Tiểu luận Rèn luyện lực giải toán cho học sinh THCS thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán 1 Đặt vấn đề: trường phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh, xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Dạy học giải tốn có vai trị đặc biệt dạy học Tốn trường phổ thơng Các tốn phương tiện có hiệu thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư hình thành kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học tốn Do đó, tổ chức có hiệu việc dạy học giải tốn co vai trị định chất lượng dạy học Toán Tuy nhiên, thực tiễn trường phổ thông cho thấy chất lượng dạy học Tốn cịn chưa tốt, thể lực giải tốn học sinh cịn hạn chế học sinh vi phạm nhiều sai lầm kiến thức, phương pháp tốn học Trong đó, ngun nhân quan trọng giáo viên chưa ý cách mức việc phát hiện, tìm nguyên nhân sửa chữa sai lầm cho học sinh học Tốn để từ có nhu cầu nhận thức sai lầm, tìm nguyên nhân biện pháp hạn chế, sửa chữa kịp thời sai lầm này, nhằm rèn luyện lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu dạy học tốn trường phổ thơng Với lí đó, qua việc quản lý giảng dạy, chúng tơi đề cập tới “Rèn luyện lực giải tốn cho học sinh thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải toán”, nhằm nghiên cứu sai lầm phổ biến học sinh phổ thơng giải tốn, đồng thời đề xuất biện pháp sư phạm để hạn chế sửa chữa sai lầm nhằm rèn luyện lực giải tốn cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường phổ thơng Việc sửa chữa sai lầm hoạt động quan trọng, G.Polia cho rằng: “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình, A.A.Stoliar phát biểu: “Khơng tiếc thời gian để phân tích học sai lầm học sinh”, cịn theo J.A.Komenxkee thì: “Bất kỳ sai lầm làm cho học sinh giáo viên không ý đến sai lầm đó, hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa, khắc phục sai lầm” Nguyên tắc sửa chữa sai lầm cho học sinh giải tốn cần phải tạo động học tập sửa chữa sai lầm Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm nhu cầu cần phải tham gia chủ thể cách tự nguyện, say mê, hào hứng Tạo cho học sinh có động hoàn thiện tri thức Cần lấy hoạt động học tập học sinh để làm sở cho trình lĩnh hội tri thức Hơn nguyên tắc phải tập trung vào phong trào hoạt động, rèn luyện kỹ học tập học sinh Việc sử dụng biện pháp sư phạm nhằm hạn chế sửa chữa sai lầm học sinh giải tốn, giáo viên cần phải lưu ý, có phương châm là: tính kịp thời, tính xác tính giáo dục Ba phương châm hỗ trợ, bổ sung cho làm cho biện pháp thực mục đích kết Nội dung: 2.1 Những sai lầm thường gặp giải toán đại số: Khi xem xét sai lầm học sinh, xếp theo chủ đề kiến thức từ phương diện hoạt động toán học Trong viết này, đề cập tới sai lầm chủ yếu học sinh giải toán, theo số chủ đề kiến thức tìm nguyên nhân cách khắc phục sai lầm học sinh 2.1.1 Sai lầm biến đổi biểu thức: Những sai lầm biến đổi biểu thức thường mắc sử dụng đẳng thức khơng phải đẳng thức, “á đẳng” với điều kiện Đơi sai lầm xuất