (x), ∀x > Giải Ta có ∀x ∈ R∗ ⇒ 5±1 x ∈ R∗ + + log5 (5x) = + log5 x ⇔ π log5 (5x) = π + π log5 x Đặt f (x) = tan [π log5 x] , ∀x > 0, suy f (5x) = tan [π log5 (5x)] = tan [π + π log5 x] = tan [π log5 x] = f (x) Vậy, hàm số f (x) = tan (π log5 x) hàm số tuần hoàn nhân tính chu kỳ R∗ + 1.2 Đẳng thức lượng giác đồng thức đại số Ta thấy đẳng thức lượng giác để dẫn đến phong phú hệ thống đồng thức lượng giác công thức sin2 t + cos2 t = 1, ∀t ∈ R (1.2) Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Gắn với hệ thức (1.2) đồng thức Lagrange (2x)2 + (1 − x2 )2 = (1 + x2 )2 , ∀x ∈ R (1.3) Hai đồng thức (1.2) (1.3) hai cách viết hệ thức Như với công thức lượng giác có đồng thức tương ứng 1.2.1 Đồng thức đại số liên quan đến hàm số cosin Ta có cơng thức Euler eiα = cos α + i sin α, α ∈ R Khi  iα −iα  cos α = e + e eiα − e−iα  sin α = 2i α −α e +e · Từ suy cos(iα) = 1 Như hàm số cos t biểu thức có dạng a+ , cho nên, mặt hình a thức ta có nhiều biến đổi thu từ công thức liên quan đến biến x ∈ [−1; 1] giống công thức hàm số cos t / Ví dụ 1.5 Đồng thức đại số ứng với công thức cos 2t = cos2 t − cơng thức 1 a2 + 2 a 1 =2 a+ a − Ví dụ 1.6 Đồng thức đại số ứng với công thức cos 3t = cos3 t − cos t cơng thức 1 a3 + a 1 =4 a+ a −3 1 a+ a · Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hay 4x3 − 3x = với x= 1 a3 + a 1 a+ , a = a Ví dụ 1.7 Đồng thức đại số ứng với công thức cos 5t + cos t = cos 3t cos 2t cơng thức 1 a5 + a + 1 a+ a 1 a3 + a =2 1 a2 + 2 a Từ sử dụng kết khai triển hàm lượng giác cos 3t cos 2t ta thu đồng thức đại số sau 1 a5 + a = −m + 2(4m3 − 3m)(2m2 − 1), m= 1 a+ a Ví dụ 1.8 Cho số thực m với |m| > Tính giá trị biểu thức M = 8x3 − 6x, x= m+ m2 − + m− m2 − Giải Vì |m| > nên tồn số thực q để có hệ thức m= q + q Chọn q= m+ m2 − ta 1 q+ q = m+ m2 − + m− m2 − = x Theo ví dụ 1.6 4x3 − 3x = m nên M = 2m Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2.2 Đồng thức đại số liên quan đến hàm số sin Từ công thức Euler ta thu hệ thức i sin t = eit + e−it · Suy biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực Điều gợi ý cho ta cách chuyển đổi đồng thức hàm số sin sang đồng thức đại số Ví dụ 1.9 Xét cơng thức khai triển sin 3t = sin t − sin3 t Từ ta thu công thức i sin(3it) = 3(i sin it) + 4(i sin it)3 Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức 1 a3 − a 1 =3 a− a 1 +4 a− a , hay 4x3 + 3x = với x= 1 a3 − a , 1 a− , a = a Ví dụ 1.10 Xét công thức biến đổi sin 5t + sin t = sin 3t(1 − sin2 t) (1.4) Từ ta thu công thức i sin(5it) + i sin it = 2i sin(i3t)(1 + 2(i sin it)2 ) Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức 1 a5 − a 1 + a− a 1 =2 a3 − a 1+ 1 a2 − 2 a Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ·  x −    x  4) y −  y    z − z 3.4 = 2y = 2z = 2x Sử dụng lượng giác toán cực trị Thường gặp việc giải toán với hàm nhiều ẩn dạng "Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số u = f (x, y) biết x2 + y = 1." x = cos t , t ∈ [0, 2π) Khi ta lựa chọn việc đặt y = sin t Các bước thực hiện: • Lượng giác hóa hàm số • Thực tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác • Kết luận Ví dụ 3.27 (Đề thi Tuyển sinh ĐH, CĐ - 2008B) Cho x, y hai số thực thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 2(x2 + 6xy) P = · + 2xy + 2y Giải Vì x2 + y = nên đặt x = sin t, y = cos t, t ∈ [0, 2π) Khi sin2 t + sin t cos t − cos 2t + sin 2t P = = · + sin t cos t + cos2 t cos 2t + sin 2t + Gọi y0 giá trị tùy ý P Điều có nghĩa phương trình sau (ẩn t) có nghiệm − cos 2t + sin 2t = y0 cos 2t + sin 2t + ⇔ (6 − y0 ) sin 2t − (y0 + 1) cos 2t = 2y0 − (3.32) Vì (3.32) có nghiệm nên ta phải có: (6 − y0 )2 + (y0 + 1)2 ≥ (2y0 − 1)2 65 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ⇔ y0 + 3y0 − 18 ≥ ⇔ −6 ≤ y0 ≤ Vậy: max P = P = −6 Ví dụ 3.28 Cho x2 + y = Tìm giá trị lớn biểu thức √ A = x + y + y + x Giải Vì x2 + y = nên đặt x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π) Khi ta có √ √ A = cos t + sin t + sin t + cos t Suy √ √ A2 = cos t + sin t + sin t + cos t ≤ cos2 t + sin2 t (1 + sin t + + cos t) √ √ π ⇒ A ≤ + ⇔ A2 ≤ + sin t + cos t = + sin t + √ √  + sin t + cos t  √ = π cos t π sin t Ta có: A = + ⇔ ⇔t= sin t +  =1 (vì ≤ t < 2π ), √ √ 2 tức sin t = cos t = hay x = y = · √2 √ Vậy: max A = + ⇔ x = y = · Ví dụ 3.29 Xét số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b Tìm giá trị lớn biểu thức P = − + · a2 + b + c + Giải Ta có abc + a + c = b ⇔ a + c = b(1 − ac) Nếu ac = a + c = ⇔ a = −c ⇒ a2 = −1 (vô lý) Vậy, ac = a+c Khi ta có b = − ac 66 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặt a = tan α, c = tan β ⇒ b = tan(α + β), với α, β, γ > α + β < π · Khi 2 − + tan2 α + tan2 β + tan2 γ + = cos2 α − cos2 (α + β) + cos2 β P = = cos 2α + − cos[2(α + β)] − + cos2 β = sin β sin(2α + β) + 3(1 − sin2 β) 10 = − sin β − sin (2α + β) 3 10 cos2 (2α + β) ≤ · 3  π 2α + β = sin β = sin(2α + β) Dấu "=" xảy ⇔ ⇒ sin β = cos(2α + β) = √ √ √ 2 2 ⇒ tan β = ⇒c= · Vì sin β = nên cos β = 3 4 √ √ π tan α Lại có tan 2α = tan − β = cot β = 2 ⇒ =2 2 − tan2 α √ √ √ 2 π ⇒ tan α = ⇒a= ; b = tan(α + β) = tan − α = cot α = 2 2 √ √ √ 10 2 Vậy: max P = a = , b = 2, c = · − Ví dụ 3.30 Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2006ac + ab + bc = 2006 Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2 − + · a2 + b + 20062 c + Giải Từ giả thiết suy ac + ab bc + = 1· 2006 2006 Vì a, b, c > nên tồn A, B, C ∈ (0, π) cho A + B + C = π Và vì: A B B C C A ab bc tan tan + tan tan + tan tan = = ac + + 2 2 2 2006 2006 67 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A b B C , = , c= ta có 2006 2 2 + P = − A C tan2 + tan2 + B 2 tan2 + B A = cos2 − sin2 + cos2 C2 2 C = cos A + cos B + − sin2 C A−B C +3 = −3 sin2 + sin cos 2 2 C A−B A − B 10 10 = −3 sin − cos − sin2 + ≤ · 3 3  A−B  C sin A =B = cos C Dấu "=" xảy ⇔ ⇔ sin A − B = = sin  √ √ C C 2 C Vì sin = nên cos = ⇒ tan = = c 3 A tan √ π C C = 2√2 Mặt khác: tan A = tan − = cot = 2 ⇔ A 2 − tan2 √ √ A B ⇒ tan = = a ⇒ b = 2006 tan = 1003 2 2 √ √ √ 10 2 Vậy max P = a = , b = 1003 2, c = · nên đặt a = Ví dụ 3.31 Trong nghiệm (x, y) bất phương trình x2 + y (x + y) ≥ (3.33) Hãy tìm nghiệm cho (x + y) đạt giá trị lớn Giải Ta xét hai trường hợp • Nếu x2 + y > ta có (3.33) ⇔ x + y > x2 + y 68 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x− ⇔ Mặt khác x− 2 + y− √ + y− 2 = ≤ · (3.34) phương trình đường trịn 1 , · Vì tập hợp điểm M (x; y) , bán kính R = 2 1 , , nghiệm bất phương trình x+y ≥ x2 +y hình trịn tâm I 2 √ bán kính R = ·   x − = r cos ϕ , với r ≥ ≤ ϕ ≤ 2π Đặt y − = r sin ϕ  Khi (3.34) trở thành: r ≤ ≤ ϕ ≤ 2π, √ π đồng thời x + y = + r(cos ϕ + sin ϕ) = + r sin ϕ + √ suy x + y ≤ + √ = 2 Ta có  r  =√ x+y =2⇔ sin ϕ + π  =1  r = √  ⇔ x =1 ⇔ y =1 ϕ = π  tâm I • Nếu < x2 + y < (3.33) ⇔ < x + y ≤ x2 + y Rõ ràng với cặp (x, y) thỏa mãn điều kiện ta có x + y ≤ x2 + y ≤ Vậy max(x + y) = x = 1, y = Ví dụ 3.32 Trong tất nghiệm hệ  x2 + y = 16 z + t2 = xt + yz ≥ 12 (∗) 69 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tìm nghiệm (x, y, z, t) cho (x + z) đạt giá trị lớn Giải Theo ta có  y  x  + =1    t z + =1   3   xt + yz ≥ 12 z x   = cos β = cos α , với ≤ α ≤ 2π , với ≤ β ≤ 2π Đặt y  t = sin β  = sin α Khi (*) trở thành cos α sin β + sin α cos β ≥ ⇔ sin(α + β) ≥ π suy sin(α + β) = ⇔ α + β = · Ta có |x + z| = |4 cos α + cos β| = |4 cos α + sin α| = |5 sin(ϕ + α)| ≤ 5, với sin ϕ = , cos ϕ = · 5 π π Từ z + x = sin(ϕ + α) = ⇒ ϕ + α = ⇔ α = − ϕ 2 16 12 ⇒ x = cos α = sin ϕ = , y = sin α = cos ϕ = , 5 12 z = cos β = cos ϕ = , t = sin β = sin ϕ = · 5 16 12 12 Vậy max(x + z) = x = , y = , z = , t = · 5 5 Bài tập tương tự √ Bài 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số u = 2x + 3y + với 4x2 + 9y = 16 Bài 2: Giả sử x, y số thay đổi thỏa mãn x > 0, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức y x +√ · P =√ 1−y 1−x Bài 3: Cho x, y, z số dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị lớn biểu thức A = x(1 − y )(1 − z ) + y(1 − z )(1 − x2 ) + z(1 − x2 )(1 − y ) 70 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài 4: Cho số thực a, b, c dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2abc = Tính giá trị nhỏ biểu thức T = 3.5 1 + + − (a2 + b2 + c2 )· 2 1−a 1−b 1−c Sử dụng lượng giác toán dãy số Lượng giác đóng vai trị quan trọng tốn dãy số, khơng dạng tốn khó mà là phương pháp giải Phương pháp ta đề cập đến phần phương pháp lượng giác hóa tốn Phương pháp khơng có sở hay định lý rõ ràng mà cần nhiều khéo léo tất kiến thức giải tích lượng giác Do thơng qua tốn tìm lối riêng cho thân Ví dụ 3.33 Cho hai dãy số {an }, {bn } sau: với a < b cho trước, a1 = √ a+b ; b1 = aa1 a1 + b1 ; b2 = a2 b1 ··· an−1 + bn−1 an = ; bn = an bn−1 a2 = Tìm lim bn n→∞ Tìm lim an n→∞ Giải Đặt cos α =  a1 Ta có b1 a π , 0 0, ∀n ∈ Z+ √ Thật vậy: u1 > 0, u2 > Giả sử uk > 0, ∀k ≥ Ta có uk+1 Vậy: un > 0, ∀n ∈ Z+ Ta lại có: √ e √ Giả sử un = ecos Ta có nπ √ =e uk = > uk−1 π = ecos , π e = e = esin · , ∀n ∈ Z+ √ √ nπ (n+1)π e cos un = un+1 = = ecos (n−1)π un−1 ecos nπ Vậy un = ecos , ∀n ∈ Z+ nπ Ta lại có: ≤ ecos ≤ e hàm đồng biến R Suy điều phải chứng e minh b Ta có: π 2π nπ √ = n u1 u2 un = e n (cos +cos +···+cos ) (2n+1)π π −sin 12 ) π sin 12 2n sin 12 ( =e · ⇔ = e π n sin 12 cos (n+1)π sin nπ 12 12 · (n + 1)π nπ sin 12 12 ≤ Mặt khác ta lại có: ≤ π π π· n sin n sin n sin 12 12 12 −1 Mà: lim lim π = n→∞ π = n→∞ n sin n sin 12 12 Vậy lim = e0 = −1 cos n→∞ 75 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 3.37 (Đề thi HSG Quốc Gia - 1990) Cho dãy số {xn }, n ∈ N, |x1 | < xác định hệ thức xn+1 = − 3x2 n −xn + a Cần có thêm điều kiện