hiểu nhầm công thức Thí dụ 1: Rút gọn: P = (1  x)2  (1  x)2 Lời giải sai lầm: ? Ta có: P = + x + – x = Phân tích sai lầm: ! Nhớ rằng: a = a với a ≥ Do phải sử dụng đẳng thức a  a Lời giải là: P = 1 x  1 x 2x x >1 P = -1 ≤ x ≤ -2x x < -1 Thí dụ 2: Rút gọn: Q = x x   x3  x ? Ta có: Q = x ( x  2)  x  x = x3  x  x  x  ! Có thể thay x = -1 vào biểu thức Q thay Q = (-1) ( 1)   (1)3  2(1)2  1   2 Chứng tỏ kết rút gọn sai ! Vì sao? HS nên nhớ chi có a b  a 2b a ≥ Lời giải x ≥ 2.1.2 Sai lầm giải phương trình, bất phương trình: Những sai lầm giải phương trình thường mắc HS vi phạm quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình tương đương Đặt thừa hay thiếu điều kiện dẫn đến sai lầm, chí sai đến mức khơng giải nữa! Một số sai lầm hậu việc biến đổi công thức không đúng, mục 2.1 Thí dụ 2: Giải phương trình:  x  3x   x   ? Điều kiện thức có nghĩa:  x3  x    x 1   x  1  x       x  1    x3  3x     x  1 x      x  1  x  2    x  1 Vậy không tồn giá trị x để hai thức đồng thời có nghĩa nên phương trình vơ nghiệm ! Có thể với x = hai thức có nghĩa x = nghiệm phương trình HS sai giải bất phương trình (x – 1)2(x + 2) ≤  x + ≤ Thí dụ 3: Giải phương trình: x2 1  x   x  ? Điều kiện để thức có nghĩa:  x2    x 1   ( x  1)( x  1)    x 1  x 1   x 1  x     x  1  x 1 Khi phương trình có dạng: ( x  1)( x  1)  x   x  Vì x ≥ nên x   , chia hai vế cho Vì với x ≥ x   x  nên x  ta có: x  1  x  x 1   x  Vậy phương trình vơ nghiệm  x2   ! Sai lầm giải hệ:  x   nhiều HS tưởng rằng:  A.B≥0  A≥0 A≥0 B≥0 lời giải thiếu x = -1 nghiệm phương trình HS quên  A.B   A   A     Bconghia  A    B    Lời giải là: Điều kiện thức có nghĩa:  x2    x 1   x      x  1  x  1   x  1 x    Thay x = -1 thoả mãn phương trình Với x ≥ làm lời giải Tóm lại: Phương trình có nghiệm x = -1 Thí dụ 4: Giải biện luận phương trình: a 5 2a   (*) theo tham số a x2 ? Điều kiện: x ≠ Khi (*)  (a - 5) (x - 2) + 2a + =  (5 - a) (x - 2) = 2a +  x(5 - a) = 15 Nếu a ≠ x = 15 5a Nếu a = phương trình vơ nghiệm ! Sai lầm học sinh không để ý x = 15 khơng nghiệm 5a phương trình Vì nghiệm phải thoả mãn x ≠ nên 15 5 =2  a= 5a phương trình vơ nghiệm Lời giải phải bổ sung điều kết luận là: a  15 15  a Nếu   x = a  Nếu   a    phương trình vơ nghiệm a    Thí dụ 5: Giải phương trình 2x + x  = 16 (*) ? Điều kiện: x ≥ Ta có: (*)  x   16  x  x – = 256 – 64x + 4x x   4x – 65x + 259 =    x  37  Thoả mãn x ≥ Vậy phương trình có nghiệm x = x = ! Sai lầm viết x   16  x  x – = 256 – 64x + 4x2 b  Cần lưu ý HS rằng: a  b   a  b (không cần đặt điều kiện a ≥ 0) Ta có x = Thí dụ 7: Giải bất phương trình: x2  x  ? (*)  (*) x5 x2  x   x+5<  (x + 5)2 < x2 – 2x –  12x + 28 <  x<  37 37 không nghiệm ! HS sai lầm nghĩ Mà 1  a b ab 0 ab 1   a b  b  x + x  12 < x  x <  x 2 x 0 (1) ab + bc + ca > (2) abc > (3) a > 0; b > 0; c > ? Do vai trị bình đẳng a, b, c nên ta cần chứng minh a > Giả sử a < từ (3)  bc < Từ (2)  a(b + c) > -bc >  b + c < Từ a < 0, b + c <  a + b + c < mâu thuẫn với (1) Do a > ! Khi phủ định a > để thực phép chứng minh phản chứng phải biết xét a ≤ Lời giải thiếu trường hợp a = 2.1.4 Sai lầm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Những sai lầm tìm giá trị lớn nhât giá trị nhỏ hàm số hay biểu thức nhiều ẩn thường vi phạm quy tắc suy luận lơgíc: “Nếu f(x) ≥ m (m số), với x  A tồn x0  A cho f(x 0) = m giá trị nhỏ f(x) miền A m” (có quy tắc tương tự cho giá trị lớn f(x) Đối chiếu với biểu thức nhiều ẩn có quy tắc tương tự Thí dụ 1: Tìm giá trị nhỏ của: F (x, y) = (x + y)2 + (x + 1)2 + (y – 2)2 ? với x, y  R thì: (x + y)2 ≥ (x + 1)2 ≥ (y – 2)2 ≥ Vậy F (x, y) ≥  x, y  R Từ suy minF(x,y) = ! Sai lầm lời giải không giá trị x, y để F(x, y) = Nhớ rằng: F(x, y) ≥  x, y  R tồn x0, y0 cho F(x, y) = kết luận minF(x;y) = Đối với tốn này, khơng tồn x0; y0 để F(x0;y0) = Lời giải là: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với a1 = -1 a2 = a3 = b1 = (x + y); b2 = x + 1; b3 = y -2 ta có:  ( 1).( x  y)  1.( x  1)  1.( y  2)  F ( x, y )   3F ( x; y )  F ( x; y )  Đẳng thức xảy  b1 b2 b3   a a2 a3  x    x  y  1     x  y  3 y    Vậy: minF(x;y) =  x ; y 3 Thí dụ 2: Tìm giá trị nhỏ của: f(x) = x  ? Đặt t = x  1   2 x    x x  1 x   t  nên x x f(x) = g(t) = t  2t   (t  1)2   2t  R Đẳng thức xảy  t  Do f(x) =  t  ! Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ f(x) không trùng với giá trị nhỏ g(t) với t thuộc R Có thể thấy với t =1 khơng tồn x thực sai lầm lời giải lại trở sai lầm thí dụ khơng có giá trị x để (x) = Thí dụ 3: Tính giá trị nhỏ của: f(x) = x  ? Ta có f(x) = x 3 x 3 3 x 3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x  x 3 x 3 x 3 ta có:     1 với x ≥ Đẳng thức xảy x 3  x 3    x 3 1 Thấy khơng có giá trị x thoả mãn x 33   x   1 Vậy f(x) khơng có giá trị nhỏ ! Khơng có giá trị x để f(x) = -1 suy giá trị f(x) > lời giải không đến f(x) Thí dụ 4: Cho x, y số nguyên dương, thoả mãn: x + y = 2011 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x(x2 + y) + y(y2 + x) (Trích đề thi HSG tỉnh Tốn năm học 2010 – 2011) Có khơng học sinh có lời giải sai lầm: ? Ta có P = (x + y)3 – (x + y)xy + xy = 20113 - 6031 xy áp dụng BĐT => x y 20112 xy ≤  (*)   =   P ≥ 20113 - 6031 20112 20112.2013 => P ≥ (**) 4 20112.2013 Giá trị nhỏ P ! Dấu bất đẳng thức (*) không xảy điều kiện x, y nguyên dương nên dấu bất đẳng thức (**) không xảy 2.1.5 Sai lầm giải tốn phương trình bậc hai 10 Khi giải tốn phương trình bậc hai, sai lầm xuất không ý đến giả thiết định lý mà vội vàng áp dụng lạm dụng suy diễn mệnh đề không xét thiếu trường hợp cần biện luận Thí dụ 1: Tìm m để phương trình: (m – 1)x + (2m -1)x + m + = Có hai nghiệm phân biệt? ? Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:  >  (2m – 1) – 4(m- 1)(m + 5) >  -20m + 21 >  21 20 m< ! Có thể với m = < 21 mà phương trình có nghiệm x = -6 20 Nhớ ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt a     Thí dụ 2: Biết (x;y) nghiệm hệ: x  y  m  2  x  y  m  Tìm giá trị lớn nhỏ của: F = xy – 6(x + y) ? Ta có: x2 + y2 = -m +  = -m2 + (x + y)2 – 2xy  m2 – 2xy = -m +  xy = m2 -3 Do đó: F = m2 – 6m – = m – 6m – = (m – 3)2 – 12 Vậy F = -12  m=3 F khơng có giá trị lớn F hàm bậc hai với hệ số m a = > ! Lời giải không đặt điều kiện để tồn x y Do xét với m thuộc R 2.2 Phân tích nguyên nhân dẫn tới sai lầm học sinh trung học sở giải tốn 2.2.1 Ngun nhân 1: Hiểu khơng đầy đủ xác thuộc tính khái niệm toán học 11 Chúng ta biết rằng: Khái niệm sản phẩm tư toán học Mỗi khái niệm có nội hàm ngoại diện Tập hợp dấu hiệu đặc trưng cho chất đối tượng phản ánh khái niệm nội hàm khái niệm Tập hợp đối tượng có chứa dấu hiệu ngoại diên khái niệm Việc không nắm vững nội hàm ngoại diên khái niệm dẫn HS tới hiểu khơng trọn vẹn, chí sai lệch chất khái niệm Từ sai lầm giải toán xuất Mặt khác nhiều khái niệm toán học mở rộng thu hẹp khái niệm có trước Việc HS không nắm vững khái niệm dẫn tới việc khơng hiểu khơng thể có biểu tượng khái niệm khác Nhiều người ta hay nói tới “mất gốc” HS kiến thức trước hết cần hiểu rằng: “mất gốc” khái niệm Như qua dẫn chứng cụ thể thấy từ việc khơng nắm vững thuộc tính khái niệm, học sinh bị dẫn tới sai lầm lời giải Chúng tơi xin lưu ý tới ngun nhân giáo viên khơng có biện pháp kịp thời từ gây hậu lớn cho học sinh, thể qua sơ đồ sau (sơ đồ 1): Nhận dạng sai Không nắm vững nội hàm Biến đổi sai Kí hiệu sai Khơng nắm vững thuộc tính Chứng minh sai Vẽ hình sai Diễn đạt sai Không nắm vững ngoại diên Học sinh Thể Không phát Khơng phân tích Khơng củng cố Khơng phân loại 12 Giáo viên sai 2.2.2 Nguyên nhân 2: Khơng nắm vững cấu trúc lơgic định lí Định lí mệnh đề khẳng định Cấu trúc thơng thường định lí có dạng A  B Trong cấu trúc định lí A  B A giả thiết định lí cho biết phạm vi sử dụng định lí Người ta cịn nói A điều kiện đủ để có B Nhưng nhiều học sinh lại khơng nắm vững coi thường giả thiết A nên dẫn tới sai lầm giải tốn Khi học định lí Viét thuận, nhiều học sinh nhớ tổng tích hai nghiệm bao nhiêu, không để ý tới giả thiết định lí phương trình phải phương trình bậc hai có nghiệm (a  0,   ) học sinh mắc sai lầm áp dụng định lí Khi học bất đẳng thức Cauchy, học sinh không để ý tới giả thiết áp dụng bất đẳng thức cho số khơng âm nên gặp tốn so sánh x + 1/x với số áp dụng để có kết luận sai lầm x + 1/x > với x ≠ x + 1/x = với x = 1.(?) Tóm lại việc khơng nắm vững cấu trúc logic định lí dẫn học sinh tới nhiều sai lầm học toán giải tốn Chúng tơi xin lưu ý sơ đồ sau (sơ đồ 2): ĐịNH Lí Khơng nắm vững A Khơn g có A suy B Khơng có A suy khơng có B A  B Khơng nắm vững B Sử dụng B mà khơng có A Sử dụng định lí chưa Có B suy có A Lời giải sai 13 Học sinh Giáo viên Có A nhưn g suy khơn 2.2.3 Ngun nhân 3: Thiếu kiến thức cần thiết lôgic: Suy luận hoạt động trí tuệ đặc biệt phán đốn – hình thức tư Hoạt động suy luận giải toán dựa sở lôgic học Học sinh thiếu kiến thức cần thiết lôgic mắc sai lầm suy luận từ dẫn đến sai lầm giải toán Ngay