x1 để dãy số toàn dương ? b Dãy số có tuần hồn khơng? Tại sao? Giải a Để xn > 0, trước hết ta phải có x1 > x2 > Nhưng x2 > tức − 3x2 > x1 ⇔ x2 < · 1 √ · Suy ra: < x1 < √ π cho sin α = x1 Khi Ngược lại, < x1 < tồn α ∈ 0, √ π π π x2 = cos α − sin α = sin −α , 0< −α< · 2 3 √ π π Ta lại có: x3 = cos − α − sin − α = sin α 3 Từ suy ra: x1 = x3 = · ·√= sin α > · Vậy điều kiện < x1 < · b Xét hai trường hợp x1 : • Trường hợp x1 > : - Nếu x2 ≥ tương tự phần a) ta có: x3 ≥ 0, x4 ≥ x1 = x3 = ; x2 = x4 = - Nếu x2 < x3 > có x3 = x1 Thật vậy: x2 = − 3x2 −x1 + ⇔ − 3x2 = 2x2 + x1 ⇒ − 3x2 = (2x1 + x2 )2 Do (3.37) ta có 2x1 + x2 > Suy ra: 2x1 + x2 = x1 + (x1 + x2 ) > x1 − x2 > (x1 ≥ 0, x2 < 0) 76 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.37) (3.38) − 3x2 −x2 + Vì từ (3.38) ta có: x1 = Tương tự x2 = x4 = Vậy ta có {xn } dãy tuần hồn = x3 • Trường hợp x1 < : Khi x2 > theo trường hợp suy {xn } kể từ số hạng thứ trở dãy tuần hồn 77 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Mục tiêu luận văn "Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác" nhằm hệ thống kiến thức lượng giác phương trình, bất phương trình lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương pháp giải phương trình, bất phương trình lượng giác xây dựng số lớp toán Luận văn đạt số kết sau: Khảo sát tính tuần hồn phản tuần hồn (cộng tính nhân tính) hàm số lượng giác trình bày ví dụ tập minh họa Hệ thống số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác thường gặp Đưa số cách xây dựng phương trình đa thức bậc cao, phương trình vơ tỉ giải dựa vào hệ thức phương trình lượng giác Phần cuối luận văn, tác giả đưa số dạng toán đại số giải tích giải phương pháp lượng giác hóa minh họa số tập tiêu biểu lựa chọn từ đề thi Olimpic toán khu vực Quốc tế Mỗi tập có hướng dẫn cách giải Mặc dù cố gắng nghiêm túc trình học tập nghiên cứu khoa học thời gian khả có hạn, chắn luận văn cịn có thiếu sót Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q thầy giáo, giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện 78 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1995, Phương trình hàmNXB GD [2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn, 2008, Chuyên đề chọn lọc: Lượng giác áp dụng [3] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc, 2003, Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB GD [4] Nguyễn Văn Mậu, 2007, Các toán nội suy áp dụng, NXB GD [5] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [6] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng, 2008, Lượng giác, NXB GD [7] Phan Huy Khải, 2009, Lượng giác, NXB GD 79 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác 2.1 Phương trình lượng giác đưa dạng phương trình đại số 2.2 Phương trình lượng giác giải so sánh ước lượng 2.3 Bất phương trình lượng. .. dạy, học tập góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục, luận văn "Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác" nhằm hệ thống kiến thức lượng giác phương trình, bất phương trình lượng. .. dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Phương pháp chung Khi giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số, nhiều ta gặp phải phương trình, bất