việc sử dụng từ nối “và”, “hoặc” điều khó khăn nhiều học sinh Lẽ cần khẳng định: tam giác cân vng lại khẳng định tam giác tam giác vng cân Khi biến đổi phương trình tích AB = 0, học sinh viết A = B = Không nắm phép phủ định học sinh khó khăn dùng phương pháp chứng minh phản chứng Việc “phủ định khơng hồn tồn” dẫn tới sai lầm lời giải phủ định a > a < gây cho lời giải thiếu trường hợp a = Trong SGK phép chứng minh trình bày theo phương pháp tổng hợp mà khơng qua phương pháp phân tích để dẫn tới cách chứng minh giáo viên lại khơng thể dạng tường minh kiến thức quy luật, quy tắc, phương pháp suy luận sử dụng 2.2.4 Nguyên nhân 4: học sinh không nắm vững phương pháp giải toán bản: Học sinh khơng nắm vững phương pháp giải tốn dẫn tới sai lầm lời giải Không nắm vững phương pháp giải học sinh không nghĩ đủ khả cần xét dẫn tới đặt điều kiện sai Không nắm vững phương pháp giải, học sinh biện luận không đủ trường hợp xảy toán 2.3 Bốn biện pháp sư phạm chủ yếu nhằm hạn chế sửa chữa sai lầm cho học sinh 2.3.1 Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ xác kiến thức mơn Tốn: * Tình 1: Dạy tốn học để tránh sai lầm cho học sinh giải toán? Giáo viên cần dự đoán trước (bằng kinh nghiệm thân trao đổi với đồng nghiệp), khả khơng hiểu hết thuộc tính khái niệm 14 Nếu dự đoán sai lầm chắn giáo viên chuẩn bị giảng để đề phịng trước sai lầm cho học sinh Sự chủ động đề phòng sai lầm xuất bao giời mang tính tích cực sửa chữa sau Những sai lầm học sinh khái niệm tốn học mang dấu ấn khó phai cơng chỉnh lại cho xác cần lưu ý phân biệt việc chưa hiểu hết với hiểu sai Có khái niệm khó, học sinh khơng hiểu hết thuộc tính lúc mà phải qua hoạt động nhận dạng thể tới trọn vẹn Chính việc chưa hiểu hết thuộc tính khái niệm dễ dẫn đến hiểu sai khái niệm Do có sai lầm học sinh phải làm cho học sinh hiểu hết thuộc tính khái niệm mong học sinh hết hiểu sai Ví dụ: Khái niệm hàm số, học sinh cần phải hiểu rõ ba thuộc tính khái niệm là: + Tập X, Y tập hợp số + Mỗi giá trị x có giá trị y tương ứng + Giá trị tương ứng y * Tình 2: Dạy định lí tốn học để học sinh tránh sai lầm giải tốn? Nói tới định lí tốn học nói tới khẳng định (dù có dạy phép chứng minh định lí hay khơng) Tuy nhiên, việc quan trọng mà giáo viên cần quan tâm cấu trúc lơgic định lý Như chúng tơi phân tích, việc khơng nắm vững cấu trúc định lí dẫn học sinh tới sai lầm giải toán Các định lí tốn học thường diễn đạt theo cấu trúc A  B Ai biết A giả thiết B khẳng định, kết luận định lí Nhưng xin lưu ý thêm: A cho biết dùng định lí B cho biết kết luận, suy có A Dạy định lí tốn học thực theo hai đường, đường suy diễn đường có khâu suy đốn Nhằm hạn chế đề phịng sai lầm học sinh giải toán chúng tơi thấy cần thiết phải phân tích rõ giả thiết định lí Học sinh nhiều khơng quan tâm tới giả thiết định lí mà quan tâm tới kết luận định lí nên dẫn tới sai lầm Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) có nghiệm x1, x2 tổng tích nghiệm là: 15 b   x1  x2   a    x x  c  a  Cấu trúc giả thiết: a  0    0 Trước dùng định lí phải kiểm tra đặt điều kiện để toán thoả mãn đồng thời hai điều kiện giả thiết Học sinh hay quên điều kiện a ≠ Nhiều học sinh tính tổng tích nghiệm phương trình x2 – x + = phương trình vơ nghiệm Giáo viên cần tạo thí dụ mà điều kiện giả thiết chưa thoả mãn hoàn toàn để học sinh thấy điều kiện giả thiết thiếu Giáo viên cần nêu thí dụ để thuyết phục không dừng lại việc nhắc nhở Các thí dụ, mà đặc biệt phản thí dụ tạo ấn tượng học sinh Ví dụ: x x x ≥ - x x < x = -x x < ( x = x = - x) Điều chứng tỏ x < điều kiện đủ điều kiện cần để tránh sai lầm cho học sinh Khi dạy định lí cần cho học sinh hướng dẫn ứng dụng định lí để tạo nhạy cảm học sinh đứng trước toán biết nghĩ tới việc vận dụng định lí Điều đặc biệt cần lưu ý dạy định lí tốn học cho học sinh giáo viên cần cho học sinh thấy rõ phương pháp phân tích chứng minh định lí Chính biện pháp giúp cho học sinh dễ tới chứng minh giải tốn sau * Tình Cung cấp kiến thức lôgic để học sinh tránh sai lầm giải tốn? Theo thực nghiệm chúng tơi, việc đưa ví dụ theo ngơn ngữ tự nhiên cần trước thí dụ theo ngơn ngữ tốn học Đây đường từ “trực quan sinh động” đến “tư trừu tượng” nhận thức Chẳng hạn nêu mệnh đề A = Trời nắng ; B = Đội mũ thơng thường học sinh nhắc nhở “Nếu trời nắng đội mũ” nên học sinh dễ hình dung ý nghĩa phép kéo theo A  B 16 A đủ để có B lưu ý nhiều học sinh đội mũ trời không nắng, nghĩa A chưa phải điều kiện cần để có B Đặc biêt, A  B ví dụ để nhấn mạnh mệnh đề đảo B  A không đúng, học sinh thấy việc đội mũ không làm cho trời nắng Chẳng hạn, A = số tự nhiên có tận ; B = số tự nhiên có tận ; C = số tự nhiên chia hết cho C   A  B  ta có  A  B   C đồng thời  A  B   C tiêu chuẩn chia hết cho số tự nhiên Khi kiểm tra số chia hết cho hay không cần kiểm tra A B Từ phủ định mệnh đề ta có ( A  B)  C , qua học sinh nắm rõ chất dấu hiệu chia hết cho Giáo viên chủ động đưa suy luận sai để học sinh phân tích tránh vấp phải sau Đặc biệt cần làm cho học sinh nắm phương pháp phân tích lên, phân tích, tổng hợp, phản chứng, quy nạp Giáo viên cần tận dụng hội nào, miễn hợp lí, để khắc sâu kiến thức lôgic cho học sinh Chẳng hạn với học sinh giỏi lớp 9, hệ phương trình: bx  y  a   x  by  c  c Thì việc phân tích hai yêu cầu sau khác tăng cường kiến thức lơgic - Tìm a cho với b ln tồn c để hệ có nghiệm - Tìm a cho tồn c để hệ có nghiệm với b Học sinh nắm vững kiến thức lôgic hạn chế nhiều sai lầm giải tốn * Tình 4: Trang bị phương pháp giải toán để tránh sai lầm học sinh giải tốn? Có thể nói loại tốn chương trình Đại số THCS có phương pháp giải Việc trang bị phương pháp giải làm cho học sinh có điều kiện nắm vững loại tốn bản: Ví dụ: Giải phương trình: ax2 + bx + c = a=0 a≠0 17 c=0 vô định Ä = b2 – 4ac b≠0 b=0 c≠0 PT có nghiệm VN Ä0 nghiệm kép nghiệm phân biệt Việc rèn luyện cho học sinh lập sơ đồ vừa làm học sinh nắm vững phương pháp giải, vừa phát triển tư cho học sinh Từ học sinh tránh sai lầm giải tốn Tuy nhiên cần lưu ý học sinh với loại tốn có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa chọn phương pháp giải tối ưu để giải toán cụ thể Từ lời giải toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh tìm phương pháp giải cho lớp toán Biện pháp giúp học sinh hiểu chất lời giải cụ thể tư khái qt hố phát triển Tránh tình trạng “làm biết ấy” Nhờ thực biện pháp 1, có việc trang bị kiến thức lôgic cho học sinh mà việc thực kiểm tra có lí bước suy luận thực thuận lợi Mỗi có lời giải sai dịp tốt để giáo viên cho học sinh thực hành thao tác dấu hiệu nhận biết sâu sắc cách thú vị học toán hấp dẫn học sinh tích cực hoạt động, nói có điều kiện để tích cực hoạt động 2.3.2 Biện pháp 2: Học sinh thử thách thường xuyên với toán dễ dẫn đến sai lầm lời giải Đây biện pháp thường trực, kể sai lầm phân tích sửa chữa cho học sinh Để thực biện pháp này, giáo viên phải biết đặt tốn có chứa “bẫy” Với tốn “Chứng minh với a, b, c (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b 2c2 lôi 98,5% học sinh tham gia có lời giải Tuy nhiên, đông học sinh bị sai lầm lời giải nhân bất đẳng thức chiều Như vậy, để đạt mục đích sư phạm “bẫy” phải làm cho tốn có tính thử thách để đo độ vững vàng kiến thức cụ thể học sinh 18 2.3.3 Biện pháp 3: Theo dõi sai lầm học sinh giải toán qua giai đoạn: *Giai đoạn 1: Sai lầm chưa xuất giai đoạn giáo viên dự báo trước sai lầm thể ý học sinh Chẳng hạn giáo viên ý bất đẳng thức Cauchy áp dụng với số khơng âm, để chứng minh a (1 – a) ≤ cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a –a sai lầm Tất nhiên, để dự báo tốt giáo viên phải trang bị hiểu biết sai lầm học sinh giải tốn phải có lực chun mơn, kinh nghiệm sư phạm *Giai đoạn 2: Sai lầm xuất lời giải học sinh: Đây giai đoạn đòi hỏi giáo viên phải kết hợp ba nguyên tắc kịp thời, xác, giáo dục với tích cực hố học sinh để vận dụng hiểu biết việc kiểm tra lời giải nhằm tìm sai lầm, phân tích nguyên nhân sửa chữa lời giải Quy trình giai đoạn giáo viên theo dõi thấy sai lầm  giáo viên gợi ý để học sinh tìm sai lầm  học sinh tự tìm sai lầm  giáo viên gợi ý chỉnh lời giải  học sinh thể lời giải  giáo viên tổng kết nhấn mạnh sai lầm bị mắc Nhiều sai lầm học sinh tinh vi, có giáo viên khơng phát kịp thời Giai đoạn đòi hỏi giáo viên phải có thái độ đối xử khéo léo sư phạm để tăng hiệu giáo dục Tuỳ theo mức độ sai lầm mà giáo viên định sử dụng biện pháp sư phạm thích hợp Có giáo viên cần đưa lời giải để học sinh tự đối chiếu tìm sai lầm lời giải sai, gợi ý để học sinh nhận sai lầm Có giáo viên chủ động đưa lời giải sai để học sinh nhận dạng dấu hiệu tìm sai lầm 19 Có giáo viên đưa nhiều lời giải khác để học sinh phân biệt sai lời giải, sử dụng phương pháp trắc nghiệm tồn lớp để học sinh phải suy nghĩ có ý kiến Ngược lại, giai đoạn giáo viên khơng kịp thời phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải tốn sai lầm ngày trầm trọng, giáo viên khơng hồn thành nhiệm vụ dạy học, học sinh sút kết * Giai đoạn 3: Sai lầm phân tích sửa chữa Giáo viên cần xây dựng hoạt động học cho học sinh thử thách thường xuyên học sinh qua toán dễ dẫn đến sai lầm sửa Sự nỗ lực thầy trị chưa dứt bỏ sai lầm sai lầm lại bước vào vịng tồn Điều quan trọng làm sao, cuối qua nhiều vịng giáo viên cần xố hẳn sai lầm cho học sinh Việc chia ba giai đoạn sai lầm có ý nghĩa nhấn mạnh thời điểm sai lầm Trong thời điểm dạy học giáo viên có đồng thời tác động đến ba giai đoạn, vừa “phịng tránh” sai lầm chưa xuất hiện, vừa lo phân tích sửa chữa sai lầm xuất đồng thời lo xoá hẳn sai lầm sửa chữa Sơ đồ sau rõ kiên trì để xố bỏ sai lầm học sinh Sai lầm chưa xuất Sai lầm xuất Phịng tránh Phân tích sửa chữa Củng cố thử thách 20 Sai Chúng lầm xoá bỏ Chúng ta khẳng định rằng, học sinh cịn mắc nhiều sai lầm giải tốn, sai lầm học sinh hệ thống lại giúp giáo viên dễ phát lời giải học sinh; sai lầm xuất phát từ nhiều nguyên nhân kiến thức, để từ giáo viên có biện pháp phân tích, sửa chữa sai lầm cho học sinh giải toán, nâng cao chất lượng giảng dạy học mơn Tốn trường phổ thông III Kết luận Đề tài sai lầm học sinh giải toán tượng phổ biến nay, kể học sinh giỏi mơn tốn Các sai lầm hệ thống lại, chẳng hạn theo loại toán chủ yếu nhằm giúp giáo viên dễ phát sửa chữa cho học sinh Đề tài phân tích nguyên nhân chủ yếu kiến thức học sinh gây nên sai lầm giải toán đề xuất ba phương châm đạo (tính kịp thời, tính xác, tính giáo dục) để việc sử dụng bốn biện pháp sư phạm nhằm hạn chế sửa chữa sai lầm cho học sinh có hiệu Nếu người giáo viên nắm bắt sai lầm phổ biến học sinh giải toán, đồng thời biết cách phân tích sử dụng biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế, sửa chữa sai lầm lực giải tốn học sinh nâng cao Với kinh nghiệm 20 năm dạy tốn cho nhiều đối tượng quản lý chun mơn, bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu biện pháp đề xuất IV Khuyến nghị - đề xuất: 21 Các kết nghiên cứu cịn phát triển theo nhiều hướng Chẳng hạn, nghiên cứu sai lầm học sinh giải tốn phân mơn hình học môn học khác trường trung học sở Nội dung làm tài liệu tham khảo bổ ích triển khai thành chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ cho giáo viên giảng dạy toán THCS Xác nhận Phòng GD & ĐT Trưởng Phòng Xác nhận UBND huyện Chủ tịch 22 ... hiện, vừa lo phân tích sửa chữa sai lầm xuất đồng thời lo xoá hẳn sai lầm sửa chữa Sơ đồ sau rõ kiên trì để xố bỏ sai lầm học sinh Sai lầm chưa xuất Sai lầm xuất Phịng tránh Phân tích sửa chữa Củng... tắc sửa chữa sai lầm cho học sinh giải tốn cần phải tạo động học tập sửa chữa sai lầm Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm nhu cầu cần phải tham gia chủ thể cách tự nguyện, say mê, hào hứng Tạo cho. .. sửa chữa sai lầm học sinh giải toán? ??, nhằm nghiên cứu sai lầm phổ biến học sinh phổ thơng giải tốn, đồng thời đề xuất biện pháp sư phạm để hạn chế sửa chữa sai lầm nhằm rèn luyện lực giải tốn cho